2.3.1　两条直线的交点坐标 2026-2027学年二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

该高中数学课件聚焦“两条直线的交点坐标”，通过情境问题引导学生从平面几何中两直线位置关系（平行、重合、相交）过渡到解析几何的代数特征，以方程组解的个数为支架，连接直线方程与位置关系的判断，构建知识脉络。 其亮点在于融合数学运算与逻辑推理，通过自我诊断、典型例题（如用两种方法求过交点直线）、通性通法总结（方程组法、直线系法）及分层练习，培养学生运算能力与推理意识。学生能掌握核心方法，教师可依托系统资源提升教学效率。

2.3.1　 两条直线的交点坐标 新课程标准解读 核心素养 1.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标 数学运算 2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系 逻辑推理 目录 数学·选择性必修第一册 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　在平面几何中研究了两直线的位置关系，有且只有以下三种几何 特征：①平行；②重合；③相交. 【问题】　（1）在解析几何中，具有上述三种位置关系的直线，它 们的代数特征各是什么？ （2）如何求两直线相交时的交点坐标？ 目录 数学·选择性必修第一册 知识点　两直线的交点坐标 1. 定义：已知两条直线 l1： A1 x ＋ B1 y ＋ C1＝0， l2： A2 x ＋ B2 y ＋ C2＝ 0，将方程联立，得方程组若方程组有 ⁠ ，则两条直线相交，此解就是交点的坐标. 唯一 解　 目录 数学·选择性必修第一册 一组 无数组 无解 直线 l1与 l2的公共点个数 ⁠个 无数个 ⁠ 个 直线 l1与 l2的位置关系 相交 重合 平行 1　 0　 2. 两直线 l1， l2位置关系的判断方法 目录 数学·选择性必修第一册 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元 一次方程组的解. （　√　） （2）若两条直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交. （　×　） （3）无论 m 为何值， x － y ＋1＝0与 x －2 my ＋3＝0必相交. （　×　） √ × × 目录 数学·选择性必修第一册 2. 直线 l1：2 x ＋ y －3＝0与 l2： x － y ＋6＝0交点的坐标是（　　） A. （－1，5） B. （1，1） C. （－2，4） D. （2，－1） 3. 方程组解的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数个 目录 数学·选择性必修第一册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 两直线相交问题 【例1】　分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点 坐标： （1） l1：2 x － y ＝7和 l2：3 x ＋2 y －7＝0； 解： 方程组因此直线 l1 和 l2相交，交点坐标为（3，－1）. 目录 数学·选择性必修第一册 （2） l1：2 x －6 y ＋4＝0和 l2：4 x －12 y ＋8＝0. 解： 方程组有无数个解，这表明直线 l1 和 l2重合. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 　　用代数方法求两条直线的交点坐标，只需写出这两条直线的方 程，然后联立求解.一般地，将两条直线的方程联立，得方程组 若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就 是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线 平行；若方程组有无数个解，则两条直线重合. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 1. (2025·高二上·广州期中) 直线l_1：2x-3y+5=0与l_2：x+y-10=0的交点坐标是（　　） 解析： 　联立方程组解得，故与的交点坐标为．. A.  B.  C.  D.  目录 数学·选择性必修第一册 2. 已知直线 l1： ax ＋ y ＋1＝0与 l2：2 x － by －1＝0相交于点 M （1， 1），则 a ＋ b ＝ ⁠. 解析：∵直线 l1： ax ＋ y ＋1＝0与 l2：2 x － by －1＝0相交于点 M （1，1），∴⇒⇒ ∴ a ＋ b ＝－2＋1＝－1. －1　 目录 数学·选择性必修第一册 题型二 求过两直线交点的直线 【例2】　（2024·河源月考）求过两直线2 x －3 y －3＝0和 x ＋ y ＋2＝ 0的交点且与直线3 x ＋ y －1＝0平行的直线方程. 目录 数学·选择性必修第一册 解：法一　解方程组 所以两直线的交点坐标为 .又所求直线与直线3 x ＋ y －1＝0 平行，所以所求直线的斜率为－3. 故所求直线方程为 y ＋ ＝－3 ，即15 x ＋5 y ＋16＝0. 目录 数学·选择性必修第一册 法二　设所求直线方程为（2 x －3 y －3）＋λ（ x ＋ y ＋2）＝0，即（2 ＋λ） x ＋（λ－3） y ＋（2λ－3）＝0.（*） 由于所求直线与直线3 x ＋ y －1＝0平行，所以有 得λ＝ ，代入（*）式得 x ＋ y ＋（2× －3）＝0， 即15 x ＋5 y ＋16＝0. 目录 数学·选择性必修第一册 【母题探究】 　（变条件）本例中若将“平行”改为“垂直”，其他条件不变，如 何求解？ 解：设所求直线方程为（2 x －3 y －3）＋λ（ x ＋ y ＋2）＝0，即（2＋ λ） x ＋（λ－3） y ＋（2λ－3）＝0，由于所求直线与直线3 x ＋ y －1＝ 0垂直，则3（2＋λ）＋（λ－3）×1＝0，得λ＝－ ，所以所求直线方 程为5 x －15 y －18＝0. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 过两条直线交点的直线方程的求法 （1）常规解法（方程组法）：一般是先解方程组求出交点坐标，再 结合其他条件写出直线方程； （2）特殊解法（直线系法）：先设出过两条直线交点的直线系方 程，再结合其他条件用待定系数法求出参数，最后确定直线 方程. 目录 数学·选择性必修第一册 提醒　过两条已知直线 A1 x ＋ B1 y ＋ C1＝0， A2 x ＋ B2 y ＋ C2＝0 交点的直线系方程为 A1 x ＋ B1 y ＋ C1＋λ（ A2 x ＋ B2 y ＋ C2）＝0 （不包括直线 A2 x ＋ B2 y ＋ C2＝0）. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 　直线 l 经过（1，2），且经过直线2 x ＋3 y ＋8＝0与 x － y －1＝0的 交点，则直线 l 的方程为（　　） A. 2 x ＋ y ＝0 B. 2 x － y ＝0 C. x ＋2 y ＝0 D. x －2 y ＝0 解析： 　设所求直线方程为2 x ＋3 y ＋8＋λ（ x － y －1）＝0，即（2 ＋λ） x ＋（3－λ） y ＋8－λ＝0.因为 l 过（1，2），所以（2＋λ）＋2 （3－λ）＋8－λ＝0，解得λ＝8.则直线 l 的方程为2 x － y ＝0.故选B. 目录 数学·选择性必修第一册 题型三 直线过定点问题 【例3】　（2024·阳江质检）不论 m 为何值，直线（ m －1） x ＋（2 m －1） y ＝ m －5恒过一定点 P ，求点 P 的坐标. 解：法一　当 m ＝1时，直线方程为 y ＝－4； 当 m ＝ 时，直线方程为 x ＝9，这两条直线的交点为（9，－4）. 又当 x ＝9， y ＝－4时，9（ m －1）＋（－4）（2 m －1）＝ m －5，即 点（9，－4）在直线（ m －1） x ＋（2 m －1） y ＝ m －5上，故无论 m 取何值，直线（ m －1） x ＋（2 m －1） y ＝ m －5都过定点 P （9，－ 4）. 目录 数学·选择性必修第一册 法二　∵（ m －1） x ＋（2 m －1） y ＝ m －5，∴ m （ x ＋2 y －1）－ （ x ＋ y －5）＝0，则无论 m 取何值，直线（ m －1） x ＋（2 m －1） y ＝ m －5都过直线 x ＋2 y －1＝0与 x ＋ y －5＝0的交点. 解方程组即交点为 P （9，－4）. 故不论 m 取何值，直线（ m －1） x ＋（2 m －1） y ＝ m －5都过定点 P （9，－4）. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 解直线恒过定点问题的策略 （1）将方程化为点斜式 y － y0＝ k （ x － x0），其中 k 为参数，求得直 线恒过定点（ x0， y0）； （2）赋值法：因为参数可取任意实数，所以给参数任取两次值，得 到关于 x ， y 的二元一次方程组，解方程组可得 x ， y 的值，即为 直线过的定点； 目录 数学·选择性必修第一册 （3）分离参数法：将方程变形，把 x ， y 作为参数的系数，即有参数 的放在一起，没参数的放在一起，因为此式子对任意的参数的 值都成立，所以需系数为零，解方程组可得 x ， y 的值，即为直 线过的定点. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 　无论实数 a 取何值，方程（ a －1） x － y ＋2 a －1＝0表示的直线恒 过定点，试求该定点. 解：由（ a －1） x － y ＋2 a －1＝0，得－ x － y －1＋ a （ x ＋2）＝0. 所以已知直线恒过直线－ x － y －1＝0与直线 x ＋2＝0的交点. 解方程组 所以方程（ a －1） x － y ＋2 a －1＝0表示的直线恒过定点（－2，1）. 目录 数学·选择性必修第一册 1. 直线 x ＋2 y －4＝0与直线2 x － y ＋2＝0的交点坐标是（　　） A. （2，0） B. （2，1） C. （0，2） D. （1，2） 解析： 　解方程组即直线 x ＋2 y －4 ＝0与直线2 x － y ＋2＝0的交点坐标是（0，2）. 目录 数学·选择性必修第一册 2. 直线2 x ＋3 y － k ＝0和直线 x － ky ＋12＝0的交点在 x 轴上，则 k ＝ （　　） A. －24 B. 24 C. 6 D. ±6 解析： 　因为直线2 x ＋3 y － k ＝0和直线 x － ky ＋12＝0的交点在 x 轴上，可设交点坐标为（ a ，0），所以故选A. 目录 数学·选择性必修第一册 3. （2024·焦作月考）直线（ a －1） x － y ＋2 a ＋1＝0恒过定点 ⁠ ⁠. 解析：由题意得 a （ x ＋2）＋（－ x － y ＋1）＝0，令 ∴该直线恒过定点（－2，3）. （－ 2，3）　 目录 数学·选择性必修第一册 4. 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点坐标： （1） l1：4 x ＋2 y ＋4＝0和 l2： y ＝－2 x ＋3； 解： 方程组无解， 这表明直线 l1和 l2没有公共点，故 l1∥ l2. 目录 数学·选择性必修第一册 （2） l1：5 x ＋4 y －2＝0， l2：2 x ＋ y ＋2＝0. 解： 解方程组 所以 l1与 l2相交，且交点坐标为（－ ）. 目录 数学·选择性必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 已知直线 l1：3 x ＋4 y －5＝0与 l2：3 x ＋5 y －6＝0相交，则它们的交 点是（　　） 解析： 　由 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 2. （2024·镇江月考）下列直线中，与直线 x ＋ y －1＝0相交的是 （　　） A. 2 x ＋2 y ＝6 B. x ＋ y ＝0 C. y ＝－ x －3 D. y ＝ x －1 解析： 　直线 x ＋ y －1＝0的斜率为－1，选项A，B，C中的直线 斜率均为－1，只有D选项中的直线的斜率为1，所以两直线相交， 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 3. (2025秋·菏泽校级月考) 直线l被两条直线4x + y + 6 = 0和3x - 5y - 6 = 0截得的线段中点恰好是坐标原点，则这条直线的方程是（　　） 解析： 　将设点P(a,b) 是直线4x + y + 6 = 0上的点P，则点P关于原点的对称点Q(-a,-b)，由题意，点Q(-a,-b)，在直线3x - 5y - 6 = 0上．解，得，．直线l经过原点O和点P，方程是x + 6y = 0． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A. 6x + y = 0 B. 6x - y = 0 C. x + 6y = 0 D. x - 6y = 0 目录 数学·选择性必修第一册 4. 已知直线 ax ＋4 y －2＝0与2 x －5 y －12＝0互相垂直，则垂足的坐标 为（　　） A. （1，－2） B. （－1，2） C. （－2，1） D. （2，－1） 解析： 　由两直线垂直得－ × ＝－1，解得 a ＝10.由 则垂足的坐标为（1，－2）. 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 5. 过两直线 l1： x －3 y ＋4＝0和 l2：2 x ＋ y ＋5＝0的交点和原点的直线 方程为（　　） A. 3 x －19 y ＝0 B. 3 x ＋19 y ＝0 C. 19 x ＋3 y ＝0 D. 19 x －3 y ＝0 解析： 　设过两直线交点的直线系方程为 x －3 y ＋4＋λ（2 x ＋ y ＋5）＝0（λ为常数），代入原点坐标，求得λ＝－ ，故所求直线 方程为 x －3 y ＋4－ （2 x ＋ y ＋5）＝0，即3 x ＋19 y ＝0，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 6. （多选）已知直线 l1：3 x ＋ y －1＝0与 l2： x ＋2 y －7＝0，则下列说 法正确的是（　　） A. l1与 l2的交点坐标是（0，－1） B. 过 l1与 l2的交点且与 l1垂直的直线的方程为 x －3 y ＋13＝0 D. l1的倾斜角是锐角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　联立3 x ＋ y －1＝0与 x ＋2 y －7＝0，解得交点坐标为 （－1，4），所以A中说法错误；由所求直线与直线3 x ＋ y －1＝0 垂直得所求直线的斜率为 ，由点斜式得 y －4＝ （ x ＋1），即 x －3 y ＋13＝0，所以B中说法正确； l1， l2与 x 轴围成的三角形的面 积 S ＝ ×（7－ ）×4＝ ，所以C中说法正确； l1的斜率 k1＝－3 ＜0，所以 l1的倾斜角是钝角，所以D中说法错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 7. 已知直线 Ax ＋3 y ＋ C ＝0与直线2 x －3 y ＋4＝0的交点在 y 轴上，则 C ＝ ⁠. 解析：因为两直线的交点在 y 轴上，且直线2 x －3 y ＋4＝0与 y 轴的 交点坐标是（0， ），所以点（0， ）在直线 Ax ＋3 y ＋ C ＝0上， 则 A ×0＋3× ＋ C ＝0，解得 C ＝－4. －4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 8. 若三条直线 y ＝2 x ， x ＋ y ＝3， mx －2 y －5＝0相交于同一点，则 实数 m ＝ ⁠. 解析：联立即（1，2）为三条直线的交 点坐标，把（1，2）代入直线方程 mx －2 y －5＝0，得 m －2×2－5 ＝0，即 m ＝9. 9　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 9. （2024·绍兴月考）若一条直线经过两条直线 l1： x ＋ y ＝2， l2：2 x － y ＝1的交点，且该直线的一个方向向量为 v ＝（2，4），则该直 线的方程为 ⁠. 解析：联立方程所以直线 l1与 l2的交点 为（1，1），因为所求直线的一个方向向量为 v ＝（2，4），所以 该直线的斜率为2，故该直线的方程为 y －1＝2（ x －1），即2 x － y －1＝0. 2 x － y －1＝0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 10. 已知直线 l1的方程为 x ＋2 y －4＝0， l2在 x 轴上的截距为 ，且 l1⊥ l2. （1）求直线 l1与 l2的交点坐标； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解： 设 l2的方程为 2 x － y ＋ m ＝0. 因为 l2在 x 轴上的截距为 . 所以2× －0＋ m ＝0，解得 m ＝－3， 即 l2：2 x － y －3＝0. 由 所以直线 l1与 l2的交点坐标为（2，1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2）已知直线 l3经过 l1与 l2的交点，且在 y 轴上的截距是在 x 轴上 的截距的2倍，求 l3的方程. 解： 当 l3过原点时， l3的方程为 y ＝ x ； 当 l3不过原点时，设 l3的方程为 ＋ ＝1， 则 ＋ ＝1，得 a ＝ ， 所以 l3的方程为2 x ＋ y －5＝0. 综上， l3的方程为 x －2 y ＝0或2 x ＋ y －5＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 11. 已知直线 kx － y ＋2 k ＋1＝0与直线 x ＋2 y －4＝0的交点在第四象 限，则实数 k 的取值范围为（　　） A. （－6，2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　联立由直线 kx － y ＋2 k ＋1＝0与 x ＋2 y －4＝0的交点在第四象限可得 解得－ ＜ k ＜－ ，即实数 k 的取值范围为（－ ，－ ）.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 12. （2024·广州月考）已知直线 y －1＝ k （ x －1）恒过定点 A ，且点 A 在直线 mx ＋ ny －2＝0（ m ＞0， n ＞0）上，则 mn 的最大值 为 ⁠. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析：已知直线 y －1＝ k （ x －1），令 ∴直线 y －1＝ k （ x －1）恒过定点 A （1，1）.将点 A （1，1）的坐标代入 mx ＋ ny －2＝0，得 m ＋ n ＝2.又 m ＞0， n ＞ 0，∴ mn ≤（ ）2＝1（当且仅当 m ＝ n ＝1时，等号成立）. ∴ mn 的最大值为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册   －1或 或－2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析：由题意可得，①当 l3∥ l1时，不能构成三角形，此时 a × （－2）＝1×2，解得 a ＝－1；②当 l3∥ l2时，不能构成三角形， 此时 a ×3＝4×2，解得 a ＝ ；③当 l3过 l1与 l2的交点时，不能构成 三角形，此时联立 l1与 l2的方程，得所以 l1与 l2过点（－2，1），将（－2，1）代入 ax ＋2 y －6＝0得 a ×（－2）＋2×1－6＝0，解得 a ＝－2.综上，当 a ＝－ 1， ，－2时，不能构成三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 14. 已知直线 l ：（ m －2） x －（ m ＋1） y ＋3 m ＝0（ m ∈R），直线 l1：4 x ＋ y ＋3＝0和 l2：3 x －5 y －5＝0. （1）求证：直线 l 恒过定点； 解： 证明：（ m －2） x －（ m ＋1） y ＋3 m ＝0可化为 m （ x － y ＋3）－（2 x ＋ y ）＝0， 由于 m ∈R，则 即直线 l 恒过定点（－1，2）. 所以直线 l 恒过定点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2）设（1）中的定点为 P ， l 与 l1， l2的交点分别为 A ， B ，若 P 恰为 AB 的中点，求 m . 解： 由（1）知 P （－1，2），不妨设 A （ x0， y0）， 因为 P 恰为 AB 的中点，所以 B （－2－ x0，4－ y0）. 因为 A ， B 分别在直线 l1和直线 l2上， 所以 解得所以 A （－2，5）. 将 A （－2，5）代入直线 l 的方程，解得 m ＝－ . 所以 m 的值为－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 15. △ ABC 的三个顶点分别为 A （0，3）， B （3，3）， C （2，0）， 如果直线 x ＝ a 将△ ABC 分割成面积相等的两部分，则实数 a ＝ （　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　 lAC ： ＋ ＝1，即3 x ＋2 y －6＝0.由 因为 S△ ABC ＝ × a ×（3 － ）＝ ，得 a ＝ 或 a ＝－ （舍去）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 16. （2024·湛江月考）已知△ ABC 的顶点 B （3，4）， AB 边上的高所 在的直线方程为 x ＋ y －3＝0， E 为 BC 的中点，且 AE 所在的直线 方程为 x ＋3 y －7＝0. （1）求顶点 A 的坐标； 解： 由已知得 kAB ＝1，∴直线 AB 的方程为 y －4＝ x － 3，即 x － y ＋1＝0. 由 ∴点 A 的坐标为（1，2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2）求过点 E 且在 x 轴， y 轴上的截距相等的直线 l 的方程. 解： 设 E （ x0， y0），则 C （2 x0－3，2 y0－4），则 解得∴ E （4，1）. ∵直线 l 在 x 轴， y 轴上的截距相等，∴当直线 l 经过原点 时，设直线 l 的方程为 y ＝ kx ，把点 E （4，1）代入，得1＝4 k ，解得 k ＝ ，此时直线 l 的方程为 x －4 y ＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 当直线 l 不经过原点时，设直线 l 的方程为 ＋ ＝1，把点 E （4，1）代入，得 ＋ ＝1，解得 a ＝5，此时直线 l 的方程 为 x ＋ y －5＝0， ∴直线 l 的方程为 x －4 y ＝0或 x ＋ y －5＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 谢 谢 观 看！ $