2.1.2 两条直线平行和垂直的判定-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

数学选择性必修第一册 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.设直线1的斜率为k,且-1≤k<√3，则直线15.已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2). 的倾斜角α的取值范围为 ( (1)求直线AB和AC的斜率； Ap,0,)[元 (2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求 直线AD的斜率的变化范围. c.() D.[o. 2.若两直线1，l2的倾斜角和斜率分别为a1,a2 和k1,k2,则下列四个命题中正确的是( A.若a1<a2,则k1<k2 B.若a1=a2,则k1=k2 C.若k1<k2,则1<a2 D.若k1=k2,则a1=a2 3.直线1过点A(1,2),且不经过第四象限，则直 线1的斜率的取值范围为 A.2] B.[0,1] C.[0,2] D.(02) 课堂小结 4.台球运动中的反弹球技法是常 重要思想与方法 见的技巧，其中无旋转反弹球 (①)直线的斜率和倾斜角都反映了直线的倾斜程度，二者紧 是最简单的技法，主球撞击日 密相连； 标球后，目标球撞击台边之后2ò (2)在研究直线的倾斜角和斜率的过程中应用了数形结合 按照光线反射的方向弹出，想要让目标球沿着 的思想方法 理想的方向反弹，就要事先根据需要确认台边： 定义 倾斜角 的撞击点，同时做到用力适当，方向精确，这样 范围 倾与间化 才能通过反弹来将目标球成功击入袋中.如图， 倾斜角与斜率 斜斜的规 角率变律 定义 现有一目标球从点A(一2,3)无旋转射入，经过 斜率 公式 x轴（桌边）上的点P反弹后，经过点B(5,7), 斜率与方向向量的关系 则点P的坐标为 温馨提示 请做课时分层检测（九） 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 【课标要求】1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能应用两条直线平行或垂直解决有关问题. 【素养要求】通过学习两条直线平行与垂直的判定，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养 36 第二章 直线和圆的方程 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)两条直线平行与斜率之间的关系 :3.已知直线11∥12，直线l2的斜率2=3，则直线 已知两条直线4,2，斜率若存在且分别为k1, l1的斜率k1等于 k2,倾斜角分别为a1a2,则对应关系如下： A.可能不存在 B.3 条件 a1=&2≠90° a1=a2=90 c号 D. (二)两条直线垂直与斜率之间的关系 图示 (1)如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直， 那么它们的斜率之积等于 ;反之，如果两 条直线的斜率之积等于 ,那么它们互相 台两直线斜率 垂直.即11⊥l2台k1k2= 对应关系 l1∥12台 都不存在 (2)当直线11或12的倾斜角为90°时，若11⊥ 2,则另一条直线的倾斜角为0°；反之亦然. 即时小练 即时小练 1.判断正误 :1.判断正误 (1)若两条直线的倾斜角相等，则这两条直线必 (1)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一 定平行 ( ) 条直线的斜率存在，则这两条直线垂直.() (2)若两条直线平行，则这两条直线的倾斜角一 (2)已知直线1，l2的斜率分别为k1,k2,若k1= 定相等. ( (3)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重： 2,妇=-则1与2垂直. 合，则这两条直线平行 ( 2.过点（√5,6），(0,3)的直线11与过点（√6，√2）， 2.下列命题中正确的是 ( (2,0)的直线2的位置关系为 ( ) A.若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行 A.垂直 B.平行 B.若11∥12，则k1=k2 C.重合 D.以上都不正确 C.在平面直角坐标系中，若两条直线中有一条3.如果直线1的斜率为Q,l1⊥l2,则直线l2的斜 直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存 率为 ( 在，则这两条直线相交 1 A. B.a D.若两条直线斜率都不存在，则这两条直线 平行 C.1 D.一上或不存在 a 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 [听课记录] 题点一 两条直线平行的判定与应用 [典例门]根据下列给定的条件，判断直线1与直： 线12是否平行， (1)11经过点A(2,3),B(-4,0):l2经过点 M(-3,1),N(-2,2); (2)山1的斜率为-22经过点A4,2),B2,3: (3)l1平行于y轴；l2经过点P(0,-2),Q(0,5): (4)l1经过点E(0,1),F(-2,一1)；l2经过点 G(3,4),H(2,3). 37 数学 选择性必修第一册 /方法技巧/ /方法技巧/ 判断两直线是否平行的步骤 判断两条直线是否垂直的方法 都不 相等 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们 看斜率 横截距 重合 存在 的斜率之积是否等于一1即可，但应注意当有 交 不相等 平行 在 一条直线与x轴垂直（斜率不存在），另一条直 是 相等 相等？ 纵截距 重合 线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直. 否 不平行 不相等 平行 对点训练 对点训练 1.下列条件中，使得11⊥l2的是 1.经过两点C(3,1),D(-2,0)的直线11，与经过 ①1的斜率为 号经过点A11,B(0 点M(1,一4)且斜率为的直线12的位置关 系为 ②l1的倾斜角为45°，l2经过点P(-2,-1), A.平行 B.垂直 C.重合 D.无法确定 Q(3,-5); 2.在△ABC中，A(0,3),B(2,-1),E,F分别为 ③l1经过点M(1,0),N(4,一5)，l2经过点 边AC,BC的中点，则直线EF的斜率为 R(-6,0),S(-1,3) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 题点二 两条直线垂直的判定与应用 : 2.已知直线1与过点M(一3，√2)，N(2,-√3) [典例]判断下列各题中11与2是否垂直， 的直线'垂直，则直线1的倾斜角是 ( ) (1)11经过点A(-1,一2)，B(1,2);l2经过点 A.3 C. D. M(-2,-1),N(2,1); (2)l1的斜率为-10；12经过点A(10,2), 题点三 两条直线平行与垂直的综合应用 B(20,3); (3)11经过点A(3,4),B(3,10);l2经过点：[典例]已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3), M(-10,40),N(10,40). D(一3,0)四点，若顺次连接A,B,C,D四点，试 [听课记录] 判定四边形ABCD的形状. [听课记录] 38 第二章直线和圆的方程 /方法技巧/ C.以A点为直角顶点的直角三角形 利用平行、垂直关系判断几何体形状的策略 D.以B点为直角顶点的直角三角形 (1)作出示意图，确定问题中的平行、垂直关：2.已知点A(0,3),B(一1,0)，C(3,0),求点D的 系，利用斜率、方向向量等条件列出相关方程， 坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A,B,C,D 进行求解 按逆时针方向排列). (2)充分分析图形特征，有多种情况的，要分类 依次求解。 ! (3)解题时要注意斜率不存在的情况是否符合 题意。 对点训练 1.以A(一1,1)，B(2,-1),C(1,4)为顶点的三角 形是 A.锐角三角形 B.钝角三角形 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.(多选)已知点A(-4,2),B(6,-4),C(12,6), BC上能否找到一点M,使得两条小路所在直 D(2,12),那么下列结论正确的是 线AC与DM相互垂直？ A.AB∥CD B.AB⊥CD C.AC∥BD D.AC⊥BD 2.已知过点P(3,2m)和点Q(m,2)的直线与过点 M(2,一1)和点N(一3,4)的直线平行，则m的 值是 ( A.1 B.-1 课堂小结 C.2 D.-2 3.已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0),则 重要思想与方法 直线AB与直线CD (1)研究两直线平行、垂直关系时不要忽略直线斜率为0或 A.平行 B.垂直 不存在的情况.当两直线的斜率相等时，这两条直线可能平 行，也可能重合。 C.重合 D.以上都不正确 (2)探究及应用两直线平行、垂直的条件体现了数形结合、 4.在平面直角坐标系中，已知矩形OABC,O(0,0), 分类讨论的思想方法 A(2,0),C(0,1),将矩形折叠，使O点落在线段BC 斜率相等 上·设折痕所在直线的斜率为，则k的取值范围 平行 斜率都不存在 为 两条直线平行 与垂直的判定 5.如图所示，一个矩形花园里需要 斜率之积等于-1 垂直 铺两条笔直的小路，已知矩形花 条直线斜率为0， 另一条斜率不存在 园长AD=5m,宽AB=3m,其 中一条小路定为AC,另一条小路过点D,问在：温馨提示 请做课时分层检测（十） 39②如图b,可知∠xAB为直线Lg的倾：(2)解，A,B,C三点的横坐标均不：AD的斜率由kB增大到kC,所以直线 斜角， 相等， 易知∠OBA=45°，所以∠OAB=45°， -1-(-3) =2,kA0= 7-(-3)· AD的鲜幸的变化范因关[宁·号] 所以∠xAB=135°， ..kAB= 0-(-1) 即直线12的倾斜角为135 =2, 4-（-D2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 90 45y .kAB=kC,又A为公共，点， 必备知识·自主梳理 直线AB与AC重合，∴A,B,C三点（一） 1208 共线. k1=k21∥12 :对点训练 :即时小练 6 ③如图c,可知∠OAC为直线1的倾13 [由于A,B,C三点共线，则=1.)X提示不一定平行，也可能重合. (2)/(3) 斜角， 易知∠ABO=60°，所以∠BAO=30°，所以1 kc,所以0-3-b-3 a-30-3,所以ab=3u+36.2C3.B 1) ∠OAC-150°，即直线l3的倾斜角 即1+11 (1)-1 -1-1 为150°， a b3 、 即时小练 题点二 典例] 解析1)由直线的倾斜角为23±，圆或3-匝 :1.(1)×提示若两条直线中有一条直线 [A,B,C三点所 2 的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时， 135°，得斜率为k=tan135°=一1.再由斜 在直线不可能垂直于x轴， 这两条直线垂直.(2)、/ 车公式，得”=-1，解得m=-5 可设直线AB,BC的斜单分别为2，A[由题意，得k=3 =√2-5，k2 (2)作出直线PA,PB及线段AB,如图 kAB 0-√3 所示. 0一√2 : 1 7 由斜率公式，得k一2m-4一4m-8 2-√6 =5十√2.则k1k2=-1,∴l4上 -1+m_m-1 l2,故进A.] kx=4十4 8 3.D[设直线l1,l的斜率分别是k1,k2· A,B,C三点在同一条直线上，.kg 当a≠0时，由l1⊥l2得k1k2=ak2=一1， =kB· .k2= 1 7 则kpA= 2-(-3) 当a一0时，l1与x轴平行或重合，则l2与 -1-(-2)=5,kp= 2-0 28=g,即-3m-12=0. -1-3 解得m,-3+ ,m,=3- y轴平行或重合，直线12的斜率不 存在 2 2 2 当直线1从直线PA转到与y轴平行的直1 m的值是3十我3冠] 故直线的斜率为一工或不存在.] 线PC的位置的过程中，直线【的斜率k 2 2 关键能力·合作探究 从5趋向于正无穷大，即k∈「5，十∞). 素养演练·提升技能 题点一 当直线l从直线PC转到直线PB的位置·L.D[直线l的倾斜角为a,则a∈[0，π)，由 -1≤k<,得-1≤ana<3,aE[典例们 3-0 的过程中，直线1的斜率k从负无穷大开！ 解（1)：k=2户0=2 始增大到-，即及∈（©，] [,)U[x)故选D] 2-1 kMN=-2-(-3) =1,kAB≠kN, 上，直线1的斜率k的取值范国为2.D[令4=45，a=135°，则=1，k= .l1与2不平行. (,-]5,+∞.] 一1，k1>k,,故A错误；易知C错误；令a1· (2)k1=- =a2=90°，则k1,k2不存在，故B错误；由 2,-2-41 答案)-5(2)(，-2]U[5, k1=k知，a1=a2,故D正确.故选D.] =k2 ,l与l平行或重合 +∞) 3.C「如图，直线1过 对点训练 点A(1,2),且不经过 (3)由题意知，11的斜率不存在，且不是y 1.D 因为kpA= 第四象限， 轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，∴，1 ∥2： 1-(-3) 4 .当直线（的倾斜角为 1二=号，km 0时，斜率k=0； 012x (④由题意知，61=二号品司-1,6-名号 B 当直线经过原点时，斜 =1, -3 率k=2, 图可知，直线1与线 ∴.直线1的斜率的取值范国为[0,2].] ∴.k1=k2,.l1与l2平行或重合， 段AB相交时，直线1的斜率k的取值范 400） [设P(x,0),A点关于x轴对 ∴E,F,G,H四点共线，11与l重合 称的点A'(-2,一3)， 2.4[依题意知直线AC的斜率存在，则· :对点训练 则kAP= 0-(-3) 3 m≠-1.由ke=3kg,得二m+3》二4 x-(-2) -(-1) A[因为点=2品日， 3·”,解得m=4 7-(-3)10 5-(-2)7 所以k1=k2 A′，B,P三点共线， 8+5W3 「设直线，'的倾斜角分别为： 六kp=kAB,即-3。 又用为w时号-号≠片 x十2 所以1与1不重合，所以1与12平行.] a,3,则tana=2,因为直线l绕点A逆时1 9,解得x=0 2.一2[E,F分别为边AC,BC的中点， 针旋转60°得到直线1'，所以3=α十60°，所 以直线1的斜率为k=tan(a十60)= 故P点坐标为（品0 .EF∥AB. tana+tan60° 2+5 8+55.] !5.解(1)由斜率公式可得直线AB的斜率 6r=6u=2。 =-2.] 1-tan atan 60 2-3 1-2√3 11 kAB=-437直线AC的斜率kC- :题点二 题点三 典例](1)解析点A,B,C在同一条 -2-3= 5 典例] 故直线 解（10-二器-2,6 直线上，且三点的横坐标均不相等，则k出 0-3 1-(-1)1 =3=（一3》=3存在， AB的斜率为7，直线 2-(-2)=2, 4-2 k1k2=1,所以1与12不垂直. 之u一6如脚3=自是解得=6 AC的斜阜为号， C 26=-10,6:=28品6-06 (2)如图所示，当D由B运动到C时，直线： 答案6 -1, 195 所以L1⊥L2 (1)若CD是直角梯形的直角腰，则BC⊥： (3)由A,B的横坐标相等得11的倾斜角： CD,AD⊥CD, 2.2.1直线的点斜式方程 为90°，则11⊥x轴 kc=0,.CD的斜率不存在，从而有必备知识·自主梳理 40-40 x=3. k2=10-(-10) =0,则l2⊥y轴，所以l 又kD=,y二3=0，即y=3,此时 1.(xoy)斜率k2.(1)y-y=0yw (2)x-x0=0x0 对点训练 AB与CD不平行，故所求点D的坐标为！即时小练 (3,3). (2)/(3)/2.A3.D 2 -1 1.(1)× (2)若AD是直角梯形的直角腰，则AD⊥ 1.B「①中，易求得L,的斜率为 0-1 AB,AD⊥CD, 1.纵坐标b2.斜率截距 ×（ 2 =-1,故l1⊥l2: ”kAD=y二3 y kn=r-3' 即时小练 2.-2 ②中，l1的斜率为tan45°=1，l2的斜率为 y3.3=-1 关键能力·合作探究 -5-(-1) 题点一 》-1x(号)≠-1， y-3.y -1, 典例]解(1)由，点斜式方程可知，所求 故1与l2不垂直； 直线方程为：y-3=3x一（一4）]. 18 9 18 (2)由题意知，直线的斜率k=tan135°= @中4的韩牵为= 3,l的斜 5 解得x= 5,y= ,D点坐标为 5 一1，故所求直线的点斜式方程为v一4= -[x-(-1)]. 3-0 3 3 率为6。，-3X行 =一1， 》 (3)直线与v轴平行，.斜率不存在， 故l1⊥l2. ',直线的方程不能用点斜式表示，由于直 综上，D点坐标为(3,3)或 189 故①③正确.故远B.] 5,5 线上所有点的横坐标都是一1， 故这条直线的方程为x一 -1. 2.C[设直线1与直线'的斜率分别为：素养演练·提升技能 (4)直线过点D(2,1)和E(3,一4)， k,, 1.AD -4-2 [k,AB一6-（-4) 3 -4-1 直线'过点M(一√，)，N(2,-5),1 ∴.斜率k=3一2 =-5. ·直线1的斜率k'-②-（一③ 12-6 3 6-2 一√5-√2 1 故所求直线的，点斜式方程为y一1一一5(x 一2) 由1⊥'得，kk'=-1,∴.k=1, 对点训练 ,直线l的倾斜角a满足tana=l,a∈[0，： 即点C不在直线AB上，.AB∥CD π)， :1D[由条件知巴知直线的鲜率为号，故 故远项A正确，B不正确， a=牙故选C.] 所求直线的斜率是√2，又过点（一1,1），代 =一4，.kA0·k8D=-1. 入点斜式，得所求直线的方程为y一1= 题点 ∴，AC⊥BD.故选项D正确，C不正确，故： √2(x十1).故选D.] L典例]解A,B, 远A,D.] C,D四点在坐标平 面内的位置如图： A 2B[因为kMw=4二（二)=一1，所以若 2y-1=号(x一2》[由=x+是，得 一3一2 由斜率公式可得 直线PQ与直线MN平行，则kr阳= 针率为，设直线y=子x十子的倾斜角 5-3 kAB -30 2 6 2-(-4) 2m-2--1,解得m=-1.] 为a,直线1的倾斜角为B,斜率为k,则 3一n tan a=k=tan B-tan 2a- 2tan a 5-3 3.A[由题意知kA=2(0=方，keD 1-tan'a 8 0-3 0-3 kcD= -3-6= 3,k加=-3-(-4) 一3-63，小kB=kn,同理可知 —3 后又直线1过点P(2,1),所以直线1方 一3，kx=6-2 3-5 1 一之，k=kD,由图 kAC≠kD,故A,B,C,D不共线，∴.两直线 程的点斜式为y一1=是（红一20.] 平行.] :题点二 可知AB与CD不重合，∴.AB∥CD 4.[-2,0][设O点折叠后落在线段BC上！[典例] 解(1)由直线方程的斜截式 由kAD≠kc,.AD与BC不平行. 又k·k0=X(-3)=-1, 的点为D点， 可知， ',点O与点D关于折痕所在直线对称， 所求直线方程为y-2x十5， (2)倾斜角a=150°， .AB⊥AD. ·点O与点D的连线与折痕所在直线 故四边形ABCD为直角梯形， 垂直， 斜率k=tan150°=-E 对点训练 又k=2 ,直线OC的斜率不存在. 3 1.C[如图所示，易知kAs y ∴O,D两点连线的斜率的取值范图是！ 由斜裁式可得方程为y一一 x-2 -1-1 3 2-- 3, 2,十∞)， (3)直线的倾斜角为60°， 4-1 3 ∴，折痕所在直线的斜率k的取值范圆为 ,∴.其斜率k=tan60°=√3. A1 -2,0), 直线与y轴的交点到原点的距离为3， 由kAB·kc=一1知三 角形是以A点为直角顶 -10 2 当折痕所在直线的斜率为0时，符合： ,∴.直线在y轴上的截距b=3或b=一3. 题意， ∴.所求直线的斜截式方程为y=√3x十3 点的直角三角形.门 ∴k的取值范围为[-2,0].] 2.解设所求点D的坐标为(，y),如图5.解如图所示，以点 或y=√3.x-3. 所示， y 对点训练 B为坐标原点，BC, 1.C[由题图知直线1的倾斜角为钝角，且 BA所在直线分别为 直线在y轴上的截距为正值，即k<0,b> D x轴、y轴建立平面 0,故远C.] 直角坐标系· B M 2.BC[对于A,将点(3，一2)代入y=√3x 由AD=5,AB=3, 一1，可知不满足方程，故A不正确：易知 可得C(5,0),D(5,3),A(0,3) B正确；对于C,由k-√3，即tana=√3，可 设点M的坐标为(x,0), 得直线的倾斜角为60°，故C正确；对于 因为AC⊥DM,所以kae·kDw=一1， _15=3.2, D,由y=√3x一1，知直线在y轴上的裁距 由于kAB=3,kx=0,.kAB·kx=0≠ -1, 所以· =-1,即x=5 为一1，故D不正确.] 即AB与BC不垂直，故AB,BC都不可作 所以当BM=3.2m时，两条小路所在直3y一2x一】y1(x1)[设与直线 为直角梯形的直角边. 线AC与DM相互垂直. y一2x十7平行的直线的斜率为k1,由两 直线平行得k1=2,又过点(1,1)，代入点 196