精品解析：江苏南通市通州高级中学2025-2026学年高二下学期第一次阶段性测试数学试卷

江苏省通州高级中学2025-2026学年度 第二学期高二第一次阶段性测试数学试卷 命题人： 审题人： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 3个相同的书签，放入7个不同的书架中，每个书架里至多放一个书签，则不同的放法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 2. 有以下几组的统计数据：要使剩下的数据具有较强的相关关系，应去掉的一组数据是（ ） A. B. C. D. 3. 的小数点后第三位数字为（    ） A. B. C. D. 4. 已知随机变量X，Y均服从两点分布，且，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 十五五规划将商业航天定位为战略性新兴产业，意味着未来几年将是这个领域高速发展的关键时期．某公司生产的飞行器的某一部件质量指标服从正态分布，其中指标的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于，则的值不可能为（ ） （参考数据：） A. 0.015 B. 0.016 C. 0.02 D. 0.021 6. 从装有3个黑球和3个白球（球的大小、质地完全相同）的不透明袋子中随机取出2个球，已知三个白球的编号分别为1，2，3，三个黑球的编号分别为4，5，6，则取出的2个球的编号之和为奇数且至少有一个为黑球的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字2，3，5，乙的卡片上分别标有数字4，6，10.两人进行三轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，若两个数字互质，则甲得1分，否则乙得1分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.记三轮比赛后甲的总得分为X，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 8. 用五种不同颜色的涂料涂在如图所示的五个区域，相邻两个区域不能同色，且至少要用四种颜色，则不同的涂色方法有（ ） A. 240 B. 480 C. 420 D. 360 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量 ，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知的展开式中，的系数记为，则（ ） A. 该展开式共有15项 B. C. D. 的最大值为240 11. 甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同，把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复n次操作后，甲口袋中恰有0个红球，1个红球，2个红球分别记为事件，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 袋中有编号为的10个大小相同的小球，现从中一次性随机取出4个．记X为取出的球中编号不大于4的球的个数，则数学期望_________． 13. 7名同学排成一排，已知甲与乙不相邻，则丙与丁相邻的概率是______． 14. 伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴塞尔级数”难题．当，时，，又根据泰勒展开式可以得到，根据以上两式可求得______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步. 15. 某学校门口设置了限时停车场，制定收费标准如下：停车时间不超过15分钟免费，超过15分钟但不超过30分钟收费5元，超过30分钟但不超过45分钟收费15元，超过45分钟但不超过60分钟收费30元，超过60分钟必须离开停车场.甲､乙两位家长相互独立地来该停车场停车，且甲､乙的停车时间的概率如下表所示： 停车时间/分钟 甲 乙 （1）求甲所付停车费用小于乙所付停车费用的概率； （2）设甲所付停车费用为，乙所付停车费用为，在的条件下，求的概率. 16. 某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示： 土地使用面积/亩 1 2 3 4 5 管理时间/月 8 10 13 25 24 并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示： 单位：人 愿意参与管理 不愿意参与管理 男性村民 150 50 女性村民 50 50 （1）求出样本相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； （2）以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为，求的分布列． 参考公式：；参考数据：． 17. 现将红色、黄色、蓝色的3个小球随机放入甲、乙、丙、丁四个盒子中（每个盒子容纳球数不限）． （1）记甲盒中小球个数为，求的分布列和； （2）对于两个不相互独立的事件，，，． ①若，则称事件与正相关（的发生会“促进”的发生）；若，则称事件与负相关（的发生会“抑制”的发生）； ②定义为与的相关系数． （ⅰ）若，求证：与正相关； （ⅱ）定义事件“甲盒中恰有一个小球”，事件“甲盒中含有红球”．求，并判断事件与的相关情况． 18. 已知，其中． （1）若，求的值； （2）若，证明：． （3）若，求的值． 19. 体育赛事中，常有“局胜制”、“局胜制”、、“局胜”制，．现有甲、乙两队比赛，甲获胜的概率为，各局比赛结果相互独立，且无平局．为鼓励提高比赛水平及厂商的广告需要，比赛结束后参加一项抽奖活动．箱中共有张奖券，其中有张奖券金额各万元，另外张奖券无奖金．若赛完，某队某场获胜且每局都赢，则由该队在该箱中一次性抽张奖券，而另一队不参与抽奖；若赛完，某场比赛的局数中各有输赢，则先由甲队任取张后，再由乙队从余下奖券中任抽张． （1）当，时，求甲获胜的概率； （2）当，时，求乙队获得奖金金额（万元）的分布列与期望； （3）在“局胜”制比赛中，随着增大，甲、乙谁获胜的可能性更大？证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省通州高级中学2025-2026学年度 第二学期高二第一次阶段性测试数学试卷 命题人： 审题人： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 3个相同的书签，放入7个不同的书架中，每个书架里至多放一个书签，则不同的放法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知只要从7个不同的书架中选出3个书架即可 【详解】由于书签都相同，书架不同，每个书架至多放一个书签， 所以只要选出3个不同的书架即可． 故共有种不同的放法 故选：D 2. 有以下几组的统计数据：要使剩下的数据具有较强的相关关系，应去掉的一组数据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在坐标系中画出五个点，结果除去之外，其余的点都在一条线附近，去掉这个点以后剩下的数据更具有相关关系. 【详解】，在坐标系中画出五个点， 结果除去之外，其余的点都在一条线附近， 去掉这个点以后剩下的数据更具有相关关系， 故选：C 3. 的小数点后第三位数字为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项展开式可得出该小数的前四位数，即可得解. 【详解】因为 ， 因此，的小数点后第三位数字为. 故选：A. 4. 已知随机变量X，Y均服从两点分布，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件概率公式，结合对立事件的概率公式进行求解即可. 【详解】 ， 所以. 故选：B 5. 十五五规划将商业航天定位为战略性新兴产业，意味着未来几年将是这个领域高速发展的关键时期．某公司生产的飞行器的某一部件质量指标服从正态分布，其中指标的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于，则的值不可能为（ ） （参考数据：） A. 0.015 B. 0.016 C. 0.02 D. 0.021 【答案】D 【解析】 【分析】先根据题意确定，再根据正品率和原则确定的取值范围. 【详解】已知，. 又指标的部件为正品，即区间为正品. 要使次品率不高于，即满足正品率大于或等于. 因此要保证区间，则， 所以，解得，故选项A、B、C均可能，选项D不可能. 6. 从装有3个黑球和3个白球（球的大小、质地完全相同）的不透明袋子中随机取出2个球，已知三个白球的编号分别为1，2，3，三个黑球的编号分别为4，5，6，则取出的2个球的编号之和为奇数且至少有一个为黑球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，任意取的2个球共有种，再计算符合条件的情况，再求概率即可． 【详解】根据题意，任意取的2个球共有种， 取出的2个球的编号之和为奇数， 则取出的2个球的编号必须为一个奇数一个偶数，且至少有一个为黑球， 所以，一个白球（奇数）一个黑球（偶数）有种， 一个白球（偶数）一个黑球（奇数）有种， 两个黑球（一奇一偶）共有种，故概率为． 故选：C． 7. 甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字2，3，5，乙的卡片上分别标有数字4，6，10.两人进行三轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，若两个数字互质，则甲得1分，否则乙得1分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.记三轮比赛后甲的总得分为X，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】设甲总得分为，则的可能取值为， 在不考虑出牌顺序的前提下，甲、乙两人出牌共有种， 第一行为甲出牌，其余为乙出牌，如下表， 甲得分 2 3 5 0分 4 6 10 2分 4 10 6 1分 6 4 10 2分 6 10 4 2分 10 4 6 1分 10 6 4 则， 则. 8. 用五种不同颜色的涂料涂在如图所示的五个区域，相邻两个区域不能同色，且至少要用四种颜色，则不同的涂色方法有（ ） A. 240 B. 480 C. 420 D. 360 【答案】D 【解析】 【分析】按照分类加法和分步乘法计算原理，对5个区域进行分步、分类涂色即可. 【详解】先不考虑至少要用四种颜色，完成涂色需要分5步，按照顺序依次涂区域CADEB， C区域有5种颜色可选，A区域有4种颜色可选，D区域有3种颜色可选； 若E区域与D区域颜色相同，E区域有1种颜色可选，则B区域有3种颜色可选； 若E区域与D区域颜色不同，E区域有2种颜色可选，则B区域有2种颜色可选； 再由分类加法和分步乘法计数原理计算可得共有种； 如果只使用三种颜色涂色（小于三种无法涂色），则A，B同色且D,E同色，共有种涂色方法； 所以满足题意的不同的涂色方法有种. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由正态分布期望的性质可得A错误；由正态分布方差的性质可得B正确；由正态分布曲线的对称性可得C、D正确； 【详解】对于A，由题意，得 ，而 ，故 A 错误; 对于B，又 ，则 ，而 ， 所以 ，故 B正确; 对于C， 因为两个正态分布对应的正态密度曲线关于直线 对称， 所以 ，故 C 正确； 对于D，由对称性，得 ， 所以 ，故 D正确. 故选： BCD. 10. 已知的展开式中，的系数记为，则（ ） A. 该展开式共有15项 B. C. D. 的最大值为240 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据多项式乘法的性质和二项展开式中的项数可判断A选项；根据二项展开式中特定项的系数可判断BCD选项． 【详解】对于A，展开式中共有4项，展开式中共有6项， 故展开式共有24项，故A错误； 对于B， ，故B正确； 对于C，对于，令，则可得展开式的各项系数和为， 即， ，故C正确； ，令，解得， 故当或时，的值最大， 为，故D正确． 11. 甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同，把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复n次操作后，甲口袋中恰有0个红球，1个红球，2个红球分别记为事件，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A项，1次操作后甲、乙两个口袋中各取一个红球或各取一个白球即可求解；对于B项，1次操作后甲口袋中恰有0个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球且3次操作后甲口袋中恰有2个红球即可求解；对于C项，先求，，再利用条件概率公式求解即可；对于D项，先求出，再利用并事件的概率公式求解即可. 【详解】因在操作前，甲袋中：1红2白，乙袋中：1红2白. 对于A项，要求，则1次操作后甲、乙两个口袋中各取一个红球或各取一个白球即可， 则，故A项正确； 对于B项，要求，则1次操作后甲口袋中恰有0个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球且3次操作后甲口袋中恰有2个红球， 所以，故B项正确； 对于C项，要求，则1次操作后甲口袋中恰有0个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球， 或1次操作后甲口袋中恰有1个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球， 或1次操作后甲口袋中恰有2个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球， 所以， 要求，则1次操作后甲口袋中恰有0个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球， 所以，则，故C错误； 对于D项，由，，， 所以，故D项正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 袋中有编号为的10个大小相同的小球，现从中一次性随机取出4个．记X为取出的球中编号不大于4的球的个数，则数学期望_________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意确定随机变量服从超几何分布，即可求解. 【详解】编号不大于4的小球共有4个，大于4的小球共个， 从10个球中取4个，表示取出的不大于4的球的个数，服从超几何分布， 参数为：总体数，符合条件的个体数，抽取数， 超几何分布的期望公式为，代入得： . 【点睛】 13. 7名同学排成一排，已知甲与乙不相邻，则丙与丁相邻的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】记事件甲与乙不相邻，记事件丙与丁相邻，求出、，利用条件概率公式可求得的值． 【详解】记事件甲与乙不相邻，记事件丙与丁相邻， 则，， 则， 故答案为：. 14. 伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴塞尔级数”难题．当，时，，又根据泰勒展开式可以得到，根据以上两式可求得______． 【答案】 【解析】 【分析】推导出，由得到展开式中的系数，由此得到结论. 【详解】由，，， 两边同时除以得， 又 展开式中的系数为， 所以， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步. 15. 某学校门口设置了限时停车场，制定收费标准如下：停车时间不超过15分钟免费，超过15分钟但不超过30分钟收费5元，超过30分钟但不超过45分钟收费15元，超过45分钟但不超过60分钟收费30元，超过60分钟必须离开停车场.甲､乙两位家长相互独立地来该停车场停车，且甲､乙的停车时间的概率如下表所示： 停车时间/分钟 甲 乙 （1）求甲所付停车费用小于乙所付停车费用的概率； （2）设甲所付停车费用为，乙所付停车费用为，在的条件下，求的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由分布列性质求得，再由独立事件乘法公式及互斥事件加法公式即可求解； （2）求得的概率，再由条件概率公式即可求解； 【小问1详解】 由题意可得：， 所以， 甲所付停车费用小于乙所付停车费用有以下情况： 甲，乙或或，概率为：； 甲，乙或，概率为：； 甲，乙，概率为：； 所以甲所付停车费用小于乙所付停车费用的概率为： 【小问2详解】 有以下情况： 甲，乙；概率为：； 或甲，乙；概率为：； 或甲，乙；概率为：； 所以, 所以 16. 某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示： 土地使用面积/亩 1 2 3 4 5 管理时间/月 8 10 13 25 24 并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示： 单位：人 愿意参与管理 不愿意参与管理 男性村民 150 50 女性村民 50 50 （1）求出样本相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； （2）以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为，求的分布列． 参考公式：；参考数据：． 【答案】（1）0.93，管理时间与土地使用面积线性相关 （2）分布列见解析 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据，结合相关系数的计算公式，求得的值，即可得出结论； （2）根据题意，得到变量的所有可能取值，利用重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解． 【小问1详解】 由题意得，，， 所以， 可得，， 则， 所以管理时间与土地使用面积线性相关． 【小问2详解】 由题意，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3， 从该县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为， 故，， ，． 故的分布列为 0 1 2 3 17. 现将红色、黄色、蓝色的3个小球随机放入甲、乙、丙、丁四个盒子中（每个盒子容纳球数不限）． （1）记甲盒中小球个数为，求的分布列和； （2）对于两个不相互独立的事件，，，． ①若，则称事件与正相关（的发生会“促进”的发生）；若，则称事件与负相关（的发生会“抑制”的发生）； ②定义为与的相关系数． （ⅰ）若，求证：与正相关； （ⅱ）定义事件“甲盒中恰有一个小球”，事件“甲盒中含有红球”．求，并判断事件与的相关情况． 【答案】（1）分布列见解析，期望为； （2）（i）证明见解析；（ii），与正相关. 【解析】 【分析】（1）由题设的可能取值为，应用古典概型的概率求法求对应概率，进而写出分布列并求出期望； （2）（i）根据新定义及条件概率公式得，即可证； （ii）根据题意求出，，，根据给定公式及（i）的结论，即可得. 【小问1详解】 由题意，的可能取值为，且每个小球都有4种放法，故3个小球共有种放法， ，，，， 所以的分布列如下， 0 1 2 3 所以； 【小问2详解】 （i）由，则， 所以，故与正相关，得证； （ii）由题意，，， 所以， 结合（i）结论，故与正相关. 18. 已知，其中． （1）若，求的值； （2）若，证明：． （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据展开式的通项即可求解． （2）利用赋值法代入结合二项式展开式的二项式系数和计算即可． （3）求的导数，结合赋值法即可求解. 【小问1详解】 时，， 二项展开式的通项为， 令，得，解得． 【小问2详解】 由题意知，其中， 若，， ； 【小问3详解】 若，，， 因， 计算第一部分：令，则． 计算第二部分：， 令，则， 即得． 综上，． 19. 体育赛事中，常有“局胜制”、“局胜制”、、“局胜”制，．现有甲、乙两队比赛，甲获胜的概率为，各局比赛结果相互独立，且无平局．为鼓励提高比赛水平及厂商的广告需要，比赛结束后参加一项抽奖活动．箱中共有张奖券，其中有张奖券金额各万元，另外张奖券无奖金．若赛完，某队某场获胜且每局都赢，则由该队在该箱中一次性抽张奖券，而另一队不参与抽奖；若赛完，某场比赛的局数中各有输赢，则先由甲队任取张后，再由乙队从余下奖券中任抽张． （1）当，时，求甲获胜的概率； （2）当，时，求乙队获得奖金金额（万元）的分布列与期望； （3）在“局胜”制比赛中，随着增大，甲、乙谁获胜的可能性更大？证明你的结论． 【答案】（1）； （2）分布列见解析，； （3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）采用局胜制，分析甲赢的所有情况，结合独立事件的概率公式和互斥事件的概率公式求解即可； （2）计算出甲全胜、乙全胜、各有输赢的概率，分析可知的所有可能值为、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （3）设局胜制中，甲的获胜概率为，分三种情况讨论，求出的递推关系式，作差，结合数列的单调性，可得结论. 【小问1详解】 当，时，即采用局胜制， 设甲获胜为事件，则甲前两局都赢，或者甲第三局赢，前两局赢一局输一局， 则． 【小问2详解】 甲全胜的概率为：，乙全胜的概率为：， 各有输赢的概率为：，所以的所有可能值为、、， ， ， ， 所以，随机变量的分布列如下： 所以． 【小问3详解】 设局胜制中，甲的获胜概率为，可分为以下三类： 当时， ①局中甲获胜的概率为：； ②局中胜局且后续局至少胜局的概率为：； ③局中胜局且后续局全胜的概率为：． 所以， 所以， 令， 则，，所以单调递增， 由，得，，且组合数与概率项均为正，故，即单调递增， 当时，甲最终获胜的可能性更大； 当时，，，即甲、乙最终获胜的可能性一样大； 当时，得，，且组合数与概率项均为正，故，即单调递减， 则当时，乙最终获胜的可能性更大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $