精品解析：湖南衡阳市衡阳县2025-2026学年高一创新实验班下学期6月期末质量检测数学试题

衡阳县2026年上学期高一创新实验班期末质量检测试题 数学 考生注意： 1．本试卷共四大题，19小题，满分150分，考试时量120分钟． 2．试卷分为试题卷和答题卡两个部分；答题前，考生务必把自己的姓名、考号、学校填写在答题卡上． 3．将答案写在答题卡上．写在试题卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡上交． 第Ⅰ卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合，再由集合的运算结果列不等式即可求解. 【详解】由题意得，， 因为，所以，所以， 故选：B. 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的几何意义可得出结论. 【详解】，则， 因此，复数对应的点位于第一象限. 故选：A. 3. 台源乌莲是衡阳县特产之一，种植历史悠久，明清时期被列为贡品．2026年种植面积逾2万亩，预计产值突破10亿元．如图所示，某种植户有一片弓形水域，弦长为120米，劣弧所对圆心角为．欲在劣弧上任取点构建水域种植乌莲．则可种植最大面积为（ ）亩．（1亩平方米） A. 2.6 B. 3.1 C. 3.6 D. 9.4 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用正弦定理求出边，根据三角形面积公式计算求解. 【详解】劣弧所对圆心角为，所以， 设，， 由正弦定理得， 得， ， 由，得， 当，即， 取得最大值为平方米， 平方米， 亩. 4. 在某人工智能推荐系统中，用户偏好与商品特征会被编码为特征向量，即，其中代表用户偏好向量，代表商品特征向量，越小，商品越符合用户喜好.已知某用户偏好向量，某件商品的特征向量，当该商品最符合该用户喜好时，的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，， 当时，取得最小值. 5. 已知关于直线对称， ，则与的公切线的数量为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】，则，半径， 因为关于直线对称， 所以在上，则有，解得，则， ，则，半径， ，，，故与相交， 则与的公切线的数量为，故选项B正确. 6. 已知正三棱锥的高，G是线段SO上一点，过点 G且与平面平行的平面分别与SA，SB，SC交于点 D，E，F，若三棱台的体积为，则SG=（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正三棱锥的性质，可求得各个长度和，设正三角形的边长为a，根据体积公式，代入求解，可得a值，即可得答案. 【详解】连接OC，因为正三角形，且， 所以，则， 则，所以， 由题意得，为正三角形，设边长为a， 则，所以， 所以三棱台的体积 ， 则，解得，所以. 7. 若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由可得， 与互为反函数，故其交点在直线上，且交点横坐标小于1， 而与交点的横坐标等于1， 从而，，在同一直角坐标系中的大致图象如图所示：与的图像交点为,与的图像交点为, 且 当直线位于点的上方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 当直线位于点的上方，的下方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 当直线位于点的上方，的下方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 当直线位于点的下方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 8. 已知正实数满足和．则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数与对数的运算法则对已知条件进行变形，利用变形后等式的特点构造函数，再根据函数的单调性确定的关联，最后结合题给条件求解． 【详解】， ，即， ， ，即， 令，则在上单调递增， 方程有唯一解， ， ． 故选：A． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则． B. 设，，则． C. 若，则的最小值为． D. 若，则的最大值为2． 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，利用不等式的性质，作差比较法，以及基本不等式，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若，，则，所以A不正确； 对于B，由 因为，可得，所以， 可得，所以，所以B正确； 对于C，若，可得， 当且仅当时，即时，等号成立，所以C错误； 对于D，若且， 由，即，可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 因为，所以， 即的最大值为，所以D正确. 10. 正四棱锥的所有棱长为2，用垂直于侧棱的平面截该四棱锥，则（ ） A. 截面可以是三角形 B. 与底面所成的角为 C. 与底面所成的角为 D. 当平面经过侧棱中点时，截面分四棱锥得到的上下两部分几何体体积之比为 【答案】ACD 【解析】 【分析】取的中点，证得平面，得到截面为，可判定A正确；过点作平面，结合正棱锥的形状和线面角的定义，求得与底面所成的角，可判定B不正确，C正确；利用锥体的体积公式，求得上下两部分的体积比，可判定D正确. 【详解】对于A，如图所示，取的中点，连接， 因为正四棱锥的所有棱长为，可得和均为正三角形， 所以，又因为，且平面， 所以平面，即截面为，所以A正确； 对于B，过点作平面于点， 因为四棱锥为正四棱锥，所以为底面正方形的中心， 则为的中点，所以即为与底面所成的角， 因为正四棱锥的所有棱长为，所以， 在直角中，可得，可得，所以B不正确； 对于C，由选项B知，即与底面所成的角为，所以C正确； 对于D，由选项A知，平面经过侧棱的中点时，平面即为平面， 此时， 因为, 所以截得的上半部分的体积为， 所以截面分四棱锥得到的上下两部分几何体体积之比为，所以D正确. 11. 已知函数，则下列关于判断正确的是（ ） A. 是以为周期的周期函数 B. 的图象关于原点对称 C. 的值域为 D. 函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度获得 【答案】ABC 【解析】 【分析】化简函数，由，可判断A； 由函数的定义域为，且，可判断B； 由，令，由直线与圆的位置关系可求得，从而可判断C； 根据图象的平移可判断D. 【详解】，所以，所以A正确； 函数的定义域为，且，所以为奇函数，所以的图象关于原点对称，故B正确； ，令，表示单位圆上的点与点连线的斜率，设过点的直线方程为，由圆的圆心到直线的距离，解得，所以，所以的值域为，故C正确； 的图象向右平移个单位长度得，故D错误. 故选：ABC. 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，则________（用表示）． 【答案】 【解析】 【分析】首先切化弦，然后根据两角和差的正弦公式求解. 【详解】因为，所以， ， ，， . 13. 已知函数，若在上存在最小值，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】分段讨论函数的最值情况，结合在上存在最小值，可列出不等式，构造函数，结合单调性，即可求得答案. 【详解】当时，单调递减，此时，没有最小值； 当时，单调递增，其最小值为. 由在上存在最小值，得，即. 令，则是上的单调递增函数， 又，则， 所以，即实数的取值范围为. 14. 在一个棱长为的正四面体容器（容器壁的厚度忽略不计）内放置四个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正四面体的性质，当四个铁球的球心连线构成正四面体时半径最大，再根据相切关系计算半径． 【详解】记正四面体为，铁球最大半径为， 当铁球半径最大时，把四个铁球的球心两两相连，构成棱长为的正四面体， 设为正三角形的中心，连接， 则， ， 故，解得， 故正四面体的中心到底面的距离为， 是正四面体的中心，同理可得到底面的距离为： ， 故，解得． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤） 15. 为了解某校学生物理学习情况；从高一上学期期末物理考试成绩中，随机抽取了200名学生，记录他们的物理成绩，将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，并估计高一年级物理成绩的众数和平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求有1名或2名学生的成绩在内的概率. 【答案】（1），众数为85，平均分为77.5 （2）. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，建立方程，可得答案，再利用平均数估计值的计算，可得答案. （2）利用分层抽样，确定每组的具体人数，结合枚举法，根据古典概型，可得答案. 【小问1详解】 由频率分布直方图得，，解得. 物理成绩的众数为85，估计物理成绩的平均分为：. 所以，众数为85，平均分为77.5. 【小问2详解】 由（1）知，成绩在的频率之比为， 则在中随机抽取了人，记为a，b， 在中随机抽取了人，记为c，d，e， 从5人中随机抽取2人的样本空间为：， 共10个样本点， 设事件“有1名或2名学生的成绩在内”， 则，有7个样本点，因此， 所以有1名或2名学生的成绩在内的概率为. 16. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，平面平面，，，为中点. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）取中点为，连接， 因为为中点，所以， 因为四边形是菱形，所以 ， 所以 ， 由得， 因为平面平面，平面 平面平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为平面 ，平面 ， 所以平面 ， 又平面 ，所以 ； （2） 【解析】 【分析】（1）取中点为，连接，根据面面垂直的性质证明平面，再根据线面垂直的性质证明，再证明平面 ，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，平行于的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，平行于的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系， 不妨设，则， 则， 故， 于是， 记平面的一个法向量为， 则，即， 可取， 记直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，点D在射线AC上，满足. （1）求； （2）设的角平分线与直线AC交于点E，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化角为边由表示，利用余弦定理求出即可求出； （2）分别在和中利用正弦定理表示，化简整理可得. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 因为，由正弦定理得，即，则， 由余弦定理得， 则，因为，所以； 【小问2详解】 如图，， 在中，，， 在中，，则， ，， 所以, ， 所以. 18. 已知圆与轴的正半轴交于点，直线与圆交于不同的两点， ． （1）求实数的取值范围； （2）设直线，的斜率分别是，试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由； （3）设的中点为．求点到直线x＋3y－10＝0的距离的最大值． 【答案】（1）；（2）是定值，定值为；（3）. 【解析】 【分析】（1）利用圆心到直线的距离小于半径求解即可； （2）设，，表示出，再直线与圆联立方程组，由韦达定理得，，再化简即可； （3）利用（2）的结果，表示出，再利用点到线的距离公式变形化简求解即可. 【详解】解：∵圆与轴的正半轴交于点， ∴圆心，半径，． （1）∵直线与圆交于不同的两点， ∴圆心到直线的距离， 即 ，解得． （2）设， 联立，可得， ∴，， ∴ 为定值． ∴是定值，定值为． （3）∵的中点为， ∴，， ∴． 记点到直线的距离为， 则， 令，则 ∴ （当且仅当，即时取等号）． ∴点到直线的距离的最大值为． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，定值问题，考查数学运算能力. 19. 设函数在非空数集上的取值集合为，即，若，则称为上的“集中函数”． （1）分别判断，是否为上的“集中函数”，并说明理由； （2）若存在实数，使得为上的“集中函数”，求实数的取值范围； （3）若为上的“集中函数”，求证：． 【答案】（1）是上的“集中函数”， 不是上的“集中函数” 因为是上的增函数， 所以有， 因为，所以是上的“集中函数”． 因为是上的增函数， 所以有， 因为不是子集，所以不是上的“集中函数” （2） （3），所以该函数的定义域为， 设，是内任意两个实数，且，则有， ，， ， 因为， 所以，，， ，所以， 所以在上单调递减，且， 所以值域． 由“集中函数”定义可得，得： ①， ②， 对①变形：， 对②变形：， 所以，令，， 因为，所以， 则式子变为：，因为， 所以 ，而， 所以． 【解析】 【分析】（1）根据“集中函数”的定义，结合函数单调性进行判断； （2）二次函数开口向上，对称轴为，分三段讨论对称轴位置，综合得出实数的取值范围； （3）分析函数定义域及单调性，由单调递减值域结合集中函数列出边界不等式，对不等式变形化简，再通过换元法，结合基本不等式放缩推出，最后转化指数式，结合指数函数单调性证明结论． 【小问1详解】 是上的“集中函数”，不是上的“集中函数”， 因为是上的增函数， 所以有， 因为，所以是上的“集中函数”． 因为是上的增函数， 所以有， 因为不是的子集，所以不是上的“集中函数”． 【小问2详解】 因为在上的值域， 又因是开口向上的二次函数，对称轴为，则分3种情况讨论： ①当时，在上单调递增，值域， 由，需满足：， 两个不等式相加消去得：，结合，得； ②当时，在上递减、在上递增， 设表示中最大的数， 值域， 由，需满足：， 因为，，所以， 故存在满足条件，因此均成立； ③当时，在上单调递减，值域， 由，需满足：， 两个不等式相加消去得：，解得， 结合，得， 综上所述，实数的取值范围是． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳县2026年上学期高一创新实验班期末质量检测试题 数学 考生注意： 1．本试卷共四大题，19小题，满分150分，考试时量120分钟． 2．试卷分为试题卷和答题卡两个部分；答题前，考生务必把自己的姓名、考号、学校填写在答题卡上． 3．将答案写在答题卡上．写在试题卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡上交． 第Ⅰ卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 台源乌莲是衡阳县特产之一，种植历史悠久，明清时期被列为贡品．2026年种植面积逾2万亩，预计产值突破10亿元．如图所示，某种植户有一片弓形水域，弦长为120米，劣弧所对圆心角为．欲在劣弧上任取点构建水域种植乌莲．则可种植最大面积为（ ）亩．（1亩平方米） A. 2.6 B. 3.1 C. 3.6 D. 9.4 4. 在某人工智能推荐系统中，用户偏好与商品特征会被编码为特征向量，即，其中代表用户偏好向量，代表商品特征向量，越小，商品越符合用户喜好.已知某用户偏好向量，某件商品的特征向量，当该商品最符合该用户喜好时，的值是（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于直线对称， ，则与的公切线的数量为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知正三棱锥的高，G是线段SO上一点，过点 G且与平面平行的平面分别与SA，SB，SC交于点 D，E，F，若三棱台的体积为，则SG=（ ） A. B. 1 C. 2 D. 7. 若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正实数满足和．则的值为（　　） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则． B. 设，，则． C. 若，则的最小值为． D. 若，则的最大值为2． 10. 正四棱锥的所有棱长为2，用垂直于侧棱的平面截该四棱锥，则（ ） A. 截面可以是三角形 B. 与底面所成的角为 C. 与底面所成的角为 D. 当平面经过侧棱中点时，截面分四棱锥得到的上下两部分几何体体积之比为 11. 已知函数，则下列关于判断正确的是（ ） A. 是以为周期的周期函数 B. 的图象关于原点对称 C. 的值域为 D. 函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度获得 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，则________（用表示）． 13. 已知函数，若在上存在最小值，则实数的取值范围为________． 14. 在一个棱长为的正四面体容器（容器壁的厚度忽略不计）内放置四个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤） 15. 为了解某校学生物理学习情况；从高一上学期期末物理考试成绩中，随机抽取了200名学生，记录他们的物理成绩，将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，并估计高一年级物理成绩的众数和平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求有1名或2名学生的成绩在内的概率. 16. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，平面平面，，，为中点. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，点D在射线AC上，满足. （1）求； （2）设的角平分线与直线AC交于点E，求证：. 18. 已知圆与轴的正半轴交于点，直线与圆交于不同的两点， ． （1）求实数的取值范围； （2）设直线，的斜率分别是，试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由； （3）设的中点为．求点到直线x＋3y－10＝0的距离的最大值． 19. 设函数在非空数集上的取值集合为，即，若，则称为上的“集中函数”． （1）分别判断，是否为上的“集中函数”，并说明理由； （2）若存在实数，使得为上的“集中函数”，求实数的取值范围； （3）若为上的“集中函数”，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $