暑假专项作业：综合复习-2025-2026学年北师大版 数学八年级下册

**基本信息** 以“知识整合+方法迁移”为核心，通过分层题型系统覆盖八年级下册代数与几何核心内容，强化数学思维与应用意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数基础|1-3、11-12、18-19|分式值为0条件、因式分解步骤、分式化简技巧|从概念（分式、因式）到运算（化简、分解），构建代数推理链| |几何综合|4、7-9、13-14、20-21|中位线定理、平行四边形性质、垂直平分线应用|以三角形和平行四边形为载体，融合性质与判定，培养几何直观| |函数与不等式|5-6、15-16、17、24|函数图像应用、不等式组解法、参数问题分类讨论|结合图像与代数，体现数形结合，发展抽象能力与推理意识| |实践与探究|22、25-27|方程模型构建、拼图验证因式分解、动态几何最值|从实际问题到数学建模，强化模型意识与创新意识|

暑假专项作业：综合复习-2025-2026学年数学八年级下册北师大版（2024） 一、单选题 1．在函数中，自变量的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2．下列事件是随机事件的是（     ） A．对顶角相等 B．三角形内角和等于 C．平行四边形对角线互相平分 D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 3．若分式的值等于0，则x的取值为（     ） A． B． C．或 D． 4．如图，在中，，，，点，，分别为边，，的中点，则的周长为（     ） A．8 B．10 C．12 D．14 5．若，则的值为（     ） A． B．1 C．2 D．3 6．若，，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D． 7．如图，为了测量一块不规则绿地B、C两点间的距离，可以在绿地的一侧选定一点A，然后测量出、的中点分别为点D、E，若测量出D、E两点间的距离是，则绿地B、C两点间的距离是（     ）． A． B． C． D． 8．如图，平行四边形中，以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点，延长和，相交于点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．如图，四边形中，，，，点M，N分别为线段，上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别为，的中点，则长度的最大值为（     ） A．2 B．2.5 C． D． 10．对于任意非负实数，若定义新运算则下列说法： ①；②；③；④若，则的取值范围为．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．计算的结果是_____． 12．如果一个多边形的每个内角都等于，那么这个多边形的内角和是________． 13．如图，的对角线相交于点O．已知，的周长和的周长相差，则的长为__________． 14．如图，在中，，的垂直平分线交于点，连接，若的周长是，，则的长为______． 15．如图，正比例函数与一次函数（a，b为常数，且）的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为______． 16．已知关于的不等式组的解集为，且使得关于、的二元一次方程组有正整数解．则所有满足条件的整数的和为________． 三、解答题 17．解不等式组，并在数轴上表示该不等式组的解集． 18．因式分解： (1)； (2)； (3) (4)． 19．解方程、化简： (1)． (2)先化简，再求值：，其中． 20．如图，在中，已知，为的中点，于点，于点，连接、． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 21．如图，在平行四边形中，，，垂足分别为点E，F． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求线段的长． 22．快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替工人分拣，甲、乙两种型号的机器人的单价分别为5万元/台和3万元/台．已知一台甲种型号的机器人比一台乙种型号的机器人每小时多分拣200件快递；一台甲种型号的机器人工作2小时，一台乙种型号的机器人工作3小时，共完成了4400件快递的分拣． (1)求甲、乙两种型号机器人每小时分拣快递的数量； (2)若该公司计划购买两种型号的机器人共10台，并且使这10台机器人每小时分拣快递量的总和不少于8500件．要使购买机器人的费用最低，应该购买甲、乙两种型号机器人各多少台？ 23．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均为格点（网格线的交点）．已知点和的坐标分别为和． (1)将先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到，在所给的网格图中画出（其中为的对应边） (2)在所给的网格图中找一点，使得点在的平分线上，写出一个符合条件的点坐标． 24．如图，直线分别交x轴、y轴于点A、B，直线与x轴正半轴交于点C．点D在线段上，连接． (1)求点A、B、C的坐标； (2)已知，求点D的坐标； (3)点P为x轴上一点，满足，求点P的坐标． 25．课堂上，老师借助拼图前后图形的面积不变的事实，帮助同学们直观理解因式分解的合理性，形象地说明因式分解是整式的恒等变形，并鼓励学习小组开展探究活动．如图1，已知现有A、B、C三种型号的卡片若干张． (1)实践活动：如图2，第一小组利用四张卡片（1张A型，1张B型，2张C型）拼成一个大正方形，请据此直接写出一个多项式的因式分解； (2)拓展探究：如图3，第二小组利用九张卡片（2张A型，2张B型，5张C型）拼成一个大长方形． ①观察图形，请据此直接写出一个多项式的因式分解； ②若每块C型小长方形卡片的面积为10，四个正方形（2张A型，2张B型）面积之和为58，试求图中所有拼接线（虚线部分）长之和． 26．【问题背景】 央视马年春晚播出后，晚会中的机器人备受大家喜爱．为满足儿童对机器人玩具的需求，某玩具店决定购进A，B两种机器人玩具． 素材一：已知一个B种机器人玩具比一个A种机器人玩具价格贵10元． 素材二：玩具店用2500元购进A种机器人玩具的数量是用1500元购进B种机器人玩具数量的2倍． 【问题解决】 (1)求购进A，B两种机器人玩具的单价； (2)因销售良好，该玩具店决定再次购进A，B两种机器人玩具共40个，且A种机器人玩具的数量不超过B种机器人玩具数量的3倍，那么购进A种机器人玩具和B种机器人玩具各多少个时花费最少？最少花费为多少元？ 27．如图，在中，，，是边上的中线，点是直线上一点，连接，在右侧作等腰，，． (1)如图1，点在线段上，与相交于点，若，求的度数（用含的代数式表示）； (2)如图2，点在线段的延长线上，点是边上的中点，连接交的延长线于点，连接，用等式表示线段、之间的数量关系，并证明； (3)如图3，点在线段上，点在线段上，且，连接，，当取得最小值时，若，请直接写出四边形的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《暑假专项作业：综合复习-2025-2026学年数学八年级下册北师大版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A B B A C A C C 1．C 【详解】解：∵函数， ∴， ∴． 2．D 【分析】必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不会发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A、对顶角相等是一定发生的事件，属于必然事件，不符合要求； B，任意三角形内角和为，三角形内角和等于是一定不会发生的事件，属于不可能事件，不符合要求； C，平行四边形对角线互相平分是一定发生的事件，属于必然事件，不符合要求； D，抛掷一枚质地均匀的硬币，结果可能是正面向上，也可能是反面向上，正面向上是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件，符合要求． 3．A 【分析】根据分式值为的条件，可知分子为且分母不为，先求分子为对应的，再排除使分母为的取值，得到结果． 【详解】解：∵分式的值等于 ∴ 解得， 解得． ∴． 4．B 【分析】根据三角形中位线的性质求出，，，然后利用周长公式求解． 【详解】解：∵点D，E，F分别是三边的中点， ∴，， ∴的周长为． 5．B 【分析】利用平方差公式对所求代数式因式分解，再代入已知条件化简求值． 【详解】解：∵ ， ∴ 原式 ， 将 代入得 原式 ． 6．A 【分析】通过换元简化表达式，利用作商比较法结合因式分解判断符号，即可比较和的大小． 【详解】解：设 ，可得 则 ， ∵ ，计算 得 展开分子得 展开分母得 分子减分母得 ∵ ，∴ ，即 ∴ ∴ ． 7．C 【分析】根据题意可知、分别为、的中点，利用三角形中位线定理即可求出的长． 【详解】解：在中，、分别是、的中点， 为的中位线， ， ， ． 8．A 【分析】根据平行四边形的性质可得，，即可求得，再利用等腰三角形的性质求得，根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：在平行四边形中，，， ， 根据作图可得， , ， ． 9．C 【分析】连接，由勾股定理得，由三角形中位线性质可得，即可得点与点重合时最大，最大值为，进而即可求解. 【详解】解：连接 、 ，如图所示， 在 中， ， ， ， ， 点 分别为 的中点， 是 的中位线， ， 由题意得，当点 与点 重合时 最大，最大值为 ， 长度的最大值为 ． 10．C 【分析】本题为新定义题型，根据新运算的分段定义，逐个验证四个命题的正误，用到二次根式运算，分母有理化，裂项相消求和，绝对值化简和分类讨论思想，最后统计正确命题个数得到答案． 【详解】解：①计算： ，由定义得， ∴①正确； ②化简求和验证： 对任意正整数，， ， 则 左边 右边，左边右边， ∴②正确； ③当时，， 当时，， ，故③正确； ④解方程，分情况讨论： 情况1：，化简得，此时原式， 若，则，等式成立；若，则，解得，不在此区间，不成立， 情况2：，化简得，此时原式， 若，则，等式成立；若，则，解得，不在此区间，不成立， 综上，方程的解为或，与命题给出的不符，故④错误． 因此正确的命题共3个． 11．/ 【详解】解：． 12． 【分析】设这个多边形的边数为n，由该多边形每个内角都等于，可得其内角和为，结合多边形内角和公式列方程求出边数n，再计算多边形的内角和即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 根据多边形内角和公式可得： ， 解得， 则这个多边形的内角和为． 13．或 【分析】根据平行四边形的性质可知对角线互相平分，即，又因为为公共边，所以与的周长差即为与的差的绝对值，结合已知条件即可求解的长，进而根据平行四边形对边相等得到的长 ． 【详解】解：四边形是平行四边形， ． 的周长，的周长 ， 的周长与的周长之差为， 周长相差，， ， 或， 解得或． 或． 14． 【分析】由可得，由垂直平分线的性质可得，结合等量代换可得的周长即为，从而计算出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴的周长为， ∴． 15． 【详解】解：由题意可把点代入正比例函数得：，解得：， ∴， ∴由图象可知：关于x的不等式的解集为． 16．19 【分析】先解不等式组，根据已知解集确定的取值范围，再解二元一次方程组，根据方程组的解为正整数确定符合条件的整数，最后计算所有满足条件的的和． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式得， 不等式组的解集为， ∴， 解方程组， 由第一个方程得， 代入第二个方程得， 解得， 将代入 得， 方程组的解为正整数，且为整数， ∴是的正因数，的正因数有， 当时，，不满足，舍去； 当时，，不满足，舍去； 当时，，满足条件，此时 均为正整数； 当 时，，满足条件，此时均为正整数； 所有满足条件的整数的和为，故答案为． 17．， 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示为： 18．(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解； （2）先提出公因式，再利用完全平方公式分解即可； （3）利用完全平方公式分解即可； （4）先用平方差公式，再用完全平方公式进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：； （4）解： ． 19．(1) (2)， 【详解】（1）解：， 对分母因式分解得， 两边同时乘以，得， 去括号得， 移项合并同类项得， 解得， 检验：当时，， 所以原方程的解为； （2）解： ， 当时，原式． 20．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据三线合一定理得到，利用三角形内角和定理求得，再证明，得到，求得，得到，即可证明； （2）由得到，，即可得到垂直平分． 【详解】（1）证明：∵，为的中点， ∴，， ∵于，于， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得， ∴，， ∴垂直平分． 21．(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； (2)11 【分析】（1）根据平行四边形的性质以及已知条件，可得，证明得出，即可得证； （2）在中，勾股定理求得，根据（1）可得，则，在中，根据勾股定理求得长，由此即可求得的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴在中，， 由（1）可得 ∴， 在中，， ∴， ∴． 22．(1)甲种型号机器人每小时分拣件快递，乙种型号机器人每小时分拣件快递； (2)应该购买甲种型号机器人台，乙种型号机器人台． 【分析】（1）设未知数表示甲、乙两种机器人每小时的分拣量，根据给定总分拣量的条件列一元一次方程，求解即可得到结果； （2）设购买甲种机器人的数量，根据总分拣量的要求得到自变量的取值范围，再写出总费用关于购买数量的一次函数，根据一次函数的增减性即可求出费用最低时的购买方案． 【详解】（1）解：设乙种型号机器人每小时分拣件快递，则甲种型号机器人每小时分拣件快递． 根据题意得， 解得． 则（件）． 答：甲种型号机器人每小时分拣件快递，乙种型号机器人每小时分拣件快递； （2）解：设购买台甲种型号机器人，则购买台乙种型号机器人，总费用为万元． 根据题意得， 解得． 总费用． ， 随的增大而增大． 又为非负整数，且， 取最小值时，最小． 此时（台）． 答：要使购买费用最低，应该购买甲种型号机器人台，乙种型号机器人台． 23．(1)； (2)点的坐标为（答案不唯一）． 【分析】（1）根据平移方式作图即可； （2）证明是等腰三角形，根据三线合一取中点坐标即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴， 即是等腰三角形，底边为， ∴的平分线经过的中点， ∴点坐标为即． 24．(1)， (2) (3)或 【分析】（1）对于，分别令，，可求出点A，B的坐标，对于，令，可求出点C的坐标，即可； （2）根据题意可得，，设点，则，可得，再由，即可求解； （3）分两种情况，结合等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】（1）解：对于， 当时，，当时，， ∴点， 对于， 当时，， ∴点； （2）解：由（1）得：，， ∴，，， ∴，， 设点，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴点D的坐标为； （3）解：由（1）得：， ∴为等腰直角三角形， ∴， 当点P在点C的左侧时，如图，过点A作交的延长线于点G，过点A作轴，分别过点B，G作，垂足分别为点M，N，则，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴点G的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴此时点P的坐标为； 当点P在点C的右侧时，如图，在线段上取点H，使，过点C作交y轴于点K，则点，    ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 25．(1) (2)①；②42 【分析】（1）分别表示出四张卡片的面积和大正方形的面积，根据四张卡片的面积等于大正方形的面积即可得解； （2）①分别表示出九张卡片的面积和大长方形的面积，根据九张卡片的面积等于大长方形的面积即可得解； ②根据题意得，，再由，可求出，然后计算图中所有拼接线（虚线部分）长之和，化简后，整体代入求值． 【详解】（1）解：四张卡片的面积可表示为：， 大正方形的面积可表示为：， ∴； （2）解：①九张卡片的面积可表示为：， 大长方形的面积可表示为：， ∴； ②根据题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴（负值不符合，已舍去）， 图中所有拼接线（虚线部分）长之和为： ． 26．(1)购买一个A种机器人玩具价格为50元，一个B种机器人玩具价格为60元 (2)购进A种30个、B种10个花费最少，最少花费2100元 【分析】（1）根据 “数量总价单价”列出代数式，再根据“玩具店用2500元购进A种机器人玩具的数量是用1500元购进B种机器人玩具数量的2倍”列出等量关系式解出答案； （2）将其中一种机器人的数量设出来，另一个由“两种机器人玩具共40个”列出代数式，再根据题意列出不等式求出设的值的取值范围，再列出一次函数，根据一次函数的增减性求出答案． 【详解】（1）解：设购买一个A种机器人玩具价格为x元，则购买一个B种机器人玩具价格为元， 根据题意得： ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （元）， 答：购买一个A种机器人玩具价格为50元，一个B种机器人玩具价格为60元 （2）解:设购进A种个，则B种个， 由题意： ， 解得， 且， ， ∴，m为整数， 设总花费为w元： ， ，w随m增大而减小， 取最大值30时，花费最少，， 此时：A种30个，B种（个）， 最少花费： 元； 答：购进A种30个、B种10个花费最少，最少花费2100元． 27．(1)； (2)解：，理由如下： 作交的延长线于点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点是边上的中点， ∴是的中位线， ∴； (3) 【分析】（1）利用等边对等角结合三角形的外角性质求解即可； （2）作交的延长线于点，证明，求得，再证明，求得，得到是的中位线，据此求解即可； （3）作，使，连接，，证明，求得，当共线时，取得最小值，即取得最小值，证明是等腰直角三角形，求得，设，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：∵中，，， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：略 （3）解：作，使，连接，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当共线时，取得最小值，即取得最小值， 如图，记交于点， ∵，又， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴四边形的面积． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $