重庆市开州区2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题 -

重庆市开州区2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。 1．（4分）下列各组数中，不能作为直角三角形的三边的是（　　） A．2，3，4 B．1 C．5，12，13 D．3，4，5 2．（4分）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．（4分）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D．3 4．（4分）现有甲、乙、丙、丁四种机器人在性能测试中的平均成绩都是128分，方差分别是，，，，这四种机器人测试成绩最稳定的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．（4分）市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数关系如图所示．若该用户本月用水16吨，则应交水费（　　） A．38.4元 B．48元 C．39.6元 D．57.6元 6．（4分）下列命题中，错误的是（　　） A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 7．（4分）估计的值在（　　） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 8．（4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别是边AD，CD的中点，连接MN，OM．若MN＝6，S菱形ABCD＝96，则OM的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 9．（4分）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边CD和BC上的点，且CE＝CF，连接BE，DF．过C作CG⊥DF交BD于G，过G作GH⊥BE交BE于K，交DF延长线于H．若∠BDF＝28°，则∠DHG的度数为（　　） A．36° B．31° C．32° D．34° 10．（4分）已知多项式x+y﹣z+p﹣q，其中x＞y＞z＞p＞0＞q且z＞p﹣q，对多项式中任意相邻的字母间添加一个括号（不可对单个字母添加括号），并改变括号前的符号，得到一个新多项式，然后求新多项式的绝对值，称此为“双添变换”． 例如：|﹣（x+y）﹣z+p﹣q|＝x+y+z﹣p+q，|x﹣（y﹣z+p）﹣q|＝x﹣y+z﹣p﹣q… 下列结论正确的个数是（　　） ①存在“双添变换”的化简结果与原多项式相同； ②至少存在一种“双添变换”，使其化简结果与原多项式的差为2z； ③所有的“双添变换”共有9种不同的化简结果． A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题6个小题，每小题5分，共30分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。 11．（5分）计算：（﹣5）2+（π﹣3）0＝　 　 ． 12．（5分）如图，一次函数y1＝﹣a（x+4）（a≠0）与y2＝2kx﹣1（k≠0）交于点（﹣3，3），则关于x的不等式﹣a（x+4）＞2kx﹣1的解集是　 　 ． 13．（5分）如图，点P是矩形ABCD的对角线BD上的一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E、F，连接PA，PC．若BE＝5，PF＝8，则图中阴影部分的面积为 　 　 ． 14．（5分）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为　 　 ． 15．（5分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ABC＝40°，将△ABC沿AB向下翻折得到△ABC'，点D为BC′上一点，连接CD交AB于点E，若∠ECB＝∠ABC，BD＝4，AE＝6，则△ACE的面积为 　 　 ． 16．（5分）对于一个四位正整数，如果其十位数字等于千位数字减去百位数字，个位数字等于百位数字减去十位数字，则称这个四位数为“阶梯数”．例如：9725，8624都是“阶梯数”．对于一个“阶梯数”M（a、b、c、d是整数且1≤a≤9，0≤b、c、d≤9），它的千位数字和百位数字组成的两位数为，十位数字和个位数字组成的两位数为，将这两个两位数求和记作t；它的千位数字和十位数字组成的两位数为，它的百位数字和个位数字组成的两位数为，将这两个两位数求和记作s，规定：，则F（9725）＝　 　 ．记最小的“阶梯数”N的各个数位数字之和为n．若“阶梯数”M满足被3整除，并且N≠M，则最大的“阶梯数”M＝　 　 ． 三、解答题（本大题8个小题，每题10分，共80分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 17．（10分）计算： （1）4； （2）． 18．（10分）米小果同学在学习了矩形和菱形之后，发现他们的性质既有关联也有不同，为了更好的掌握相关知识，进行了以下探索，请根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： （1）如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O．用尺规在CD右侧作∠DCE＝∠BDC，在CE上截取CF＝OB，并连接DF．（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形OCFD是矩形． 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，①　 　 ． ∴∠DOC＝90°． ∵CF＝OB， ∴②　 　 ． ∵∠DCE＝∠BDC， ∴③　 　 ． ∴四边形OCFD是平行四边形． ∵④　 　 ． ∴四边形OCFD是矩形． 米小果进一步研究发现，若把条件里的菱形ABCD改为矩形ABCD，其余作图过程均不变，则四边形OCFD的形状是⑤　 　 ． 19．（10分）2025年央视春晚重庆分会场上的无人机表演备受关注，无人机与人们的生活联系越来越紧密．开州区某校为了解七、八年级学生对无人机相关知识的了解情况，举办了关于无人机知识的竞赛，现从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分为四组：A．x≤70，B.70＜x≤80，C.80＜x≤90：D.90＜x≤100，得分在90分以上为优秀），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩是： 72，64，68，78，86，84，96，86，80，92，92，91，97，95，85，82，92，99，99，97． 八年级20名学生竞赛成绩在C组的数据是：84，85，82，89，89． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 86.5 88.5 a 八年级 86.5 b 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的无人机知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校七年级有600名学生、八年级有800名学生参加了此次无人机的知识竞赛，估计该校七、八年级学生参加此次无人机知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 20．（10分）如图，在△ABC中，BC＝2AB，D，E分别为BC，AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于点F． （1）求证：四边形ABDF是菱形； （2）若AB＝6，∠B＝60°，求AE的长． 21．（10分）人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近来年得到了迅猛发展，取得了丰硕成果．2024年12月26日，中国人工智能公司发布DeepSeek﹣V3模型，引发了科技行业高度关注．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 22．（10分）如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，点E在边CD上，DE＝1，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着A→B→C方向运动到点C停止，连接AE，AP，PE，设点P的运动时间为x秒，△APE的面积为y． （1）请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当9≤y≤10时，x的取值范围． 23．（10分）直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点C和点B，已知点A（﹣2，0）． （1）求直线AB的解析式； （2）如图1，P为线段AB上一个动点，若S△ABC＝6S△BCP，求此时点P的坐标； （3）如图2，点D是BO的中点，M为直线BC上的一个动点，过M为作MN∥y轴交直线AB于点N，若以B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求出所有符合条件的M点的坐标． 24．（10分）已知：四边形ABCD是平行四边形，点E是AB边的中点，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为点G，交BC边于点F，点H是线段GF上一点，连接BH、DH，DH＝BC． （1）如图1，求证：BH∥DE； （2）如图2，延长BH交CD边于点K，连接FK，若DH∥FK，求证：BH＝HK； （3）如图3，在（2）的条件下，连接KE，延长KE至点M，连接AM、BM，若∠AMB＝135°，，，请直接写出AM的长． 重庆市开州区2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D A C C B B D C 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。 1．（4分）下列各组数中，不能作为直角三角形的三边的是（　　） A．2，3，4 B．1 C．5，12，13 D．3，4，5 【分析】根据勾股定理的逆定理，判断各组数是否满足较小两数的平方和等于最大数的平方． 【解答】解：A、22+32＝4+9＝13≠42＝16，不能作为直角三角形的三边，符合题意； B、12+22＝1+4＝5，能作为直角三角形的三边，不符合题意； C、52+122＝25+144＝169＝132＝169，能作为直角三角形的三边，不符合题意； D、32+42＝9+16＝25＝52＝25，能作为直角三角形的三边，不符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． 2．（4分）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】最简二次根式需满足：①被开方数的因数中不含能开得尽方的数；②被开方数不含分母．根据最简二次根式的定义判断即可． 【解答】解：根据最简二次根式的定义逐项分析判断如下： A：，被开方数含分母6，需分母有理化，故不是最简二次根式； B：，被开方数6分解为2×3，无平方因数，且不含分母，符合最简二次根式条件； C：，0.6可化为，被开方数含分母5，需分母有理化，故不是最简二次根式； D：，16是完全平方数，可化简为4，故不是最简二次根式； 故选：B． 【点评】本题考查了最简二次根式的定义，熟练掌握该知识点是关键． 3．（4分）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D．3 【分析】依据二次根式的运算法则进行判断． 【解答】解：依据二次根式的运算法则逐项分析判断如下： A：，原计算错误，不符合题意； B：，原计算错误，不符合题意； C：，原计算错误，不符合题意； D：，原计算正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式的运算法则．逐一验证各选项的运算是否正确是关键． 4．（4分）现有甲、乙、丙、丁四种机器人在性能测试中的平均成绩都是128分，方差分别是，，，，这四种机器人测试成绩最稳定的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【分析】方差是衡量一组数据波动大小的统计量，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定． 【解答】解：由方差的意义可知甲种机器人测试成绩最稳定． 故选：A． 【点评】本题考查了方差的意义．熟练掌握该知识点是关键． 5．（4分）市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数关系如图所示．若该用户本月用水16吨，则应交水费（　　） A．38.4元 B．48元 C．39.6元 D．57.6元 【分析】求得解析式，将x＝16代入计算解答即可． 【解答】解：当x＞15时，设直线的解析式为y＝kx+b，代入（20，54），（15，36）， 得， 解得， ∴， 故， 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数的应用，理解题意，准确识图是解题的关键． 6．（4分）下列命题中，错误的是（　　） A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【分析】逐一分析各选项是否符合判定定理即可． 【解答】解：根据菱形和平行四边形的判定方法逐项分析判断如下： A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，符合平行四边形的判定定理； B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，符合菱形的判定定理； C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，错误，例如等腰梯形满足此条件但不是平行四边形； D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，符合平行四边形的判定定理； 故选：C． 【点评】本题考查菱形和平行四边形的判定方法．熟练掌握该知识点是关键． 7．（4分）估计的值在（　　） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【分析】先根据二次根式的混合运算法则化简，然后再运用“夹逼法”估算即可． 【解答】解：原式 ； ∵， ∴， ∴，即4到5之间． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算、无理数的估算等知识点，掌握二次根式的混合运算法则成为解题的关键． 8．（4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别是边AD，CD的中点，连接MN，OM．若MN＝6，S菱形ABCD＝96，则OM的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】根据菱形的性质可得，，∠AOD＝90°，根据中位线定理可得AC，由菱形的面积可得BD，进而利用勾股定理可求出AD，再根据直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半即可求出OM的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，，， ∴∠AOD＝90°， ∵点M、N分别是边AD、CD的中点，MN＝6， ∴AC＝2MN＝2×6＝12， ∵， ∴BD＝16， ∴，， ∴AD10， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查了菱形的性质，三角形中位线性质，直角三角形的性质、勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 9．（4分）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边CD和BC上的点，且CE＝CF，连接BE，DF．过C作CG⊥DF交BD于G，过G作GH⊥BE交BE于K，交DF延长线于H．若∠BDF＝28°，则∠DHG的度数为（　　） A．36° B．31° C．32° D．34° 【分析】过点H作HN⊥BC于点N，设GH，BC交于点M，得出∠NHF＝∠CDF＝17°，证明△BCE≌△DCF（SAS），得出∠EBC＝∠FDC＝17°，根据三角形内角和定理得出∠MHN＝∠KBM＝17°，即可求解． 【解答】解：过点H作HN⊥BC于点N，设GH，BC交于点M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC⊥CD，AB∥CD，∠BDC＝∠DBC＝45°，BC＝CD， ∴HN∥AB∥CD， ∴∠NHF＝∠CDF＝45°﹣28°＝17°， 在△BCE和△DCF中， ， ∴△BCE≌△DCF（SAS）， ∴∠EBC＝∠FDC＝17°， ∵BK⊥HK，HN⊥BC， ∴∠BKM＝∠HNM， ∵∠BMK＝∠HMN， ∴∠MHN＝∠KBM＝17°， ∴∠DHG＝∠MHN+∠FHN＝34°， 故选：D． 【点评】本题考查了正方形的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 10．（4分）已知多项式x+y﹣z+p﹣q，其中x＞y＞z＞p＞0＞q且z＞p﹣q，对多项式中任意相邻的字母间添加一个括号（不可对单个字母添加括号），并改变括号前的符号，得到一个新多项式，然后求新多项式的绝对值，称此为“双添变换”． 例如：|﹣（x+y）﹣z+p﹣q|＝x+y+z﹣p+q，|x﹣（y﹣z+p）﹣q|＝x﹣y+z﹣p﹣q… 下列结论正确的个数是（　　） ①存在“双添变换”的化简结果与原多项式相同； ②至少存在一种“双添变换”，使其化简结果与原多项式的差为2z； ③所有的“双添变换”共有9种不同的化简结果． A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据“双添变换操作”的定义，把所有情况列举出来，利用不等式的性质进行化简，再对选项逐一判断即可． 【解答】解：当相邻两个添加括号时，分情况讨论如下： 情况1：|﹣（x+y）﹣z+p﹣q|＝x+y+z﹣p+q； 情况2：|x﹣（y﹣z）+p﹣q|＝|x﹣y+z+p﹣q|， ∵x＞y＞z＞p＞0＞q， ∴x﹣y＞0，﹣q＞0， ∴x﹣y+z+p﹣q＞0， ∴|x﹣（y﹣z）+p﹣q|＝|x﹣y+z+p﹣q|＝x﹣y+z+p﹣q； 情况3：|x+y+（z+p）﹣q|＝|x+y+z+p﹣q|， ∵x＞y＞z＞p＞0＞q， ∴z﹣p＞0，﹣q＞0， ∴x+y+z+p﹣q＞0， ∴|x+y+（z+p）﹣q|＝|x+y+z+p﹣q|＝x+y+z+p﹣q； 情况4：|x+y﹣z﹣（p﹣q）|＝|x+y﹣z﹣p+q|， ∵z＞p﹣q， ∴﹣p+q＞﹣z， 又∵x＞y＞z＞p＞0＞q， ∴x+y﹣z﹣p+q＞x+y﹣2z＝x﹣z+y﹣z＞0， ∴|x+y﹣z﹣（p﹣q）|＝|x+y﹣z﹣p+q|＝x+y﹣z﹣p+q； 当相邻三个添加括号时， 情况5：|﹣（x+y﹣z）+p﹣q|＝|﹣x﹣y+z+p﹣q|， ∵z＞p﹣q，x＞y＞z＞p＞0＞q， ∴﹣x﹣y+z+p﹣q＜﹣x﹣y+2z＝z﹣x+z﹣y＜0， ∴|﹣（x+y﹣z）+p﹣q|＝|﹣x﹣y+z+p﹣q|＝x+y﹣z﹣p+q； 情况6：|x﹣（y﹣z+p）﹣q|＝x﹣y+z﹣p﹣q； 情况7：|x+y+（z+p﹣q）|＝|x+y+z+p﹣q|， ∵x＞y＞z＞p＞0＞q，z＞p﹣q， ∴x+y+z+p﹣q＞0， ∴|x+y+（z+p﹣q）|＝x+y+z+p﹣q； 当相邻四个添加括号时， 情况8：|﹣（x+y﹣z+p）﹣q|＝|﹣x﹣y+z﹣p﹣q|＝|x+y﹣z+p+q|， ∵z＞p﹣q， ∴q＞p﹣z， 又∵x＞y＞z＞p＞0＞q， ∴x+y﹣z+p+q＞x+y﹣z+p+p﹣z＝x﹣z+y﹣z+2p＞0， ∴|﹣（x+y﹣z+p）﹣q|＝|﹣x﹣y+z﹣p﹣q|＝x+y﹣z+p+q； 情况9：|x﹣（y﹣z+p﹣q）|＝|x﹣y+z﹣p+q|， ∵z＞p﹣q，x＞y＞z＞p＞0＞q， ∴x﹣y+z﹣p+q＝（x﹣y）+（z﹣p+q）＞0， ∴|x﹣（y﹣z+p﹣q）|＝x﹣y+z﹣p+q； 当相邻五个添加括号时， 情况10：|﹣（x+y﹣z+p﹣q）|＝|x+y﹣z+p﹣q|＝x+y﹣z+p﹣q， 其中情况10的化简结果与原多项式相同， 故①正确； 要使差为2z，化简结果为x+y﹣z+p﹣q+2z＝x+y+z+p﹣q， 所有情况中3或7符合的， 故②正确； 十种情况中，情况3的结果与情况7的结果相同；情况4的结果与情况5的结果相同；其余结果互不相同， 故共有8种不同的化简结果， 故③错误； 综上所述，正确的结果有2个， 故选：C． 【点评】本题考查了绝对值的化简，整式的加减，不等式的性质，熟练掌握利用不等式的性质化简绝对值是解题的关键． 二、填空题（本大题6个小题，每小题5分，共30分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。 11．（5分）计算：（﹣5）2+（π﹣3）0＝　26　 ． 【分析】根据零指数幂的法则，乘方法则，进行计算即可． 【解答】解：（﹣5）2+（π﹣3）0＝25+1＝26；故答案为：26． 【点评】本题考查了零指数幂，熟练掌握该知识点是关键． 12．（5分）如图，一次函数y1＝﹣a（x+4）（a≠0）与y2＝2kx﹣1（k≠0）交于点（﹣3，3），则关于x的不等式﹣a（x+4）＞2kx﹣1的解集是　x＞﹣3　 ． 【分析】根据一次函数与一元一次不等式的关系解答即可． 【解答】解：由图象可知关于x的不等式﹣a（x+4）＞2kx﹣1的解集是x＞﹣3． 故答案为：x＞﹣3． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握该知识点是关键． 13．（5分）如图，点P是矩形ABCD的对角线BD上的一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E、F，连接PA，PC．若BE＝5，PF＝8，则图中阴影部分的面积为 　40　 ． 【分析】过点P作直线MN⊥AD于点M，交BC于点N，证明四边形AEPM，四边形BEPN，四边形CNPF，四边形DMPF都是矩形，由矩形性质得S△BEP＝S△BNP，S△DMP＝S△DFP，S△ABD＝S△CDB，由此得S矩形AEPM＝S矩形CNPF，进而得S△AEP＝S△CFP，再利用三角形的面积公式求出S△CFP＝20即可得出答案． 【解答】解：过点P作直线MN⊥AD于点M，交BC于点N，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，AD∥BC，S△ABD＝S△CDB， ∵MN⊥AD，EF∥BC， ∴MN⊥BC，EF⊥AB，EF⊥CD， ∴四边形AEPM，四边形BEPN，四边形CNPF，四边形DMPF都是矩形， ∴S△BEP＝S△BNP，S△DMP＝S△DFP， ∴S矩形AEPM＝S△ABD﹣S△DMP，S矩形CNPF＝S△CDB﹣S△BNP﹣S△DFP， ∴S矩形AEPM＝S矩形CNPF， ∵S△AEPS矩形AEPM，S△CFPS矩形CNPF， ∴S△AEP＝S△CFP， ∵BE＝5，PF＝8， ∴S△CFPBE•PF5×8＝20， ∴S△AEP＝S△CFP＝20， ∴图中阴影部分的面积为：S△AEP+S△CFP＝40． 故答案为：40． 【点评】此题主要考查了矩形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定和性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 14．（5分）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为　﹣9　 ． 【分析】由不等式组无解，解得a≤3，解分式方程得，，确定出满足条件的a的值，即可得到结果． 【解答】解：由x+7≤1﹣x得，x≤﹣3， 由3x﹣a＜4x得，x＞﹣a， ∵原不等式组无解， ∴﹣a≥﹣3， 解得a≤3， 解分式方程得，， ∵分式方程得解为正整数， ∴a为2、﹣1、﹣4、﹣7， ∵y﹣3≠0，即y≠3， ∴a≠﹣1， 综上a为2、﹣4、﹣7， ∵2+（﹣4）+（﹣7）＝﹣9， ∴所有满足条件的整数a的值之和为﹣9． 故答案为：﹣9． 【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，解分式方程，熟练掌握以上知识点是关键． 15．（5分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ABC＝40°，将△ABC沿AB向下翻折得到△ABC'，点D为BC′上一点，连接CD交AB于点E，若∠ECB＝∠ABC，BD＝4，AE＝6，则△ACE的面积为 　6　 ． 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠CAB＝∠ABC＝40°，根据三角形的内角和定理得到∠ACB＝100°，根据折叠的性质得到AC＝AC′，BC＝BC′，根据菱形的性质得到AC∥BC′，求得∠BDC＝∠ACD＝60°，过B作BF⊥CD于F，得到BFBD＝2，过C作CH⊥AB于H，根据全等三角形的性质得到CH＝BF＝2，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：∵AC＝BC，∠ABC＝40°， ∴∠CAB＝∠ABC＝40°， ∴∠ACB＝100°， ∵将△ABC沿AB向下翻折得到△ABC'， ∴AC＝AC′，BC＝BC′， ∵AC＝BC， ∴四边形ACBC′是菱形， ∴AC∥BC′， ∵∠ECB＝∠ABC＝40°， ∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝60°， ∴∠BDC＝∠ACD＝60°， 过B作BF⊥CD于F， ∵BD＝4， ∴BFBD＝2， 过C作CH⊥AB于H， ∴∠CHB＝∠BFC＝90°， ∵∠BCF＝∠HBC，BC＝CB， ∴△BHC≌△CFB（AAS）， ∴CH＝BF＝2， ∵AE＝6， ∴S△AECAE•CH6×26， 故答案为：6． 【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 16．（5分）对于一个四位正整数，如果其十位数字等于千位数字减去百位数字，个位数字等于百位数字减去十位数字，则称这个四位数为“阶梯数”．例如：9725，8624都是“阶梯数”．对于一个“阶梯数”M（a、b、c、d是整数且1≤a≤9，0≤b、c、d≤9），它的千位数字和百位数字组成的两位数为，十位数字和个位数字组成的两位数为，将这两个两位数求和记作t；它的千位数字和十位数字组成的两位数为，它的百位数字和个位数字组成的两位数为，将这两个两位数求和记作s，规定：，则F（9725）＝　﹣5　 ．记最小的“阶梯数”N的各个数位数字之和为n．若“阶梯数”M满足被3整除，并且N≠M，则最大的“阶梯数”M＝　9541　 ． 【分析】根据“阶梯数”的定义计算求出F（M），然后得到最小的“阶梯数”得到n的值，表示t和s的式子，得到F（M）的式子，根据整除求出a，b的值解答即可． 【解答】解：， ∵N＝1101， ∴n＝3， 又∵c＝a﹣b，d＝b﹣c＝2b﹣a， 则t＝10a+b+10c+d＝19a﹣7b． s＝10a+c+10b+d＝10a+11b， ∴， ∵被3整除， ∴a﹣2b＝±1． ∴要使M最大，则当a＝9，b＝5时，M＝9541， 故答案为：﹣5，9541． 【点评】本题主要考查了整式的加减，数字变化的规律，本题是新定义型，准确理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键． 三、解答题（本大题8个小题，每题10分，共80分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 17．（10分）计算： （1）4； （2）． 【分析】（1）先化简二次根式，再计算二次根式的乘除，然后合并同类二次根式即可求解； （2）计算完全平方公式、平方差公式计算即可求解； 【解答】解：（1）原式； （2）原式． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 18．（10分）米小果同学在学习了矩形和菱形之后，发现他们的性质既有关联也有不同，为了更好的掌握相关知识，进行了以下探索，请根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： （1）如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O．用尺规在CD右侧作∠DCE＝∠BDC，在CE上截取CF＝OB，并连接DF．（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形OCFD是矩形． 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，①　BO＝DO　 ． ∴∠DOC＝90°． ∵CF＝OB， ∴②　CF＝OD　 ． ∵∠DCE＝∠BDC， ∴③　CF∥OD　 ． ∴四边形OCFD是平行四边形． ∵④　∠DOC＝90°　 ． ∴四边形OCFD是矩形． 米小果进一步研究发现，若把条件里的菱形ABCD改为矩形ABCD，其余作图过程均不变，则四边形OCFD的形状是⑤　菱形　 ． 【分析】（1）根据题意用尺规在CD右侧作∠DCE＝∠BDC，在CE上截取CF＝OB，并连接DF，即可求解． （2）根据菱形的性质与矩形的判定定理完成填空，进而根据矩形的性质与菱形的判定定理证明OCFD是菱形，即可求解． 【解答】（1）解：如图； （2）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，BO＝DO， ∴∠DOC＝90°， ∵CF＝OB， ∴CF＝OD， ∵∠DCE＝∠BDC， ∴CF∥OD， ∴四边形OCFD是平行四边形， ∵∠DOC＝90°， ∴四边形OCFD是矩形； 米小果进一步研究发现，若把条件里的菱形ABCD改为矩形ABCD，其余作图过程均不变，则四边形OCFD的形状是菱形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，BO＝DO． ∴OD＝OC ∵CF＝OB， ∴CF＝OD． ∵∠DCE＝∠BDC， ∴CF∥OD． ∴四边形OCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ∵OD＝OC， ∴四边形OCFD是菱形． 【点评】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质与判定，作一个角等于已知角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 19．（10分）2025年央视春晚重庆分会场上的无人机表演备受关注，无人机与人们的生活联系越来越紧密．开州区某校为了解七、八年级学生对无人机相关知识的了解情况，举办了关于无人机知识的竞赛，现从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分为四组：A．x≤70，B.70＜x≤80，C.80＜x≤90：D.90＜x≤100，得分在90分以上为优秀），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩是： 72，64，68，78，86，84，96，86，80，92，92，91，97，95，85，82，92，99，99，97． 八年级20名学生竞赛成绩在C组的数据是：84，85，82，89，89． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 86.5 88.5 a 八年级 86.5 b 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的a＝ 　92　 ，b＝ 　84.5　 ； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的无人机知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校七年级有600名学生、八年级有800名学生参加了此次无人机的知识竞赛，估计该校七、八年级学生参加此次无人机知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 【分析】（1）根据众数、中位数的定义求解； （2）根据众数、中位数的意义求解； （3）根据样本和总体的关系求解． 【解答】解：（1）七年级的成绩中，92出现最多， ∴a众数为92， 八年级的成绩中：A组有：0.15×20＝3（人），B组有：0.25×20＝5（人），C组有5人， ∴D组有：20﹣3﹣5﹣5＝7（人）， ∴八年级的中位数为84.5， 故答案为：92，84.5； （2）八年级好些； 理由：两个年级的平均数一样，八年级的中位数大，高分人数多 ∴从中位数看，八年级好些； （3）600800580（人）， 答：估计该校七、八年级学生参加此次无人机知识竞赛成绩达到优秀的共有580人． 【点评】本题考查中位数、众数、平均数以及样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数的计算方法是正确解答的关键． 20．（10分）如图，在△ABC中，BC＝2AB，D，E分别为BC，AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于点F． （1）求证：四边形ABDF是菱形； （2）若AB＝6，∠B＝60°，求AE的长． 【分析】（1）利用三角形中位线定理证明一组平行线，结合已知，先证明四边形ABDF是平行四边形，再利用一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可； （2）若AB＝6，∠B＝60°，求AE的长． 【解答】（1）证明：∵点D、E分别是边BC、AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线，BC＝2BD， ∴， ∵AF∥BC， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∵BC＝2AB，BC＝2BD， ∴AB＝BD． ∴平行四边形ABDF是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）． （2）解：连接AD， ∵AB＝BD，∠B＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴， ∴BC＝2AB＝12，△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°， ∴． ∵E是AC的中点， ∴， 即AE的长为． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，三角形中位线定理的应用，勾股定理的应用，等边三角形的判定和性质，熟练掌握判定和性质，勾股定理是解题的关键． 21．（10分）人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近来年得到了迅猛发展，取得了丰硕成果．2024年12月26日，中国人工智能公司发布DeepSeek﹣V3模型，引发了科技行业高度关注．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【分析】（1）设B型机器人模型单价为x元，则A型机器人模型单价为（x+200）元，根据题意列关于x的方程并求解即可； （2）设购买A型机器人m台，则购买B型机器人（40﹣m）台，根据题意列关于m的一元一次不等式并求其解集；设共花费w元，写出w关于m的函数关系式，根据一次函数的增减性和m的取值范围，确定当m取何值时w值最小，求出其最小值及此时40﹣m的值即可． 【解答】解：（1）设B型机器人模型单价为x元，则A型机器人模型单价为（x+200）元． 根据题意，得， 解得x＝300， 经检验，x＝300是所列分式方程的解， 300+200＝500（元）． 答：A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元． （2）设购买A型机器人m台，则购买B型机器人（40﹣m）台． 根据题意，得40﹣m≤3m， 解得m≥10， 设共花费w元，则w＝0.8×500m+0.8×300（40﹣m）＝160m+9600， ∵160＞0， ∴w随m的减小而减小， ∵m≥10， ∴当＝10时w值最小，w最小＝160×10+9600＝11200， 40﹣10＝30（台）． 答：购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元． 【点评】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，掌握分式方程和一元一次不等式的解法、一次函数的增减性是解题的关键． 22．（10分）如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，点E在边CD上，DE＝1，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着A→B→C方向运动到点C停止，连接AE，AP，PE，设点P的运动时间为x秒，△APE的面积为y． （1）请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当9≤y≤10时，x的取值范围． 【分析】（1）根据矩形性质得到CE＝4，当点P在AB上时，0＜x≤5时，根据AP＝x，运用三角形面积公式得到y＝2x；当点P在BC上时，5＜x≤9，根据BP＝x﹣5，CP＝9﹣x，运用梯形面积公式和三角形面积公式得到； （2）描点、连线即可画出图象，再观察y的图象，可以写出函数的增减性； （3）根据图象得0＜y≤10，分别求出两段函数中函数值为9时的自变量的值，结合图象即可解答． 【解答】解：（1）如图， 由条件可知AB∥CD，AB＝CD＝5，AD＝BC＝4， ∵DE＝1， ∴CE＝DC﹣DE＝4， ∴当点P在AB上时，即， 当点P在BC上时，即5＜x≤9， ∵BP＝x﹣5，CP＝BC﹣BP＝9﹣x， ∴y＝S梯形ABCE﹣S△ABP﹣S△CEP ； 综上所述：； （2）如图所示， 当0＜x≤5时，y随x的增大而增大；当5＜x≤9时，y随x的增大而减少．（答案不唯一，写出一条性质即可）； （3）当y＝9时，2x＝9， ∴， 令， ∴x＝7， ∴当9≤y≤10时x的取值范围是． 【点评】本题主要考查了一次函数与几何图形．熟练掌握矩形性质，三角形面积公式，面积法求一次函数解析式，描点法画一次函数图象，一次函数的增减性，分段函数是解题的关键． 23．（10分）直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点C和点B，已知点A（﹣2，0）． （1）求直线AB的解析式； （2）如图1，P为线段AB上一个动点，若S△ABC＝6S△BCP，求此时点P的坐标； （3）如图2，点D是BO的中点，M为直线BC上的一个动点，过M为作MN∥y轴交直线AB于点N，若以B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求出所有符合条件的M点的坐标． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设P（p，2p+4），由题意可得S△ABC＝S△ACP，则6×46×（2p+4），求出p即可求P点坐标； （3）设M（m，﹣m+4），则N（m，2m+4），由MN∥BD，则MN＝BD，得到|3m|＝2，即可求M点坐标． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4， ∴B（0，4）， 当y＝0时，x＝4， ∴C（4，0）， 设直线AB的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴y＝2x+4； （2）设P（p，2p+4）， ∵S△ABC＝6S△BCP， ∴S△ABC＝S△ACP， ∴6×46×（2p+4）， 解得p， ∴P（，）； （3）∵点D是BO的中点， ∴D（0，2）， 设M（m，﹣m+4），则N（m，2m+4）， ∵MN∥BD， ∴MN＝BD， ∴|3m|＝2， 解得m＝±， ∴M（，）或（，）． 【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键． 24．（10分）已知：四边形ABCD是平行四边形，点E是AB边的中点，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为点G，交BC边于点F，点H是线段GF上一点，连接BH、DH，DH＝BC． （1）如图1，求证：BH∥DE； （2）如图2，延长BH交CD边于点K，连接FK，若DH∥FK，求证：BH＝HK； （3）如图3，在（2）的条件下，连接KE，延长KE至点M，连接AM、BM，若∠AMB＝135°，，，请直接写出AM的长． 【分析】（1）根据平行四边形的性质及三角形的中位线定理即可证得； （2）根据题意及平行线的性质，证明△BFH≌△KFH（ASA），即可得证； （3）连接AK，过点A作AR⊥EK于点R，AN⊥AM交BM的延长线于点N，根据平行线的性质及勾股定理，证明△ABN≌△AKM（SAS），利用勾股定理求出AM即可解答． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵DH＝BC， ∴AD＝DH， ∵DE⊥AF， ∴AG＝GH， ∵E是AB的中点， ∴EG是△ABH的中位线， ∴BH∥EG， ∴BH∥DE． （2）证明：∵EG∥BH，AF⊥DE， ∴AF⊥BK， ∴∠BHF＝∠FHK ＝90°， ∵DA＝DH， ∴∠DAH＝∠DHA， ∵AD∥BC，DH∥FK， ∴∠DAH ＝∠AFB，∠DHA ＝∠KFH， ∴∠AFB＝∠KFH， ∵FH＝FH， ∴△BFH≌△KFH（ASA）， ∴BH＝HK． （3）解：如图，连接AK，过点A作AR⊥EK于点R，AN⊥AM交BM的延长线于点N， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∵BK∥DE， ∴四边形BEDK是平行四边形， ∴BE＝DK， ∵E是AB的中点， ∴AE＝BE， ∴AE＝DK， 设AE＝BE＝m＝DK， ∴BC， ∵BH＝HK，AH⊥BK， ∴AB＝AK＝2m， ∵m2， ∴AK2+DK2＝AD2， ∴∠AKD＝90°， ∵AB∥CD， ∴∠BAK＝∠AKD＝90°， ∴， ∵BK， ∴， 解得， ∴AE＝BE＝5＝DK，， 在Rt△AEK中，由勾股定理得， ∵， ∴AR＝2， ∵∠AMB＝135°， ∴∠AMN＝45°， ∵AN⊥AM， ∴∠N＝∠AMN＝45°， ∴AM＝AN， ∵∠MAK＝∠BAK+∠BAM＝90°+∠BAM，∠BAN＝∠MAN+∠BAM＝90°+∠BAM， ∴∠MAK＝∠NAB， ∵AB＝AK， ∴△ABN≌△AKM（SAS）， ∴∠AMK＝∠N＝45°， ∵AR⊥EK， ∴∠AMK＝∠MAR＝45°， ∴AR＝MR＝2， 在Rt△AMR中，由勾股定理得． 【点评】本题考查四边形的综合应用，主要考查平行四边形的性质，勾股定理，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握平行四边形的性质，勾股定理，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$