精品解析：山东省威海乳山市（五四制）2025-2026学年八年级下学期期末数学试题

初三数学 亲爱的同学： 你好！答题前，请仔细阅读以下说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，考试时间120分钟． 2．不允许使用计算器． 3．本次考试另设10分卷面分． 希望你能愉快地度过这120分钟，祝你成功！ 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则，以及二次根式的性质逐一判断即可． 【详解】A．与不是同类二次根式，不能合并， 计算错误，故不符合题意； B．算术平方根的结果为非负数，， 计算错误，故不符合题意； C．， 计算错误，故不符合题意； D．， 计算正确，故符合题意； 2. 下列方程的两个实数根的和为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据判别式判断方程是否有两个实数根，再根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：A． ，，该方程有实根，，不符合题意； B． ，，该方程有实根，且，不符合题意； C． ，，该方程有实根，且，符合题意； D． ，，该方程无实根，不符合题意 3. 若，，则（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】先将所求代数式变形为含和的形式，再计算与的值后代入计算． 【详解】解： ∵， ∴， 将，代入得： 原式． 4. 下列四组图形中，一定相似的图形是（　　） A. 两个直角三角形 B. 各有一个角是的两个等腰三角形 C. 各有一个角是的两个等腰三角形 D. 有两边之比都等于的两个三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定逐一判断即可得． 【详解】解：A、两个直角三角形，只能确定一个角相等，不一定相似，不合题意； B、各有一个角是的两个等腰三角形，不能确定角的位置，不一定相似，不合题意； C、各有一个角是的两个等腰三角形一定相似，符合题意； D、有两边之比都等于的两个三角形不一定相似，不合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查相似图形，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定． 5. 如图，菱形的对角线，的长分别是，，于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分求出，则，由此可解． 【详解】解：如图，设交于点， 菱形的对角线、的长分别是6，8， ，，， ， ， ． 6. 如图，点在平行四边形的边上，，与的延长线交于点，若，则平行四边形的周长为（ ） A. 21 B. 34 C. 28 D. 42 【答案】B 【解析】 【分析】先由平行四边形得到，然后得到，然后利用，得到，，从而得到的长，最后得到平行四边形的周长． 【详解】四边形是平行四边形， ∴， ，， ， ， ，， ，， ， 的周长． 7. 某市计划从今年第二季度开始到本年底对全市共285个社区全部实现垃圾分类．已知该市第二季度已有60个社区率先实现垃圾分类，预计第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率均为x，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出第二、三、四季度实现垃圾分类的社区个数，根据总个数为285列方程，即可判断正确选项． 【详解】解：∵第二季度实现垃圾分类的社区个数为，第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率为， ∴第三季度实现垃圾分类的社区个数为，第四季度实现垃圾分类的社区个数为， ∵到本年底全部285个社区都要实现垃圾分类， ∴三个季度实现垃圾分类的总个数为285， 可得方程， 因此正确选项为D． 8. 在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，若以原点O为位似中心，画的位似图形，使与的相似比为，则点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】位似图形可位于位似中心的同侧或异侧，需分两种情况计算．以原点为位似中心时，若新位似图形与原图形的相似比为，原图形上点对应点坐标为或． 【详解】解：∵以原点为位似中心，与的相似比为，点坐标为，位似图形有两种位置情况， ∴ 当与在原点同侧时，点的坐标为； 当与在原点异侧时，点的坐标为． ∴点的坐标为或． 9. 如图，点在的边上（不与点，重合），过点作，，分别交，于点，．下列说法正确的是（ ） A. 若，则四边形是矩形 B. 若垂直平分，则四边形是矩形 C. 若，则四边形是菱形 D. 若平分，则四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【详解】解：若，则四边形是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误； 若垂直平分，则四边形是菱形，不一定是矩形；选项B错误； 若，则四边形是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误； 若平分，则四边形是菱形；选项D正确； 故选：D． 10. 如图，把一个含角的直角三角板和一个正方形摆放在一起，三角板的直角顶点和正方形的顶点重合，点，均在正方形的边上，连接，，点，分别为，的中点，连接，．下列结论错误的是（ ） A. B. 为等边三角形 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据直角三角形的性质得出，再根据是等腰直角三角形得出，由定理得出，可得 ，，再根据点，分别为，的中点，得出是的中位线，故，，可得，由，可得，根据三角形外角性质可得，由，可得，只能得到是等腰三角形，无法得出是等边三角形，据此即可得出结论． 【详解】四边形是正方形， ，， 点是的中点， ， 是等腰直角三角形， ， ，故A正确； ， ∴， 点，分别为，的中点， 是的中位线， ， ；故C正确 是的中位线， ， ， ， ， 是的外角， ． 又， ， ，故D正确 ， 是等腰三角形，无法得出是等边三角形，故B错误． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，只要求填出最后结果） 11. 小明和小强在同一时刻并排站立在阳光下，测得小明的身高为1.8米，其影长为2米，小强的身高为1.6米，则小强的影长为________米． 【答案】## 【解析】 【分析】同一时刻阳光下的平行投影中，物体高度与影长成比例，据此设未知数列方程求解即可． 【详解】解：设小强的影长为米，根据题意得 解得 经检验是原方程的解. ∴小强的影长为米． 12. 已知，化简的结果为______________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据绝对值的意义和二次根式的性质化简求解即可。 【详解】解∵， ∴． 13. 如图，，，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由得到，再由证明，得到，所以，即可求出的面积． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，且四边形的面积为， ∴， ∴． 14. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．方程有两个不相等的实数根，说明该方程为一元二次方程，因此二次项系数不为，且根的判别式大于，据此列出不等式求解即可． 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根 该方程为一元二次方程，且根的判别式 可得 解不等式， 移项得，， 系数化为得，， 综上可得：的取值范围是且． 15. 如图，在矩形中，，点为的中点，点为上的动点，点为的中点，连接．则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，，先证明四边形是正方形，由中位线定理可得即为点的运动轨迹，由垂线段最短可知，当时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接，，设交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵是的中点， ∴ ∵是的中点 ∴ ∴ 又∵，即 ∴四边形是平行四边形， 又∵ ∴四边形是矩形， ∵ ∴， ∴四边形是正方形， 同理可得是正方形， ∴ ∴，即 ∵四边形是正方形， 点是的中点， 又是的中点， 即为点的运动轨迹， 当时，有最小值，即点与点重合时，最小，最小值为的长，即 三、解答题（本大题共8小题，共75分，写出必要的运算、推理过程） 16. 解方程与计算： （1）用配方法解方程：； （2）计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：方程化为． ． 解得，． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 如图，从正方形中裁去面积为和的两个小正方形，，求阴影部分的面积和． 【答案】 【解析】 【详解】解：依题意：正方形，的边长分别为，． ∴正方形的边长为． ∴阴影部分的面积和为 ． 18. 园林部门准备在一块长米、宽米的矩形花园内修建一个底部为正方形的亭子如图所示，在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边均垂直的小路，亭子的边长是小路宽度的倍，花园内的空白地方铺设草坪．若草坪的面积为平方米，求小路的宽度． 【答案】小路的宽度为1米 【解析】 【分析】设小路的宽度为米，根据题意结合图形，列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设小路的宽度为米，由题意得 ． 解，得，舍． 答：小路的宽度为1米． 19. 如图，点在线段上，，．求的值． 【答案】 【解析】 【分析】证明．得出，根据设，，则，解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：， ． ． 即． ， ． 设，，则． ∴ 解得：（负值舍去） ∴． 20. 如图，在中，，点是中点，，．于点，．求证：． 【答案】证明：，点是中点， ． ， 是等边三角形． ， ． ， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是菱形． ． ， ． ． ． ． ． 【解析】 【分析】根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，结合，得出是等边三角形，进而证明平行四边形是菱形，则，再根据含度角的直角三角形的性质得出，即可得证． 【详解】略 21. 跨学科学习 问题情境 小帅同学要买一面矩形镜子，并将其悬挂在墙面上，要确保站在镜子前一定的距离能看到自己的全身．（说明：镜子为平面镜，镜面紧贴墙面，且镜子的下侧边缘与地面平行，点C记为小帅的眼睛，为小帅在镜子中的像） 图形展示 示意图 几何图形 测得小帅的身高为a，头顶A到眼睛C的距离为b，身体的最大水平宽度为c，小帅与镜面间的水平距离为l．（单位：） （1）求镜子竖直长度的最小值，以及悬挂后镜子上侧边缘与地面的距离； （2）镜子水平宽度的最小值为 ；（直接写结果） （3）当小帅从所站位置靠近镜子时，要仍能从镜子中看到自己的全身，则镜子的竖直长度 ，镜子的水平宽度 ，镜子上侧边缘与地面的距离 ．（在横线上填写字母代号） A．需增大 B．需变小 C．不需改变 【答案】（1）， （2） （3）C；C；C 【解析】 【分析】（1）当是的中位线时，最小；是的中位线，由即可求解． （2）由对称性质知镜子水平宽度的最小值为身体水平宽度的一半； （3）利用对称的性质即可完成． 【小问1详解】 解：由对称知，分别是的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， 由题意知，当是的中位线时，最小， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由对称性质知，镜子水平宽度的最小值为身体水平宽度的一半； 即镜子水平宽度的最小值为； 【小问3详解】 解：当小帅从所站位置靠近镜子时，要仍能从镜子中看到自己的全身，则镜子的竖直长度不变，镜子的水平宽度不变，镜子上侧边缘与地面的距离不变． 22. 如图，在四边形中，，对角线，交于点，是的中点，交于点，连接， ．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）∵ ， ∴． ， ． ． （2）点是的中点， ． ． ， ． ． ，， ． ， ． ． ， ． ． ∴． 【解析】 【分析】（1）由，则，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，则； （2）先证明，得，则，由，得，进而证明，则根据相似三角形的性质可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 【模型分析】 （1）如图，在正方形中，点，分别在边，上，若，可得结论：．请对该结论进行证明； 【模型拓广】 （2）一般化推广： 如图Ⅱ，在四边形中，，，点 ，分别在边，上，若结论仍然成立，则与间的数量关系是 ．（直接写答案，不用证明） （3）生活化应用： 如图Ⅲ，点在的边上，，，，延长到，使，与交于点，，求的值． 【答案】（1）证明：延长到点，使，连接． ∵在正方形中，，， ∴， ，． ， ． ， ， ． ， ． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）延长到G，使，连接，证明，，可得，进而可得结论； （2）延长至M，使，连接．证明．可得．然后根据，证明．可得．进而可以得到结论； （3）过点作，过点作，交于点，过点作，交于点，连接，证明四边形是正方形．得出．由（1）可得：．证明四边形是平行四边形．得出．设为，则，，．在中，根据勾股定理可得，解方程，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：如图2，延长至M，使，连接． ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 过点作，过点作，交于点，过点作，交于点，连接． ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴ ∴四边形是正方形． ， ． 由（1）可得：． ∵， ∴四边形是平行四边形． ． 设为，则，，． 在中，可得． 解得，． ∴． ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学 亲爱的同学： 你好！答题前，请仔细阅读以下说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，考试时间120分钟． 2．不允许使用计算器． 3．本次考试另设10分卷面分． 希望你能愉快地度过这120分钟，祝你成功！ 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程的两个实数根的和为的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，，则（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 4. 下列四组图形中，一定相似的图形是（　　） A. 两个直角三角形 B. 各有一个角是的两个等腰三角形 C. 各有一个角是的两个等腰三角形 D. 有两边之比都等于的两个三角形 5. 如图，菱形的对角线，的长分别是，，于点，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点在平行四边形的边上，，与的延长线交于点，若，则平行四边形的周长为（ ） A. 21 B. 34 C. 28 D. 42 7. 某市计划从今年第二季度开始到本年底对全市共285个社区全部实现垃圾分类．已知该市第二季度已有60个社区率先实现垃圾分类，预计第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率均为x，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，若以原点O为位似中心，画的位似图形，使与的相似比为，则点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 如图，点在的边上（不与点，重合），过点作，，分别交，于点，．下列说法正确的是（ ） A. 若，则四边形是矩形 B. 若垂直平分，则四边形是矩形 C. 若，则四边形是菱形 D. 若平分，则四边形是菱形 10. 如图，把一个含角的直角三角板和一个正方形摆放在一起，三角板的直角顶点和正方形的顶点重合，点，均在正方形的边上，连接，，点，分别为，的中点，连接，．下列结论错误的是（ ） A. B. 为等边三角形 C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，只要求填出最后结果） 11. 小明和小强在同一时刻并排站立在阳光下，测得小明的身高为1.8米，其影长为2米，小强的身高为1.6米，则小强的影长为________米． 12. 已知，化简的结果为______________ 13. 如图，，，，则_______． 14. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________． 15. 如图，在矩形中，，点为的中点，点为上的动点，点为的中点，连接．则的最小值为________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分，写出必要的运算、推理过程） 16. 解方程与计算： （1）用配方法解方程：； （2）计算：． 17. 如图，从正方形中裁去面积为和的两个小正方形，，求阴影部分的面积和． 18. 园林部门准备在一块长米、宽米的矩形花园内修建一个底部为正方形的亭子如图所示，在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边均垂直的小路，亭子的边长是小路宽度的倍，花园内的空白地方铺设草坪．若草坪的面积为平方米，求小路的宽度． 19. 如图，点在线段上，，．求的值． 20. 如图，在中，，点是中点，，．于点，．求证：． 21. 跨学科学习 问题情境 小帅同学要买一面矩形镜子，并将其悬挂在墙面上，要确保站在镜子前一定的距离能看到自己的全身．（说明：镜子为平面镜，镜面紧贴墙面，且镜子的下侧边缘与地面平行，点C记为小帅的眼睛，为小帅在镜子中的像） 图形展示 示意图 几何图形 测得小帅的身高为a，头顶A到眼睛C的距离为b，身体的最大水平宽度为c，小帅与镜面间的水平距离为l．（单位：） （1）求镜子竖直长度的最小值，以及悬挂后镜子上侧边缘与地面的距离； （2）镜子水平宽度的最小值为 ；（直接写结果） （3）当小帅从所站位置靠近镜子时，要仍能从镜子中看到自己的全身，则镜子的竖直长度 ，镜子的水平宽度 ，镜子上侧边缘与地面的距离 ．（在横线上填写字母代号） A．需增大 B．需变小 C．不需改变 22. 如图，在四边形中，，对角线，交于点，是的中点，交于点，连接， ．求证： （1）； （2）． 23. 【模型分析】 （1）如图，在正方形中，点，分别在边，上，若，可得结论：．请对该结论进行证明； 【模型拓广】 （2）一般化推广： 如图Ⅱ，在四边形中，，，点 ，分别在边，上，若结论仍然成立，则与间的数量关系是 ．（直接写答案，不用证明） （3）生活化应用： 如图Ⅲ，点在的边上，，，，延长到，使，与交于点，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $