精品解析：山东青岛市南区2025-2026学年度第二学期期末学业水平质量检测七年级数学试题

2025～2026学年度第二学期期末学业水平质量检测七年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，共有25道题； 2．所有题目均在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 第I卷 一、选择题（本题满分27分，共有9道小题，每小题3分） 1. 以下四款常用软件图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、不是轴对称图形； B、不是轴对称图形； C、不是轴对称图形； D、是轴对称图形． 2. 据新闻报道，我国科研团队成功制备了多种单原子层金属，厚度仅为头发丝直径的二十万分之一．其中铅原子的直径约为米，数据用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 3. 下列运算，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，除法，积的乘方，完全平方公式，掌握以上运算的运算法则是解题的关键．根据运算法则计算逐一判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，故不符合题意； B、，原式计算错误，故B不符合题意； C、，原式计算正确，故C符合题意； D、，原式计算错误，故D不符合题意． 故选：C． 4. 等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰长为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】分两种情况：①当腰长为时，②当底边长为时，再结合三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：①当腰长为时，则底边长为， 三角形的三边长分别为，，，此时，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意，舍去； ②当底边长为时，则腰长为， 三角形的三边长分别为，，，此时，满足三角形三边关系，能组成三角形，符合题意； 综上，该等腰三角形的腰长为． 5. 如图是折叠晾衣架的示意图，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 6. 某小组做“用频率估计概率”的实验时，绘制了如图的频率分布折线图，则符合这一结果的实验是（ ） A. 掷一个正六面体的骰子，朝上点数是的倍数 B. 从一副扑克牌中抽到一张黑桃的扑克 C. 从装有一套四大名著的盒子里任取一本书，取到的是《西游记》 D. 一个装有个红球、个黑球的袋子中任取一球，取到的是红球 【答案】A 【解析】 【分析】先求出这个实验的概率，再利用概率公式计算选项中每个事件的概率，由此即可得． 【详解】解：由频率分布折线图可知，试验频率在之间波动，并趋于稳定，稳定值约为，即这个实验的概率． A、掷一个正六面体的骰子共有6种等可能的结果，其中，朝上点数是的倍数有3和6两种结果，则这个事件的概率为，符合题意； B、从一副扑克牌中抽取一张扑克共有54种等可能的结果，其中，从一副扑克牌中抽到一张黑桃的扑克的结果有13种，则这个事件的概率为，不符合题意； C、从装有一套四大名著的盒子里任取一本书共有4种等可能的结果，其中，取到的是《西游记》的结果有1种，则这个事件的概率为，不符合题意； D、一个装有个红球、个黑球的袋子中任取一球共有种等可能的结果，其中，取到的是红球的结果有4种，则这个事件的概率为，不符合题意． 7. 如图，将一张长方形纸片斜折过去，使顶点落在处，为折痕，然后再把折过去，使之与在一条直线上，折痕为，若，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由折叠性质得，，，结合已知得到，再根据三角形的内角和定理求得，进而可求解． 【详解】解：由折叠性质得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 8. 如图是一个数字运算程序流程图，按照这个程序运算，若输入数字，则输出结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据程序流程图的运算规则，依次计算每一次循环的结果，直到结果重复出现为止． 【详解】解：①若输入，则组成最大的数为，最小的数为，此时； ②若输入，则组成最大的数为，最小的数为，此时； ③若输入，则组成最大的数为，最小的数为，此时； ④若输入，则组成最大的数为，最小的数为，此时，与上一次运算结果相同，即重复出现； 所以输出的结果为． 9. 在四边形中，，，，，分别是边、上的点，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长至使，连接，证明，再证明，得到，在四边形中由内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至使，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在四边形中，，  ． 第II卷 二、填空题（本题满分18分，共6小题，每小题3分） 10. 计算：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 11. “六一儿童节”是七年级学生最后一个儿童节，班主任在儿童节庆祝活动中设计了一个转盘游戏．游戏规则：转动如图所示的转盘（转盘被等分成份），若指针指向紫色、红色、蓝色区域可分别获得一、二、三等奖，指向空白区域则不得奖（指向分界线则重新转动转盘），在这个游戏中学生获奖的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】由图可知转盘被平均分成了8个面积相等的区域，找出获奖所占区域，然后利用概率公式计算即可． 【详解】解：∵转盘被平均分成了8个面积相等的区域，获奖有6个区域， ∴这个游戏中学生获奖的概率是． 12. 如图，某商场一辆购物车车身总长为米，将购物车叠放在一起，每增加一辆购物车，车身总长增加米．用（米）表示叠放的购物车车身总长，用（辆）表示叠放的购物车数量，则与之间的关系式为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵某商场一辆购物车车身总长为米，每增加一辆购物车，车身总长增加米， ∴当叠放的购物车数量为辆时，，即． 13. 如图，在中，，的面积是，是的垂直平分线，点，分别在和上，则的最小值为______． 【答案】 6 【解析】 【分析】连接，过点A作于点E，根据垂直平分线的性质，点到直线垂线段最短得到，再根据三角形面积的计算得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点A作于点E， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 在中，，的面积是， ∴， 解得，， ∴的最小值为6 ． 14. 暑假期间，张亮和王鹏同学为锻炼自己的社会实践能力，他们以每千克元的价格购进一批西瓜到市场销售．售出部分西瓜后，余下的每千克降价元全部售完．销售金额与售出质量之间的关系如图所示，则两人共获利______元． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，未降价前的销售单价为（元/千克），降价后销售西瓜的质量为（千克），可算出总成本，结合图象即可求解． 【详解】解：由图象可知，未降价前销售千克西瓜的销售金额为元， ∴未降价前的销售单价为（元/千克）， ∵余下的每千克降价元， ∴降价后的销售单价为（元/千克）， 由图象可知，降价后销售的金额为（元）， ∴降价后销售西瓜的质量为（千克）， ∴西瓜的总质量为（千克）， ∵购进价格为每千克元， ∴总成本为（元） ∴两人共获利（元）  ． 15. 如图，将两个全等的等腰三角形和的顶角顶点重合，且．点、分别在的两侧，与交于点，分别与、交于点、．当为等腰三角形时，的度数为______． 【答案】或 【解析】 【分析】先得出，，再分三种情况：①，②和③，根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵在两个全等的等腰三角形和中，， ∴，， ①如图1，当时，为等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图2，当时，为等腰三角形， ∴， ∴， ∴； ③如图3，当时，为等腰三角形， ∴， ∴， ∴，此时与重合，不符合题意，舍去； 综上，的度数为或． 三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 16. 如图，青岛某滨海景区的区域轮廓为四边形，、为两条滨海道路，观海亭点位于海边步行道上．现要在景区内设置文创打卡点，要求，且点到两条滨海道路、的距离相等．请你在图中作出文创打卡点的位置． 【答案】如图，点即为所求文创打卡点． 【解析】 【分析】作的平分线，过点作，与的交点即为点． 【详解】解：如图，作的平分线，过点作，与的交点即为点，点即为所求； 理由：是的平分线， 点到的距离等于点到的距离， ， ， ． 四、解答题（本大题满分71分，共有9道题） 17. 计算、化简求值： （1）计算：； （2）计算：； （3）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1） （2） （3）化简结果为，值为 【解析】 【分析】（1）根据单项式乘单项式的运算法则计算即可； （2）根据多项式乘多项式的运算法则、单项式乘多项式的运算法则展开原式，再整式加减运算即可求解； （3）先根据整式混合运算法则化简原式，再代入数值计算即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ， 当，时， 原式． 18. 在一个不透明的盒子里装有红、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外其余完全相同．实践小组的同学做摸球试验，搅匀后，从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的部分统计数据： 摸球次数 摸到白球次数 摸到白球频率 （1）______，______； （2）试估算盒子里红球有_____个； （3）小红和小亮用这个盒子做摸球游戏，摸到红球小红赢，摸到白球小亮赢，你认为这个游戏对双方公平吗？请你说明理由． 【答案】（1） ， （2） （3） 不公平，理由如下， ∵摸到白球的频率为，摸到红球的概率为， ∴双方获胜的概率不相等， ∴ 这个游戏对双方不公平． 【解析】 【分析】（1）根据表格信息计算即可； （2）根据题意得到摸到红球的频率为，根据频率算总体数量即可； （3）根据概率判定即可． 【小问1详解】 解：，； 【小问2详解】 解：根据题意，摸到白球频率稳定在， ∴摸到红球的频率为， ∴， ∴盒子里红球有30个； 【小问3详解】 略． 19. 如图，已知，，，求的度数． 请将下面的求解过程填写完整． 解：，， ________（同角的补角相等） ∴（ ） （ ） ， ________（ ） ∴（同位角相等，两直线平行） ________（两直线平行，同位角相等） 又， ． 【答案】；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；等式的基本事实； 【解析】 【分析】先得出，则可得，再得出，则可得，然后得出，根据两直线平行，同位角相等即可得． 【详解】解：略． 20. 如图，在的正方形网格图中，点，，均在格点上，现要另外添加一个格点，使、、、这个点两两连接所形成的图形是轴对称图形．请在图中画出所有满足条件的点，并简要描述你是如何找到的． 【答案】满足条件的点D如图所示：（图中的） 对于，连接，取中点O，作直线，交格点为，连接，则都是轴对称图形，符合题意； 对于，延长交网格于格点，延长交网格于格点，则即为所求作. 【解析】 【分析】对于，连接，取中点O，作直线，交格点为，连接，根据可证，得到，进而可得，可得直线垂直平分，则都是轴对称图形；对于，延长交网格于格点，延长交网格于格点，同理可得垂直平分，垂直平分，则都是等腰三角形，符合题意. 【详解】略. 21. 对于两个正数，（其中），定义一种新的运算，记作，即：如果，那么，例如：，；，； （1）_____，_____；（填“”或“”） （2）猜想：______； （3）请验证你的猜想． 【答案】（1）5， （2） （3）， 证明：设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴成立． 【解析】 【分析】（1）根据材料提示计算即可； （2）根据材料提示猜想即可； （3）设，根据材料提示计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：根据（1）中的计算得到，； 【小问3详解】 略． 22. 已知：在和中，，，．请判断线段和有怎样的关系？请说明理由． 【答案】解：，，理由如下： 如图，延长，交于点，交于点， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 由对顶角相等得：， ∴，即， ∴． 【解析】 【分析】延长，交于点，交于点，先得出，则，，再得出，进而可得． 【详解】解：略． 23. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化． （1）如图，用个长为、宽为的小长方形可以围成一个大正方形，由此可以得到等式为：________． （2）已知，求代数式的值； （3）如图，正方形和正方形如图放置，已知两个正方形的边长之和为，阴影部分的面积为，则的长为_______． 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）大正方形的面积等于中间一个小正方形的面积与四个小长方形的面积之和，据此解答即可； （2）根据，和（1）的等式求出的值，再利用平方根的性质求解即可； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，则，先得出和的值，再结合（1）的等式和平方根的性质计算即可． 【小问1详解】 解：由图可知，大正方形的面积等于中间一个小正方形的面积与四个小长方形的面积之和， 由此可以得到等式为：． 【小问2详解】 解：∵， ∴ ， 利用平方根的性质得：． 【小问3详解】 解：设正方形的边长为，正方形的边长为，则， ∵两个正方形的边长之和为， ∴， 如图，连接， ∴阴影部分的面积为， ∵阴影部分的面积为， ∴， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴的长为3． 24. 小华骑自行车从家出发去图书馆上自习，行驶了一段时间后，想起本来约好和同学小亮一起去图书馆，于是又折返回刚经过的小亮家，约上小亮后继续赶往图书馆，直到抵达．如图是小华行驶过程中离家的距离与时间关系的图象． 根据图象中提供的信息回答下列问题： （1）自变量是______，因变量是______； （2）图中段可能发生了______； （3）求整个行程过程中，小华的最快速度是多少米/分钟？ （4）当小华离家的距离为700米时，请直接写出小华出发了多长时间． 【答案】（1）时间，离家的距离 （2）在小亮家停留，等候小亮（答案不唯一） （3）400米/分钟 （4）分钟或3分钟或分钟 【解析】 【分析】（1）离家的距离是随着时间的变化而变化的，据此解答即可； （2）段时间增加，离家的距离始终不变，说明小华在此停留，据此解答即可； （3）分四段：分钟、分钟、分钟、分钟，利用路程除以时间即可得； （4）设小华出发了分钟，分四种情况：①，②，③和④，分别建立方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：∵离家的距离是随着时间的变化而变化的， ∴自变量是时间，因变量是离家的距离． 【小问2详解】 解：由图象可知，段时间增加，离家的距离始终不变，说明小华在此停留， 则图中段可能在小亮家停留，等候小亮． 【小问3详解】 解：分钟：小华的速度为（米/分钟）， 分钟：小华的速度为（米/分钟）， 分钟：小华停留未动，速度为0米/分钟， 分钟：小华的速度为（米/分钟）， ∵， ∴在整个行程过程中，小华的最快速度是400米/分钟． 【小问4详解】 解：设小华出发了分钟， ①当时，则，解得，符合题设； ②当时，则，解得，符合题设； ③当时，小华离家的距离为600米，不符合题意，舍去； ④当时，则，解得，符合题设； 综上，小华出发了分钟或3分钟或分钟． 25. 数学学习中，经常会将新问题转化为已经研究过的熟悉的问题．转化是解决数学问题的一种重要的策略． （1）如图1所示，若，，根据三角形三边性质，可以得到的取值范围是______； （2）如图2，是的中线，你能求出的取值范围吗？请说明理由； （3）如图3，在中，是的中线，点是延长线上一点，，交延长线于点，如果恰好平分，那么是否与平行？请说明理由． 【答案】（1） （2）解：，理由如下： 如图，延长至点，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， 又∵，， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： 如图，延长至点，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据三角形的三边关系求解即可； （2）延长至点，使得，连接，先得出，则可得，再在中，根据三角形的三边关系即可得； （3）延长至点，使得，连接，先得出，则可得，，进而可得，再得出，然后根据平行线的判定即可得． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴，即． 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期期末学业水平质量检测七年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，共有25道题； 2．所有题目均在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 第I卷 一、选择题（本题满分27分，共有9道小题，每小题3分） 1. 以下四款常用软件图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 据新闻报道，我国科研团队成功制备了多种单原子层金属，厚度仅为头发丝直径的二十万分之一．其中铅原子的直径约为米，数据用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰长为（ ） A. B. C. D. 或 5. 如图是折叠晾衣架的示意图，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 某小组做“用频率估计概率”的实验时，绘制了如图的频率分布折线图，则符合这一结果的实验是（ ） A. 掷一个正六面体的骰子，朝上点数是的倍数 B. 从一副扑克牌中抽到一张黑桃的扑克 C. 从装有一套四大名著的盒子里任取一本书，取到的是《西游记》 D. 一个装有个红球、个黑球的袋子中任取一球，取到的是红球 7. 如图，将一张长方形纸片斜折过去，使顶点落在处，为折痕，然后再把折过去，使之与在一条直线上，折痕为，若，则的度数（ ） A. B. C. D. 8. 如图是一个数字运算程序流程图，按照这个程序运算，若输入数字，则输出结果为（ ） A. B. C. D. 9. 在四边形中，，，，，分别是边、上的点，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 第II卷 二、填空题（本题满分18分，共6小题，每小题3分） 10. 计算：________． 11. “六一儿童节”是七年级学生最后一个儿童节，班主任在儿童节庆祝活动中设计了一个转盘游戏．游戏规则：转动如图所示的转盘（转盘被等分成份），若指针指向紫色、红色、蓝色区域可分别获得一、二、三等奖，指向空白区域则不得奖（指向分界线则重新转动转盘），在这个游戏中学生获奖的概率是________． 12. 如图，某商场一辆购物车车身总长为米，将购物车叠放在一起，每增加一辆购物车，车身总长增加米．用（米）表示叠放的购物车车身总长，用（辆）表示叠放的购物车数量，则与之间的关系式为________． 13. 如图，在中，，的面积是，是的垂直平分线，点，分别在和上，则的最小值为______． 14. 暑假期间，张亮和王鹏同学为锻炼自己的社会实践能力，他们以每千克元的价格购进一批西瓜到市场销售．售出部分西瓜后，余下的每千克降价元全部售完．销售金额与售出质量之间的关系如图所示，则两人共获利______元． 15. 如图，将两个全等的等腰三角形和的顶角顶点重合，且．点、分别在的两侧，与交于点，分别与、交于点、．当为等腰三角形时，的度数为______． 三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 16. 如图，青岛某滨海景区的区域轮廓为四边形，、为两条滨海道路，观海亭点位于海边步行道上．现要在景区内设置文创打卡点，要求，且点到两条滨海道路、的距离相等．请你在图中作出文创打卡点的位置． 四、解答题（本大题满分71分，共有9道题） 17. 计算、化简求值： （1）计算：； （2）计算：； （3）先化简，再求值：，其中，． 18. 在一个不透明的盒子里装有红、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外其余完全相同．实践小组的同学做摸球试验，搅匀后，从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的部分统计数据： 摸球次数 摸到白球次数 摸到白球频率 （1）______，______； （2）试估算盒子里红球有_____个； （3）小红和小亮用这个盒子做摸球游戏，摸到红球小红赢，摸到白球小亮赢，你认为这个游戏对双方公平吗？请你说明理由． 19. 如图，已知，，，求的度数． 请将下面的求解过程填写完整． 解：，， ________（同角的补角相等） ∴（ ） （ ） ， ________（ ） ∴（同位角相等，两直线平行） ________（两直线平行，同位角相等） 又， ． 20. 如图，在的正方形网格图中，点，，均在格点上，现要另外添加一个格点，使、、、这个点两两连接所形成的图形是轴对称图形．请在图中画出所有满足条件的点，并简要描述你是如何找到的． 21. 对于两个正数，（其中），定义一种新的运算，记作，即：如果，那么，例如：，；，； （1）_____，_____；（填“”或“”） （2）猜想：______； （3）请验证你的猜想． 22. 已知：在和中，，，．请判断线段和有怎样的关系？请说明理由． 23. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化． （1）如图，用个长为、宽为的小长方形可以围成一个大正方形，由此可以得到等式为：________． （2）已知，求代数式的值； （3）如图，正方形和正方形如图放置，已知两个正方形的边长之和为，阴影部分的面积为，则的长为_______． 24. 小华骑自行车从家出发去图书馆上自习，行驶了一段时间后，想起本来约好和同学小亮一起去图书馆，于是又折返回刚经过的小亮家，约上小亮后继续赶往图书馆，直到抵达．如图是小华行驶过程中离家的距离与时间关系的图象． 根据图象中提供的信息回答下列问题： （1）自变量是______，因变量是______； （2）图中段可能发生了______； （3）求整个行程过程中，小华的最快速度是多少米/分钟？ （4）当小华离家的距离为700米时，请直接写出小华出发了多长时间． 25. 数学学习中，经常会将新问题转化为已经研究过的熟悉的问题．转化是解决数学问题的一种重要的策略． （1）如图1所示，若，，根据三角形三边性质，可以得到的取值范围是______； （2）如图2，是的中线，你能求出的取值范围吗？请说明理由； （3）如图3，在中，是的中线，点是延长线上一点，，交延长线于点，如果恰好平分，那么是否与平行？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $