精品解析：江苏省通州高级中学2025-2026学年高二下学期数学综合训练（2）

通州高级中学2024级高二（下）数学综合训练（二） 一、单选题本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 一辆汽车在公路上直线变速行驶，假设汽车在某一段路内秒时的位移（单位：米）为，则汽车在第1秒时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知两个线性相关变量与的统计数据如下表： 其回归直线方程是，据此计算，则样本点在处的残差为（ ） A. B. C. D. 4. 已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） A. 128 B. 256 C. 512 D. 1024 5. 在三次独立重复射击中，若至少有一次击中目标的概率为，则每次射击击中目标的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 某同学根据一组数据作出如图所示的散点图，并对这组数据进行回归分析后发现遗漏了点，增加点后再次进行回归分析，得到的结果和原来相比（ ） A. 相关系数r变大 B. 决定系数变小 C. 残差平方和变小 D. 不变 7. 已知随机变量均服从两点分布，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1~6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌次，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有这9个数（1张卡片上标1个数)，从中不放回的依次抽取卡片，每次抽1张．“第一次抽取的卡片号为奇数”记为事件A，“前两次抽取的卡片号之和为偶数”记为事件B，则（ ） A. B. C. D. 10. “天宫课堂”是为发挥中国空间站的综合效益，推出的首个太空科普教育品牌.为了解学生对“天宫课堂”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，得到以下数据，则（ ） 喜欢天宫课堂 不喜欢天宫课堂 男生 80 20 女生 70 30 参考公式及数据：①，.②当时，. A. 从这200名学生中任选1人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概率为 B. 用样本的频率估计概率，从全校学生中任选3人，恰有2人不喜欢天宫课堂的概率为 C. 根据小概率值的独立性检验，认为喜欢天宫课堂与性别没有关联 D. 对抽取的喜欢天宫课堂的学生进行天文知识测试，男生的平均成绩为80，女生的平均成绩为90，则参加测试的学生成绩的均值为85 11. 如图，在边长为1个单位长度的正六边形对角线的交点O处有一个质点，随机的沿A，B，C，D，E，F，O中相邻两个点的连线构成的轨道移动，且在每一点处都等可能的向与它相邻的点移动，每次移动1个单位长度，则（ ） A. 移动两次后位于点A的概率为 B. 移动两次后位于点O的概率为 C. 移动三次后位于点F的概率为 D. 移动n次后位于点O的概率为 三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量X，Y分别满足，，且均值，方差，则________. 13. 已知曲线在点处的切线与二次函数的图象只有一个公共点，则所有实数a的可能取值之和为________． 14. 从集合的子集中选出2个不同的子集A，B，且，则选法有________种． 四、解答题本题共5小题，共77分.（15题13分，16，17题15分，17，18题17分） 15. 已知曲线． （1）若在点处的切线与直线平行，求实数的值； （2）若曲线与曲线在第一象限的公共点处的切线互相垂直，求实数的值． 16. 已知，且． （1）求二项式系数最大的项； （2）求的值． 17. “爱国、敬业、诚信、友善”是社会主义核心价值观个人层面的价值准则.某学校为加强对学生的教育，倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表： 售出水量 （单位：箱） 7 6 6 5 6 收益 （单位：元） 165 142 148 125 150 （1）求收益y关于售出水量x的回归直线方程，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？ （2）期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级从第201名到500名的同学，获二等奖学金300元；考入年级501名及以后的特困生不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为.如果已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望 附： 18. 某校为庆祝建校百年，由学校团委、学生会组织开展“奋斗进程”校史知识竞赛活动，每位参赛者均需要回答个题目，可以从个组题目和若干个组题目中，共选择3个题目作答.A组题目每正确回答1个得10分，B组题目每正确回答1个得分，不能正确回答的题目均不得分，参赛者总得分为3个题目得分之和.已知小王恰能正确回答A组题中的4个题目，B组题目每个正确回答的概率均为，且能否正确回答A组和B组题目互不影响. （1）已知小王两组题目均有选择，以他至少答对1个题目的概率为依据，试确定他分别选择两组题目的数量的策略； （2）记小王总得分为. （i）若选择的3个题目均为A组题目，求的分布列及数学期望； （ii）试确定，使小王在选择3个题目时，无论怎样调整A、B组题目数量，其总得分保持期望稳定，并说明理由.（参考公式：，其中、为随机变量） 19. 箱子中有大小和质地相同的红球、白球和黑球共个，其中红球的个数为，现从箱子中不放回地随机摸球，每次摸出一个球，并依次编号为1，2，3，……，，直到箱子中的球被摸完为止． （1）求2号球为红球的概率（用与表示）； （2）若，，记随机变量为最后一个红球被摸出时的编号，求； （3）若箱子中白球、黑球的个数分别为，，求红球先于白球和黑球被摸完（红球被全部摸出，白球和黑球都有剩余）的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 通州高级中学2024级高二（下）数学综合训练（二） 一、单选题本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 一辆汽车在公路上直线变速行驶，假设汽车在某一段路内秒时的位移（单位：米）为，则汽车在第1秒时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的物理意义，结合导数的计算，可得答案. 【详解】由，得， 则汽车在第1秒时的瞬时速度为. 故选：C． 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的定义，把转化为，利用导数的四则运算求出，代入即可求解. 【详解】由可得，， ． 故选：C 3. 已知两个线性相关变量与的统计数据如下表： 其回归直线方程是，据此计算，则样本点在处的残差为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据样本中心点在回归直线方程上，可得的值，然后计算样本估计值，从而得到残差. 【详解】根据题意，， 又在回归直线方程上，所以， 所以回归直线方程为， 时，得到预估值为3.15， 所以样本点在处的残差为. 故选：B. 4. 已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） A. 128 B. 256 C. 512 D. 1024 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式系数性质，列出方程，求出参数，求出奇数项的二项式系数和. 【详解】由二项式系数性质可知，第4项的二项式系数为，第7项的二项式系数为， 当时，可知； 可得，则奇数项的二项式系数和为. 故选：B. 5. 在三次独立重复射击中，若至少有一次击中目标的概率为，则每次射击击中目标的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题可利用独立重复试验的概率公式，通过“至少有一次击中目标”的对立事件“三次都未击中目标”来求解每次射击击中目标的概率. 【详解】设每次射击击中目标的概率为p， 因为至少有一次击中目标的概率为， 所以三次都未击中目标的概率为，即，解得. 故选：D 6. 某同学根据一组数据作出如图所示的散点图，并对这组数据进行回归分析后发现遗漏了点，增加点后再次进行回归分析，得到的结果和原来相比（ ） A. 相关系数r变大 B. 决定系数变小 C. 残差平方和变小 D. 不变 【答案】B 【解析】 【分析】从图中分析得到加入点后，回归效果会变差，再由平均数，相关系数，决定系数，残差平方和及相关性的概念和性质作出判断即可. 【详解】增加点，从散点图中可以看出拟合效果变差； 越接近，相关程度越强，拟合效果越好，由于两个变量成正相关，所以相关系数变小；故A错误； 决定系数越接近，拟合效果越好，所以决定系数变小，故B正确； 残差平方和越小，拟合效果越好，所以残差平方和变大；故C错误； 增加点前的的平均数为，增加点后的的平均数为，所以变大，故D错误. 故选：B 7. 已知随机变量均服从两点分布，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两点分布分别求得的概率，再由求出，由条件概率公式计算. 【详解】因为随机变量均服从两点分布，所以， 因为， 所以， 由条件概率公式， 故选：B. 8. 甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1~6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌次，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分甲乙出牌的张数和甲乙胜负情况结合古典概率和二项分布讨论. 【详解】甲乙每次出牌1张，若两人出牌的点数都是偶数或都是奇数，则平局， 所以平局的概率， 若甲胜，则结果有、、、、、、、、，共9种， 所以甲胜的概率为，同理乙胜的概率也为， 各出牌4次后停止游戏，若4次全平局，概率为； 若平局2次，则最后1次不能是平局， 另外2次甲全胜或乙全胜，概率为， 若平局0次，则一方3胜1负，且负的1次只能在前2次中，概率为， 所以. 故选：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是分类的标准. 二、多选题本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有这9个数（1张卡片上标1个数)，从中不放回的依次抽取卡片，每次抽1张．“第一次抽取的卡片号为奇数”记为事件A，“前两次抽取的卡片号之和为偶数”记为事件B，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用全概率公式来判断A，利用条件概率乘法公式来判断B，利用条件概率除法公式来判断C，利用互斥事件概率和公式来判断D. 【详解】利用全概率公式计算：，故A正确； 由，，而，故B错误； 由，故C正确； 由，故D正确； 故选：ACD 10. “天宫课堂”是为发挥中国空间站的综合效益，推出的首个太空科普教育品牌.为了解学生对“天宫课堂”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，得到以下数据，则（ ） 喜欢天宫课堂 不喜欢天宫课堂 男生 80 20 女生 70 30 参考公式及数据：①，.②当时，. A. 从这200名学生中任选1人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概率为 B. 用样本的频率估计概率，从全校学生中任选3人，恰有2人不喜欢天宫课堂的概率为 C. 根据小概率值的独立性检验，认为喜欢天宫课堂与性别没有关联 D. 对抽取的喜欢天宫课堂的学生进行天文知识测试，男生的平均成绩为80，女生的平均成绩为90，则参加测试的学生成绩的均值为85 【答案】BC 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式判断A，首先求出样本中喜欢天宫课堂的频率，再根据独立重复试验的概率公式判断B，计算出卡方，即可判断C，根据平均公式判断D. 【详解】对于A：从这200名学生中任选1人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概率，故A错误； 对于B：样本中喜欢天宫课堂的频率，从全校学生中任选3人， 恰有2人不喜欢天宫课堂的概率，故B正确； 对于C：因为， 所以根据小概率值的独立性检验，认为喜欢天宫课堂与性别没有关联，故C正确； 对于D：抽取的喜欢天宫课堂的学生男、女生人数分别为、， 又男生的平均成绩为，女生的平均成绩为，所以参加测试的学生成绩的均值为，故D错误； 故选：BC 11. 如图，在边长为1个单位长度的正六边形对角线的交点O处有一个质点，随机的沿A，B，C，D，E，F，O中相邻两个点的连线构成的轨道移动，且在每一点处都等可能的向与它相邻的点移动，每次移动1个单位长度，则（ ） A. 移动两次后位于点A的概率为 B. 移动两次后位于点O的概率为 C. 移动三次后位于点F的概率为 D. 移动n次后位于点O的概率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据移动过程，结合独立事件概率公式和互斥事件概率公式计算概率判断ABC，设移动n次后位于点O的概率为，找到与的关系后再利用数列知识求解后判断D. 【详解】对A， 移动两次后位于点A，需要第一次移动到B或F，然后再移动到A，概率为，A错； 对B，移动两次后位于点O，第一次移出去，第二次再移回来，概率为，B正确； 对C，移动三次后位于点F，前两次移动到O或A或E,因此概率为，C正确； 对D，设移动n次后位于点O的概率为，则前一次一定在非点，概率为， 所以，从而， 又，所以，所以，D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：对D，在求时，关键是找到与的关系，第次必须在非点（概率为），第次才能移动到点，由此得出关系式，其次关键点是凑配出等比数列，利用等比数列通项公式求解. 三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量X，Y分别满足，，且均值，方差，则________. 【答案】##0.2 【解析】 【分析】由二项分布和正态分布的期望、方差公式建立方程，求解即可. 【详解】解：因为随机变量X，Y分别满足，， 所以，， 解得， 故答案为：. 13. 已知曲线在点处的切线与二次函数的图象只有一个公共点，则所有实数a的可能取值之和为________． 【答案】5 【解析】 【分析】求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切线方程，再联立切线与二次函数解析式，消元，由计算可得． 【详解】因为，则，则 ， 所以曲线在点处的切线为，即， 由，即， 则，解得或，所以. 14. 从集合的子集中选出2个不同的子集A，B，且，则选法有________种． 【答案】 【解析】 【分析】因为，故不妨设元素少的为，元素多的为，为的真子集，讨论，所含元素个数，利用二项式定理和分组求和求解． 【详解】当为空集时，可以包含个元素， 所以共有种选法； 当只含有1个元素时，可以包含个元素， 所以共有种选法； 当只含有2个元素时，可以包含个元素， 所以共有种选法； 当只含有3个元素时，包含个元素， 所以共有种选法； 当只含有个元素时，可以包含个元素， 所以共有种选法； ……… 当有个元素时，包含个元素， 所以共有种选法； 当有个元素时，包含个元素， 所以共有种选法； 故共有 ． 四、解答题本题共5小题，共77分.（15题13分，16，17题15分，17，18题17分） 15. 已知曲线． （1）若在点处的切线与直线平行，求实数的值； （2）若曲线与曲线在第一象限的公共点处的切线互相垂直，求实数的值． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）设公共点为，由题设可得，可得，，再将公共点代入两曲线方程化简可得，进而求解即可. 【小问1详解】 由，则， 而直线的斜率为3， 所以，解得. 【小问2详解】 由题意，，， 设公共点为，则，， 由于曲线与曲线在第一象限的公共点处的切线互相垂直， 所以，则，， 又，则， 所以，解得. 16. 已知，且． （1）求二项式系数最大的项； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由二项展开式通项公式得出，然后由求出，根据二项式系数的性质得出最大项的项数，再求出该项即可； （2）在展开式中令可得，令再结合可得结论． 【小问1详解】 展开式通项为， 令， 所以，结合，故． 二项式系数最大的项为第5项． 【小问2详解】 在中， 令得：， 令，则，所以． 所以． 17. “爱国、敬业、诚信、友善”是社会主义核心价值观个人层面的价值准则.某学校为加强对学生的教育，倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表： 售出水量 （单位：箱） 7 6 6 5 6 收益 （单位：元） 165 142 148 125 150 （1）求收益y关于售出水量x的回归直线方程，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？ （2）期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级从第201名到500名的同学，获二等奖学金300元；考入年级501名及以后的特困生不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为.如果已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望 附： 【答案】（1），186 （2）分布列： X 0 300 500 600 800 1000 P 数学期望为600 【解析】 【分析】（1）求出、，从而求出回归方程，将代入求出即可； （2）计算对应的概率的值，求出其分布列和期望值即可． 【小问1详解】 ， ， ， 当时，（元）， 即某天售出8箱水的预计收益是186元. 【小问2详解】 X的取值可能为0，300，500，600，800，1000， ，， ，， ，， 即X的分布列为 X 0 300 500 600 800 1000 P X的数学期望 （元）. 18. 某校为庆祝建校百年，由学校团委、学生会组织开展“奋斗进程”校史知识竞赛活动，每位参赛者均需要回答个题目，可以从个组题目和若干个组题目中，共选择3个题目作答.A组题目每正确回答1个得10分，B组题目每正确回答1个得分，不能正确回答的题目均不得分，参赛者总得分为3个题目得分之和.已知小王恰能正确回答A组题中的4个题目，B组题目每个正确回答的概率均为，且能否正确回答A组和B组题目互不影响. （1）已知小王两组题目均有选择，以他至少答对1个题目的概率为依据，试确定他分别选择两组题目的数量的策略； （2）记小王总得分为. （i）若选择的3个题目均为A组题目，求的分布列及数学期望； （ii）试确定，使小王在选择3个题目时，无论怎样调整A、B组题目数量，其总得分保持期望稳定，并说明理由.（参考公式：，其中、为随机变量） 【答案】（1）小王应选择2个A组题目和1个B组题目的策略 （2）（i）记小王所选题目中A组题目得分为，B组题目得分为，， 由于选择的三个题目均有A组题目，其得分为， 则，，， 故的分布列为： 10 20 30 故， （ii）设小王选择的3个题目中组题目数量为，组题目数量为，其中， 则服从超几何分布，，，， ， 当时，的值与无关， 即当时，无论小王如何调整组题目数量，其总得分的期望均为20分. 【解析】 【分析】（1）小王两组题目均有选择的方案有两种，1个A组题目和2个B组题目；2个A组题目和1个B组题目，分别记两种情况下小王至少答对1个题目的概率为，，求得，，可得结论； （2）记小王所选题目中A组题目得分为，B组题目得分为，，（i）由于选择的三个题目均有A组题目，其得分为，利用超几何分布求得分布列，可求数学期望；（ii）设小王选择的3个题目中A组题目数量为，B组题目数量为，其中，则服从超几何分布，，计算数学期望可得结论. 【小问1详解】 小王两组题目均有选择的方案有两种， 1个A组题目和2个B组题目；2个A组题目和1个B组题目， 分别记两种情况下小王至少答对1个题目的概率为，， ， ， 因为，所以， 以至少答对1个题目的概率为依据，小王应选择2个A组题目和1个B组题目的策略. 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 19. 箱子中有大小和质地相同的红球、白球和黑球共个，其中红球的个数为，现从箱子中不放回地随机摸球，每次摸出一个球，并依次编号为1，2，3，……，，直到箱子中的球被摸完为止． （1）求2号球为红球的概率（用与表示）； （2）若，，记随机变量为最后一个红球被摸出时的编号，求； （3）若箱子中白球、黑球的个数分别为，，求红球先于白球和黑球被摸完（红球被全部摸出，白球和黑球都有剩余）的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设事件：第号球为红球，利用全概率公式求； （2）根据题意，先得出的可能取值为：，结合题意，求出对应的概率，进而可得出分布列，再由期望的计算公式，即可求出结果； （3）将箱子中红球、白球、黑球的个数分别为，，，按照比例转化为，红球1个、白球1个、黑球2个进行考察再进行全排列，利用概率公式求解答案. 【小问1详解】 设事件：第号球为红球， 则 ； 【小问2详解】 根据题意，随机变量的取值为， 从袋中个红球和个其他颜色球中，将红球全部摸出，共有种情况； 则，， ，， ，，， 所以的分布列为： 因此其数学期望为： ； 【小问3详解】 解法一：根据题目本题主要关注的问题是最后一球是什么颜色的球. 问题1：如果最后一球为红球，即红球摸完时，白球、黑求已经全部摸完， 此时的概率为， 同理可得，最后一球为白球的概率为， 最后一球为黑球的概率为， 将箱子中红球、白球、黑球的个数分别为，，， 按照比例转化为，红球1个、白球1个、黑球2个进行考查. 问题2：发现最后一球是红的概率为，最后一球是白球的概率为， 最后一球是黑的概率为，所以问题1与问题2等价. 不妨令红球为a，白球为b，黑球为c，d，则全排列作为概率公式分母，即. 记“红球先于白球和黑球被摸完（红球被全部摸出，白球和黑球都有剩余）”为事件A， 现在对事件A进行分析： 第一类：a在首位时，b，c，d全排列，有种可能； 第二类：a在第二位时，b必须在第三或第四位，c，d全排列，有种可能； 共种可能. 所以. 解法二：考虑最后一个球的颜色情况： ①最后一个球是白球： i)将全部黑球放入白球前面，共1种方法； ii）再将全部红球一个一个放入，确保最后一个红球后面有黑球和白球：有种方法； iii)最后将剩余的()个白球放入：有种方法； 所以情况①共有种. ②最后一个球是黑球： 过程类似于情况①，共有种. 综上所述： 【点睛】关键点点睛：将箱子中红球、白球、黑球的个数分别为，，，按照比例转化为，红球1个、白球1个、黑球2个进行考查. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $