精品解析：重庆市綦江区2025-2026学年七年级下学期期末考试数学试题

綦江区2025—2026学年度（下）期末考试 初2028届数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 在下列四个数中，其中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列调查中，适合抽样调查的是（ ） A. 调查某品牌电灯泡的使用寿命 B. 调查乘坐飞机的旅客是否携带危险物品 C. 调查某班同学的身高情况 D. 载人航天飞船发射前对重要零部件的检查 3. 如图，下列判断正确的是（ ） A. 与是同旁内角 B. 与是内错角 C. 与是内错角 D. 与是同位角 4. 在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，令“真”的坐标为，则“善”的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如果，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则整数的值为（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B. 无限小数都是无理数 C. 互补的两个角一定一个是锐角，一个是钝角 D. 数轴上的点都和实数一一对应 8. 《九章算术》中关于“盈不足术”的记载：“乡民合伙买豕（猪），人出八，余十钱；人出五，差十七钱，人数几何？”其译文为：有几个人去买猪，每个人出8钱，多10钱；每个人出5钱，差17钱．有多少个人？设合伙人数量为，一头猪的总价为钱，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，点在直线上，点，点在直线上，连接，．若于点，线段平分与交于点，线段平分，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 已知四个整式分别为：，，，；若将其中的一个或多个整式中的自变量替换为（例如：整式变为），然后再将这四个整式相加求和，称为一次“镜面操作”．则以下表述正确的个数是（ ） ①存在特殊的“镜面操作”：，使得化简结果的最小值为2； ②存在某种“镜面操作”，使得时，化简后的结果恒为一个常数； ③对这四个整式进行所有可能的“镜面操作”后，共有15种不同的结果． A. B. C. D. 二、填空题：（本题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 据国家统计局发布，2026年月乡村消费品零售额为220200000万元，其中，220200000用科学记数法表示为______． 12. 如图，向右平移得到，若面积为7，面积为3，则四边形的面积为_______． 13. 如图1是切纸机的侧面示意图，可将其抽象为图2的几何图形，转轴可以绕点在平面内转动．当调节转轴使的度数比的度数的2倍少时，_______． 14. 的平方根是____． 15. 定义新运算：，若关于的不等式恰好有3个正整数解，则实数的取值范围是_______． 16. 一个四位自然数（，，，互不相等），若满足千位数字与十位数字之积等于百位数字减去个位数字的差，则称这个四位数为“吉利数”．例如：四位数1862，满足，则1862是吉利数．满足条件的最大的“吉利数”为________．将的千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置，得到一个新的四位数，记，且能够被7整除，则的最小值为_______． 三、计算题：（本大题共3个小题，其中17题8分，18题4分，19题8分，共20分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程组： 19. 解不等式组：，将其解集在数轴上表示出来，并写出所有可能的整数解． 四、解答题：（本大题共5个小题，其中20-22题每题10分，其余每题12分，共66分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 20. 綦江是红军长征在重庆的途经地．为赓续红色血脉，綦江区某校组织学生开展了“重走长征路，奋进新征程”主题研学活动．活动结束后，学校对参与学生在“石壕红军烈士墓”至“分水岭”路段的徒步体验时长（单位：分钟）进行了随机抽样调查，并将时长分为四组：（A．；B．；C．；D．）．现对收集到的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图，其中徒步体验时长不低于1小时的人数占总人数的． 根据以上信息，解答下列问题： （1）参与此次调查的学生有人，请补全频数直方统计图； （2） ，扇形统计图中B组对应的扇形的圆心角度数为 ； （3）若某部门计划在全区开展该活动，本区义务教育阶段在校学生大约有60000人，根据本次调查结果，请估计该区学生在研学活动中徒步体验时长不低于90分钟的学生人数是多少． 21. 请补全下面的证明过程，并在括号中填上理论依据． 如图，点，，在同一条直线上，点，，，在同一条直线上，已知，，平分，求证：． 证明：（已知） （） ∵（已知） （） 平分（已知） （角平分线的定义） （） 22. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，其中，满足． （1）求出点，的坐标； （2）点在轴上，且，求出此时点的坐标． 23. 小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则，；已知，则，； 已知，则，；已知，则，； （1）根据小明的发现，请填空：若，那么 ；若，那么 ． （2）现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长． ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 24. 为举办“綦江文化进校园”主题活动，某中学后勤部采购綦江老四川牛肉干和东溪豆腐乳用于活动的互动奖品．已知采购的两种商品单价固定不变．第一次采购：购进3袋牛肉干和2瓶豆腐乳，总花费86元；第二次采购：购进5袋牛肉干和4瓶豆腐乳，总花费152元． （1）求每袋牛肉干、每瓶豆腐乳的单价分别是多少元． （2）学校计划第三次采购两种商品共40件，用于活动志愿者奖品发放．已知学校本次采购预算上限为625元，且采购牛肉干的数量不少于豆腐乳的．若设本次采购牛肉干袋，试通过计算说明所有符合条件的采购方案并写出来． 25. 已知直线，，分别为，上两点． （1）如图1，若点在，内部，，，证明：． （2）如图2，若点，均在，内部，且满足，若，求的度数（用含的式子表示）． （3）在（2）的条件下，若，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转得到射线，同时射线以每秒的速度绕点逆时针旋转得到射线，设旋转时间为秒，若在旋转过程中，存在某一时刻使得，所在直线互相垂直，直接写出所有满足条件的的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 綦江区2025—2026学年度（下）期末考试 初2028届数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 在下列四个数中，其中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称． 【详解】解：A、是分数，属于有理数，故A不符合题意； B、是整数，属于有理数，故B不符合题意； C、是无限不循环小数，属于无理数，故C符合题意； D、，是整数，属于有理数，故D不符合题意． 2. 下列调查中，适合抽样调查的是（ ） A. 调查某品牌电灯泡的使用寿命 B. 调查乘坐飞机的旅客是否携带危险物品 C. 调查某班同学的身高情况 D. 载人航天飞船发射前对重要零部件的检查 【答案】A 【解析】 【分析】全面调查得到的结果准确，但适合范围小，无破坏性，对精度要求高的调查，抽样调查适合具有破坏性或范围较大的调查． 【详解】解：A选项调查某品牌电灯泡的使用寿命具有破坏性，无法对所有产品逐一测试，因此适合抽样调查， B选项调查旅客是否携带危险物品关系公共安全，必须做全面调查； C选项调查某班同学身高，范围小，适合全面调查； D选项载人航天飞船零部件检查要求绝对准确，必须做全面调查． 3. 如图，下列判断正确的是（ ） A. 与是同旁内角 B. 与是内错角 C. 与是内错角 D. 与是同位角 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．与是同位角，故该选项判断错误，不符合题意； B．与的位置关系不符合同位角、内错角或同旁内角的定义，故该选项判断错误，不符合题意； C．与的位置关系不符合同位角、内错角或同旁内角的定义，故该选项判断错误，不符合题意； D．与是同位角，故该选项判断正确，符合题意． 4. 在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，令“真”的坐标为，则“善”的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵“真”的坐标为， ∴原点在“真”的右边个单位，上边个单位处， 由图可知，“善”在原点的右边个单位，上边个单位处， ∴“善”的坐标为． 5. 如果，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：根据不等式的性质判断： 对于选项A，∵的取值不确定，当时，，当时，， ∴A错误，不符合题意； 对于选项B，∵，不等式两边同时乘以，不等号方向改变，得， ∴B错误，不符合题意； 对于选项C，∵，不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，得， ∴C正确，符合题意； 对于选项D，∵，移项得， ∴D错误，不符合题意． 综上，故选C． 6. 已知，则整数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找出与8相邻的两个完全平方数，确定的范围，即可得到整数的值． 【详解】解：∵ ， ∴ ，即， 又∵ ，且为整数， ∴ ． 7. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B. 无限小数都是无理数 C. 互补的两个角一定一个是锐角，一个是钝角 D. 数轴上的点都和实数一一对应 【答案】D 【解析】 【分析】只需根据初中数学的基础定义逐一判断每个命题的真假即可得到结果． 【详解】解： 对于A选项，∵只有过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线， ∴A是假命题； 对于B选项，∵无理数是无限不循环小数，无限循环小数属于有理数， ∴不是所有无限小数都是无理数，B是假命题； 对于C选项，∵两个直角的和为，也满足互补的定义， ∴互补的两个角不一定一个是锐角一个是钝角，C是假命题； 对于D选项，根据实数与数轴的对应关系，数轴上的点都和实数一一对应， ∴D是真命题． 综上，故选D． 8. 《九章算术》中关于“盈不足术”的记载：“乡民合伙买豕（猪），人出八，余十钱；人出五，差十七钱，人数几何？”其译文为：有几个人去买猪，每个人出8钱，多10钱；每个人出5钱，差17钱．有多少个人？设合伙人数量为，一头猪的总价为钱，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】只需根据题干描述找出等量关系，即可列出对应方程组． 【详解】解：设合伙人数量为，一头猪的总价为钱， ∵ 每人出8钱，多10钱，即所有人出的总钱数比猪的总价多10钱， ∴ ， ∵ 每人出5钱，差17钱，即所有人出的总钱数比猪的总价少17钱， ∴ ，因此所列方程组为， 故选：A． 9. 如图，，点在直线上，点，点在直线上，连接，．若于点，线段平分与交于点，线段平分，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由垂线的定义得到，由角平分线的定义得到，由平行线的性质得到，则可证明，进而得到，据此求出的度数，进而求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵线段平分，线段平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 已知四个整式分别为：，，，；若将其中的一个或多个整式中的自变量替换为（例如：整式变为），然后再将这四个整式相加求和，称为一次“镜面操作”．则以下表述正确的个数是（ ） ①存在特殊的“镜面操作”：，使得化简结果的最小值为2； ②存在某种“镜面操作”，使得时，化简后的结果恒为一个常数； ③对这四个整式进行所有可能的“镜面操作”后，共有15种不同的结果． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可推出四个整式的和为（，且a为整数），根据a的值只能取，结合题意逐一判断即可． 【详解】解：四个整式仅替换自变量，不改变常数项，因此四个整式的常数和恒为， 设替换为的整式个数为（，且a为整数），则总和可表示为， 题中给出的操作替换了3个整式，即， ∴， 当时，，则； 当时，，则， 的最小值为2，原说法正确； 当时，，若，则，代入得，恒为常数，因此存在符合要求的操作，原说法正确； 仅可取，对应4种不同结果，不是15种，原说法错误． 综上，正确的表述有个． 二、填空题：（本题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 据国家统计局发布，2026年月乡村消费品零售额为220200000万元，其中，220200000用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，解题关键是正确确定的值以及的值． 【详解】解：将原数转变为符合要求的的形式，可得，原数变为时，小数点向左移动了位，因此， ∴． 12. 如图，向右平移得到，若面积为7，面积为3，则四边形的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移的性质可知，再根据图形中面积的和差关系，用的面积减去的面积即可求出四边形的面积． 【详解】解：向右平移得到， ， 由图可知， ， ． 13. 如图1是切纸机的侧面示意图，可将其抽象为图2的几何图形，转轴可以绕点在平面内转动．当调节转轴使的度数比的度数的2倍少时，_______． 【答案】 【解析】 【分析】设为度，根据题意用含的代数式表示，利用邻补角性质列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设， 由题意得， ∵点在同一直线上， ∴， ∴， 解得：， ∴． 14. 的平方根是____． 【答案】±3 【解析】 【分析】根据算术平方根、平方根解决此题． 【详解】解：， 实数的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键． 15. 定义新运算：，若关于的不等式恰好有3个正整数解，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】当时，可得，解得，根据不等式恰好有3个正整数解列不等式求解即可；当时，此时原不等式不存在正整数解；据此可得答案． 【详解】解：当时，∵， ∴， ∴， ∵关于的不等式恰好有3个正整数解， ∴这3个整数解为1，2，3， ∴， ∴； 当时，此时原不等式不存在正整数解； 综上所述，． 16. 一个四位自然数（，，，互不相等），若满足千位数字与十位数字之积等于百位数字减去个位数字的差，则称这个四位数为“吉利数”．例如：四位数1862，满足，则1862是吉利数．满足条件的最大的“吉利数”为________．将的千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置，得到一个新的四位数，记，且能够被7整除，则的最小值为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】对于第一空，要使M最大，首先要保证a最大，因此讨论a的值，进而确定b、c、d的值即可得到答案；对于第二空，可求出，则能被7整除，进而得到能被7整除，要使M最小，首先要保证a最小，因此讨论a的值，进而确定c的值，再根据验证是否满足题意即可． 【详解】解：对于“吉利数”有，且满足， ∵要使M最大， ∴首先要保证a最大， 当时，此时， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，此时不满足，不符合题意； 当时，此时， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 当时，此时不满足，当时，此时不满足，都不符合题意； 当时，此时， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴或或， 当时，此时，满足题意， 当时，此时不满足，不符合题意； 当时，此时不满足，不符合题意； ∴最大的“吉利数”为7912； 由题意得，， ∴ ， ∵90不能被7整除，而能被7整除， ∴能被7整除， ∵， ∴能被7整除， ∵要使M最小， ∴首先要保证a最小， 当时，，不满足能被7整除，不符合题意； 当时，， ∵， ∴， ∴此时， ∴， ∴， 又∵， ∴此时不满足题意； 当时，则， ∵， ∴， 当时，，此时，此时b的最小值为6， ∴此时M的最小值为； 当时，，不符合题意； 当时，， ∴，不符合题意； 综上所述，M的最小值为． 三、计算题：（本大题共3个小题，其中17题8分，18题4分，19题8分，共20分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程组： 【答案】 【解析】 【详解】解：， 把②代入①得：， 整理得， 解得， 把代入②得：， ∴方程组的解为． 19. 解不等式组：，将其解集在数轴上表示出来，并写出所有可能的整数解． 【答案】， 数轴 所有整数解是 【解析】 【分析】分别求出不等式①、②的解集，再取两个解集的公共部分得到不等式组的解集；根据解集在数轴上标注虚实点与方向，最后找出范围内所有整数． 【详解】解：解不等式①：， 移项，把含项移左边，常数移右边： ， 合并同类项：， 系数化为1：； 解不等式②：， 先去括号：， 两边同乘8消去分母（8是2、4、8最小公倍数）：， 化简：， 移项：， 合并同类项：， 系数化为1：， 联立两个结果，解集为； 数轴表示：数字（即）处：画空心圆圈，向右画线；数字处：画实心圆点，向左画线；两条线重叠区间即为解集区域； 数轴略 满足的整数：，，． 四、解答题：（本大题共5个小题，其中20-22题每题10分，其余每题12分，共66分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 20. 綦江是红军长征在重庆的途经地．为赓续红色血脉，綦江区某校组织学生开展了“重走长征路，奋进新征程”主题研学活动．活动结束后，学校对参与学生在“石壕红军烈士墓”至“分水岭”路段的徒步体验时长（单位：分钟）进行了随机抽样调查，并将时长分为四组：（A．；B．；C．；D．）．现对收集到的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图，其中徒步体验时长不低于1小时的人数占总人数的． 根据以上信息，解答下列问题： （1）参与此次调查的学生有人，请补全频数直方统计图； （2） ，扇形统计图中B组对应的扇形的圆心角度数为 ； （3）若某部门计划在全区开展该活动，本区义务教育阶段在校学生大约有60000人，根据本次调查结果，请估计该区学生在研学活动中徒步体验时长不低于90分钟的学生人数是多少． 【答案】（1）200； （2）35； （3） 【解析】 【分析】（1）先求出调查总人数，再依次计算各组相关数据求解； （2）百分比等于频数总体数量，圆心角用该组频率求解； （3）估算总体用总数样本对应频率． 【小问1详解】 解：时长不低于1小时为C、D组， 两组频数和：，占总人数， 总人数：（人）； 已知：A组70人，C组44人，D组12人， B组人数：（人）， 补全直方图：在对应纵轴标74． 【小问2详解】 解：是A组占比： ， B组频数74，占比：， 扇形圆心角度数． 【小问3详解】 解：D组频数12，样本总数200， D组占比：， 全区共60000人，估算人数： （人）． 21. 请补全下面的证明过程，并在括号中填上理论依据． 如图，点，，在同一条直线上，点，，，在同一条直线上，已知，，平分，求证：． 证明：（已知） （） ∵（已知） （） 平分（已知） （角平分线的定义） （） 【答案】两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等；；等量代换 【解析】 【分析】根据平行线性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等进行证明即可． 【详解】略 22. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，其中，满足． （1）求出点，的坐标； （2）点在轴上，且，求出此时点的坐标． 【答案】（1）， （2）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质求出，，即可得出结果； （2）先求出，结合题意可得，设，则，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点在轴上， ∴设，则， ∴， ∴或， ∴点的坐标为或． 23. 小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则，；已知，则，； 已知，则，；已知，则，； （1）根据小明的发现，请填空：若，那么 ；若，那么 ． （2）现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长． ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 【答案】（1）25； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）观察可知，被开平方的数的小数点每向右移动两位，那么其算术平方根的小数点就向右移动一位，被开立方的数的小数点每向右移动三位，那么其立方根的小数点就向右移动一位，据此可得答案； （2）①根据立方根的定义可得，求出的值即可得到答案；②根据（2）①所求可得的值，求出C的算术平方根，即可求出的算术平方根． 【小问1详解】 解：由题意得，若，那么； 若，那么； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∴该长方形的周长C为； ②由（2）①得， ∵， ∴． 24. 为举办“綦江文化进校园”主题活动，某中学后勤部采购綦江老四川牛肉干和东溪豆腐乳用于活动的互动奖品．已知采购的两种商品单价固定不变．第一次采购：购进3袋牛肉干和2瓶豆腐乳，总花费86元；第二次采购：购进5袋牛肉干和4瓶豆腐乳，总花费152元． （1）求每袋牛肉干、每瓶豆腐乳的单价分别是多少元． （2）学校计划第三次采购两种商品共40件，用于活动志愿者奖品发放．已知学校本次采购预算上限为625元，且采购牛肉干的数量不少于豆腐乳的．若设本次采购牛肉干袋，试通过计算说明所有符合条件的采购方案并写出来． 【答案】（1）每袋牛肉干的单价为20元，每瓶豆腐乳的单价为13元； （2）共有6种符合条件的采购方案，分别为：①采购牛肉干10袋，豆腐乳30瓶；②采购牛肉干11袋，豆腐乳29瓶；③采购牛肉干12袋，豆腐乳28瓶；④采购牛肉干13袋，豆腐乳27瓶；⑤采购牛肉干14袋，豆腐乳26瓶；⑥采购牛肉干15袋，豆腐乳25瓶． 【解析】 【分析】（1）设每袋牛肉干的单价为x元，每瓶豆腐乳的单价为y元，根据：购进3袋牛肉干和2瓶豆腐乳，总花费86元；购进5袋牛肉干和4瓶豆腐乳，总花费152元建立方程组求解即可； （2）根据学校本次采购预算上限为625元，且采购牛肉干的数量不少于豆腐乳的列出不等式组求出m的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：设每袋牛肉干的单价为x元，每瓶豆腐乳的单价为y元， 由题意得，， 解得， 答：每袋牛肉干的单价为20元，每瓶豆腐乳的单价为13元； 【小问2详解】 解：由题意得，， 解得， ∵m为整数， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 答：共有6种符合条件的采购方案，分别为：①采购牛肉干10袋，豆腐乳30瓶；②采购牛肉干11袋，豆腐乳29瓶；③采购牛肉干12袋，豆腐乳28瓶；④采购牛肉干13袋，豆腐乳27瓶；⑤采购牛肉干14袋，豆腐乳26瓶；⑥采购牛肉干15袋，豆腐乳25瓶． 25. 已知直线，，分别为，上两点． （1）如图1，若点在，内部，，，证明：． （2）如图2，若点，均在，内部，且满足，若，求的度数（用含的式子表示）． （3）在（2）的条件下，若，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转得到射线，同时射线以每秒的速度绕点逆时针旋转得到射线，设旋转时间为秒，若在旋转过程中，存在某一时刻使得，所在直线互相垂直，直接写出所有满足条件的的值． 【答案】（1）证明：过点作， ， ， ， ， 已知， ． ， ， 已知， ． ， ． （2） （3），或 【解析】 【分析】（1）过点作，由得，利用平行线同旁内角互补，分别求出、，相加得，即可证垂直； （2）分别过、作平行线，用拐点模型表示出、，结合化简，推出； （3）先确定初始角度：，顺时针转速/秒，逆时针转速/秒，分三种位置讨论两直线夹角为，列角度方程求解，筛选的解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过作，过作， ， ， ， ． ， 即， ． 【小问3详解】 解：由（2）得，设旋转时间为秒：射线顺时针转，逆时针转，两直线垂直，夹角为， 当时，，此时与重合， 分三类情况建立方程： ①当时， 即， 即时， 过作，如图， ，， ， ， ， ， 解得； ②当且时， 即， 即时， 过作，如图， ，， ， ， ， ， 解得； ③当且时， 即， 即时， 过作，如图， ，， ， ， ， ， 解得， 综上，，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $