湖北随州市曾都区第一高级中学2025-2026学年高一下学期数学期末复习卷4

**基本信息** 湖北曾都一中高一下数学期末复习卷，涵盖复数、立体几何、统计、向量等模块，解答题设计数学文化竞赛分析、三棱柱动态探究等情境，注重知识综合与核心素养培养，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|复数运算、空间垂直、统计图表等|第3题结合深圳车牌竞拍数据考查统计应用，体现数据意识| |多选题|3|复数性质、样本数据特征、解三角形|第10题通过样本数据添加考查众数、平均数变化，培养数据分析能力| |填空题|3|分层抽样、三角函数最值、球与三棱锥|第14题球体积与正三棱锥结合，考查空间观念| |解答题|5|频率分布直方图、线面平行探究、二面角等|第15题数学文化竞赛成绩分析，融合数据观念与数学文化；第16题三棱柱动态探究，培养逻辑推理与创新意识|

湖北曾都一中2025至2026学年高一下数学期末复习卷4 时间：2026-6-23 18:30-20:30 范围：人教A版必修1,2（5.4--9.2） 一、单选题 1．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 2．给出下列4个命题，其中正确的命题个数是（   ） ①垂直于同一直线的两条直线平行    ②垂直于同一平面的两条直线平行 ③垂直于同一直线的两个平面平行    ④垂直于同一平面的两个平面平行 A．1 B．2 C．3 D．4 报价区间 （单位：万元） 频数 10 36 40 3．2020年第1期深圳车牌摇号竞价指标共6668个，某机构从参加这期车牌竞拍且报价在1~8万元的人员中，随机抽取了若干人的报价，得到的部分数据整理结果如下： 则在这些竞拍人员中，报价不低于5万元的人数为（   ） A．30 B．42 C．54 D．80 4．已知平面向量，不共线，且，则（     ） A．， B．， C．， D．， 5．已知为第二象限角，且，则（     ） A． B． C． D． 6．已知向量，满足，，则的最大值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，那么是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 8．在棱长为1的正方体中，N为的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（     ） A．点P可以是棱的中点 B．线段的最大值为 C．点P的轨迹是正方形 D．点P轨迹的长度为 二、多选题 9．关于复数，下列说法正确的是（    ） A． B．z的共轭复数对应的点与z关于实轴对称 C．若复数满足，则 D．若，则 10．在一组样本数据3，5，5，6，7，7，9中增加一个数据后，下列说法正确的是（    ） A．若众数仅为5，则 B．若平均数不变，则 C．若中位数不变，则 D．若极差为9，则或 11．在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的外接圆的面积为 B．若，且有两解，则的取值范围为 C．若，且为锐角三角形，则的取值范围为 D．若，且，为的内心，则的面积为 三、填空题 12．某中学高三学生有1000人，按照男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取一个容量为50的样本，若抽到的女生有20人，则该校高三男生人数为______． 13．函数的最大值为________. 14．已知球的体积为，点A，B，C，D均在球表面上，若为正三角形，且，则__________． 四、解答题 15．为点燃同学们对数学的热爱，使其探寻数字背后的文化密码，某校高一年级举办“数学文化”知识竞赛．为了解参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取100人的成绩（百分制）作为样本，并按分组，作出频率分布直方图如图所示． (1)求的值，并估计样本中成绩不低于60分的人数； (2)估计样本中成绩的上四分位数； (3)若规定成绩不低于80分为“良好”等级，已知样本中成绩在内的平均数为88，方差为7，成绩在内的平均数为96，方差为7，求样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差． 16．如图，在三棱柱中，P是上一动点，（），是上一点，是的中点. (1)求证：直线平面； (2)若是的中点.试探究为何值时，直线平面？并给出你的证明. 17．如图，在矩形中，已知，，是线段上的一动点. (1)当是线段的中点时，若，求的值； (2)当时，. ①求； ②设，求当为何值时，取得最小值. 18．如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在的平面垂直，M是弧CD上异于C，D的点，，． (1)证明：平面BMC； (2)当三棱锥体积最大时，求二面角平面角的大小． 19．已知在中，，，． (1)求； (2)设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 湖北曾都一中2025至2026学年高一下数学期末复习卷4 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B C A C D C D BD AB BCD 8．D【详解】取的中点，的中点，连，根据正方体的性质可知四边形为矩形.因为为的中点，为的中点，四边形为正方形，所以直角与直角全等，所以,因为，所以.所以. 根据正方体的性质，平面，所以，因此平面，因为点在正方体的面上运动，且，所以的轨迹为矩形，故选项A，C错误； 当点与点重合时，线段最长，此时，故选项B错误； 因为的轨迹为矩形，，，所以点P轨迹的长度为，故选项D正确. 10．AB【详解】原始数据的平均数为，众数为5和7，中位数为6，极差为， 对于A，原数据众数为5和7，若新众数仅为5，则5的个数须超过7的个数，故增加的，故正确； 对于B，当增加数据后平均数不变，则增加的，故正确； 对于C，原中位数为6，增加后，新中位数为8个数据中第4、5位的平均数， 要使中位数仍为6，经检验只有满足条件，当增加数据后中位数不变，故，故错误； 对于D，当增加数据后极差为9，故当最小时，得； 当最大时，得，故或，故错误. 11．BCD【详解】由和余弦定理，可得， 化简得，解得；对A：因为，，所以，设的外接圆的半径为，由正弦定理，，所以，所以的外接圆的面积为，A不正确； 对B：由正弦定理可得， 有两解等价于有两个不同值，所以，解得，B正确； 对C：因为，所以， 整理得，因为为锐角三角形，所以， 解得，所以，所以c的取值范围为，C正确； 对D：因为，，所以， 则，解得， 由于为锐角，所以，即； 因为，则、，设内切圆的半径为，则， 即，解得，所以，D正确. 12．【详解】高三男生人数为：. 13．【详解】，其中，所以的最大值为. 14．【详解】由球的体积公式，，解得，设的外心为，连接， 由题意知为该三棱锥的高，所以该三棱锥的外接球的球心在上， 不妨设在线段上，连接，设的边长为，由正弦定理可得，，再设，由题知，，解得（负值表示球心在线段的延长线上，实际情况如右图），所以，由三角形面积公式，. 15．(1)，90 (2)86 (3)平均数为91，方差为22． 【详解】（1）在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和为1，则，解得，估计样本中成绩不低于60分的人数为． （2）前四个小矩形的面积之和为， 前五个小矩形的面积之和为，所以成绩的上四分位数落在内，设其为， 则，解得，即估计样本中成绩的上四分位数为86． （3）样本中成绩在内占成绩在内的比例为，样本中成绩在内占成绩在内的比例为．设样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差分别为， 由分层随机抽样的平均数公式可得，由分层随机抽样的方差公式可得，故样本中“良好”等级的成绩的平均数为91，方差为22． 16．(1)证明见解析 (2)当时，直线平面. 【详解】（1）由三棱柱的性质可得：， 平面，平面，所以平面. （2）当时，直线平面，证明如下： 过点作交于点，连接，所以，因为是的中点，所以为的中点，是的中点，所以在中，，平面，平面，所以平面，同理平面，， 平面，所以平面平面， 又平面，所以直线平面.即当时，直线平面. 17．(1)(2)①2   ;     ②【详解】（1）依题意，， 而，不共线，则，，所以. （2）以为原点建立坐标系，设，则， ①，，即. ②设，， 则， 所以当时，的最小值为. 18．(1)由题设知，平面平面ABCD，交线为CD，因为，平面ABCD，所以平面CMD，故，因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以， 又，所以，平面BMC．(2) 【详解】（1）略（2）由题意得：当三棱锥体积最大时，M在弧CD的中点， 取AB中点N，过M作，垂足为O，连接ON，MN，因为三角形为等腰三角形，， 所以，因为，，所以，所以即为所求． 在直角三角形MNO中，，所以． 19．(1)(2) 【分析】（1）由已知两边及夹角，先用余弦定理求第三边，再用余弦定理求； （2）建立坐标系，设出点坐标，由平行关系得点的坐标，利用垂直条件求参数，由长度解出，再计算. 【详解】（1）在中，，，. 由余弦定理可知， 故. 再由余弦定理得. （2）以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系如图： 则，，由，得.在延长线上，设，则，，，设，则. 由，得，故. 于是.已知，则，则. 代入得，而，故. 学科网（北京）股份有限公司 $