26.2.1　二次函数y=ax2的图象和性质课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²的图象和性质，通过描点法绘制抛物线，系统讲解开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性等核心内容。课堂引入从回顾八年级一次函数学习顺序和函数研究方法切入，结合预习问题建立新旧知识联系，搭建学习支架。 其亮点在于以几何直观为基础，通过对比不同a值（a>0与a<0）的抛物线图象，引导学生观察异同培养推理意识，用表格梳理性质规范数学语言表达。如问题3对比y=x²、y=1/2x²、y=2x²的开口大小，例3用代数计算与性质分析两种方法比较函数值，帮助学生掌握数形结合思想，为教师提供结构化教学流程提升教学效率。

26.2.1　二次函数y=ax2的图象和性质 第二十六章　26.2　二次函数的图象和性质 2026-2027学年人教版数学九年级上册 学习目标 1.会用描点法画出形如y=ax2的二次函数图象，了解抛物线的有关概念.(重点) 2.通过观察图象能说出二次函数 y=ax2 的图象特征和性质.(难点) 3.在类比探究二次函数 y=ax2的图象和性质的过程中，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法和数形结合的思想. 课堂引入 1.八年级我们学习了一次函数的什么内容？顺序是什么？ 2.还记得如何研究函数的图象和性质的吗？ 3.预习课本，思考下面问题：(1)二次函数的图象是否仍是一条直线呢？若不是，那是什么呢？ (2)系数的符号(正负)与函数图象、性质是否有关呢？ 一、 二次函数y=ax2(a>0)的图象和性质 知识梳理 二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下.一般地，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象叫作抛物线y=ax2+bx+c. 问题1　请用描点法画二次函数y=x2的图象. 提示　列表：在y=x2中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值. x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … (2)描点：根据表中x，y的数值在坐标平面中描点(x，y). (3)连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y=x2的图象. 例1　(课本P34例1)在同一平面直角坐标系中，画出函数y=x2，y=2x2的图象. 解　分别列表，再画出它们的图象(如图). x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y=x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y=2x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … 反思感悟 在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越准确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可，因此为努力展现函数图象的全貌，一定要用平滑的曲线连接描出的各点，并且为突出函数图象无限伸展的特点，所连的线要超出第一个点与最后一个点. 问题2　观察二次函数y=x2，y=2x2的图象，分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；再指出图象有最高点还是最低点？图象何时上升、下降？ 提示　两个函数图象都开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，图象有最低点.在对称轴的左侧(即x<0)，y随x的增大而减小； 在对称轴的右侧(即x>0)，y随x的增大而增大. 问题3　观察二次函数y=x2，y=x2，y=2x2的图象，指出它们有哪些相同点和不同点？ 提示　相同点：开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点(最低点). y轴左侧，y随x增大而减小； y轴右侧，y随x增大而增大. 不同点：a值越大，抛物线的开口越小. 知识梳理 二次函数 y=ax2(a≠0) a的符号 a>0 图象   开口方向 向上 顶点坐标 (0，0) 对称轴 y轴 知识梳理 增减性 在对称轴的左侧(即x<0)，y随x的增大而减小； 在对称轴的右侧(即x>0)，y随x的增大而增大 最值 当x=0时，y最小=0 开口大小 a越大，开口越小 跟踪训练1　(1)关于二次函数y=10x2的图象，下列说法错误的是 A.它是一条抛物线 B.它的开口向上 C.它的顶点是抛物线的最高点 D.关于y轴对称 √ (2)下列函数中，y总随x增大而减小的是 A.y=4x B.y=-4x C.y=x-4 D.y=x2 √ 二、 二次函数y=ax2(a<0)的图象和性质 问题4　在同一平面直角坐标系中，画出函数y=-x2，y=-x2，y=-2x2的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点. 提示　如图，共同点：开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点(最高点). y轴左侧，y随x增大而增大； y轴右侧，y随x增大而减小. 不同点：a值越小，抛物线的开口越小. 知识梳理 二次函数 y=ax2(a≠0) a的符号 a<0 图象   开口方向 向下 顶点坐标 ___________ 原点(0，0) 知识梳理 对称轴 ______ 增减性 (即x<0)，y随x的增大而增大； (即x>0)，y随x的增大而减小 最值 当x=0时，y最大=0 开口大小 __________________ y轴 在对称轴左侧 在对称轴右侧 a越小，开口越小 例2　说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： (1)y=3x2；(2)y=-3x2； (3)y=x2；(4)y=-x2. 解　(1)开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点. (2)开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点. (3)开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点. (4)开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点. 跟踪训练2　抛物线y=-x2在x轴的　　方(除顶点外)，  当x<0时，y随着x的　　　　　　；  当x>0时，y随着x的　　　　　　；  当x=0时，函数y的值最大，最大值是　　.  下 增大而增大 增大而减小 0 三、 利用二次函数y=ax2的增减性比较大小 例3　已知实数a且a>1，如果点A(-a-1，m)，B(a，n)，C(a+1，q)都在抛物线y=x2上，请你用两种不同的方法比较m，n，q的大小. 解　方法一　利用二次函数的值进行比较： ∵点A(-a-1，m)，B(a，n)，C(a+1，q)都在抛物线y=x2上， ∴m=(-a-1)2=(a+1)2，n=a2，q=(a+1)2. ∴m=q. ∵a>1，∴a+1>a>1，则(a+1)2>a2， 即q>n. ∴m，n，q之间的大小关系为m=q>n. 例3　已知实数a且a>1，如果点A(-a-1，m)，B(a，n)，C(a+1，q)都在抛物线y=x2上，请你用两种不同的方法比较m，n，q的大小. 解　方法二　利用二次函数的性质进行比较： ∵点A(-a-1，m)，B(a，n)，C(a+1，q)都在抛物线y=x2上，且点A与点C关于抛物线y=x2的对称轴对称， ∴m=q. ∵抛物线y=x2的对称轴为y轴，且a>1， ∴点B，C都在y轴的右侧，且点C在点B的右侧. ∵当x>1时，二次函数y=x2的值随x的增大而增大，∴q>n. ∴m，n，q之间的大小关系为m=q>n. 跟踪训练3　已知点M(3，m)，N(5，n)都是抛物线y=-x2上的点，则m，n的大小关系是　　　　.  解析　当x>0时，二次函数y=-x2随x的增大而减小，又3<5，所以m>n. m>n 课堂小结 1.下列各点中，一定在二次函数y=-x2的图象上的点是 A.(2，6) B.(-2，6) C.(-2，12) D.(2，-12) 随堂演练 解析　把各点坐标分别代入二次函数y=-x2中检验，只有D中的点满足函数关系式. √ 2.二次函数y=5x2，y=3x2，y=x2，y=2x2的图象中开口最大的是 A.y=5x2 B.y=3x2 C.y=x2 D.y=2x2 随堂演练 解析　∵二次项系数的绝对值1<2<3<5， ∴二次函数y=5x2，y=3x2，y=x2，y=2x2的图象中开口最大的是y=x2. √ 3.已知下列三个函数：①y=-x；②y=x；③y=x2.当x<0时，y随x的增大而减小的函数有 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 随堂演练 解析　根据一次函数、二次函数y=ax2的性质，可知当x<0时，y随x的增大而减小的函数是①③. √ 4.抛物线y=6x2的对称轴是　　　　，顶点坐标是　　　　.  随堂演练 y轴 (0，0) 5.在同一平面直角坐标系中，画出函数y=3x2和y=-x2的图象. 随堂演练 解　分别列表，再画出它们的图象，如图. x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y=3x2 … 12 6.75 3 0.75 0 0.75 3 6.75 12 … x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y=-x2 … - -3 - - 0 - - -3 - … 谢谢观看 $