精品解析：重庆市开州区2025-2026学年度下学期八年级期末质量监测数学试卷

开州区2025～2026学年度（下）八年级期末质量监测 数 学 试 卷 （全卷共四个大题，满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色签字笔完成； 4．考试结束，由监考人员将答题卡收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下面式子中，不是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 某班在4月体育跳远测试中，第一组同学的得分分别为10、12、13、13、13、14、14、15、15、15，则这组数据的第一四分位数是（ ） A. 12 B. 12.5 C. 13 D. 13.5 3. 一个弹簧不挂物体时长，在弹簧的弹性限度内，每挂的物体，弹簧伸长，则弹簧的长度（单位：cm）关于所挂物体质量（单位：）的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在科技社团活动课上小聪制作了平行四边形相框，为了使相框更加美观，老师建议将其改装为菱形相框，则小聪还需满足的条件是（ ） A. B. 平分 C. D. 5. 估计的值在（ ） A. 3到4之间 B. 6到7之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 6. 我国新能源汽车产业高质量发展，充电技术不断提升．李老板购买了一辆新能源汽车，它的充电过程会经历两个不同阶段，电量与充电时间的函数关系如图所示，若李老板的新能源汽车电量从0充至，则整个充电过程需要的时间为（ ） A. B. C. D. 7. 三边分别为、、，在下列条件下，不是直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. ，， D. 8. 如图，一次函数与一次函数的图象相交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形的对角线，相交于点，，，且、分别是、的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 在除法运算中，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称这种形式的式子为根分式，例如、都是根分式． 已知两个根分式与，则下列说法： ①根分式中的取值范围为：； ②存在整数，使得； ③存在无数个无理数，使得是一个整数． 其中错误的个数是（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是__________． 12. 毕业季同学们互送贺卡如图所示，小颖制作了一张贺卡，做好后量得，，，小颖立刻判断这张贺卡形状是矩形，小颖的判断依据是_________． 13. 已知，且，则的值为_________． 14. 已知正方形在平面直角坐标系中位置如图所示，点的坐标是，则直线的函数解析式为_________． 15. 如图，在正方形中，点是上一点，连接，过点作的垂线交对角线于点，垂足为，若，则_______，_________． 16. 对于一个四位自然数，各个数位上的数字均不为0，若它的千位数字比个位数字多4，百位数字与十位数字之和是的整数倍，则称为“如意数”．如：四位数，，，，是“如意数”；则最大的“如意数”为_________；一个“如意数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，将的千位数字与百位数字交换位置，十位数字与个位数字交换位置，得到一个新的四位数，记，若除以5余数是4，则满足条件的的最小值与满足条件的的最小值之和为_________． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在平行四边形中，是对角线． （1）利用尺规作图作的垂直平分线分别交、、于点、、，连接，；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵四边形是平行四边形， ． ∴ ① ． 又∵直线为线段的垂直平分线， ∴ ② ，． 在和中， ． ∴ ④ ． ∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． 又， ∴四边形是菱形． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 音乐律制建立之后，人们发明了多种记录乐谱的方式，简谱是其中一种，简谱是通过记录乐音的音高和音值（时长）来对某个音记谱．如图1，以歌曲《两只老虎》的片段为例，乐曲为拍（以四分音符为一拍，每小节两拍）的旋律，乐曲开头“两只老虎”四个字对应4个四分音符，每个音符的时长为1拍，“两”字对应的音高是“1”（）． （1）我们已经为你建立如图2所示的平面直角坐标系：以横轴（x轴）表示时长（以拍为单位），以纵轴（y轴）表示音高．并在平面直角坐标系中描出了图1第1个“两”字对应的音符的图象．任务1：在图2平面直角坐标系中，描出图1中剩余每个音符的图象，用线段表示音符所对应的时长，相邻的不同音高的音符视为不连续点． （2）任务2：对于任务1中在平面直角坐标系中刻画的音乐旋律是否可以视为函数图象？为什么？ 20. 为迎接2026年第13届重庆市科普知识竞赛开州区选拔赛，某校举办了初赛．现从七、八年级参赛学生中各随机抽取20名学生的成绩进行收集、整理和分析（成绩得分用x表示，共分为四个等级，卓越为A：，优秀为B：，良好为C：，合格为D：），下面给出了部分信息，七年级20名学生的比赛成绩为：99，98，95，92，92，91，91，91，89，82，81，81，80，80，78，75，74，73，71，67． 八年级20名学生的比赛成绩在B组的数据为：81，82，80，86，84，86，88． 七、八年级选取的学生比赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 卓越率 七年级 84 a 八年级 84 b 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在比赛中，哪个年级学生的科普知识竞赛成绩更好？请说明理由； （3）该校七年级有700名学生，八年级900名学生参加了此次比赛，请估计该校七、八年级参与此次科普知识竞赛成绩为“优秀”等级的共有多少人？ 21. 如图，在中，，D、O分别为、的中点，过点A作交的延长线于点F，连接、． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的长． 22. 某公司有A和B两个理财经营团队，截至6月，这两个团队分别负责经营13项理财产品，现对A，B两团队的综合收益进行数据收集如下，如图将A，B两队各13项理财产品收益绘制成箱线图． A团队收益（单位：百万）7 9 11 12 13 14 16 16 18 21 21 24 26 B团队收益（单位：百万）11 12 13 14 15 15 16 17 17 18 19 20 21 收益（百万） 团队 最小值 最大值 A 7 16 ③ 26 B 11 ① ② 21 根据如图信息回答下列问题： （1）请补全上面的表格； ①处应填________，②处应填________，③处应填________；基于四分位数或箱线图，可以发现A团队的综合收益的中位数_______（填“”或“”或“”）B团队综合收益的中位数； （2）如果你是公司的财务总监，比较两个团队经营的13项理财产品，对于激进型投资者，选择________经营的理财产品更合适．（填“A团队”或“B团队”），理由是________________； （3）B团队13个数据关于平均数的离差平方和________． 23. 某文具店购进了A，B两种型号的考试文具套装进行销售，每个A型套装进价比每个B型套装进价多3元，每个A型套装售价为32元，每个B型套装售价为25元，该文具店用220元购进A型套装和用190元购进B型套装的数量相同． （1）求A型，B型套装进价分别是多少元？ （2）为了满足市场需求，6月份该文具店准备用不超过2100元的资金采购这两种套装共100套．若所采购的套装能全部卖出，给出利润最大时的进货方案，并求出最大利润是多少元？ 24. 如图，矩形中，对角线，相交于点，，，线段以每秒个单位的速度沿射线方向平移，平移后的线段记为，设线段的运动时间为秒（），的面积为，的面积为． （1）直接写出，分别关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的直角坐标系中画出函数，图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）写出当的面积不小于的面积时，线段的运动时间在哪个范围． 25. 如图1，正方形边上有一点满足，连接，． （1）求点的坐标； （2）为边上一点，连接满足，求直线的解析式； （3）如图2，线段绕着点旋转得到线段，直线与直线交于点，连接，直线与直线交于点，当线段取得最大值时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 开州区2025～2026学年度（下）八年级期末质量监测 数 学 试 卷 （全卷共四个大题，满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色签字笔完成； 4．考试结束，由监考人员将答题卡收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下面式子中，不是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】二次根式的被开方数必须为非负数，据此判断选项即可得到答案． 【详解】解：选项A中，满足被开方数非负，是二次根式，该选项不符合题意； 选项B中被开方数，不满足二次根式的要求，不是二次根式，该选项符合题意； 选项C中，满足被开方数非负，是二次根式，该选项不符合题意； 选项D中对任意实数都有，满足被开方数非负，是二次根式，该选项不符合题意． 2. 某班在4月体育跳远测试中，第一组同学的得分分别为10、12、13、13、13、14、14、15、15、15，则这组数据的第一四分位数是（ ） A. 12 B. 12.5 C. 13 D. 13.5 【答案】C 【解析】 【分析】根据四分位数的不同定义求解即可． 【详解】解：方法一：∵该组数据共个，已经按从小到大排列，计算第一四分位数的位置得， ∵ 不是整数， ∴取大于的最小整数， ∴该组数据的第一四分位数是第个数据，即 方法二：该组数据的中位数是第5、6个数据的平均数，为，前半组数据为10、12、13、13、13，则中位数为第一四分位数． 3. 一个弹簧不挂物体时长，在弹簧的弹性限度内，每挂的物体，弹簧伸长，则弹簧的长度（单位：cm）关于所挂物体质量（单位：）的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】弹簧总长度等于原长加上挂物体后伸长的长度，根据题干给出的数量关系推导即可． 【详解】解：弹簧不挂物体时原长为，每挂的物体弹簧伸长， 当所挂物体质量为时，弹簧伸长的长度为， 又弹簧总长度 原长伸长长度． ． 4. 如图，在科技社团活动课上小聪制作了平行四边形相框，为了使相框更加美观，老师建议将其改装为菱形相框，则小聪还需满足的条件是（ ） A. B. 平分 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形和矩形的判定定理逐项判断即可求解． 【详解】解：、是平行四边形的性质，不能判定平行四边形是菱形，该选项不符合题意； 、平分是平行四边形的性质，不能判定平行四边形是菱形，该选项不符合题意； 、时，平行四边形是矩形，不能判定平行四边形是菱形，该选项不符合题意； 、时，平行四边形是菱形，该选项符合题意． 5. 估计的值在（ ） A. 3到4之间 B. 6到7之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 【答案】B 【解析】 【分析】先根据二次根式的除法运算法则化简原式，再估算化简后无理数的取值范围，即可得到结果． 【详解】解： ， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴的值在6到7之间． 6. 我国新能源汽车产业高质量发展，充电技术不断提升．李老板购买了一辆新能源汽车，它的充电过程会经历两个不同阶段，电量与充电时间的函数关系如图所示，若李老板的新能源汽车电量从0充至，则整个充电过程需要的时间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察函数图象，确定电量所在的充电阶段，利用待定系数法求出该阶段与的函数解析式，最后将代入计算即可 【详解】解：由图象可知，点的坐标为，点的坐标为 当电量充至时，处于第二阶段充电过程，即 设当时，与的函数关系式为  将，代入得：  解得   当时，  解得 ∴整个充电过程需要的时间为． 7. 三边分别为、、，在下列条件下，不是直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. ，， D. 【答案】A 【解析】 【分析】若三角形三边长满足两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形是直角三角形，根据该定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A：，，， ，， ，即， 不是直角三角形，符合题意； 选项B：，由勾股定理逆定理可知是直角三角形，不符合题意； 选项C：，，， ， 是直角三角形，不符合题意； 选项D：设，，（）， ， 是直角三角形，不符合题意． 8. 如图，一次函数与一次函数的图象相交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图象得，当时，一次函数的图象在一次函数的图象的上方，由此即可得出结果． 【详解】解：∵一次函数与一次函数的图象相交于点， ∴由图象得，当时，一次函数的图象在一次函数的图象的上方，故关于的不等式的解集为． 9. 如图，矩形的对角线，相交于点，，，且、分别是、的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得为的中位线，则，证明四边形为平行四边形，由矩形的性质得，则平行四边形为菱形，连接交于，则，，，求出，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵、分别是、的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴平行四边形为菱形， 如图，连接交于， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 在除法运算中，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称这种形式的式子为根分式，例如、都是根分式． 已知两个根分式与，则下列说法： ①根分式中的取值范围为：； ②存在整数，使得； ③存在无数个无理数，使得是一个整数． 其中错误的个数是（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式、分式有意义的条件判断①，再通过分式化简、因式分解判断②和③，用到初中二次根式性质，完全平方公式，分式化简等知识点． 【详解】解：逐个判断三个说法： 判断① 要使根分式有意义，需满足被开方数非负，分母不为零， ∵ 对任意实数恒成立，只需满足分母，即， ∴ 的取值范围是，故①说法错误； 判断② 计算得， ∴ ， 令，得，且， 对分子因式分解得，代入得 ， 整理得，即，矛盾，方程无解， ∴ 不存在整数满足条件，故②说法错误； 判断③ ， ∵ ， ∴ ， 若是整数，则，为正整数， 整理得， 当为非完全平方正整数时，是无理数，为无理数，这样的有无数个，对应无数个无理数满足条件， ∴ ③说法正确， 综上，错误的说法共2个． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是__________． 【答案】9 【解析】 【分析】任意多边形的外角和恒为，正多边形的每个外角相等，通过外角和除以单个外角度数即可求得边数。 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，该正多边形的一个外角为，且正多边形的每个外角相等， ∴这个正多边形的边数为， 12. 毕业季同学们互送贺卡如图所示，小颖制作了一张贺卡，做好后量得，，，小颖立刻判断这张贺卡形状是矩形，小颖的判断依据是_________． 【答案】有一个角是直角的平行四边形是矩形 【解析】 【分析】先证明出四边形为平行四边形，再结合勾股定理逆定理得出，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形， ∴小颖的判断依据是有一个角是直角的平行四边形是矩形． 13. 已知，且，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式的性质得到的所有可能值，再根据二次根式有意义的条件确定的取值，最后代入计算即可． 【详解】解：， ，即， ，二次根式有意义的条件为被开方数是非负数， ， 解得， 不符合题意，舍去， ∴， 将代入得， ． 14. 已知正方形在平面直角坐标系中位置如图所示，点的坐标是，则直线的函数解析式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用正方形邻边垂直且相等、坐标旋转构造全等三角形，求出点坐标，再设一次函数解析式,将、两点坐标代入，解方程组求出、，得到直线解析式． 【详解】解：过点作轴于，过点作轴于， ，，， 四边形是正方形， ，， ， 又， ， 在和中： ， ， ，， 在轴左侧、轴上方， ， 设直线的解析式为， 把、代入得：， 两式相减：，得， 把代入： ， ， ， 直线的函数解析式为． 15. 如图，在正方形中，点是上一点，连接，过点作的垂线交对角线于点，垂足为，若，则_______，_________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】由正方形的性质可得，，，结合等腰三角形的性质与角的和差可得，由勾股定理可得，从而得出，证明，得出，进一步结合角平分线的性质即可得解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，过作于， ∵，， ∴， ∴. 16. 对于一个四位自然数，各个数位上的数字均不为0，若它的千位数字比个位数字多4，百位数字与十位数字之和是的整数倍，则称为“如意数”．如：四位数，，，，是“如意数”；则最大的“如意数”为_________；一个“如意数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，将的千位数字与百位数字交换位置，十位数字与个位数字交换位置，得到一个新的四位数，记，若除以5余数是4，则满足条件的的最小值与满足条件的的最小值之和为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据“如意数”的定义，设四位“如意数”，可得，是的倍数，且为整数．求最大“如意数”时，让高位数字尽可能大即可得到结果；第二问根据交换规则写出，化简，结合余数条件推导得，且除以余，再分别求出满足条件的的最小值和的最小值，计算和即可． 【详解】解：①设四位“如意数”，其中均为大于等于1且小于等于9的整数，根据定义得： ，即，(为正整数)，由，得的值可以为． 求最大的“如意数”，需高位数字尽可能大： 千位最大取，此时，符合要求；百位最大取，要使为的倍数，取最大的，得，，符合要求．因此最大的“如意数”为； ② 交换千位与百位，十位与个位得到新数， ∴， ∴，代入，得 ， ∴， ∵是整数(能除以余)，且， ∴，得， 此时， 根据题意得除以余数为， ∵且， ∴所有可能的的值分别为， 由得，且，即的取值可以为． 求满足条件的的最小值：要使最小，需尽可能小： 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意；此时，，得的最小值为． 求满足条件的的最小值：要使最小，需尽可能小： 同上类推可知， 当时，在可以取得的值：中，最小符合条件的，此时，，得的最小值为． 因此两者之和为． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式和完全平方公式计算即可得出结果； （2）根据二次根式的乘除运算法则计算即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在平行四边形中，是对角线． （1）利用尺规作图作的垂直平分线分别交、、于点、、，连接，；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵四边形是平行四边形， ． ∴ ① ． 又∵直线为线段的垂直平分线， ∴ ② ，． 在和中， ． ∴ ④ ． ∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． 又， ∴四边形是菱形． 【答案】（1）解：如图： （2）；；；； 【解析】 【分析】（1）根据要求作出图形； （2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 音乐律制建立之后，人们发明了多种记录乐谱的方式，简谱是其中一种，简谱是通过记录乐音的音高和音值（时长）来对某个音记谱．如图1，以歌曲《两只老虎》的片段为例，乐曲为拍（以四分音符为一拍，每小节两拍）的旋律，乐曲开头“两只老虎”四个字对应4个四分音符，每个音符的时长为1拍，“两”字对应的音高是“1”（）． （1）我们已经为你建立如图2所示的平面直角坐标系：以横轴（x轴）表示时长（以拍为单位），以纵轴（y轴）表示音高．并在平面直角坐标系中描出了图1第1个“两”字对应的音符的图象．任务1：在图2平面直角坐标系中，描出图1中剩余每个音符的图象，用线段表示音符所对应的时长，相邻的不同音高的音符视为不连续点． （2）任务2：对于任务1中在平面直角坐标系中刻画的音乐旋律是否可以视为函数图象？为什么？ 【答案】（1）图1中每个音符的图象，如图所示： （2）可以视为函数图象，理由如下： ∵函数定义为在一个变化过程中，对于在范围内的每一个自变量有且仅有一个函数值与之对应， 又∵在图1的图象中，当时，每一个时刻均落在某一段水平线段上，对应唯一音高，在整数点处，虽同时存在空心点与实心点，但空心点表示前一音符的结束，不属于当前的取值，实心点表示当前音符的起始，是该对应的音高， ∴每个值仅对应一个值，符合函数定义， ∴该音乐旋律图象符合函数图象的要求． 【解析】 【分析】（1）由图1可得出每个音符所对应的时长和音高，在图2中刻画出对应的线段即可； （2）根据函数的定义即可判断． 【小问1详解】 解：由图1可得，这个片段的总长度为16拍，四分音符占一拍，二分音符占两拍， 其中两个“快”对应的“”为二分音符，其余都为四分音符， 由图2可得：一拍的长度为1个单位长度， 相邻不同音高的音符视为不连续点，即当前音符起始处画实心点，结束处（若下一音符音高不同）画空心点， ∴图1中每个音符的图象，如答图所示； 【小问2详解】 略 20. 为迎接2026年第13届重庆市科普知识竞赛开州区选拔赛，某校举办了初赛．现从七、八年级参赛学生中各随机抽取20名学生的成绩进行收集、整理和分析（成绩得分用x表示，共分为四个等级，卓越为A：，优秀为B：，良好为C：，合格为D：），下面给出了部分信息，七年级20名学生的比赛成绩为：99，98，95，92，92，91，91，91，89，82，81，81，80，80，78，75，74，73，71，67． 八年级20名学生的比赛成绩在B组的数据为：81，82，80，86，84，86，88． 七、八年级选取的学生比赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 卓越率 七年级 84 a 八年级 84 b 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在比赛中，哪个年级学生的科普知识竞赛成绩更好？请说明理由； （3）该校七年级有700名学生，八年级900名学生参加了此次比赛，请估计该校七、八年级参与此次科普知识竞赛成绩为“优秀”等级的共有多少人？ 【答案】（1）；； （2）解：八年级学生的科普知识竞赛成绩更好， 因为两个年级的平均数相同，但八年级学生的中位数比七年级高，所以八年级学生的科普知识竞赛成绩更好． （3）人 【解析】 【分析】（1）根据众数、中位数的定义即可求出和的值，用“”分别减去其它三组所占百分比可得的值； （2）从平均数、中位数比较可得答案； （3）利用样本估计总体解答即可． 【小问1详解】 解：∵七年级20名学生的科普知识竞赛成绩为：99，98，95，92，92，91，91，91，89，82，81，81，80，80，78，75，74，73，71，67． ∴七年级名学生的科普知识竞赛成绩中，分出现的次数最多， 故众数； ∵八年级20名学生的比赛成绩在B组的数据为：81，82，80，86，84，86，88． 而， 即； ∴A组人数为：（人）， 将八年级20名学生的成绩从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为， 即中位数； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校七、八年级学生在此次比赛中，科普知识竞赛为优秀的学生总人数大约为人． 21. 如图，在中，，D、O分别为、的中点，过点A作交的延长线于点F，连接、． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明： D、O分别为、的中点， ∴， 又∵， 四边形是平行四边形， ， 是的中点， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，即， 平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，再证明，即，即可证明结论成立； （2）求解，，结合，进一步可得，证明，再结合勾股定理与矩形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形； ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 某公司有A和B两个理财经营团队，截至6月，这两个团队分别负责经营13项理财产品，现对A，B两团队的综合收益进行数据收集如下，如图将A，B两队各13项理财产品收益绘制成箱线图． A团队收益（单位：百万）7 9 11 12 13 14 16 16 18 21 21 24 26 B团队收益（单位：百万）11 12 13 14 15 15 16 17 17 18 19 20 21 收益（百万） 团队 最小值 最大值 A 7 16 ③ 26 B 11 ① ② 21 根据如图信息回答下列问题： （1）请补全上面的表格； ①处应填________，②处应填________，③处应填________；基于四分位数或箱线图，可以发现A团队的综合收益的中位数_______（填“”或“”或“”）B团队综合收益的中位数； （2）如果你是公司的财务总监，比较两个团队经营的13项理财产品，对于激进型投资者，选择________经营的理财产品更合适．（填“A团队”或“B团队”），理由是________________； （3）B团队13个数据关于平均数的离差平方和________． 【答案】（1）或；；； （2）A团队；A团队的潜在收益较大． （3） 【解析】 【分析】（1）根据四分位数和中位数的概念求解即可． （2）根据四分位数与箱线图的含义分析即可． （3）先求平均数，再求解B团队13个数据关于平均数的离差平方和． 【小问1详解】 解：方法一：∵B团队收益（单位：百万）11 12 13 14 15 15 16 17 17 18 19 20 21， ∴，， 方法二：∵B团队收益（单位：百万）11 12 13 14 15 15 16 17 17 18 19 20 21， 而，， ∴．， 方法一：∵A团队收益（单位：百万）7 9 11 12 13 14 16 16 18 21 21 24 26， ∴， 方法二：∵A团队收益（单位：百万）7 9 11 12 13 14 16 16 18 21 21 24 26， 而， ∴． ∴可以发现A团队的综合收益的中位数B团队综合收益的中位数； 【小问2详解】 解：∵两个团队的第三四分位数与第一四分位数的差值为： A团队：， B团队：或； ∴A团队的第三四分位数与第一四分位数的差值大，结合箱线图可得A团队的潜在的收益大， ∴对于激进型投资者，选择A团队更合适． 【小问3详解】 解：B团队收益（单位：百万）11 12 13 14 15 15 16 17 17 18 19 20 21 ∴ ， B团队13个数据关于平均数的离差平方和： ． 23. 某文具店购进了A，B两种型号的考试文具套装进行销售，每个A型套装进价比每个B型套装进价多3元，每个A型套装售价为32元，每个B型套装售价为25元，该文具店用220元购进A型套装和用190元购进B型套装的数量相同． （1）求A型，B型套装进价分别是多少元？ （2）为了满足市场需求，6月份该文具店准备用不超过2100元的资金采购这两种套装共100套．若所采购的套装能全部卖出，给出利润最大时的进货方案，并求出最大利润是多少元？ 【答案】（1）A型套装进价为22元，B型套装进价为19元 （2）利润最大的进货方案为购进A型套装66套，B型套装34套，最大利润为864元 【解析】 【分析】（1）设B型套装进价为元，则A型套装进价为元，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果； （2）设购进A型套装套，则购进B型套装套，列出关于的一元一次不等式，求出，结合为正整数，得的最大值为，设总利润为，则，再由一次函数的性质即可得出结果． 【小问1详解】 解：设B型套装进价为元，则A型套装进价为元， 由题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴， ∴A型套装进价为22元，B型套装进价为19元； 【小问2详解】 解：设购进A型套装套，则购进B型套装套， 由题意得， 解得， ∵为正整数， ∴的最大值为， 设总利润为，则， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，有最大值，为（元），此时， ∴利润最大的进货方案为购进A型套装66套，B型套装34套，最大利润为864元． 24. 如图，矩形中，对角线，相交于点，，，线段以每秒个单位的速度沿射线方向平移，平移后的线段记为，设线段的运动时间为秒（），的面积为，的面积为． （1）直接写出，分别关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的直角坐标系中画出函数，图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）写出当的面积不小于的面积时，线段的运动时间在哪个范围． 【答案】（1）， （2）如图： 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减少；当时，随的增大而增大． （3） 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性质求解，结合，，，再利用面积关系可得，； （2）利用两点画函数图象即可； （3）先求解函数的交点坐标，再结合图象解题即可． 【小问1详解】 解：∵矩形中，对角线，相交于点，，， ∴，，，， ∴，， ∵，，设到的距离为， 而， ∴， ∴， 当时， 同理可得：， ∴， 当时，如图： 同理可得：， ， ∴， 综上：，． 【小问2详解】 解：列表如下： 描点画图略： 的性质： 当时，随的增大而增大； 的性质： 当时，随的增大而减少； 当时，随的增大而增大． 【小问3详解】 解：当时，则， 解得：， ∴结合图象可得：当的面积不小于的面积时，线段的运动时间范围为：． 25. 如图1，正方形边上有一点满足，连接，． （1）求点的坐标； （2）为边上一点，连接满足，求直线的解析式； （3）如图2，线段绕着点旋转得到线段，直线与直线交于点，连接，直线与直线交于点，当线段取得最大值时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在中，用勾股定理算出、长度即可． （2）由，考虑以为等腰三角形顶角的外角去构造等腰三角形，取中点，延长交延长线于点，可以推出是等腰三角形，设为，在中根据勾股定理列方程并解出即可求得点坐标，进一步求解直线的解析式即可． （3）如图，过作于，过作于，连接，当共线且在线段的延长线时，，此时最大，进一步求解，证明，，可得，求解，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：四边形为正方形， ，， ∵， ∴设，则， 在中：， 解得：， ， ． 【小问2详解】 解：取中点，延长交延长线于点，则， ，，， ， 又∵， ， 又∵， ， ， ， ，，， ， ， 设，则，， 在中：， ， 解得：， ； 设直线为，把，代入得： ，解得：， ∴直线为． 【小问3详解】 解：如图，过作于，过作于，连接， ∵， 当共线且在线段的延长线时，，此时最大， ∵正方形，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $