精品解析：河南省濮阳市2025-2026学年七年级下学期6月期末数学试题

2025-2026学年第二学期学业质量测评 七年级数学 注意事项： 1．本卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共三大题，满分120分，考试时间100分钟； 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效； 3．答题前，考生务必将本人所在学校、姓名、考场、座号、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各题的四个选项中．其中只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上） 1. 如图为《九章算术》中记载的勾股容圆，下列图形，可以由图平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平移的定义判断即可． 【详解】解：一般地，在平面内，将一个图形按某一方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作平移， 选项A的图形，可以由图平移得到，符合题意； 选项B、C、D的图形，都不可以由图平移得到，不符合题意． 2. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征，根据第二象限内的点横坐标是负数，纵坐标是正数即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点的横坐标是负数，纵坐标是正数， ∴点在第二象限， 故选：B． 3. 如图，直线，被两条直线，所截．下列说法正确的是（ ） A. 和互补 B. 和是对顶角 C. 和相等 D. 和是内错角 【答案】D 【解析】 【详解】解：和为同旁内角，和不一定互补，故A错误； 和是邻补角，故B错误； 和是内错角，和不一定相等，故C错误； 和是内错角，故D正确． 4. 对于，下列说法错误的是（ ） A. 是正数 B. 是2的算术平方根 C. 是面积为2的正方形的边长 D. 是有理数 【答案】D 【解析】 【分析】用算术平方根定义，正方形面积公式，有理数与无理数的定义等初中知识点． 【详解】解：A选项：， 是正数，A正确； B选项：根据算术平方根定义，平方为的正数是， 是的算术平方根，B正确； C选项：正方形面积等于边长的平方，若正方形面积为，则边长为，C正确； D选项：是无限不循环小数，属于无理数，不是有理数，D错误． 5. 下列各组数中，是二元一次方程的解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二元一次方程的解的定义，将各选项的值代入方程，验证左右两边是否相等即可得出结果． 【详解】解：A. 把代入方程，左边，右边，则左边右边，故此选项符合题意； B. 把代入方程，左边，右边，左边右边，故此选项不符合题意； C. 把代入方程，左边，右边，左边右边，故此选项不符合题意； D. 把代入方程，左边，右边，左边右边，故此选项不符合题意． 6. 2026年5月27日0时16分，长征七号A运载火箭在中国文昌航天发射场点火起飞，将通信技术试验卫星二十四号送入预定轨道．此次发射，再次激起学生了解航天的兴趣．为此，学校举办了航天知识竞赛活动，3000名学生全部参与．为了解学生竞赛成绩的整体分布情况，学校随机抽取了100名学生的竞赛成绩进行统计分析．下列说法错误的是（ ） A. 这种调查方式是抽样调查 B. 样本是100名学生的竞赛成绩 C. 样本容量是100名学生 D. 利用抽取的100名学生的竞赛成绩可以估计全校学生竞赛成绩的整体分布情况 【答案】C 【解析】 【分析】根据抽样调查、样本、样本容量的定义即可判断，找出错误说法． 【详解】解：∵学校从3000名学生中随机抽取100名学生的竞赛成绩进行统计，只调查了部分对象， ∴该调查是抽样调查，A说法正确； ∵样本是被抽取的研究对象的对应指标，本题中样本是100名学生的竞赛成绩， ∴B说法正确； ∵样本容量是样本中包含的个体数量，是一个纯数值，不是具体的研究对象， ∴样本容量是，不是“100名学生”，C说法错误； ∵抽样调查的核心是用样本估计总体， ∴可以用抽取的100名学生的成绩估计全校成绩的整体分布情况，D说法正确． 7. 已知我市新华书店在某学校北偏西方向处，新华书店可能是图中（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】根据方位角的定义求解即可． 【详解】解：由图可得，北偏西为，乙到中心距离为；丙到中心距离为， ∴位于学校北偏西方向处的是丙，即新华书店可能是图中丙． 8. 如图，数轴上的点A与点B所表示的数分别为a，b，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：由数轴得，， ∴，A项错误； ，B项错误； ，C项正确； ，D项错误． 故选C． 9. 《孙子算经》记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？译文：今有若干人乘车，若每3人共乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一辆车，最终剩余9人无车可乘．问共有多少人？多少辆车？若设有x人，y辆车，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据实际问题列二元一次方程组，根据数量关系列出方程组即可． 【详解】解：设有人，辆车， ∵“每人共乘一辆车，最终剩余辆车”， ∴实际使用车辆为：辆， ∴总人数等于每车人数乘使用车辆数， ∴第一个方程； ∵“每人共乘一辆车，最终剩余人无车可乘”， ∴车上有人，加上无车的人等于总人数， ∴第二个方程； ∴方程组为：． 10. 如图显示了10名学生平均每周用于体育锻炼的课余时间和用于读课外书的课余时间（单位：小时）．下列说法错误的是（ ） A. 10名学生中，平均每周用于读课外书的课余时间为2小时的学生有两名 B. 在图中方格纸对角线上的点，表示学生平均每周用于体育锻炼的课余时间和用于读课外书的课余时间相等 C. 10名学生平均每周用于体育锻炼的课余时间均不同 D. 10名学生中，平均每周用于体育锻炼的课余时间比用于读课外书的课余时间多的学生有4名 【答案】C 【解析】 【分析】根据横轴和纵轴表示的意义对每个点进行分析即可． 【详解】解：A、10名学生中，平均每周用于读课外书的课余时间为2小时的学生有两名，故选项A正确； B、在图中方格纸对角线上的点，表示学生平均每周用于体育锻炼的课余时间和用于读课外书的课余时间相等，故选项B正确， C、10名学生平均每周用于体育锻炼的课余时间有的相同，有的不同，故选项C说法错误； D、10名学生中，平均每周用于体育锻炼的课余时间比用于读课外书的课余时间多的学生有4名，故选项D说法正确． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若是有理数，则m的值可以是______（写出一个即可） 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，有理数与无理数的识别，由是有理数，可得能够在开方后为有理数，从而可得的值． 【详解】解：∵是有理数， ∴当时，， 故答案为：2 12. 如图，只添加一个条件_____________，就能得出． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：添加一个条件， （内错角相等，两直线平行）． 13. “x与5的差是非正数”，用不等式表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先表示出与的差，再根据非正数是小于等于的数，转化为不等式即可． 【详解】解：与的差表示为， ∵非正数为小于等于的数， ∴不等式为：． 14. 若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为_______． 【答案】0 【解析】 【分析】利用整体消元法，凑出的整体形式． 【详解】， 将得：， 解得：， ， ， ， 解得：． 15. 新定义：在平面直角坐标系中，若点，点，则称点Q是点的“级关联点”（其中为常数，且）．若点的“级关联点”在坐标轴上，则的值是________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据新定义求出点的级关联点的坐标，再利用坐标轴上点的坐标特征，分横坐标为和纵坐标为两种情况列方程求解即可． 【详解】解：由“级关联点”定义得， 点，即， 点的坐标为，整理得， 点在坐标轴上， 分两种情况讨论： 当点在轴上时，横坐标为，即，解得； 当点在轴上时，纵坐标为，即，解得． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 按要求解答下列问题： （1）解方程组：； （2）下面是乐乐同学解不等式组的过程，请你补充完整． 解：解不等式①，得__________． 解不等式②，得__________ 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来． 所以不等式组的解集为__________． 【答案】（1） （2）；；； 【解析】 【分析】（1）先对①变形，然后运用加减消元法求解即可； （2）先分别求出各不等式的解集，然后分别在数轴上表示出来，最后根据数轴确定不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解： ②，得③ ①③，得，解得：， 把代入②，得，解得：， 这个方程组的解是． 【小问2详解】 解：， 解不等式①，得． 解不等式②，得， 把不等式①和②的解集在数轴上表示如下： 所以不等式组的解集为． 18. 端午节吃粽子是我国的传统习俗．为了了解某小区居民对（蛋黄粽子），（肉粽子），（原味粽子），（豆沙粽子）四种粽子的喜爱情况，某超市随机抽取该小区的部分居民进行问卷调查（每人必选且只能选一种），并将调查结果绘制成如下两幅统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）参加此次问卷调查的居民共有__________人； （2）补全条形图； （3）若该小区共有居民人，请估计喜爱（蛋黄粽子）的居民有多少人； （4）根据上述数据，就粽子的进货问题，请你给该超市提供一条建议． 【答案】（1）100 （2） （3）喜爱A（蛋黄粽子）的居民有人 （4）超市多进原味粽子，少进一些豆沙粽子 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图信息关联、用样本估计总体等知识点，从图中获取需要信息是解题的关键． （1）用喜爱原味粽子的人数除以其所占百分比即可解答； （2）用总人数分别减去、、的人数，即可求出的人数，然后补全条形统计图即可； （3）先计算喜爱（蛋黄粽子）的人数所占百分比，再用小区总人数乘以喜爱（蛋黄粽子）的人数所占百分比即可解答； （4）根据调查结果解答即可． 【小问1详解】 解：（人）. 【小问2详解】 解：（肉粽子）的人数：．补全条形图略； 【小问3详解】 解：（人）， 答：喜爱（蛋黄粽子）的居民有人． 【小问4详解】 答：超市多进原味粽子，少进一些豆沙粽子． 19. 如图，四边形． （1）过点画出线段的垂线，垂足为点．请你补全图形，并填空：__________（填“”，“”或“”），理由是______________________________． （2）若平分，，． ①，的位置关系是__________，并写出证明过程； ②直接写出的度数． 【答案】（1）；；垂线段最短 （2） ， 证明：平分 又 （内错角相等，两直线平行） ② 【解析】 【分析】（1）按题意作图，根据垂线段最短，进行解答，即可； （2）①根据角平分线的定义，则，根据，等量代换，则 ，根据平行线的判定，即可；②根据平行线的性质，求出，根据，求出． 【小问1详解】 解：按题意作图， ∵， ∴（垂线段最短）． 【小问2详解】 解：①略； ②∵， ∴， ∵． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 将三角形放置在如图所示的正方形网格中，三角形的三个顶点都在格点上，已知小正方形的边长为1，点A的坐标为． （1）请在图中补全平面直角坐标系，点C的坐标是__________； （2）将三角形沿着水平方向平移，使得点A的对应点D落在坐标轴上，画出平移后的三角形（点B的对应点是点E），平移过程中线段扫过的面积为__________； （3）三角形内任意一点按照（2）中变换后得到，点的坐标是__________． 【答案】（1）补全平面直角坐标系如下图： ， （2）如图，三角形为所求： ；1 （3） 【解析】 【分析】（1）根据点A的坐标确定原点，建立坐标系，即可写出点C的坐标； （2）根据点D在坐标轴上，确定平移方式，进而确定三角形的位置，然后根据线段扫过的图形是平行四边形计算面积即可； （3）根据（2）确定的平移方式，可确定点的坐标． 【小问1详解】 ， 原点在向左一个单位，向下2个单位的格点处， 由图可知点C的坐标是； 【小问2详解】 根据题意可知，点向左平移1个单位，使得点A的对应点D落在轴上， 线段扫过的图形是平行四边形，底为1，高为1， 扫过的面积为：； 【小问3详解】 三角形内任意一点按照（2）中变换，即向左平移1个单位，后得到， ∴． 21. 小明每天上下学的往返路程共，上周他坐私家车和乘公交车两种方式上下学（每天只选择一种交通方式）．已知小明上周（5天）上下学搭乘的交通工具的碳排放量共，两种交通方式的碳排放数据如下： 交通工具 碳排放量/（） 私家车 0.27 公交车 0.20 （1）填空：小明每天坐私家车上下学的碳排放量是__________，每天乘公交车上下学的碳排放量是__________． （2）上周小明上下学坐私家车和乘公交车各多少天？ （3）本周起，小明决定践行绿色出行理念，不再坐私家车上下学，改为每天乘公交车或骑自行车（碳排放量为零）上下学．若小明本周上下学搭乘的交通工具的碳排放量不高于上周的，求他这周有哪几种出行方案？ 【答案】（1）2.7，2 （2）上周小明上下学坐私家车4天，乘公交车1天 （3）共有两种出行方案：①乘公交车0天，骑自行车5天；②乘公交车1天，骑自行车4天 【解析】 【分析】（1）根据“碳排放量×距离”可得每天的碳排放量； （2）设上周小明上下学坐私家车为x天，乘公交车为y天．根据题意列二元一次方程组求解即可； （3）设本周小明乘公交车的天数为m天，则骑自行车上下学的天数为天，根据“小明本周上下学搭乘的交通工具的碳排放量不高于上周的”列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：坐私家车碳排放量：； 坐公交车碳排放量：； 【小问2详解】 解：设上周小明上下学坐私家车为x天，乘公交车为y天．根据题意，得： ， 解得：， 答：上周小明上下学坐私家车4天，乘公交车1天； 【小问3详解】 解：设本周小明乘公交车的天数为m天，则骑自行车上下学的天数为天，根据题意，得： ， 解得， 为非负整数， 或1， 或4， 共有两种出行方案： ①乘公交车0天，骑自行车5天； ②乘公交车1天，骑自行车4天 22. 如图，正方形的四个顶点均在边长为的正方形网格的格点上，且点C在数轴上表示．以点为圆心，以的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点．小明利用割补法求出了正方形的面积是，请你解决下面问题． （1）正方形的边长是__________； （2）点表示的实数是__________； （3）能否将正方形纸片，沿着纸片边的方向裁出一块长方形纸片，使它的长与宽的比为，长比宽多2？若能，求出长方形纸片的面积；若不能，请通过计算说明理由； （4）将正方形纸片裁出一个圆形纸片，圆形纸片周长的最大值是__________（结果保留）． 【答案】（1） （2） （3）不能，理由如下： 设长方形纸片的长为，宽为， 根据题意，得， 解得：， ，， 正方形纸片的边长为，， 裁不出满足上述条件的纸片 （4） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的面积为，正方形的面积等于边长的平方即可得出正方形的边长； （2）由同圆半径相等得等于正方形边长，结合点在数轴上表示的数，向右平移对应长度，即可计算得出点表示的实数； （3）按长宽的比例设未知数，根据长比宽多列方程求出长与宽，再将宽与正方形边长比较，即可判断能否裁出符合条件的长方形； （4）明确正方形内最大圆为内切圆，其直径等于正方形边长，代入圆的周长公式计算即可得出圆形纸片的最大周长． 【小问1详解】 解：∵正方形的面积是， ∴正方形的边长是； 【小问2详解】 解：点表示， 且在正半轴， ∴表示的实数为； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：正方形内最大圆直径等于正方形边长， ∴圆形纸片周长的最大值是． 23. 【问题探究】 已知，点E，F分别为和上的点，点P是平面内一点．数学兴趣小组的同学们想探究与，的数量关系（，，均为大于且小于的角）． （1）当点P在直线和之间时． ①若点P在线段右侧，如图1，小明和小亮给出了不同的解决方法，请你将两位同学的过程补充完整． 小明：如图2，过点P作． ． （____________________） 小亮：如图3，过点F作交于点N．… ②若点P在线段左侧，如图4，请直接写出与，的数量关系． （2）若，，直接写出的度数． 【方法应用】 （3）上述两位同学都是过某个点作已知直线的平行线，利用平行线的性质来解决问题．请你利用上述方法解决下面的问题． 已知：如图5，三角形． 求证：． 【答案】（1）①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； 小亮：如图，过点F作交于点N． （两直线平行，同位角相等） （两直线平行，内错角相等） 又 ② （2）或 （3）证明：过点S作 ， 【解析】 【分析】（1）①两直线平行，内错角相等；②两直线平行，同旁内角互补； （2）根据，，分类讨论进行求解； （3）两直线平行，内错角相等；三角形内角和为． 【小问1详解】 ①略 ②过点P作． ， ． ， ； 【小问2详解】 解：，， 当到的右侧且在之间时， ； 当到的右侧且在上方时， ， ， ； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期学业质量测评 七年级数学 注意事项： 1．本卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共三大题，满分120分，考试时间100分钟； 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效； 3．答题前，考生务必将本人所在学校、姓名、考场、座号、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各题的四个选项中．其中只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上） 1. 如图为《九章算术》中记载的勾股容圆，下列图形，可以由图平移得到的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图，直线，被两条直线，所截．下列说法正确的是（ ） A. 和互补 B. 和是对顶角 C. 和相等 D. 和是内错角 4. 对于，下列说法错误的是（ ） A. 是正数 B. 是2的算术平方根 C. 是面积为2的正方形的边长 D. 是有理数 5. 下列各组数中，是二元一次方程的解的是（ ） A. B. C. D. 6. 2026年5月27日0时16分，长征七号A运载火箭在中国文昌航天发射场点火起飞，将通信技术试验卫星二十四号送入预定轨道．此次发射，再次激起学生了解航天的兴趣．为此，学校举办了航天知识竞赛活动，3000名学生全部参与．为了解学生竞赛成绩的整体分布情况，学校随机抽取了100名学生的竞赛成绩进行统计分析．下列说法错误的是（ ） A. 这种调查方式是抽样调查 B. 样本是100名学生的竞赛成绩 C. 样本容量是100名学生 D. 利用抽取的100名学生的竞赛成绩可以估计全校学生竞赛成绩的整体分布情况 7. 已知我市新华书店在某学校北偏西方向处，新华书店可能是图中（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 如图，数轴上的点A与点B所表示的数分别为a，b，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 《孙子算经》记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？译文：今有若干人乘车，若每3人共乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一辆车，最终剩余9人无车可乘．问共有多少人？多少辆车？若设有x人，y辆车，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图显示了10名学生平均每周用于体育锻炼的课余时间和用于读课外书的课余时间（单位：小时）．下列说法错误的是（ ） A. 10名学生中，平均每周用于读课外书的课余时间为2小时的学生有两名 B. 在图中方格纸对角线上的点，表示学生平均每周用于体育锻炼的课余时间和用于读课外书的课余时间相等 C. 10名学生平均每周用于体育锻炼的课余时间均不同 D. 10名学生中，平均每周用于体育锻炼的课余时间比用于读课外书的课余时间多的学生有4名 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若是有理数，则m的值可以是______（写出一个即可） 12. 如图，只添加一个条件_____________，就能得出． 13. “x与5的差是非正数”，用不等式表示为__________． 14. 若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为_______． 15. 新定义：在平面直角坐标系中，若点，点，则称点Q是点的“级关联点”（其中为常数，且）．若点的“级关联点”在坐标轴上，则的值是________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 按要求解答下列问题： （1）解方程组：； （2）下面是乐乐同学解不等式组的过程，请你补充完整． 解：解不等式①，得__________． 解不等式②，得__________ 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来． 所以不等式组的解集为__________． 18. 端午节吃粽子是我国的传统习俗．为了了解某小区居民对（蛋黄粽子），（肉粽子），（原味粽子），（豆沙粽子）四种粽子的喜爱情况，某超市随机抽取该小区的部分居民进行问卷调查（每人必选且只能选一种），并将调查结果绘制成如下两幅统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）参加此次问卷调查的居民共有__________人； （2）补全条形图； （3）若该小区共有居民人，请估计喜爱（蛋黄粽子）的居民有多少人； （4）根据上述数据，就粽子的进货问题，请你给该超市提供一条建议． 19. 如图，四边形． （1）过点画出线段的垂线，垂足为点．请你补全图形，并填空：__________（填“”，“”或“”），理由是______________________________． （2）若平分，，． ①，的位置关系是__________，并写出证明过程； ②直接写出的度数． 20. 将三角形放置在如图所示的正方形网格中，三角形的三个顶点都在格点上，已知小正方形的边长为1，点A的坐标为． （1）请在图中补全平面直角坐标系，点C的坐标是__________； （2）将三角形沿着水平方向平移，使得点A的对应点D落在坐标轴上，画出平移后的三角形（点B的对应点是点E），平移过程中线段扫过的面积为__________； （3）三角形内任意一点按照（2）中变换后得到，点的坐标是__________． 21. 小明每天上下学的往返路程共，上周他坐私家车和乘公交车两种方式上下学（每天只选择一种交通方式）．已知小明上周（5天）上下学搭乘的交通工具的碳排放量共，两种交通方式的碳排放数据如下： 交通工具 碳排放量/（） 私家车 0.27 公交车 0.20 （1）填空：小明每天坐私家车上下学的碳排放量是__________，每天乘公交车上下学的碳排放量是__________． （2）上周小明上下学坐私家车和乘公交车各多少天？ （3）本周起，小明决定践行绿色出行理念，不再坐私家车上下学，改为每天乘公交车或骑自行车（碳排放量为零）上下学．若小明本周上下学搭乘的交通工具的碳排放量不高于上周的，求他这周有哪几种出行方案？ 22. 如图，正方形的四个顶点均在边长为的正方形网格的格点上，且点C在数轴上表示．以点为圆心，以的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点．小明利用割补法求出了正方形的面积是，请你解决下面问题． （1）正方形的边长是__________； （2）点表示的实数是__________； （3）能否将正方形纸片，沿着纸片边的方向裁出一块长方形纸片，使它的长与宽的比为，长比宽多2？若能，求出长方形纸片的面积；若不能，请通过计算说明理由； （4）将正方形纸片裁出一个圆形纸片，圆形纸片周长的最大值是__________（结果保留）． 23. 【问题探究】 已知，点E，F分别为和上的点，点P是平面内一点．数学兴趣小组的同学们想探究与，的数量关系（，，均为大于且小于的角）． （1）当点P在直线和之间时． ①若点P在线段右侧，如图1，小明和小亮给出了不同的解决方法，请你将两位同学的过程补充完整． 小明：如图2，过点P作． ． （____________________） 小亮：如图3，过点F作交于点N．… ②若点P在线段左侧，如图4，请直接写出与，的数量关系． （2）若，，直接写出的度数． 【方法应用】 （3）上述两位同学都是过某个点作已知直线的平行线，利用平行线的性质来解决问题．请你利用上述方法解决下面的问题． 已知：如图5，三角形． 求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $