湖北曾都一中2025至2026学年高一下数学期末测试8

**基本信息** 以立体几何、统计与三角函数为核心，整合跨章节知识，通过多样化题型考查空间观念、数据意识与运算推理能力，体现知识应用的综合性。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |立体几何|6题（如第1、8、15题）|直观图面积、体积计算、空间动点最值|斜二测画法→线面平行/垂直→空间几何体体积，体现空间转化思想| |统计|5题（如第3、10、18题）|分位数、方差、频率分布直方图|数据特征提取→图表分析→统计推断，培养数据处理能力| |三角函数与解三角形|5题（如第6、16、17题）|三角恒等变换、图像变换、面积最值|公式推导→图像性质→实际应用，强化运算与推理意识|

湖北曾都一中2025至2026学年高一下数学期末测试8 考试范围：人教A版必修1,2（5.4-9.2）考试时间：120分钟； 一、单选题（40分） 1．如图，四边形是利用斜二测画法画出的水平放置的四边形的直观图，其中，，，．则四边形的面积是（    ） A．3 B． C．6 D．4 2．已知，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．有一组样本数据21，24，26，31，35，36，42，44，49，52，则其分位数与分位数之和为（    ） A．66 B．67 C．68 D．69 4．若，则实数a等于（    ） A． B． C．2 D．3 5．已知样本数据，，，，的平均数为，方差为，则，，，，的平均数为（    ） A． B． C． D． 6．已知为锐角，，，则=（    ） A． B． C． D．或 7．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如将有三条棱互相平行且有一个面为平行四边形的五面体称为刍甍，今有一刍甍，底面ABCD为矩形，面ABCD，记该刍甍的体积为，三棱锥的体积为，，，若，则（   ） A．1 B． C． D． 8．已知正方体中，棱长为2，点为线段上的动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D．4 （第1题图） （第7题图） （第8题图） （第11图） 二、多选题（18分） 9．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，，，则三角形有一解 C．若，，，则是锐角三角形 D．若，且，则为等边三角形 10．2021至2025年我国快递业务量及其增长速度如图所示，则（     ） A．2021至2025年我国快递业务量逐年增长 B．2021至2025年我国快递业务量增长速度逐年增长 C．2021至2025年我国快递业务量每年增长量超过200亿件 D．估计我国2020年的快递业务量小于650亿件 11．已知正方体的棱长为1，，其中，，且，则下列选项正确的是（    ） A．平面 B．异面直线与所成的角为 C．的轨迹长度为 D．取最小值 三、填空题（15分） 12．某中学举行“讲好航天故事”演讲比赛．现从报名的40位学生中利用下面的随机数表抽取10位同学参加演讲比赛，将40位学生按01，02，…，40进行编号，假设从随机数表第1行第3个数字开始由左向右依次选取两个数字，重复的跳过，则选出来的第7个号码所对应的学生编号为________． 0627 4313 2636 1547 0941 2512 6317 6323 2616 8045 6011 1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179 3014 2310 2118 2191 3726 3890 0140 0523 2617 13．已知函数，则在上的值域为___________． 14．如图，石狮子是中国传统建筑中常用的装饰物，石狮子口含石球．将石球看作一个标准球体，石狮子张开的嘴内部形状看作下底边长为24，上底边长为14，高为12的正四棱台，若石球整体都在棱台的内部，且始终与棱台的上下底面相切．点为石球球面上一点，则石球在此棱台内部任意运动时，点所形成的轨迹图形的体积为_____． 四、解答题（77分） 15．（13分）如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，点P为BC的中点. (1)证明：A1B//平面APC1； (2)证明：平面APC1⊥平面BCC1B1. 16．（15分）已知的内角的对边分别为，且． (1)求． (2)若，且 边上的中线长为，求的面积． (3)若角的平分线长为，求的面积的最小值． 17．（15分）已知函数的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为． (1)求函数的对称轴方程 (2)将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域． 18．（17分）某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数，众数，中位数； (3)在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取28名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数. 19．（17分）南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”如图1，其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.祖暅原理可以求解球缺的体积问题.如图2，球体被平面截下的一部分叫作球缺，截面叫作球缺的底面，垂直于面的直径被截下的线段长叫作球缺的高h.如图3，各棱长均为4的正三棱锥中，点H是的中心，是正三棱锥的高（垂直于底面任意一条直线）. (1)求正三棱锥A-BCD的体积： (2)利用祖暅原理推导半径为R，高为的球缺的体积公式： (3)已知动点P在空间内运动，且，记点P围成的空间几何体为Ω.若平面BCD把空间几何体Ω分两个部分，求较小部分的体积. 湖北曾都一中2025至2026学年高一下数学期末测试8 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B D D B B C C ABD AD AC 12．25 13． 14． 8．C【详解】因为平面，平面，所以，， 在正方形中，对角线平分直角，得，将平面沿展开，与平面共面，此时，且，当三点共线时最小，此时，由余弦定理可得， 开方得：，即的最小值为. 11．AC【详解】因为，其中，，且， 所以在线段上， 在正方体中，，又因为平面,平面，所以平面，同理可得平面，又因为，平面,，所以平面平面，又因为平面，所以平面，故A正确；因为，所以异面直线与所成的角为，易知是边长为的等边三角形，所以， 即异面直线与所成的角为，故B错误； 由A可知的轨迹为线段，其长度为，故C正确； 将矩形与正三角形展开在同一平面内，如图所示： 当为与的交点时，取最小值，此时在中，，，,由余弦定理可得， 即取最小值为，故D错误. 14．【详解】由题知球的半径为6，如图所示正四棱台 当球与左边或右边侧面相切时，沿斜高作出如图截面. 下底边长为，上底边长，高，所以，.根据题意四边形为等腰梯形，，则，又球心在的角平分线上，， .解得，或（舍去），又 .所以，根据对称性，球心的轨迹是以为边长的正方形球的半径为6.故. 15．(1)连接，交于点，则是的中点。 又是的中点，可得， 因为平面，平面，根据线面平行的判定定理，可得平面. (2)正三棱柱的侧棱垂直于底面，因此底面， 因为底面，所以，又底面是正三角形，是中点，因此， 因为，且平面，根据线面垂直的判定定理，可得平面，又平面，根据面面垂直的判定定理，可得平面平面. 16．(1)(2)(3)【详解】（1）由余弦定理，又，代入可得： ， 又，故 （2）记边上的中线为，则，在中，由余弦定理得，化简可得：，解得或（舍），所以. （3）设角平分线交于，，由得： ， 化简得 ，由基本不等式得，解得： ，当且仅当 时等号成立，故面积最小值. 17．(1)若，函数的对称轴方程为．若，函数的对称轴方程为． (2).若，函数的值域为，若，函数的值域为. 【详解】（1）由已知 因为函数的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为， 所以若，则，令，解得 故函数的对称轴方程为．若，则， 令，解得，故函数的对称轴方程为． 综上，若，函数的对称轴方程为． 若，函数的对称轴方程为． （2）若，将函数的图象向右平移个单位后，可得的图象；再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象． 当时，，所以故函数的值域为. 若，将函数的图象向右平移个单位后， 可得的图象； 再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，，所以，故函数的值域为 综上，若，函数的值域为，若，函数的值域为. 18．(1)(2)平均数为，众数为，中位数为(3) 【详解】（1）由题可知，解得； （2）平均数，众数为， 根据题意，中位数在，设中位数为， 解得：，则中位数为； （3）竞赛成绩在，，内的比人数例为， 故内被抽取的人数为（人）． 19．(1)(2)球缺的体积为(3) 【详解】（1）已知正三棱锥各棱长均为，是正三角形.可得. 因为点H是的中心，在正三角形中，. 在中，根据勾股定理， 根据三棱锥体积公式，可得. （2）对于半球，构造一个底面半径，高为的圆柱，在圆柱里挖去一个同底等高的圆锥，如图所示： 则在距离半球底面处，由勾股定理可知截面半径，此截面面积， 对于上述圆柱挖圆锥的组合体，在距离底面处，圆柱截面面积是， 圆锥在该高度处截面半径为，其截面面积为， 所以组合体在该高度处截面面积 . 可见在任意相同高度处，半球和组合体的截面面积相等. 根据祖暅原理可知夹在半球底面和距离半球底面处的几何体体积相等， 所以当时，夹在半球底面和距离半球底面处的几何体体积为， 所以对于的球缺的体积为； （3）因为，所以点的轨迹是以为直径的球，球的半径.设球心为，为中点，为中心，，则到平面的距离.所以，代入（2）中的体积公式得. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $