第03讲 绝对值、有理数的大小比较（暑假预习举一反三讲义）新七年级数学上册新教材人教版

第03讲 绝对值、有理数的大小比较（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+3个知识归纳+9个题型+课后作业】 模块二 绝对值 从一栋房子里，跑出两只狗(一灰一黄)，有人在房子的西边4 m处以及房子的东边4 m处各放了一根骨头，两狗发现后，灰狗跑向西边4 m处，黄狗跑向东边4 m处分别衔起了骨头． 问题： 1．在数轴上表示这一情景． 2．两只小狗所跑的路线相同吗？ 3．两只小狗所跑的路程一样吗？　　　　 【知识点1 绝对值】 1．定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作|a|，读作a的绝对值． 2．绝对值的判断：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． (1)如果a＞0，那么|a|＝a； (2)如果a＝0，那么|a|＝0； (3)如果a＜0，那么|a|＝－a. 2．绝对值的非负性：(1)一个数的绝对值是非负数； (2)绝对值等于它本身的数是非负数； (3)绝对值等于它的相反数的数是非正数． 【题型1 求一个数的绝对值】 【例1】写出下列各数的绝对值： ． 【变式1-1】下列各数：，0.5，，，0，．其中绝对值小于2的有________个． 【变式1-2】化简下列各数： ，，，，，． 【变式1-3】求下列各数的绝对值： (1)； (2)0.15； (3)； (4)； (5)； (6)． 【题型2 已知一个数的绝对值，求这个数】 【例2】已知，，则的值为______． 【变式2-1】如果，那么__________；如果是负数，且，那么__________． 【变式2-2】若，，且，则的值为______． 【变式2-3】、是有理数，且，，，用数轴上的点来表示、，正确的是（ ） A． B． C． D． 【题型3 去绝对值符号】 【例3】若，那么化简结果是______． 【变式3-1】如果，则______，如果，则______．化简：______． 【变式3-2】已知，化简所得的结果是________ 【变式3-3】根据绝对值的运算性质可知一个正数的绝对值是其本身，一个负数的绝对值是其相反数，0的绝时值是0，由此可知求一个算式整体的绝对值，可先判断数的正负性，再求它的绝对值，再化简． 例如：，． 【牛刀小试】 （1）根据上面的规律，把下列各式去掉绝对值符号，不要算出最后结果． ①_________； ②_________； ③_________； ④_________． 【拓展延伸】 （2）． 【题型4 绝对值的非负性】 【例4】已知满足，则的值为_______． 【变式4-1】已知，则__________． 【变式4-2】m为有理数，则的最小值：______． 【变式4-3】如果为有理数，式子存在最大值，这个最大值是_____． 【题型5 绝对值的几何意义】 【例5】知道式子的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数3的点之间的距离是3，则式子的最小值（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式5-1】同学们都知道，表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：当________时，． 【变式5-2】如果，当__________，最小值是_____． 【变式5-3】数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．若代数式的最小值是3，则 ______． 【题型6 绝对值的实际应用】 【例6】按规定，食品包装袋上都应标明袋内装有食品多少克，下表是几种饼干的检验结果，“＋”“－”分别表示比标准重量多和少，用绝对值判断最符合标准的一种食品是_____． 威化 咸味 甜味 酥脆 ＋10（g） －8.5（g） ＋5（g） －7.3（g） 【变式6-1】一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻? 【变式6-2】有5名学生参加技能大赛，他们在规定的时间内按要求加工同一种零件．零件质量要求是：零件直径比标准直径可以有的误差．其中超过标准长度的用正数表示，不足标准长度的用负数表示．现将5名学生的加工结果（单位：）记录如下： 张琪 赵阳 李嘉 孙磊 周正 (1)以上5名同学加工的零件中，谁的不符合标准？ (2)以上5名同学加工的零件中，谁的最好？为什么？ 【变式6-3】已知某零件的标准直径是，超过规定直径长度的数量记作正数，不足规定直径长度的数量记作负数，检验员某次抽查了五件样品，检查的结果如下： 序号 1 2 3 4 5 直径长度/mm (1)试指出哪件样品的大小最符合要求? (2)如果规定误差的绝对值在之内是正品，误差的绝对值在之间的是次品，误差的绝对值超过的是废品，那么上述五件样品分别属于哪类产品? 模块三 有理数的大小比较 图中给出了未来一星期中每天的最高气温和最低气温，其中最低气温是多少？最高气温呢？你能将这七天中每天的最低气温按从低到高的顺序排列吗？ 【知识点2 有理数的大小比较】 1. 利用数轴比较大小：在水平的数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数． 2. 利用有理数的分类比较大小：一般地，正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小． 3. 作差法:若两数分别为a，b，，则；若，则；若，则． 【题型7 利用有理数的分类比较大小】 【例7】请比较下列各组中两个数的大小： (1)和； (2)和； (3)和； (4)和； (5)和； (6)和． 【变式7-1】比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与； (3)与． 【变式7-2】比较大小． (1)和 (2)和 【变式7-3】请比较下列各组中两个数的大小： (1)和； (2)和． 【题型8 利用数轴比较大小】 【例8】把下列各数表示在数轴上，然后把这些数按从大到小的顺序用“”连接起来． 0，，，，，． 【变式8-1】把下列各数在数轴上表示出来，并且用“”把它们连接起来． ，，0，，． 【变式8-2】若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】若，，，，且a，b，c，d都不为0，并且，请将，，，按照从大到小的顺序排列． 【题型9 特殊值法比较大小】 【例9】已知，则，m，之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】若，则下列关于，，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】若时，则x，，，y这四个式子的值最大的是（   ） A．x B． C． D．y 【变式9-3】设a，b，c为非零有理数，a＞b＞c，则下列大小关系一定成立的是（　　） A．a﹣b＞b﹣c B． C．a2＞b2＞c2 D．a﹣c＞b﹣c 模块四 课后作业 1．若，则a是（    ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 2．若，，且a，b为正数，则等于（   ） A． B． C．1 D．5 3．若，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 4．化学老师在实验室中发现了四个因操作不规范沾染污垢或被腐蚀的砝码，经过测量，超出标准质量的部分记为正数、不足的部分记为负数，它们中质量最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 5．A，B是数轴上位于原点O异侧的两点（点A在点B的右侧），若点A，B分别对应的有理数为a，b．且，则a，b，，中最大的数是（    ） A．a B． C．b D． 6．比较下列各对数的大小： (1)________ (2)________ (3)________ (4)________ (5)________． 7．若，则______．若___________时，代数式有最大值． 8．如图，有理数a，b满足，且． (1)在数轴上标出表示数a，b，，对应的点的大致位置； (2)试将a，b，，，1，用“”将它们连接起来； (3)若，请直接写出不小于且小于b的整数． 9．已知a，b为有理数，请判断的大小关系，并说明理由． 10．阅读材料 点A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB．也就是说，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 比如可以写成，它的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离． 再举个例子：等式的几何意义可表示为：在数轴上表示数的点与表示数的点的距离等于，这样的数可以是或． 解决问题： (1) ． (2)若，则______；若，则______． (3)表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和．请你利用数轴，找出所有符合条件的整数，使得． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 绝对值、有理数的大小比较（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+3个知识归纳+9个题型+课后作业】 模块二 绝对值 从一栋房子里，跑出两只狗(一灰一黄)，有人在房子的西边4 m处以及房子的东边4 m处各放了一根骨头，两狗发现后，灰狗跑向西边4 m处，黄狗跑向东边4 m处分别衔起了骨头． 问题： 1．在数轴上表示这一情景． 2．两只小狗所跑的路线相同吗？ 3．两只小狗所跑的路程一样吗？　　　　 【知识点1 绝对值】 1．定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作|a|，读作a的绝对值． 2．绝对值的判断：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． (1)如果a＞0，那么|a|＝a； (2)如果a＝0，那么|a|＝0； (3)如果a＜0，那么|a|＝－a. 2．绝对值的非负性：(1)一个数的绝对值是非负数； (2)绝对值等于它本身的数是非负数； (3)绝对值等于它的相反数的数是非正数． 【题型1 求一个数的绝对值】 【例1】写出下列各数的绝对值： ． 【答案】；；，；；；； 【分析】本题考查绝对值，解题的关键是掌握绝对值的性质，属于中考基础题．根据绝对值的定义计算即可． 【详解】解：；；，；；；；． 【变式1-1】下列各数：，0.5，，，0，．其中绝对值小于2的有________个． 【答案】4 【分析】先根据绝对值的定义求出各数的绝对值，再找出其中绝对值小于2的数． 【详解】解：∵，，，，，， ∴绝对值小于2的有，0.5，，0共4个． 故答案为：4． 【变式1-2】化简下列各数： ，，，，，． 【答案】；；；15；7；9 【分析】本题主要考查了化简绝对值．解题的关键是熟练掌握绝对值的性质．正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 根据化简多重符号的方法和步骤，负数的绝对值是它的相反数逐个化简即可解答； 【详解】解： ． 【变式1-3】求下列各数的绝对值： (1)； (2)0.15； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)38； (2)0.15； (3)； (4)； (5)； (6)时，；时， ． 【分析】本题考查了绝对值的性质，准确把握“正数与0的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数”是解题的关键． （1）（2）（3）（4）（5）（6）根据正数与0的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：∵， ∴ （4）解：∵， ∴， ∴； （5）解：∵， ∴， ∴； （6）解：当时，；当时， 【题型2 已知一个数的绝对值，求这个数】 【例2】已知，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查绝对值运算及意义，先由，得到，结合绝对值意义即可得到答案，熟记绝对值运算及意义是解决问题的关键． 【详解】解： ，， ， ， 故答案为：． 【变式2-1】如果，那么__________；如果是负数，且，那么__________． 【答案】 【分析】本题考查绝对值运算，熟记绝对值定义是解决问题的关键．根据绝对值定义求解，即可解题． 【详解】解： ， ， 是负数，且， ． 故答案为：，． 【变式2-2】若，，且，则的值为______． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了绝对值的定义、求代数式的值，根据绝对值的定义，和各有两种可能值，结合的条件进行筛选，计算的差值． 【详解】解：，， 可得：，， ， ，或，， 当，时， 可得：； 当，时， 可得：． 故答案为：或． 【变式2-3】、是有理数，且，，，用数轴上的点来表示、，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值，以及数轴上点的位置，理解绝对值的性质是解题关键．由已知条件可知，，，a到原点的距离大于b到原点的距离，再利用数轴表示即可． 【详解】解：，，， ，，a到原点的距离大于b到原点的距离， 用数轴上的点来表示、为 故选：A． 【题型3 去绝对值符号】 【例3】若，那么化简结果是______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了化简绝对值，根据绝对值的意义进行化简即可． 【详解】解：∵ ∴，， ∴ 故答案为：1 【变式3-1】如果，则______，如果，则______．化简：______． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的定义与化简，根据绝对值的性质求解即可. 绝对值等于一个正数的数有两个，且互为相反数，化简绝对值需先判断绝对值内代数式的正负，再根据绝对值的性质去绝对值符号． 【详解】解：根据绝对值的定义，若，则. 当时， 解得． 当时， 由， 故， 因此． 因为，所以， 根据“负数的绝对值是它的相反数”，可得： ． 【变式3-2】已知，化简所得的结果是________ 【答案】-1 【分析】由，得到，判断出m-1与m-2的正负，利用绝对值的性质化简，去括号，合并，即可得到结果． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：-1． 【变式3-3】根据绝对值的运算性质可知一个正数的绝对值是其本身，一个负数的绝对值是其相反数，0的绝时值是0，由此可知求一个算式整体的绝对值，可先判断数的正负性，再求它的绝对值，再化简． 例如：，． 【牛刀小试】 （1）根据上面的规律，把下列各式去掉绝对值符号，不要算出最后结果． ①_________； ②_________； ③_________； ④_________． 【拓展延伸】 （2）． 【答案】（1）①；②；③；④,（2） 【分析】本题考查化简绝对值，有理数的运算，掌握绝对值的意义，是解题的关键． （1）根据绝对值的意义，化简各式即可； （2）先化简绝对值，再进行加法运算即可． 【详解】解：（1）①； ②； ③； ④； 故答案为：①；②；③；④ （2） ． 【题型4 绝对值的非负性】 【例4】已知满足，则的值为_______． 【答案】7 【分析】本题考查的是绝对值非负性的应用．由，可得，，再求解的值，再代入代数式求值即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：7． 【变式4-1】已知，则__________． 【答案】9 【分析】本题考查的是非负数的性质，根据绝对值的非负性，两个绝对值的和为零，则每个绝对值均为零，从而求出和的值，再计算的值． 【详解】解：∵， ∴ 且， 解得：，． 则． 故答案为：9 【变式4-2】m为有理数，则的最小值：______． 【答案】 【分析】这道题考查了绝对值的性质，解题关键是利用绝对值的非负性分析式子的取值范围． 利用绝对值的非负性，分析表达式的最小值． 【详解】因为对于任意有理数 ，有 ， 所以 ， 当 时，，此时 ． 故答案为． 【变式4-3】如果为有理数，式子存在最大值，这个最大值是_____． 【答案】2026 【分析】本题考查了绝对值的非负性． 根据绝对值的非负性，，即，因此当取最小值时，表达式取得最大值． 【详解】解：因为， 所以， 所以当，即时，存在最大值， 此时． 故答案为：2026． 【题型5 绝对值的几何意义】 【例5】知道式子的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数3的点之间的距离是3，则式子的最小值（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的意义，两点间的距离公式，根据绝对值的意义，得出的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离与数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离之和，说明当表示数x的点在表示数的点与表示数的点之间时，值最小，也即是表示数的点与表示数的点之间距离，求出结果即可． 【详解】解： 的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离与数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离之和， 当表示数x的点在表示数的点与表示数的点之间时，值最小，也即是表示数的点与表示数的点之间距离， 的最小值为， 故选：B． 【变式5-1】同学们都知道，表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：当________时，． 【答案】或1.5 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，表示x与1的距离，表示x与的距离，因此表示x到1和的距离之和，当x在和1之间时，距离之和为4；当或时，距离之和大于4，通过解方程求解x的值． 【详解】解：当时，， 令， 解得； 当时，， 令， 解得； 当时，，不等于5， 故答案为：或1.5． 【变式5-2】如果，当__________，最小值是_____． 【答案】 8 【分析】本题主要考查的是绝对值的几何意义，熟悉绝对值的几何意义是解题的关键． 由绝对值的几何意义知，当x在和3之间的时距离的和最小． 【详解】解：表示：数轴上一点到，3和距离的和， ∴当时，的值最小， 此时． 故答案为：，8． 【变式5-3】数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．若代数式的最小值是3，则 ______． 【答案】或1/1或 【分析】本题考查数轴、绝对值，理解绝对值的定义，掌握数轴上两点距离的计算方法是正确解答的关键；利用绝对值的几何意义，将代数式转化为数轴上两点之间的距离问题，通过距离最小值的条件建立方程求解． 【详解】解：代数式表示数轴上点x到点2和点的距离之和，其最小值等于点2与点之间的距离，即． 已知最小值为3，因此， 即或， 解得或． 故答案为或1． 【题型6 绝对值的实际应用】 【例6】按规定，食品包装袋上都应标明袋内装有食品多少克，下表是几种饼干的检验结果，“＋”“－”分别表示比标准重量多和少，用绝对值判断最符合标准的一种食品是_____． 威化 咸味 甜味 酥脆 ＋10（g） －8.5（g） ＋5（g） －7.3（g） 【答案】甜味 【分析】找出表格中四个数值的绝对值最小的即可得． 【详解】解：，，，， 因为， 所以最符合标准的一种食品是甜味， 故答案为：甜味． 【变式6-1】一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻? 【答案】小虫一共可以得到108粒芝麻． 【分析】小虫一共得到的芝麻数与爬行的方向无关，只与爬行的距离有关，因此只需要把每次爬行的距离的路程的绝对值相加得到爬行的总距离，最后求解芝麻数即可． 【详解】小虫爬行的总路程为： |+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm) 小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒) 答：小虫一共可以得到108粒芝麻． 【变式6-2】有5名学生参加技能大赛，他们在规定的时间内按要求加工同一种零件．零件质量要求是：零件直径比标准直径可以有的误差．其中超过标准长度的用正数表示，不足标准长度的用负数表示．现将5名学生的加工结果（单位：）记录如下： 张琪 赵阳 李嘉 孙磊 周正 (1)以上5名同学加工的零件中，谁的不符合标准？ (2)以上5名同学加工的零件中，谁的最好？为什么？ 【答案】(1)周正 (2)李嘉，见解析 【分析】本题考查有理数的大小比较，绝对值的性质： （1）找出直径超过的零件，即可得出答案； （2）通过比较绝对值，得出，可知张琪同学加工的零件直径比标准直径误差最小，得出答案． 【详解】（1）∵零件直径比标准直径可以有的误差， 而， ∴周正同学加工的零件不符合标准； （2）∵， ∴李嘉同学加工的零件直径比标准直径误差最小， ∴李嘉的最好． 【变式6-3】已知某零件的标准直径是，超过规定直径长度的数量记作正数，不足规定直径长度的数量记作负数，检验员某次抽查了五件样品，检查的结果如下： 序号 1 2 3 4 5 直径长度/mm (1)试指出哪件样品的大小最符合要求? (2)如果规定误差的绝对值在之内是正品，误差的绝对值在之间的是次品，误差的绝对值超过的是废品，那么上述五件样品分别属于哪类产品? 【答案】(1)第4件样品最符合标准 (2)第1件、第2件和第4件属于正品，第3件是次品，第5件是废品 【分析】（1）表中的数据是零件的误差数，所以这些数据中绝对值小的零件较好，因为绝对值越小，与规定直径的偏差越小．比较各个数据的绝对值即可得解； （2）每件样品所对应的结果的绝对值，即为该零件的误差的绝对值，看绝对值的结果在哪个范围内，即可确定该零件是正品、次品还是废品． 本题考查了有理数的实际应用，以及绝对值的意义．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：∵ ， ∴第4件样品的大小最符合要求； （2）解：∵，， ∴第1，2，4件样品是正品； ∵，， ∴第3件样品为次品； ∵， ∴第5件样品为废品． 模块三 有理数的大小比较 图中给出了未来一星期中每天的最高气温和最低气温，其中最低气温是多少？最高气温呢？你能将这七天中每天的最低气温按从低到高的顺序排列吗？ 【知识点2 有理数的大小比较】 1. 利用数轴比较大小：在水平的数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数． 2. 利用有理数的分类比较大小：一般地，正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小． 3. 作差法:若两数分别为a，b，，则；若，则；若，则． 【题型7 利用有理数的分类比较大小】 【例7】请比较下列各组中两个数的大小： (1)和； (2)和； (3)和； (4)和； (5)和； (6)和． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数大小比较的方法，熟练掌握有理数大小比较的方法：（1）在数轴上表示的两点，右边的点表示的数比左边的点表示的数大；（2）正数大于，负数小于，正数大于负数；（3）两个正数中绝对值大的数大；（4）两个负数中绝对值大的反而小，是解答本题的关键． （1）根据有理数大小比较的方法进行比较即可； （2）根据有理数大小比较的方法进行比较即可； （3）根据有理数大小比较的方法进行比较即可； （4）根据有理数大小比较的方法进行比较即可； （5）根据有理数大小比较的方法进行比较即可； （6）根据有理数大小比较的方法进行比较即可． 【详解】（1）解：， ； （2）， ； （3）∵正数大于一切负数， ∴； （4）， ； （5）， ； （6）， ． 【变式7-1】比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与； (3)与． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数大小的比较，熟知有理数大小比较规则是解答的关键． （1）先求绝对值，再根据正数大于负数求解即可； （2）根据负数比较大小，绝对值大的反而小求解即可； （3）先化简各数，再根据负数比较大小，绝对值大的反而小求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，，， ∴； （3）解：，， ∵，，， ∴． 【变式7-2】比较大小． (1)和 (2)和 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的大小比较、化简多重符号，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”即可求解； （2）分别化简两个有理数，再比较大小即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：，， ∴． 【变式7-3】请比较下列各组中两个数的大小： (1)和； (2)和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，求解绝对值； （1）先求解两数的绝对值，再根据两个负数绝对值大的反而小可得答案； （2）先化简各数，再根据两个负数绝对值大的反而小可得答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）， ∵，，， ∴． 【题型8 利用数轴比较大小】 【例8】把下列各数表示在数轴上，然后把这些数按从大到小的顺序用“”连接起来． 0，，，，，． 【答案】在数轴上表示见解析； 【分析】本题主要考查数轴与有理数的关系，掌握数轴的特点，绝对值的性质化简，多重符合的化简是解题的关键． 根据多重符号化简，绝对值的性质先化简，再把数表示在数轴上，根据数轴的特点比较有理数大小即可求解． 【详解】解：∵，，，， 在数轴上表示为： ∴． 【变式8-1】把下列各数在数轴上表示出来，并且用“”把它们连接起来． ，，0，，． 【答案】，图见解析 【分析】本题考查了数轴，绝对值，相反数和实数的大小比较等知识点，能正确在数轴上表示出各个数是解此题的关键． 在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．在数轴上准确找到各数对应的点，即可解答． 【详解】解：如图： 【变式8-2】若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的大小比较，方法一结合数轴进行求解，方法二结合已知条件用特殊值法即可快速得出结果． 【详解】方法一：如图所示， ∴ ． 方法二：∵ ，，，，为有理数 ∴ 取满足条件的特殊值 ， 计算得 ，， ∵ ∴ ． 【变式8-3】若，，，，且a，b，c，d都不为0，并且，请将，，，按照从大到小的顺序排列． 【答案】 【分析】本题考查有理数大小比较，根据绝对值的性质，可得、、、是正数还是负数，根据正数大于负数，两个负数比较大小绝对值大的反而小，可得答案．利用绝对值的性质得出正负数是解题关键，注意两个负数比较大小绝对值大的反而小． 【详解】解：∵，，，，且a，b，c，d都不为0， ∴，，，， ∵， ∴， ∴． 【题型9 特殊值法比较大小】 【例9】已知，则，m，之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的大小比较，熟练掌握负数正数是解题的关键．根据题意得到m，之间的大小关系． 【详解】解： ， ， ， ， 故选D． 【变式9-1】若，则下列关于，，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相反数和倒数的定义，求得，，，的范围，再根据有理数大小比较规则判断即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∴ 故选：B 【变式9-2】若时，则x，，，y这四个式子的值最大的是（   ） A．x B． C． D．y 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值的化简，掌握有理数的大小比较及分类讨论思想是解题的关键．根据x，y的正负性先判断与x，y的大小关系，分类讨论并化简，再与比较，即可得证． 【详解】解：， ， 当时，， 当时，， 综上所述，， 所以这四个式子的值最大的是， 故选：． 【变式9-3】设a，b，c为非零有理数，a＞b＞c，则下列大小关系一定成立的是（　　） A．a﹣b＞b﹣c B． C．a2＞b2＞c2 D．a﹣c＞b﹣c 【答案】D 【分析】根据等式的性质和反例，结合有理数大小比较的方法即可求解． 【详解】解：A、当a＝0，b＝﹣2，c＝﹣5时，a﹣b＜b﹣c，不符合题意； B、当a＝1，b＝﹣2，c＝﹣5时，，不符合题意； C、当a＝1，b＝﹣2，c＝﹣5时，a2＜b2＜c2，不符合题意； D、∵a＞b，∴a﹣c＞b﹣c，符合题意． 故选：D． 模块四 课后作业 1．若，则a是（    ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的代数意义，一个正数的绝对值是它本身；零的绝对值是零；一个负数的绝对值是它的相反数． 根据绝对值的代数意义判断即可． 【详解】∵ ∴，即a是非负数． 故选：C． 2．若，，且a，b为正数，则等于（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数加法运算．根据，，可得、的值，根据a，b为正数，从而可以求得． 【详解】解：，，且a，b为正数， ∴，， ∴． 故选：D． 3．若，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据非负数的绝对值等于本身，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即． 故选：C． 4．化学老师在实验室中发现了四个因操作不规范沾染污垢或被腐蚀的砝码，经过测量，超出标准质量的部分记为正数、不足的部分记为负数，它们中质量最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正数与负数，绝对值的计算；熟练掌握相关的知识点是解题的关键．求出超过标准的克数和低于标准的克数的绝对值，绝对值小的则是最接近标准的砝码． 【详解】解：通过求4个砝码的绝对值得： ； 的绝对值最小，所以这个砝码是最接近标准的砝码； 故选：B． 5．A，B是数轴上位于原点O异侧的两点（点A在点B的右侧），若点A，B分别对应的有理数为a，b．且，则a，b，，中最大的数是（    ） A．a B． C．b D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，利用数轴比较大小，熟练掌握数轴上的点的表示方法是解题的关键． 首先 确定点A在原点右侧，点B在原点左侧， 从而得到，又根据 ，得到， 即，即可得出最大的数． 【详解】A，B是数轴上位于原点O异侧的两点（点A在点B的右侧）， ∴点A在原点左侧，点B在原点右侧， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ∵，所以， ∴； 故选：B． 6．比较下列各对数的大小： (1)________ (2)________ (3)________ (4)________ (5)________． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了有理数的大小比较，化简多重符号，绝对值，熟练掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． （1）利用相反数和绝对值的定义化简，再比较大小即可； （2）利用相反数和绝对值的定义化简，再比较大小即可； （3）利用相反数和绝对值的定义化简，再比较大小即可； （4）两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此即可得出答案； （5）两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此即可得出答案； 【详解】（1）解：，， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：，， ∵， ∴； 故答案为：； （3）解：，， ∵， ∴； 故答案为：； （4）解：∵，，， ∴； 故答案为：； （5）解：∵，，， ∴； 故答案为：． 7．若，则______．若___________时，代数式有最大值． 【分析】本题考查绝对值的非负性，有理数的运算，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．两个非负数的和为零，则每个数都为零，从而求出 a 和 b 的值． 【详解】解：∵，且 ， ∴． 解得 ． ∴． 故答案为 1． 【详解】解：， ， ， 当，即时，有最大值． 故答案为：1． 8．如图，有理数a，b满足，且． (1)在数轴上标出表示数a，b，，对应的点的大致位置； (2)试将a，b，，，1，用“”将它们连接起来； (3)若，请直接写出不小于且小于b的整数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的相关知识，包含数轴的应用，绝对值的概念，有理数的大小比较，整数的确定，正确对这些数进行大小比较是解决本题的关键． （1）根据可得；由，且，可得，，据此在数轴上标注即可； （2）利用数轴比较大小即可； （3）由可得，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴，， ∴数a，b，，在数轴上的位置如图： （2）解：由（1）中的数轴可知，， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴不小于且小于b的整数有． 9．已知a，b为有理数，请判断的大小关系，并说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握利用数轴进行有理数的大小比较是解题关键．分、和三种情况，将在数轴上表示出来，根据数轴的性质即可得． 【详解】解：当时，将在数轴上表示出来如下： 则； 当时，； 当时，将在数轴上表示出来如下： 则． 10．阅读材料 点A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB．也就是说，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 比如可以写成，它的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离． 再举个例子：等式的几何意义可表示为：在数轴上表示数的点与表示数的点的距离等于，这样的数可以是或． 解决问题： (1) ． (2)若，则______；若，则______． (3)表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和．请你利用数轴，找出所有符合条件的整数，使得． 【答案】(1) (2)或；； (3)、、、、 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． （1）根据数轴上表示的点与表示的点之间的距离为，即可得到结论； （2）根据数轴上与表示的点相距个单位的点表示的数为或，数轴上与表示的点和表示的点距离相等的点所表示的数为，即可得到结论； （3）根据表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和，即可得到使得成立的所有符合条件的整数为，，，，； 【详解】（1）解：数轴上表示的点与表示的点之间的距离为， ． 故答案为：； （2）∵， ∴， 解得：或； ， ， 解得：； 故答案为：或；；． （3）∵表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，， 这样的整数有、、、、 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $