云南昆明市第三中学高2026届高三上学期10月月考数学试题

**基本信息** 高三数学月考卷以阿波罗尼斯圆锥曲线（文化传承）、AI答题活动（科技前沿）为情境，覆盖函数、几何、概率等核心知识，通过折叠问题、导数证明等考查空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合、复数、圆台体积、椭圆离心率|第8题结合古希腊数学文化，考查圆锥曲线离心率| |多选题|3/18|统计量、椭圆轨迹、立体几何动态问题|第11题以长方体为载体，考查动态点的体积与距离| |填空题|3/15|二项式系数、最值问题、函数性质|第14题通过函数性质与同构思想，考查抽象能力| |解答题|5/77|解三角形、立体几何折叠、双曲线、导数、概率统计|19题以AI答题为情境，考查独立性检验与期望，体现数据意识；18题导数综合题，考查推理与运算能力|

昆明市第三中学高2026届高三上学期10月月考 数学学科能力测试参考答案 命题人：徐青华 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．已知集合，，，则　　 A． B． C．， D． 解：由题集合，集合，，，所以，．故选：． 2．已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解：由题意，， 在复平面内所对应的点为，位于第三象限．故选：． 3．一化学器皿为圆台形状，其上、下底面半径分别为和，高为（器皿厚度忽略不计）．现将该器皿水平放置后（上底位于上方）注入盐酸溶液，若溶液高度恰为，则溶液体积为　　 A． B． C． D． 解：因为圆台形状的上、下底面半径分别为和，高为， 又将该器皿水平放置后（上底位于上方）注入盐酸溶液，溶液高度恰为， 所以溶液的上底面半径为，下底面半径为，高为， 所以溶液的体积．故选：． 4.若函数与的图象在第一象限内有公共点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 解：函数与的图象在第一象限内有公共点，等价于在时有解； 因为时，不成立，所以时，两边取对数，得，解得，；设，且，则，令，得，解得， 所以时，，单调递减，时，，单调递增； 又因为时，，，所以在时取得极小值，也是最小值，为（e）；所以．时，，所以； 综上，的取值范围是，．故选D 5. 已知数列的前项和为，且，， 则（ ）　　A． B． C． D． 解：由，当时，， 则，所以， 当时，，则， 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，可得，即， 因为，所以，根据裂项相消法， 则．故选：． 6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且满足，若线段的中垂线过原点，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 解：椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且满足，如图， ，且由椭圆定义可知，将代入到中，可得，即，解得，那么．线段的中垂线过原点，，又因为，，那么△是以为直角顶点的直角三角形．在△中，根据勾股定理可得，其中，将，代入，可得，即，化简可得，即．椭圆的离心率，且，．故选：． 7．已知定义在上的函数满足，且，则　　 A．0 B． C．2 D．1 解：因为定义在上的函数满足，且， 所以令，可得， 所以，所以，所以， 所以，所以的周期为4， 再令，可得，所以，所以为奇函数，所以（1）．故选：． 8．古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为1，高为的圆锥中，、是底面圆上互相垂直的直径，是母线上一点，，平面截该圆锥面所得的曲线的离心率为　　 A． B． C． D． 解：由题意得，，则，， 所以，在△中，，，， 则， 所以，且，，由正弦定理得， 即．故选：． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 （多选）9．（6分）一组递增数据，，，，的平均数为3，方差为4，极差为6，若，，2，3，4，，则　　 A．，，，，的极差为12 B．，，，，的方差为16 C．，，，，的第80百分位数为 D．，，，，，，，，，的平均数为5 解：数据，，，，的极差为6，即． 由，可知，． ，故正确； 由数据，，，，的方差为4，， 得数据，，，，的方差为，故正确； 由，可得第80百分位数是第4项与第5项数据的平均值， 即，故错误； 由数据，，，，的平均数为3，， 得数据，，，，的平均数为． 数据，，，，，，，，，的平均数为，故正确． 故选：． （多选）10．（6分）已知圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点，圆心的轨迹记为曲线，则　　 A．的方程为 B．的最小值为 C． D．曲线在点，处的切线方程为 解：易知圆的圆，半径；圆的圆心，半径， 设动圆的半径为， 此时，， 所以， 所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长，焦距的椭圆， 所以，， 又， 解得， 则曲线的方程为，故选项正确； 在△中，，， 动圆与圆外切于点，与圆内切于点， 因为是动圆与圆的切点，是动圆与圆的切点， 所以、、三点共线，、、三点共线， 此时， 由余弦定理得， 因为， 当且仅当时，等号成立， 所以， 则的最小值不是，故选项错误； 因为与反向，与反向，，，，， ，， 所以， 其取值范围不为，，故选项错误； 对于椭圆在点，处的切线方程为， 因为，， 所以曲线在点，处的切线方程为，故选项正确． 故选：． （多选）11．（6分）如图，长方体中，，，是侧面的中心，是底面的中心，点在线段上运动，则下面选项正确的是　　 A．直线与平行 B．四面体的体积为定值 C．点到平面的距离为 D．异面直线与所成的角为 解：连接，， 由于点是底面的中心，是侧面的中心， 那么为的中点，为的中点， 因此在三角形中，为三角形的中位线， 所以，所以选项正确； 由于，平面，平面， 因此平面， 又因为点在线段上运动，因此点到平面的距离为定值， 又因为为定值，因此四面体的体积为定值，所以选项正确； 对于选项，如图以点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量为， 则，即， 解得，令，得，则， 所以点到平面的距离，正确； 对于选项，，， 因为，，， 所以，， 故异面直线与所成的角不为，错误． 故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数为 　50　 ．（用数字作答） 解：根据题意，可得， 结合展开式的通项为，其中，1，2，，6． 可知的展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为50． 故答案为：50． 13.已知，，，则的最小值为 　9　． 解：因为，，， 则 ，当且仅当，即，时取等号． 故答案为：9． 14．已知函数满足：①，；②，，．若是方程的实根，则 　2　 ． 解：由②及题设条件，得（1）， 由，知，为增函数，得， 即，所以， 利用同构，不妨令，则， 又为增函数，得，化简得，故． 故答案为：2． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在△中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）设为边的中点，若，△的面积为14，求的长． 解：（1）根据题意可知，， 根据正弦定理可得， 即， 在△中，由，得， 所以， 又，，所以，所以； （2）因为，所以， 所以， 所以，即， 因为，即，所以， 在三角形中，由余弦定理可得 ， 所以． 16．（15分）如图，梯形中，，，为的中点，将△沿边折起，使点到达点的位置． （1）证明：； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值． 解：（1）证明：连接交于点，连接， 由题可得，且，所以为的中点， 在△中，，所以，同理， 又，、平面，所以平面， 又因为平面， 所以； （2）由（1）可以点为坐标原点，以，方向和垂直于平面向上的方向分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题可知为等腰梯形，且，可得， 由（1）可知，为二面角二面角的平面角， 所以，从而， 因为， 所以点到平面的距离为， 则有，0，，，，，0，， 所以，，， 设，，为平面的一个法向量， 则有， 令，则， 设直线与平面所成角为， 则有， 故直线与平面所成角的正弦值为． 17．（15分）已知双曲线的焦距为4，点在上． （1）求的方程； （2）设过的左焦点的直线交的左支于点，，过的右焦点的直线交的右支于点，，若以，，，为顶点的四边形是面积为的平行四边形，求直线的方程． 解：（1）由双曲线的焦距为4，点在上， 可得，所以，且， 又因为，即， 联立方程组， 解得，， 所以的方程为； （2）由题意知，四边形为平行四边形，可得直线与平行， 当直线斜率不存在时，令，代入双曲线方程，可得， 此时四边形为矩形，面积为，不合题意； 当直线斜率存在时，设直线方程为， 则直线方程为， 直线和的距离， 设，，，， 联立方程组， 整理的， 则△，且，，， 又由双曲线的渐近线的方程为， 要使得过的左焦点的直线交的左支于点，，可得， 则 ， 所以， 化简可得， 解得，或， 因为，所以，解得， 故直线的方程为， 即或． 18．（17分）已知函数，，． （1）求的极值； （2）证明：当时，； （3）若，求的值． 解：（1）因为，函数定义域为， 可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，取得极大值，极大值， 当时，取得极小值，极小值（1）； （2）证明：由（1）知，， 要证， 需证， 令，函数定义域为， 可得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以， 因为，所以，可得，，所以，即； （3）因为，函数定义域为，可得， 当时，，单调递减， 又，不满足； 当时，，令，此时△， 所以该方程有两个不相等的实数根，且，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 由得，，，由得，或， 此时， 因为（1），， 所以，即． 解得． 19．（17分）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能 ，简称已然成为科技变革的核心驱动力．有媒体称开启了我国新纪元．某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，用比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件 “学生报名参加答题活动”， “学生为男生”，据统计（A），， ． （1）根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联？ 性别 男生 女生 合计 未报名参加答题活动 报名参加答题活动 合计 100 （2）网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定；每轮均设置道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第道题答完，本轮答题结束．已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为． ①求甲在一轮答题过程中答题数量的数学期望； ②假设甲同学每轮答题答对前两题中的一道，本轮答题得2分，否则得1分．记甲答题累计得分为的概率为，求的最大值． 参考公式与数据：，其中． 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解：（1）因为，所以报名参加答题活动人数为， 又因为，所以报名参加答题活动的男生人数为， 报名参加答题活动的女生人数为， 又，所以样本中男生人数为，女生人数为50， 得到列联表为： 性别 男生 女生 合计 未报名参加答题活动 20 35 55 报名参加答题活动 30 15 45 合计 50 50 100 零假设为：学生报名参加答题活动与性别无关， 则 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005． （2）①设甲完成一轮答题，答题数量为随机变量，则的所有可能取值为1，2，3，，， 其中，2，3，，， 所以， 所以， 两式相减， 所以 ． ②每轮比赛甲得1分的概率为，得2分的概率为， 依题意可得，， 当时，则， 因为，且， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 故， 又目， 所以数列是各项均为1的常数列，则， 所以，解得． 当为奇数时，，， 当为偶数时，，， 所以的最大值在为偶数时产生， 又当为偶数时，随着的增大而减小， 所以当时，的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 昆明市第三中学高2026届高三上学期10月月考 数学学科能力测试 考场/座位号： 姓名： 准考证号 班级： [0] [0] [0] [0] [o] [o] [0] [1 [1] [1] [1] [1] [1] [1] 可▣ [2] [2] [2] [2] [2] [2] L21 [2] [3] [3] [3] 31 [3] [3] 3 [3] 可厨 [4] [4] [4] [4 [4] [4] 4 [4] [51 [5] [5] [5] [5] [5] 5] [5] [6] (67 [6] [6 61 [6] [6] [6] 正确填涂■ 缺考标记☐ [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] 单选题 1[A][B][c][D] 2[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 多选题 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 填空题 12 13. ■ 14. 解答题 禁 止 作 答 囚囚■ 15. 囚ㄖ■ ■ 16. A 0 B E ■ ■ 17. I 囚■囚 囚■囚 8L ■ 口 19 ■ 昆明市第三中学高2026届高三上学期10月月考 数学学科能力测试 命题人：徐青华 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．已知集合，，，则　　 A． B． C．， D． 2．已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．一化学器皿为圆台形状，其上、下底面半径分别为和，高为（器皿厚度忽略不计）．现将该器皿水平放置后（上底位于上方）注入盐酸溶液，若溶液高度恰为，则溶液体积为　　 A． B． C． D． 4. 若函数与的图象在第一象限内有公共点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5. 已知数列的前项和为，且，， 则（ ）　　 A． B． C． D． 6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且满足，若线段的中垂线过原点，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 7．已知定义在上的函数满足，且，则　　 A．0 B． C．2 D．1 8．古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为1，高为的圆锥中，、是底面圆上互相垂直的直径，是母线上一点，，平面截该圆锥面所得的曲线的离心率为　　 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 （多选）9．（6分）一组递增数据，，，，的平均数为3，方差为4，极差为6，若，，2，3，4，，则　　 A．，，，，的极差为12 B．，，，，的方差为16 C．，，，，的第80百分位数为 D．，，，，，，，，，的平均数为5 （多选）10．（6分）已知圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点，圆心的轨迹记为曲线，则　　 A．的方程为 B．的最小值为 C． D．曲线在点，处的切线方程为 （多选）11．（6分）如图，长方体中，，，是侧面的中心，是底面的中心，点在线段上运动，则下面选项正确的是　　 A．直线与平行 B．四面体的体积为定值 C．点到平面的距离为 D．异面直线与所成的角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数为 　 　 ．（用数字作答） 13.已知，，，则的最小值为 　 　． 14．已知函数满足：①，；②，，．若是方程的实根，则 　 　 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在△中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）设为边的中点，若，△的面积为14，求的长． 16．（15分）如图，梯形中，，，为的中点，将△沿边折起，使点到达点的位置． （1）证明：； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值． 17．（15分）已知双曲线的焦距为4，点在上． （1）求的方程； （2）设过的左焦点的直线交的左支于点，，过的右焦点的直线交的右支于点，，若以，，，为顶点的四边形是面积为的平行四边形，求直线的方程． 18．（17分）已知函数，，． （1）求的极值； （2）证明：当时，； （3）若，求的值． 19．（17分）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能 ，简称已然成为科技变革的核心驱动力．有媒体称开启了我国新纪元．某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，用比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件 “学生报名参加答题活动”， “学生为男生”，据统计（A），，． （1）根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联？ 性别 男生 女生 合计 未报名参加答题活动 报名参加答题活动 合计 100 （2）网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定；每轮均设置道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第道题答完，本轮答题结束．已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为． ①求甲在一轮答题过程中答题数量的数学期望； ②假设甲同学每轮答题答对前两题中的一道，本轮答题得2分，否则得1分．记甲答题累计得分为的概率为，求的最大值． 参考公式与数据：，其中． 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明市第三中学高2026届高三上学期10月月考 数学学科能力测试 命题人：徐青华 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．已知集合，，，则　　 A． B． C．， D． 2．已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．一化学器皿为圆台形状，其上、下底面半径分别为和，高为（器皿厚度忽略不计）．现将该器皿水平放置后（上底位于上方）注入盐酸溶液，若溶液高度恰为，则溶液体积为　　 A． B． C． D． 4. 若函数与的图象在第一象限内有公共点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5. 已知数列的前项和为，且，， 则（ ）　　 A． B． C． D． 6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且满足，若线段的中垂线过原点，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 7．已知定义在上的函数满足，且，则　　 A．0 B． C．2 D．1 8．古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为1，高为的圆锥中，、是底面圆上互相垂直的直径，是母线上一点，，平面截该圆锥面所得的曲线的离心率为　　 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 （多选）9．（6分）一组递增数据，，，，的平均数为3，方差为4，极差为6，若，，2，3，4，，则　　 A．，，，，的极差为12 B．，，，，的方差为16 C．，，，，的第80百分位数为 D．，，，，，，，，，的平均数为5 （多选）10．（6分）已知圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点，圆心的轨迹记为曲线，则　　 A．的方程为 B．的最小值为 C． D．曲线在点，处的切线方程为 （多选）11．（6分）如图，长方体中，，，是侧面的中心，是底面的中心，点在线段上运动，则下面选项正确的是　　 A．直线与平行 B．四面体的体积为定值 C．点到平面的距离为 D．异面直线与所成的角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数为 　 　 ．（用数字作答） 13.已知，，，则的最小值为 　 　． 14．已知函数满足：①，；②，，．若是方程的实根，则 　 　 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在△中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）设为边的中点，若，△的面积为14，求的长． 16．（15分）如图，梯形中，，，为的中点，将△沿边折起，使点到达点的位置． （1）证明：； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值． 17．（15分）已知双曲线的焦距为4，点在上． （1）求的方程； （2）设过的左焦点的直线交的左支于点，，过的右焦点的直线交的右支于点，，若以，，，为顶点的四边形是面积为的平行四边形，求直线的方程． 18．（17分）已知函数，，． （1）求的极值； （2）证明：当时，； （3）若，求的值． 19．（17分）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能 ，简称已然成为科技变革的核心驱动力．有媒体称开启了我国新纪元．某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，用比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件 “学生报名参加答题活动”， “学生为男生”，据统计（A），，． （1）根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联？ 性别 男生 女生 合计 未报名参加答题活动 报名参加答题活动 合计 100 （2）网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定；每轮均设置道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第道题答完，本轮答题结束．已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为． ①求甲在一轮答题过程中答题数量的数学期望； ②假设甲同学每轮答题答对前两题中的一道，本轮答题得2分，否则得1分．记甲答题累计得分为的概率为，求的最大值． 参考公式与数据：，其中． 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 昆明市第三中学高2026届高三上学期10月月考 数学学科能力测试参考答案 命题人：徐青华 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．已知集合，，，则　　 A． B． C．， D． 解：由题集合，集合，，，所以，．故选：． 2．已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解：由题意，， 在复平面内所对应的点为，位于第三象限．故选：． 3．一化学器皿为圆台形状，其上、下底面半径分别为和，高为（器皿厚度忽略不计）．现将该器皿水平放置后（上底位于上方）注入盐酸溶液，若溶液高度恰为，则溶液体积为　　 A． B． C． D． 解：因为圆台形状的上、下底面半径分别为和，高为， 又将该器皿水平放置后（上底位于上方）注入盐酸溶液，溶液高度恰为， 所以溶液的上底面半径为，下底面半径为，高为， 所以溶液的体积．故选：． 4.若函数与的图象在第一象限内有公共点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 解：函数与的图象在第一象限内有公共点，等价于在时有解； 因为时，不成立，所以时，两边取对数，得，解得，；设，且，则，令，得，解得， 所以时，，单调递减，时，，单调递增； 又因为时，，，所以在时取得极小值，也是最小值，为（e）；所以．时，，所以； 综上，的取值范围是，．故选D 5. 已知数列的前项和为，且，， 则（ ）　　A． B． C． D． 解：由，当时，， 则，所以， 当时，，则， 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，可得，即， 因为，所以，根据裂项相消法， 则．故选：． 6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且满足，若线段的中垂线过原点，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 解：椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且满足，如图， ，且由椭圆定义可知，将代入到中，可得，即，解得，那么．线段的中垂线过原点，，又因为，，那么△是以为直角顶点的直角三角形．在△中，根据勾股定理可得，其中，将，代入，可得，即，化简可得，即．椭圆的离心率，且，．故选：． 7．已知定义在上的函数满足，且，则　　 A．0 B． C．2 D．1 解：因为定义在上的函数满足，且， 所以令，可得， 所以，所以，所以， 所以，所以的周期为4， 再令，可得，所以，所以为奇函数，所以（1）．故选：． 8．古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为1，高为的圆锥中，、是底面圆上互相垂直的直径，是母线上一点，，平面截该圆锥面所得的曲线的离心率为　　 A． B． C． D． 解：由题意得，，则，， 所以，在△中，，，， 则， 所以，且，，由正弦定理得， 即．故选：． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 （多选）9．（6分）一组递增数据，，，，的平均数为3，方差为4，极差为6，若，，2，3，4，，则　　 A．，，，，的极差为12 B．，，，，的方差为16 C．，，，，的第80百分位数为 D．，，，，，，，，，的平均数为5 解：数据，，，，的极差为6，即． 由，可知，． ，故正确； 由数据，，，，的方差为4，， 得数据，，，，的方差为，故正确； 由，可得第80百分位数是第4项与第5项数据的平均值， 即，故错误； 由数据，，，，的平均数为3，， 得数据，，，，的平均数为． 数据，，，，，，，，，的平均数为，故正确． 故选：． （多选）10．（6分）已知圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点，圆心的轨迹记为曲线，则　　 A．的方程为 B．的最小值为 C． D．曲线在点，处的切线方程为 解：易知圆的圆，半径；圆的圆心，半径， 设动圆的半径为， 此时，， 所以， 所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长，焦距的椭圆， 所以，， 又， 解得， 则曲线的方程为，故选项正确； 在△中，，， 动圆与圆外切于点，与圆内切于点， 因为是动圆与圆的切点，是动圆与圆的切点， 所以、、三点共线，、、三点共线， 此时， 由余弦定理得， 因为， 当且仅当时，等号成立， 所以， 则的最小值不是，故选项错误； 因为与反向，与反向，，，，， ，， 所以， 其取值范围不为，，故选项错误； 对于椭圆在点，处的切线方程为， 因为，， 所以曲线在点，处的切线方程为，故选项正确． 故选：． （多选）11．（6分）如图，长方体中，，，是侧面的中心，是底面的中心，点在线段上运动，则下面选项正确的是　　 A．直线与平行 B．四面体的体积为定值 C．点到平面的距离为 D．异面直线与所成的角为 解：连接，， 由于点是底面的中心，是侧面的中心， 那么为的中点，为的中点， 因此在三角形中，为三角形的中位线， 所以，所以选项正确； 由于，平面，平面， 因此平面， 又因为点在线段上运动，因此点到平面的距离为定值， 又因为为定值，因此四面体的体积为定值，所以选项正确； 对于选项，如图以点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量为， 则，即， 解得，令，得，则， 所以点到平面的距离，正确； 对于选项，，， 因为，，， 所以，， 故异面直线与所成的角不为，错误． 故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数为 　50　 ．（用数字作答） 解：根据题意，可得， 结合展开式的通项为，其中，1，2，，6． 可知的展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为50． 故答案为：50． 13.已知，，，则的最小值为 　9　． 解：因为，，， 则 ，当且仅当，即，时取等号． 故答案为：9． 14．已知函数满足：①，；②，，．若是方程的实根，则 　2　 ． 解：由②及题设条件，得（1）， 由，知，为增函数，得， 即，所以， 利用同构，不妨令，则， 又为增函数，得，化简得，故． 故答案为：2． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在△中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）设为边的中点，若，△的面积为14，求的长． 解：（1）根据题意可知，， 根据正弦定理可得， 即， 在△中，由，得， 所以， 又，，所以，所以； （2）因为，所以， 所以， 所以，即， 因为，即，所以， 在三角形中，由余弦定理可得 ， 所以． 16．（15分）如图，梯形中，，，为的中点，将△沿边折起，使点到达点的位置． （1）证明：； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值． 解：（1）证明：连接交于点，连接， 由题可得，且，所以为的中点， 在△中，，所以，同理， 又，、平面，所以平面， 又因为平面， 所以； （2）由（1）可以点为坐标原点，以，方向和垂直于平面向上的方向分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题可知为等腰梯形，且，可得， 由（1）可知，为二面角二面角的平面角， 所以，从而， 因为， 所以点到平面的距离为， 则有，0，，，，，0，， 所以，，， 设，，为平面的一个法向量， 则有， 令，则， 设直线与平面所成角为， 则有， 故直线与平面所成角的正弦值为． 17．（15分）已知双曲线的焦距为4，点在上． （1）求的方程； （2）设过的左焦点的直线交的左支于点，，过的右焦点的直线交的右支于点，，若以，，，为顶点的四边形是面积为的平行四边形，求直线的方程． 解：（1）由双曲线的焦距为4，点在上， 可得，所以，且， 又因为，即， 联立方程组， 解得，， 所以的方程为； （2）由题意知，四边形为平行四边形，可得直线与平行， 当直线斜率不存在时，令，代入双曲线方程，可得， 此时四边形为矩形，面积为，不合题意； 当直线斜率存在时，设直线方程为， 则直线方程为， 直线和的距离， 设，，，， 联立方程组， 整理的， 则△，且，，， 又由双曲线的渐近线的方程为， 要使得过的左焦点的直线交的左支于点，，可得， 则 ， 所以， 化简可得， 解得，或， 因为，所以，解得， 故直线的方程为， 即或． 18．（17分）已知函数，，． （1）求的极值； （2）证明：当时，； （3）若，求的值． 解：（1）因为，函数定义域为， 可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，取得极大值，极大值， 当时，取得极小值，极小值（1）； （2）证明：由（1）知，， 要证， 需证， 令，函数定义域为， 可得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以， 因为，所以，可得，，所以，即； （3）因为，函数定义域为，可得， 当时，，单调递减， 又，不满足； 当时，，令，此时△， 所以该方程有两个不相等的实数根，且，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 由得，，，由得，或， 此时， 因为（1），， 所以，即． 解得． 19．（17分）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能 ，简称已然成为科技变革的核心驱动力．有媒体称开启了我国新纪元．某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，用比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件 “学生报名参加答题活动”， “学生为男生”，据统计（A），， ． （1）根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联？ 性别 男生 女生 合计 未报名参加答题活动 报名参加答题活动 合计 100 （2）网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定；每轮均设置道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第道题答完，本轮答题结束．已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为． ①求甲在一轮答题过程中答题数量的数学期望； ②假设甲同学每轮答题答对前两题中的一道，本轮答题得2分，否则得1分．记甲答题累计得分为的概率为，求的最大值． 参考公式与数据：，其中． 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解：（1）因为，所以报名参加答题活动人数为， 又因为，所以报名参加答题活动的男生人数为， 报名参加答题活动的女生人数为， 又，所以样本中男生人数为，女生人数为50， 得到列联表为： 性别 男生 女生 合计 未报名参加答题活动 20 35 55 报名参加答题活动 30 15 45 合计 50 50 100 零假设为：学生报名参加答题活动与性别无关， 则 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005． （2）①设甲完成一轮答题，答题数量为随机变量，则的所有可能取值为1，2，3，，， 其中，2，3，，， 所以， 所以， 两式相减， 所以 ． ②每轮比赛甲得1分的概率为，得2分的概率为， 依题意可得，， 当时，则， 因为，且， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 故， 又目， 所以数列是各项均为1的常数列，则， 所以，解得． 当为奇数时，，， 当为偶数时，，， 所以的最大值在为偶数时产生， 又当为偶数时，随着的增大而减小， 所以当时，的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $昆明市第三中学高2026届高三上学期10月月考 数学学科能力测试 命题人：徐青华 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求。 1.已知集合A={xx<3},B=y川y=2,x≤1}，则A∩B=() A.[-V3,2] B.[-3,V3] C.(0,2] D.(0,3] 2.已知复数z满足z1+)=2-3i,则z在复平面内所对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.一化学器皿为圆台形状，其上、下底面半径分别为1cm和5c,高为10cu(器皿厚度忽 略不计).现将该器皿水平放置后（上底位于上方)注入盐酸溶液，若溶液高度恰为5C, 则溶液体积为( A.245πc B.245 3 cm C.490πcm D.490π 4.若函数f()=x与g(x)=*的图象在第一象限内有公共点，则实数b的取值范围为 () A.(-0,0) B.(e,+o) C.(-w,0)U(e,+oo) D.(←w,0)U[e,+m) 5.已知数列{a}的前n项和为Sn,且S=2a-1,b,=log2a+1, 则66*+ 1,1 bb 0( A月 B.10 c.10 1 0品 6.已如椭回C若+片-1a>6>)的左、右焦点分别为，天，P为c上一点，且满足 ,y2 |PR上3|P耳{，若线段PR的中垂线过原点O,则椭圆C的离心率为( A.0 B.5 D.5 4 5 C.vio 5 10 7.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x-y)-f(x+)=f(x-1)fy),且f(-1)=-2,则 f(2025)=() A.0 B.-2 C.2 D.1 8.古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥 轴截面的顶确为2，用一个平面T去截该圆锥面，随着圆锥的轴和Γ所成角B的变化，截 得的曲线的形状也不同.据研究，曲线的离心率为e=cosP,比如，当a=P时，e=1,此 cOS 时截得的曲线是抛物线.如图2，在底面半径为1，高为2√2的圆锥SO中，AB、CD是底 面圆O上互相垂直的直径，E是母线SC上一点，SE=2EC,平面ABE截该圆锥面所得的 曲线的离心率为( 、B 图1 图2 2W3 A. B. V3 c. D.3 2 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 (多选)9.(6分)一组递增数据x,,2,x,x4,x的平均数为3，方差为4，极差为6， 若y=2x+1,=1,2,3,4,5),则() A.片，y2,,4,的极差为12 B.为，当2，%，y4,的方差为16 C.x,为，X3,x4,x的第80百分位数为x4 D.,3,为，x4,x,片，为，为，4，乃的平均数为5 (多选)10.(6分)已知圆R:(x+2)2+y2=4,圆E:(x-2)2+y2=16,动圆P与圆F外 切于点M,与圆E内切于点N,圆心P的轨迹记为曲线C,则() A.c的方程为+上=1 95 B.∠MPN的最小值为120° 。师所+丽两对 D.曲线C在点P(,)处的切线方程为。+y=1 95 (多选)11.(6分)如图，长方体ABCD-AB,CD中，A4=2,AB=AD=2W3,E是 侧面AADD的中心，F是底面ABCD的中心，点M在线段AD上运动，则下面选项正确的 是() D C E/ M D R。 B A.直线EF与AB平行 B.四面体M-ABC的体积为定值 C.点B到平面45C的距离为y5 D.异面直线F与4C所成的角为写 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(2x-x2)1-的展开式中x的系数为 (用数字作答) 13e0a-1,2,a点'6专，则b的动值动 14.已知函数f(x)满足：①x∈R,f"(x)>0;②x,y∈R,f(x)f(y-x)=fy).若k 是方程fn2x+x)f(2x2-e-)=fI)的实根，则e-+2n2k= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 sin B(acosC+c cos A)=bcos B. (1)求B; 2)设D为边C的中点，若C-号，sAC的面积为14，末4D的长。 16.(15分)如图，梯形ABCD中，AD1/BC,BC=2AB=2CD=2AD=4,E为BC的 中点，将△CDE沿边DE折起，使点C到达点P的位置， (1)证明：DP⊥AP; (2)若二面角A-DE-P的大小为120°，求直线DP与平面BEP所成角的正弦值. P A 7(15分P知双曲线工二片=1a>0b>0的焦距为4，点(W6,)在r上 (1)求T的方程； (2)设过T的左焦点F的直线交T的左支于点A,B,过T的右焦点E,的直线交T的右支 于点C,D,若以A,B,C,D为顶点的四边形是面积为4V6的平行四边形，求直线AB 的方程。 18.(17分)已知函数f()=(x+1)(x-1)2,g(x)=al-x-x+1,a∈R. (1)求f(x)的极值： (2)证明：当0<a3时，f(x)≥8(x); (3)若g(x)<-1,求a的值 19.(17分)近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能(Artificial Intelligence,简称A) 已然成为技变革的核心驱动力.有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某高校拟与某 网络平台合作组织学生参加与A【知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿 的差异，用比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件A="学生报 名参加答题活动，8=学生为男士，据统计P()品严0-号列子 (1)根据已知条件，完成下列2×2列联表，并依据小概率值α=0.005的独立性检验，能 否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联？ 性别 男生 女生 合计 未报名参加答题活动 报名参加答题活动 合计 100 (2)网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定；每轮均设 置(>3)道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束， 答错则继续答题，直到第m道题答完，本轮答题结束.已知甲同学报名参加答题活动，假 设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为 ①求甲在一轮答题过程中答题数量5的数学期望； ②假设甲同学每轮答题答对前两题中的一道，本轮答题得2分，否则得1分.记甲答题累 计得分为n的慨率为Pn(n∈N),求D的最大值. 参考公式与数据：x2= n(ad-be)2 其中n=a+b+c+d. (a+b)(c+d(a+c)(b+d) 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 Xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828