精品解析：江苏南京师范大学附属中学、天一中学、海安高级中学、海门中学2025-2026学年高二下学期6月测试数学试卷

南师附中、天一、海安、海门2027届高二年级6月测试 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若随机变量，且，则的值为（ ） A. 0.2 B. 0.32 C. 0.4 D. 0.8 3. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 为研究空气相对湿度x和土壤含水量y之间的关系，某课题研究小组采集了9组数据，绘制散点图如图所示，并对x，y进行线性回归分析．若在此图中加上点P后，再次对x，y进行线性回归分析，则下列说法正确的是( ) A. x，y不具有线性相关性 B. x，y线性相关性变强 C. 相关系数r变小 D. x，y负相关 6. 某校高二年级开设数学、物理、化学、生物四个竞赛课程，小李，小王，小陈三名同学，每人至少选一个课程，至多选两个课程，且每个课程恰有1人选择，则不同的选择方法种数为（ ） A. 72 B. 36 C. 18 D. 24 7. 某平台有的文章由生成，为识别文章，平台使用一款检测系统．该系统对生成文章的识别率为，但对人类撰写的文章会有的概率误判为生成．现从平台上随机抽取一篇文章，如果被该系统判定为生成，那么这篇文章实际是生成的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知平行六面体的底面是边长为2的正方形，，．动点M满足，，且平面，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 今天是星期二，天后是星期三 11. 已知函数，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 函数的最小值为 C. 若有且仅有一个实根，则 D. 若有三个实根，，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中，的系数为________． 13. 已知，，，则________． 14. 某同学进行一项摸球试验，已知袋中装有三个形状、大小均相同的小球，分别标有数字1，2，3．某同学从袋中有放回地依次随机摸出一球：若连续摸出三次奇数编号的球，则试验成功；连续摸出两次偶数编号的球，则试验失败．则该同学试验成功的概率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合或． （1）若， ，求实数的取值范围； （2）设，，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 16. 如图，在四棱锥中，，，，为棱 的中点，平面． （1）求证： 平面； （2）若二面角的大小为，求点A到平面的距离． 17. 某社团调研男女同学课余运动偏好，统计数据如下列联表： 喜爱球类 喜爱慢跑 合计 男生 24 16 40 女生 12 28 40 合计 36 44 80 （1）依据小概率值的独立性检验，判断是否认为运动偏好与性别有关； （2）从男生中按喜爱的运动分层抽样抽取10人，再从这10人中随机选6人，设X为6人中喜爱球类与喜爱慢跑人数之差的绝对值，求X的分布列与数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 18. 已知函数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数在单调递增，求a的取值范围； （3）当且时，求证：． 19. 某工厂生产某种商品的成本为每件2a元()，正常售价为每件4a元．该商品的市场需求量为随机变量X(单位：万件)，当产量大于市场需求量时会造成商品积压，积压的商品必须降价处理，按每件a元售出(假设降价后所有积压商品均可售出)．根据一段时间的统计，得到该商品的市场需求量X的频率分布表如下： X(万件) 1 2 3 4 5 6 7 频率 0.01 0.02 0.04 0.07 0.10 0.12 0.13 X(万件) 8 9 10 11 12 13 14 频率 0.12 0.11 0.09 0.07 0.05 0.03 0.04 以该商品需求量的频率代替其概率．设计划产量为n(n为正整数，)万件时，该商品的总利润为随机变量(单位：万元)． （1）求； （2）当时，求的分布列(用含a的式子表示)； （3）证明：，并求计划产量n的值，使总利润的数学期望最大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南师附中、天一、海安、海门2027届高二年级6月测试 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】令，可得，解得， 令，化简得，解得， 故，， 综上可得，故D正确. 2. 若随机变量，且，则的值为（ ） A. 0.2 B. 0.32 C. 0.4 D. 0.8 【答案】A 【解析】 【详解】随机变量，则概率密度曲线关于直线对称，所以，则. 3. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用充分条件与必要条件定义，结合直线与平面的位置关系判断即可得. 【详解】由，，若，则与可能平行也可能相交； 由，，若，则与可能平行、可能异面也可能相交； 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 4. 若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为命题“，使得”是假命题，所以其命题的否定“，使得”是真命题： 当时，不等式即，符合题意； 当时，命题为真等价于，解得， 综上所述，. 5. 为研究空气相对湿度x和土壤含水量y之间的关系，某课题研究小组采集了9组数据，绘制散点图如图所示，并对x，y进行线性回归分析．若在此图中加上点P后，再次对x，y进行线性回归分析，则下列说法正确的是( ) A. x，y不具有线性相关性 B. x，y线性相关性变强 C. 相关系数r变小 D. x，y负相关 【答案】C 【解析】 【分析】通过散点分布判断变量的正相关属性，结合离群点对线性相关程度的削弱作用，推导相关系数的变化，进而逐一判断选项正误. 【详解】原有9组数据对应的散点整体呈从左下向右上的分布趋势， 表明与呈正相关，具备一定线性相关性. 加入点后，该点取值较小、取值较大，偏离整体线性趋势， 会使变量间的线性相关程度减弱.正相关时相关系数，且越趋近于1， 线性相关性越强，因此相关性减弱对应相关系数变小. 据此判断各选项：仍具有线性相关性，仅相关程度下降，A错误； 线性相关性变弱，并非变强，B错误；相关系数变小，C正确； 变量仍为正相关，D错误. 6. 某校高二年级开设数学、物理、化学、生物四个竞赛课程，小李，小王，小陈三名同学，每人至少选一个课程，至多选两个课程，且每个课程恰有1人选择，则不同的选择方法种数为（ ） A. 72 B. 36 C. 18 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】依题意有一名同学选择了两个课程，通过排列组合计算出方法种数. 【详解】四个竞赛课程有三名同学选择，每个课程恰有1人选择，那么有一名同学选择了两个课程，剩下两个课程由余下两名同学选择，所以，. 7. 某平台有的文章由生成，为识别文章，平台使用一款检测系统．该系统对生成文章的识别率为，但对人类撰写的文章会有的概率误判为生成．现从平台上随机抽取一篇文章，如果被该系统判定为生成，那么这篇文章实际是生成的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意设出事件，然后用条件概率公式计算，全概率公式计算，再用条件概率计算. 【详解】 根据题意可得：设事件为文章实际是AI生成，事件文章被系统判定为AI生成， 又因为， ，AI文章的识别率为， 即，人类文章误判率为，即 ， 根据条件概率公式可得：， 又根据全概率公式可得： ， 所以. 8. 已知平行六面体的底面是边长为2的正方形，，．动点M满足，，且平面，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再结合空间向量的模长公式和二次函数的性质求解即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，作面， 以为原点，建立空间直角坐标系， 由题意得，，，，， 则，，， 而，由两点间距离公式得， 因为，所以，解得， 因为，所以，解得， 代入可得，解得（负根舍去）， 得到，则， 因为，所以， 设，则，可得，解得， 而，可得， 则，而，， 设面的法向量为，则， 令，解得，，可得， 因为平面，所以， 得到，化简得， 此时变为， 则，由模长公式得， 令，由二次函数性质得在处取得最小值， 而，则. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】选项A：因为，，且，所以，解得，当且仅当时取等号，故选项A不正确； 选项B：因为，，且，所以， 解得（舍去）或，故选项B正确； 选项C：因为，，且， 所以, 仅当即，，时取等号，故选项C正确； 选项D：由选项B知，，所以， 仅当时取等号，故选项D正确. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 今天是星期二，天后是星期三 【答案】AC 【解析】 【分析】利用二项式定理以及对变量取特殊值可解. 【详解】令，则. 所以. 由二项式定理可得展开式的通项，且. 对于A，，故A正确； 对于B，令，得. 令得 所以，即，故B错误； 对于C，对两边取导数， 得. 令，得，故C正确； 对于D， . 因为(，，)， 所以除以7的余数为2.今天是星期二，天后是星期四，故错误. 11. 已知函数，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 函数的最小值为 C. 若有且仅有一个实根，则 D. 若有三个实根，，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A项代入解析式求解化简即可判断；B项分段研究，利用导数与复合函数单调性可得；CD项将方程变形为方程，，结合两函数的单调性，分析图象交点个数，分别求解参数范围与交点坐标满足的关系即可. 【详解】A项，由题意得 ，故A项正确； B项，， 当时，， 则， 故在上单调递增； 当时，由与复合函数单调性可知，在上单调递减； 故，故B项正确； C项，由题意知，则， 且方程可化为， 即， 又，且， 故方程可化为，， 由在上单调递减，在上单调递增， 又因为，，可知函数单调递增， 且，且当时，； 且函数在上单调递减，在上单调递增， ，且当时，；当时，； 结合函数图象可知，方程在必有一个实根， 故要使方程有且仅有一个实根， 则方程在无实根，即两函数与的图象无交点， 即方程在无解， 又当时，，即方程在也无解， 故问题可转化为方程在无解，求的取值范围， 由此可得在无解， 令，则， 所以当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 则， 且当时，；当时，，且恒有， 作出函数的大致图象， 由，要使方程在无解，则有，故C项错误； D项，由C项可知，要使得方程有三个实根， 则在上恰有两个实根， 又，，所以成立， 故当时，方程有三个实根， 由题意，三根为， 由C项求解可知，方程，在上必有一个实根， 由，则，故， 且，，， 则，故D项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中，的系数为________． 【答案】9 【解析】 【分析】利用通项公式求解. 【详解】 的通项公式为 ，, 第一部分 产生 ， 令 不是整数，此部分无项，系数为 0； 第二部分产生， ，令,解得 ，此部分系数为 ， 所以系数为0+9=9. 13. 已知，，，则________． 【答案】##0.375 【解析】 【分析】利用条件概率公式和全概率公式可求解. 【详解】∵，，， ∴，， . ∴. 14. 某同学进行一项摸球试验，已知袋中装有三个形状、大小均相同的小球，分别标有数字1，2，3．某同学从袋中有放回地依次随机摸出一球：若连续摸出三次奇数编号的球，则试验成功；连续摸出两次偶数编号的球，则试验失败．则该同学试验成功的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】定义不同情况下最终试验成功的概率，结合独立乘法、互斥加法列出方程组即可求解. 【详解】由题意得，每次摸到奇数球的概率为，摸到偶数球的概率为. 设当前无连续出现同种球时最终成功的概率为，已经连续出现一次奇数球时最终成功的概率为， 已经连续出现两次奇数球时最终成功的概率为，已经连续出现一次偶数球时最终成功的概率为， 则，解得， 因此最终试验成功的概率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合或． （1）若， ，求实数的取值范围； （2）设，，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意可得，解出即可得； （2）由题意可得 ，再分及计算即可得. 【小问1详解】 若 ，则A的所有元素都不在B中，可得不等式组， 解得 ，即m的取值范围为； 【小问2详解】 若p是q的充分条件，则 ，即A的所有元素都属于B， ①，此时 ，解得； ②，此时，解得； 综上，的取值范围是或． 16. 如图，在四棱锥中，，，，为棱 的中点，平面． （1）求证： 平面； （2）若二面角的大小为，求点A到平面的距离． 【答案】（1）如图，连接， 因为，， 又为棱 的中点，则，， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形得到，由线面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，由二面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面．平面， 所以，因为，，所以， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图的空间直角坐标系， 则，，，，设， 所以，，， 设平面一个的法向量为， 则，取， 取平面的一个法向量为， 因为二面角的大小为， 所以， 所以A到平面的距离等于． 17. 某社团调研男女同学课余运动偏好，统计数据如下列联表： 喜爱球类 喜爱慢跑 合计 男生 24 16 40 女生 12 28 40 合计 36 44 80 （1）依据小概率值的独立性检验，判断是否认为运动偏好与性别有关； （2）从男生中按喜爱的运动分层抽样抽取10人，再从这10人中随机选6人，设X为6人中喜爱球类与喜爱慢跑人数之差的绝对值，求X的分布列与数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）依据小概率值的独立性检验，认为运动偏好与性别有关. （2）分布列为： X 0 2 4 6 P 【解析】 【分析】第一小问直计算并与3.841比较大小；第二小问求出离散型随机变量的概率、列出分布列和期望. 注意X为6人中喜爱球类与喜爱慢跑人数之差的绝对值，X的可能取值为0，2，4，6，其中含喜爱球类与喜爱慢跑人数之差为2和两种情况. 【小问1详解】 提出零假设：运动偏好与性别无关． ， 所以有的把握认为运动偏好与性别有关． 【小问2详解】 按分层抽样10名男生中喜爱球类有6人，喜爱慢跑有4人． X的可能取值为0，2，4，6， ， ， ， ， 所以X的分布列为： X 0 2 4 6 P 所以． 18. 已知函数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数在单调递增，求a的取值范围； （3）当且时，求证：． 【答案】（1） （2） （3） 当且时，因， 则要证只需证， 当时，令，则， 因为对，都有，所以， 即在上单调递增，当时，， 所以在上单调递增，且， 则对所有，都有，即，所以， 同理，令，，令， 解得，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以是的极小值点，也是上的最小值点， 即，所以，即， 所以，即当时，和，则， 所以只需证，即， 令，求导得：，设,则， 因此在上单调递增，又因为，， 所以存在唯一的，， 因此在上单调递减，在上单调递增， 在处取到最小值， 所以在上恒成立，因此，当时，不等式成立． 【解析】 【分析】（1）先对给定函数求导，再将切点横坐标代入导函数得切线斜率，最后用点斜式写出切线方程. （2）先由函数单调递增得出导函数大于等于0，分离参数后构造新函数，通过求新函数导数判断单调性进而求最小值确定参数范围. （3）先利用放缩原不等式，再结合常见不等式进一步化简，最后构造函数，通过导数研究其单调性和最值证明化简后的不等式. 【小问1详解】 当时，，， 对求导得，则， 故函数在处的切线方程为． 【小问2详解】 因为在单调递增，则对恒成立， 即， 令，则在恒成立， 对求导：， 当时，，，故，同时， 因此，所以在上单调递增， ， 所以在上的取值恒大于其下确界，因此a的取值范围是． 【小问3详解】 略 19. 某工厂生产某种商品的成本为每件2a元()，正常售价为每件4a元．该商品的市场需求量为随机变量X(单位：万件)，当产量大于市场需求量时会造成商品积压，积压的商品必须降价处理，按每件a元售出(假设降价后所有积压商品均可售出)．根据一段时间的统计，得到该商品的市场需求量X的频率分布表如下： X(万件) 1 2 3 4 5 6 7 频率 0.01 0.02 0.04 0.07 0.10 0.12 0.13 X(万件) 8 9 10 11 12 13 14 频率 0.12 0.11 0.09 0.07 0.05 0.03 0.04 以该商品需求量的频率代替其概率．设计划产量为n(n为正整数，)万件时，该商品的总利润为随机变量(单位：万元)． （1）求； （2）当时，求的分布列(用含a的式子表示)； （3）证明：，并求计划产量n的值，使总利润的数学期望最大． 【答案】（1） （2）分布列： a 4a 7a 10a P 0.01 0.02 0.04 0.07 0.86 （3）证明：生产了n万件，市场需求x万件．当时，， 当时，， ，得证 当时，，， 当时，，， 则最大，故． 【解析】 【分析】（1）利用条件概率公式，分别计算联合事件与条件事件的概率，代入分式化简求值. （2）分、两类建立利润分段函数，结合频率表算出每种需求量对应的利润取值与对应概率，整理得到离散型随机变量的分布列. （3）先按、写出利润分段表达式，展开数学期望并通过概率恒等变形、级数裂项化简，推证；构造差值，化简得到单调性判定式，通过比较与的大小判断期望增减，求出使最大的. 【小问1详解】 由题意得 ． 【小问2详解】 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 则分布列为： a 4a 7a 10a P 0.01 0.02 0.04 0.07 0.86 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $