第13讲 二次函数的应用（暑假预习讲义）新九年级数学新教材湘教版

第13讲 二次函数的应用 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 利润最值问题 题型2 面积最值问题 题型3 运动轨迹问题 题型4 拱桥问题 题型5 投球问题 题型6 喷水问题 题型7 增长率问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 最大利润、最大面积、最高高度、最低成本、拱桥 / 抛球、求顶点、判别式、取值限制 1. 能结合实际情境建立二次函数模型，理清变量间等量关系，准确列出函数解析式并确定自变量取值范围。 2. 掌握利用二次函数顶点求最大利润、最大面积、最大高度等实际最值问题，会结合定义域判断最优解。 3. 学会借助二次函数图像求解拱桥、投篮、隧道等抛物类实际问题，能结合一元二次方程解决交点、求值问题。 4. 能规范书写应用题解题步骤，根据实际意义舍去不符合题意的解，提升数形结合与数学建模能力。 学习重点：根据实际问题建立二次函数模型，准确写出函数关系式并确定自变量取值范围。 利用二次函数顶点求解最大利润、最大面积、最大高度等最值实际问题。 结合抛物线图像解决拱桥、运动轨迹等几何实际应用题。 学习难点：从复杂实际情境中梳理数量关系，抽象出二次函数等量关系。 结合自变量实际取值范围判断最值，区分顶点最值与区间端点最值。 数形结合综合运用二次函数、一元二次方程解决综合实际问题，舍去不符合现实的解。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 用二次函数解决实际问题的基本步骤 解决二次函数应用问题，遵循建模-分析-验证的核心流程，具体步骤如下： 1.审清题意，确定变量：明确问题中的已知条件和未知量，区分自变量和因变量，梳理变量之间的基本关系 2.建立函数关系式：根据问题中的等量关系（如面积公式、利润公式、物理运动公式等），列出二次函数解析式，同时结合实际意义确定自变量的取值范围，这一步是解题的核心，也是易错点 3.利用二次函数性质求解：在自变量的取值范围内，结合二次函数的开口方向与顶点坐标，求解最大值或最小值，若顶点横坐标不在取值范围内，需要根据函数的增减性判断最值位置 4.检验结果的合理性：结合实际问题的背景，检验计算结果是否符合实际意义，舍去不符合要求的解 即时即练 1．金华佛手是金华的名产，某特产店销售一批优质佛手，若每斤盈利15元，每天可售出30斤，经市场调查发现，若每斤售价降低1元，每天可多售出5斤，设每斤降价元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 2．中国航天事业从无到有、从弱到强，实现历史性、高质量、跨越式发展．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了航空航天模型．已知该模型每件成本20元，按每件24元出售，每日可售出40件．经市场调查发现，这种模型每件涨价1元，日销售量会减少2件，每件模型应涨价________元，才能使每日利润最大． 3．有一根长为的铁丝，把它弯成一个矩形框．当矩形框的长、宽各是多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？ 【方法总结】 二次函数解决实际问题的本质是数学建模，将实际问题转化为纯数学的二次函数问题，再将数学结果还原到实际场景中，其中自变量的取值范围直接决定了最值的位置，绝对不能忽略。 知识点02 二次函数应用的常见类型 二次函数的应用核心是利用二次函数的最值性质和图像变化规律，解决实际生活中涉及最大利润、最大面积、最优方案以及运动轨迹等问题，常见类型分为四类： 1. 几何图形中的面积最值问题：结合三角形、矩形、梯形等规则图形的边长关系，建立面积关于某条边长的二次函数关系式，求解面积的最大值或最小值 2. 实际销售中的利润最值问题：根据售价、成本、销售量之间的关系，建立总利润关于售价或销售量的二次函数关系式，求解最大利润 3. 物体运动轨迹问题：描述抛射体、跳水、投篮等运动过程，利用二次函数分析最高点高度、落地时间、运动水平距离等问题 4. 实际场景中的最值优化问题：包括隧道通行限制、桥梁承重设计、排水渠道截面设计等，利用二次函数分析实际问题中的限制条件与最优参数 即时即练 1．如图，实心小球从某处由静止状态下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．已知从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度与弹簧被压缩的长度之间的函数关系式为，则这个过程中，小球速度的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是，则选取点B为坐标原点时的抛物线顶点坐标是___． 3．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个60元．市场调查发现，若每个定价100元，则每月可销售300个；若每个涨价1元，则每月可少销售5个．设每个双肩包涨价元（为正整数），每月的销售量为个． (1)直接写出与的函数关系式： ； (2)当售价定为多少元时，商店每月获得利润最大？最大利润是多少？ 【方法总结】 1. 利润、面积类题型，先设变量列出二次函数，结合自变量取值范围求顶点最值。 2. 抛射、隧道、拱桥类轨迹题，代入图像上点求解析式，再解方程求对应高度、宽度。 3. 综合取值问题，需对比顶点与区间端点函数值，舍去不符合实际的解。 题型1 利润最值问题 【例1】某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售该文具时，销售单价不低于进价且不高于21元．经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间满足，则销售该文具每天获得的最大利润是（    ） A．200元 B．180元 C．170元 D．160元 【例2】某服装店衣服售价为280元时，获得的利润是进价的，此时每天可卖出200件衣服．为尽快清空库存，店主决定降价处理，当衣服售价每降低5元时，每天销量增加25件．店主要想每天获得的利润最大，则需要将售价定为多少元？（　　） A．200 B．220 C．240 D．260 【技巧归纳】 1.梳理核心变量关系：利润 =（单位售价 - 单位进价）× 销售量，这是问题的核心公式，所有推导都要围绕该公式展开。 2.设出自变量与因变量：通常设涨价（或降价）的金额为自变量( x )，总利润为因变量( y )，也可直接设定价为自变量，本质逻辑一致。 3.分别表示出调整价格后的单位利润与销售量：涨价时单位利润增加、销售量减少，降价时单位利润减少、销售量增加，根据题目给出的变化比例计算对应的表达式。 4.代入核心公式整理出二次函数解析式，根据自变量的实际取值范围（售价不能低于成本、销售量不能为负）确定定义域。 5.结合二次函数的开口方向与顶点坐标，判断顶点横坐标是否在定义域内：若在定义域内，顶点的纵坐标就是最大利润；若顶点横坐标不在定义域内，根据函数单调性计算定义域端点的函数值，取最大值即可。 【变式1-1】某商店销售A，B两款商品，利润（单位：元）与销量（单位：袋）的关系分别为和．若本周销售两款商品一共30袋，则能获得的最大利润为______元． 【变式1-2】已知某商品的月利润是其涨价额的二次函数，且存在最大值．商家先将该物品涨价8元，月利润增多；又涨价4元，发现月利润更多了，于是商家想知道涨价多少元时利润最大．记涨价元时，利润最大，则的取值范围是_____． 【变式1-3】某商场销售一种进价为每件15元的商品，售价为每件25元时，每天可售出50件；售价每上涨1元，每天的销售量就减少2件.设每件商品的售价为元（且为整数），每天的销售量为件. (1)求与的函数关系式； (2)设每天的销售利润为元，当每件商品的售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【变式1-4】某商场销售人员在销售中发现：“南极人”牌童装进价为60元，售价定为100元时平均每天可售出20件．为了迎接六•一儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现，如果每件童装每降价5元，那么平均每天可多售出10件． (1)要想平均每天盈利1200元，那么每件童装的售价应定为多少元？ (2)每件童装的售价为多少元时，该商场每天销售此童装的盈利最多？ 题型2 面积最值问题 【例1】如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，，则花园最大面积为（    ） A． B． C． D． 【例2】如图，某工程队一边靠墙，用长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，为了方便取物，在各个仓库之间留了宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留了一个宽的小门，那么围成的长方形仓库的最大面积是（   ）． A．108 B．120 C．140 D．144 【技巧归纳】 1.设定图形的一条边长为自变量( x )，根据材料总长度或是边长的约束关系，表示出相邻边的长度。 2.注意图形靠墙、有隔断、预留门宽这类特殊条件：靠墙的边不需要消耗材料，隔断也需要占用材料长度，门宽要额外增加到可用边长中，梳理边长关系时一定不要漏算这些特殊项。 3.根据图形面积公式列出面积关于( x )的二次函数解析式，根据边长为正确定自变量的取值范围。 4.同利润最值问题的思路，结合二次函数性质求解最大面积或是对应边长；如果是给定面积求边长，令面积等于给定值解一元二次方程，结合定义域筛选符合要求的根即可。 【变式1-1】如图，一根铝合金型材长为，用它制作一个“日”字型窗户的框架，如果恰好用完整条铝合金型材，则窗户的最大面积是_______． 【变式1-2】如图，矩形，点在边上，设的底边长为，边上的高为，它的面积为，且，是关于的函数，则的最大值为______． 【变式1-3】实际应用：如图，某农场拟建造由甲乙两个矩形组成的羊羔饲养室，饲养室的一面靠9米长的墙AB，其余的部分用栅栏围成甲乙两部分，已知提前准备的建筑材料可以建造24米长的栅栏，则该羊羔饲养室最大面积为多少？ 【变式1-4】某校计划围一个矩形小菜园作为实践基地，九年级数学学习小组以“怎样围面积最大”为主题，开展活动．在学校实验楼房一侧的空地上，计划用篱笆和楼房的一面外墙围一个矩形小菜园作为实践基地，其中篱笆长米．如果外墙长米，矩形小菜园一边靠墙，另三边用篱笆围成． 任务一： （1）小菜园的面积能达到平方米吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 任务二： （2）怎样围小菜园面积最大？请你给出设计方案并求出最大面积． 题型3 运动轨迹问题 【例1】如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿向点A以的速度移动，动点Q从点C出发，沿向点B以的速度移动．若P、Q两点分别从B、C两点同时出发，当其中一点到达时两点同时停止运动，则的面积S与出发时间t的函数图像大致是（   ）    A．   B．   C．   D．   【例2】如图，在中，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，如果分别从同时出发，当的面积最大时，运动时间为（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 1.设运动时间为( t )，根据动点的运动方向和速度，表示出动点移动的距离，进而得到动点坐标（如果建立坐标系）或是线段长度。 2.若求面积，用割补法把不规则图形的面积表示为规则图形面积的和差，整理得到面积关于( t )的二次函数，再求解最值或是给定面积对应的( t )。 3.若求解特殊三角形存在性，分情况讨论：等腰三角形分“哪两条边相等”三种情况，分别利用勾股定理表示出边长，列方程求解；直角三角形分“哪个顶点是直角顶点”三种情况，同样用勾股定理列方程求解，舍去不符合范围的解即可。 【变式1-1】如图，在等腰中，，，点E以每秒1个单位从点A移到点B，点F以每秒1个单位从点D移到点A，则四边形面积的最小值为______． 【变式1-2】如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，以的速度沿运动，当点Q到达C时，P、Q两点同时停止运动，则的最大面积是______． 【变式1-3】如图1,在长方形中，，，点从点开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别从同时出发，请问： (1)经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)经过几秒时，五边形的面积最小?最小值是多少？ 【变式1-4】如图，等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，边与边在同一条直线上．沿方向以的速度匀速运动，开始时点A与点M重合，运动到点A与点N重合时停止．设运动的时间为，运动过程中与正方形重叠部分的面积为．试写出关于t的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围． 题型4 拱桥问题 【例1】如图所示的拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为（    ） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 【例2】如图，搭建一座蔬菜大棚，横截面形状为抛物线 （单位：米），施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，已知，则脚手架高为（    ）    A．7米 B．6米 C．5米 D．4米 【技巧归纳】 先建立平面直角坐标系，一般以拱顶或水面中点为原点简化计算。 代入图像已知点求出抛物线解析式，确定自变量合理范围。 将高度或宽度数值代入函数，解方程得到对应所求长度。 计算结果要结合实际场景取舍，舍去无现实意义的数值。 【变式1-1】某拱桥的主桥拱近似地看作抛物线，桥拱在水面的跨度为长，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，主桥拱所在抛物线可以表示为，则主桥拱最高点P与其在水中倒影点P＇之间的距离为___________米． 【变式1-2】如图，某湖面上有一座抛物线型拱桥，以拱顶O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则桥拱所在抛物线的函数表达式为．某一时刻，桥下水面的宽度为16米，则此时拱顶O到水面的距离为__米． 【变式1-3】某农户有如图1所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中是地面所在的直线，点O是抛物线与地面所在直线的交点，是保温墙，，已知塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面的高度是3米，以所在直线为x轴，以过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)若保温墙的高度为米，且保温墙位于塑料顶棚最高点的右侧，求保温墙到点O的水平距离（即的长）． 【变式1-4】如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，水面上升，求水面宽度．      题型5 投球问题 【例1】如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系式为，则该男生此次实心球训练的成绩为（    ） A．5米 B．7米 C．8米 D．9米 【例2】如图，在某次篮球训练中，小张在距篮圈中心的水平距离处跳起投篮，球运行的路线是抛物线．当球运行的水平距离为时达到最大高度，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离是，则此时抛物线的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 1. 先建立坐标系，找准抛球起点、落地点、最高点坐标，代入解析式求参数。 2. 求最大高度看顶点纵坐标，判断能否投中把目标横坐标代入算高度对比。 3. 实际取值要结合自变量范围，舍去不符合抛球场景的负数解。 【变式1-1】如图，某运动员推铅球，铅球行进高度与水平距离之间的关系是，则此运动员将铅球推出的距离是_______． 【变式1-2】一个球从地面上竖直向上弹起的高度米与经过的时间秒的关系式为．当球的高度第一次达到米时，经过的时间为__________秒． 【变式1-3】掷实心球是中学生体育测试项目之一，小明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应地发生变化，实心球的竖直高度是水平距离的二次函数．已知实心球出手时候的高度是，当水平距离是时，实心球达到最大高度． (1)求满足条件的抛物线的关系式； (2)根据中学生体育测试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于时，即可得满分10分，小明在此次投掷中是否得到满分？请说明理由． 【变式1-4】如图，某排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方的A处发出，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式．已知球网与O点的水平距离为，高度为． (1)求y与x的关系式； (2)球能否越过球网？ 题型6 喷水问题 【例1】如图，某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系，若要在喷水池中心上方设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物设计高度应为（    ） A． B． C． D． 【例2】从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足函数关系式，则喷出水珠的最大高度是（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 1. 以喷水口为原点或地面中点建坐标系，提取喷头、落地点、水柱顶点坐标。 2. 已知顶点优先设顶点式，代入已知点求出二次函数解析式。 3. 求最大喷水高度直接取顶点纵坐标，求落水距离令y=0解x，舍去负根。 4. 检验高度、射程问题时，将对应横坐标代入函数对比实际高度判断。 【变式1-1】如图，广场有一喷水池，以出水点为原点，出水点与落水点所在直线为轴建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线的一部分，则水喷出后，离地面的最大高度是_____米． 【变式1-2】广场上音乐喷泉中的喷头与地面齐平，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠与喷头的水平距离（米）的函数解析式是．那么水珠从喷出到落地时的水平距离为___________米． 【变式1-3】某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 【变式1-4】随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．从喷水口喷出的水柱呈抛物线形．如图是某家庭喷灌器喷水时的截面示意图，喷水口A点离地高度为（即），喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，以喷灌器（与地面垂直）所在直线为y轴、地面所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求喷出的水柱所在抛物线的解析式； (2)若水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点B处，求喷灌器到围墙的距离． 题型7 增长率问题 【例1】某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【例2】据省统计局公布的数据，长春市2024年第一季度总值约为千亿元人民币，若我市第三季度总值为千亿元人民币，平均每个季度增长的百分率为，则关于的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 1. 找准基础量、增长率，套用两次增长模型=b列方程。 2. 解方程后舍去负数增长率，只保留正数合理解。 3. 看清题干是两年增长还是下降，下降就把加号换成减号。 【变式1-1】某超市一月份的营业额为30万元，三月份的营业额为y万元．设每月的平均增长率为x，则y与x之间的函数表达式为_______ 【变式1-2】某商场开展了家电惠民补贴活动，其中9月份投入资金20万元，设平均每月投入资金的增长率为x（），11月份的投入资金为y万元，则可列y关于x的函数表达式为______． 【变式1-3】某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元． (1)求与的关系式； (2)当时，求今年的总产值为多少万元？ 【变式1-4】某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同． (1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率； (2)2014年这种产品的产量应达到多少万件？ 1．如图，小明的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙的长度为）的矩形鸭舍，并在垂直于墙的某一边中间留一个宽为的门（由其他材料制成）．已知矩形的宽为x米，当矩形面积S最大时，则矩形的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，是边上一动点，过点作，交于点，连接，设，的面积为，则关于的函数图象大致为（     ） A． B． C． D． 3．某班为了举办活动准备做一个拱形门，要在拱形门的，，，，处粘贴装饰物，拱形门的形状近似一个抛物线形，如图在平面直角坐标系中，，抛物线最高点的五角星（点）到的距离为，，，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 4．第十九届杭州亚运会的吉祥物“琮琮”、“宸宸”、“莲莲”深受大家喜爱．某商场购进一批吉祥物玩偶，进价为每个40元，按每个50元出售，每周可卖出200个．经调查发现，售价每上涨1元，每周少卖10个．若设每个涨价x元，每周总利润为y元，则y与x的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 5．从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 6．为方便市民出行，某公司第一个月在市内投放了1500辆电动自行车，计划第三个月投放电动自行车辆，设该公司第二、三两个月投放电动自行车数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（   ） A． B． C． D． 7．数学兴趣小组的同学在“综合与实践”活动中，用总长为的栅栏围一个一边靠墙的矩形花圃．设与墙垂直的边的长为，花圃的面积为．则S关于x的函数表达式为______，当______时，S可以取得最大值． 8．如图①，在矩形中，动点E从点B出发，以一个单位每秒的速度沿的路线运动，当点E到达点D时停止运动．若，交于点F，设点E运动的时间为t秒，，已知y关于t的函数图象如图②所示，则_________；抛物线顶点纵坐标m的值为_________． 9．如图是一座截面为抛物线形的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面宽度为4米，则当水面下降2米时，水面的宽度为________米． 10．某商店销售一种玩具，每件的进货价为40元，经市场调研，当该玩具每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件，现该商店决定涨价销售，若该玩具每件销售价不低于57元，则销售该玩具每天获得的利润w最大为____元． 11．如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为__________． 12． 某公司去年的销售额为万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年）为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为______． 13．某居民小区要在一块一边靠墙（墙长米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另外三边用总长为米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为米，面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到平方米？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； (3)当是多少时，矩形花园面积最大？最大面积是多少？ 14．如图，已知等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，与在同一条直线上，开始时点A与点M重合，让向右移动，最后点A与点N重合． (1)试写出两图形重叠部分的面积与线段MA的长度之间的函数关系式． (2)当点A从点M开始向右移动时，重叠部分的面积是多少？ 15．某古镇有一座抛物线形的石拱桥，其示意图如图，桥洞的水面宽度为，拱顶（点）与水面的距离为．以水面的中点为原点，所在的直线为轴，过点且垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的表达式． (2)今年元宵节，古镇居民计划在桥洞两侧对称地悬挂两个灯笼，以增添节日气氛．灯笼悬挂点距离水面．请你计算这两个灯笼悬挂点之间的水平距离．（结果保留根号） 16．河南特产：铁棍山药实体店、网店两种销售模式，实体店进价8元/斤，售价元；销量y （斤）与单价x （元/斤）满足一次函数：，，，． (1)求y与x解析式； (2)网店每斤成本6元，单价不低于成本且不高于15元，求网店单日最大利润． 17．在一次“校园科技节”物理探究活动中，某物理小组用发射器从距地面2米高的处将一个小球斜抛向前方．建立如图所示的平面直角坐标系，下图1中的抛物线表示小球的飞行高度（单位：）关于飞行水平距离（单位：）的函数图象（不考虑空气的阻力）．已知小球发射后水平飞行时，飞行的最大高度是． (1)求关于的函数关系式； (2)如图2，为发射器，为标靶，小球由点射出，，若，则小球能否击中标靶？请说明理由． 18．如图是某跳水运动员在进行跳水训练时的截面图，运动员身体（看成一点）在空中的运动路线是一条抛物线，已知跳板长为2米，跳板距水面的高为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度米，现以为横轴，为纵轴建立直角坐标系． (1)画出平面直角坐标系，并求当时，这条抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，求运动员落水点与点的距离； (3)图中米，米，若跳水运动员在区域内（不含点，）入水时才能达到训练要求，直接写出的取值范围是__________． 19．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 20．如图，一位跳台滑雪运动员在一次训练中从起跳点起跳飞出，在着陆坡着陆．已知起跳点与着陆坡上的计分参照点的竖直距离为，水平距离为．按如图所示的平面直角坐标系，这位运动员这次起跳后在空中的运动轨迹近似满足抛物线． (1)求的值和该运动员这次起跳后在空中飞行的最大高度； (2)请通过计算，判断着陆时他能越过点吗？ 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 二次函数的应用 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 利润最值问题 题型2 面积最值问题 题型3 运动轨迹问题 题型4 拱桥问题 题型5 投球问题 题型6 喷水问题 题型7 增长率问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 最大利润、最大面积、最高高度、最低成本、拱桥 / 抛球、求顶点、判别式、取值限制 1. 能结合实际情境建立二次函数模型，理清变量间等量关系，准确列出函数解析式并确定自变量取值范围。 2. 掌握利用二次函数顶点求最大利润、最大面积、最大高度等实际最值问题，会结合定义域判断最优解。 3. 学会借助二次函数图像求解拱桥、投篮、隧道等抛物类实际问题，能结合一元二次方程解决交点、求值问题。 4. 能规范书写应用题解题步骤，根据实际意义舍去不符合题意的解，提升数形结合与数学建模能力。 学习重点：根据实际问题建立二次函数模型，准确写出函数关系式并确定自变量取值范围。 利用二次函数顶点求解最大利润、最大面积、最大高度等最值实际问题。 结合抛物线图像解决拱桥、运动轨迹等几何实际应用题。 学习难点：从复杂实际情境中梳理数量关系，抽象出二次函数等量关系。 结合自变量实际取值范围判断最值，区分顶点最值与区间端点最值。 数形结合综合运用二次函数、一元二次方程解决综合实际问题，舍去不符合现实的解。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 用二次函数解决实际问题的基本步骤 解决二次函数应用问题，遵循建模-分析-验证的核心流程，具体步骤如下： 1.审清题意，确定变量：明确问题中的已知条件和未知量，区分自变量和因变量，梳理变量之间的基本关系 2.建立函数关系式：根据问题中的等量关系（如面积公式、利润公式、物理运动公式等），列出二次函数解析式，同时结合实际意义确定自变量的取值范围，这一步是解题的核心，也是易错点 3.利用二次函数性质求解：在自变量的取值范围内，结合二次函数的开口方向与顶点坐标，求解最大值或最小值，若顶点横坐标不在取值范围内，需要根据函数的增减性判断最值位置 4.检验结果的合理性：结合实际问题的背景，检验计算结果是否符合实际意义，舍去不符合要求的解 即时即练 1．金华佛手是金华的名产，某特产店销售一批优质佛手，若每斤盈利15元，每天可售出30斤，经市场调查发现，若每斤售价降低1元，每天可多售出5斤，设每斤降价元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题需根据每斤盈利的变化量、销量的变化量，结合“总盈利=每斤盈利×销量”的基本关系推导函数关系式． 【详解】解：∵每斤降价元， ∴每斤盈利为元， ∵每斤降1元多售5斤，降x元， ∴每天销量为斤， ∵总盈利=每斤盈利×每天销量， ∴， 故选：B． 2．中国航天事业从无到有、从弱到强，实现历史性、高质量、跨越式发展．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了航空航天模型．已知该模型每件成本20元，按每件24元出售，每日可售出40件．经市场调查发现，这种模型每件涨价1元，日销售量会减少2件，每件模型应涨价________元，才能使每日利润最大． 【答案】8 【分析】设每件模型涨价元，每日利润为元，根据总利润等于每件利润乘以销售量列出二次函数解析式，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设每件模型涨价元，每日利润为元， 则， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，取得最大值， 即每件模型应涨价8元，才能使每日利润最大． 3．有一根长为的铁丝，把它弯成一个矩形框．当矩形框的长、宽各是多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】 当矩形框的长和宽均为时，矩形面积最大，最大面积是 【分析】先利用矩形周长公式，用长表示出宽，再根据面积公式得到面积关于长的二次函数，最后配方求二次函数的最大值即可，用到矩形周长、面积公式和二次函数的最值性质． 【详解】解：设矩形框的长为，矩形的面积为，已知铁丝总长为，因此矩形框的宽为，可得自变量取值范围为， 根据矩形面积公式得： 二次项系数 当时，取得最大值， 此时矩形的宽为 答：当矩形框的长、宽都为时，矩形面积最大，最大面积是． 【方法总结】 二次函数解决实际问题的本质是数学建模，将实际问题转化为纯数学的二次函数问题，再将数学结果还原到实际场景中，其中自变量的取值范围直接决定了最值的位置，绝对不能忽略。 知识点02 二次函数应用的常见类型 二次函数的应用核心是利用二次函数的最值性质和图像变化规律，解决实际生活中涉及最大利润、最大面积、最优方案以及运动轨迹等问题，常见类型分为四类： 1. 几何图形中的面积最值问题：结合三角形、矩形、梯形等规则图形的边长关系，建立面积关于某条边长的二次函数关系式，求解面积的最大值或最小值 2. 实际销售中的利润最值问题：根据售价、成本、销售量之间的关系，建立总利润关于售价或销售量的二次函数关系式，求解最大利润 3. 物体运动轨迹问题：描述抛射体、跳水、投篮等运动过程，利用二次函数分析最高点高度、落地时间、运动水平距离等问题 4. 实际场景中的最值优化问题：包括隧道通行限制、桥梁承重设计、排水渠道截面设计等，利用二次函数分析实际问题中的限制条件与最优参数 即时即练 1．如图，实心小球从某处由静止状态下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．已知从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度与弹簧被压缩的长度之间的函数关系式为，则这个过程中，小球速度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由题意得：函数， ， 该函数图象开口向下，有最大值， 对称轴为， 将代入得：， 即小球速度的最大值为． 2．如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是，则选取点B为坐标原点时的抛物线顶点坐标是___． 【答案】 【详解】解：根据题意，选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是， 则选取点B为坐标原点时的抛物线相当于把原抛物线向左平移12个单位， ∵原抛物线的顶点为， ∴根据平移的性质，平移后的抛物线的顶点为． 3．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个60元．市场调查发现，若每个定价100元，则每月可销售300个；若每个涨价1元，则每月可少销售5个．设每个双肩包涨价元（为正整数），每月的销售量为个． (1)直接写出与的函数关系式： ； (2)当售价定为多少元时，商店每月获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（，为正整数） (2)当售价定为110元时，商店每月获得利润最大，最大利润是元 【分析】本题考查一次函数和二次函数的实际应用，审清题意，列出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意，列出函数解析式即可； （2）设每月获得利润元，根据题意，可得，整理得，，再根据二次函数的性质取最值即可求解． 【详解】（1）解：由题可得，涨价元，则每月可少销售个， 每月的销售量为个， 销售量要大于或等于0， ，解得，则； 故答案为：（，为正整数）； （2）解：设每月获得利润元， 由题可得，， 整理得，， ， 当时，取得最大值，为元， ， 答：当售价定为110元时，商店每月获得利润最大，最大利润是元 【方法总结】 1. 利润、面积类题型，先设变量列出二次函数，结合自变量取值范围求顶点最值。 2. 抛射、隧道、拱桥类轨迹题，代入图像上点求解析式，再解方程求对应高度、宽度。 3. 综合取值问题，需对比顶点与区间端点函数值，舍去不符合实际的解。 题型1 利润最值问题 【例1】某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售该文具时，销售单价不低于进价且不高于21元．经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间满足，则销售该文具每天获得的最大利润是（    ） A．200元 B．180元 C．170元 D．160元 【答案】A 【分析】解题思路是根据总利润单件利润销售量列出利润关于销售单价的函数解析式，再结合二次函数的性质和x的取值范围求最大值． 【详解】解：设销售该文具每天获得的利润为元， 根据题意可得， ， ∵，二次函数图象开口向下， ∴当时，取得最大值， 又∵，在的取值范围内， ∴当时，的最大值为元． 【例2】某服装店衣服售价为280元时，获得的利润是进价的，此时每天可卖出200件衣服．为尽快清空库存，店主决定降价处理，当衣服售价每降低5元时，每天销量增加25件．店主要想每天获得的利润最大，则需要将售价定为多少元？（　　） A．200 B．220 C．240 D．260 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出衣服进价，再通过设未知数得到总利润的二次函数表达式，利用二次函数的性质求出利润最大时的售价． 【详解】解：设衣服的进价为元， ∵售价为280元时，利润是进价的， ∴， 解得，即进价为200元． 设降价个5元，每天总利润为元， 则每件利润为元，每天销量为件， ∴， 整理得， ∵，二次函数开口向下，当时，取最大值， ∴， ∴总降价金额为元， ∴售价为元． 【技巧归纳】 1.梳理核心变量关系：利润 =（单位售价 - 单位进价）× 销售量，这是问题的核心公式，所有推导都要围绕该公式展开。 2.设出自变量与因变量：通常设涨价（或降价）的金额为自变量( x )，总利润为因变量( y )，也可直接设定价为自变量，本质逻辑一致。 3.分别表示出调整价格后的单位利润与销售量：涨价时单位利润增加、销售量减少，降价时单位利润减少、销售量增加，根据题目给出的变化比例计算对应的表达式。 4.代入核心公式整理出二次函数解析式，根据自变量的实际取值范围（售价不能低于成本、销售量不能为负）确定定义域。 5.结合二次函数的开口方向与顶点坐标，判断顶点横坐标是否在定义域内：若在定义域内，顶点的纵坐标就是最大利润；若顶点横坐标不在定义域内，根据函数单调性计算定义域端点的函数值，取最大值即可。 【变式1-1】某商店销售A，B两款商品，利润（单位：元）与销量（单位：袋）的关系分别为和．若本周销售两款商品一共30袋，则能获得的最大利润为______元． 【答案】 【分析】设销售款商品袋，则销售款商品袋，根据总利润等于两款商品利润之和，列出总利润的函数解析式，再利用配方法求函数的最大值，注意为正整数. 【详解】解：设销售款商品袋，则销售款商品袋，为非负整数，且， 由题意，总利润， ∵二次项系数， ∴抛物线开口向下，函数在处取得最大值， 为非负整数， 当或时，取得最大值， 将代入得； 故能获得的最大利润为元. 【变式1-2】已知某商品的月利润是其涨价额的二次函数，且存在最大值．商家先将该物品涨价8元，月利润增多；又涨价4元，发现月利润更多了，于是商家想知道涨价多少元时利润最大．记涨价元时，利润最大，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据商品的月利润是其涨价额的二次函数，且存在最大值，涨价元时，利润最大，可设解析式为，其中，故抛物线开口向下，函数图象上的点到对称轴的距离越小函数值越大，据此结合题意列不等式组即可求解. 【详解】设月利润为元，涨价额为元，二次函数为，，其对称轴为． 存在最大值， 抛物线开口向下，，函数图象上的点到对称轴的距离越小函数值越大， 由题意可得：， 当时，不等式组可化为：，不等式组无解， 当时，不等式组可化为：，解得， 当时，不等式组可化为：，该不等式组恒成立， 综上所述：． 【变式1-3】某商场销售一种进价为每件15元的商品，售价为每件25元时，每天可售出50件；售价每上涨1元，每天的销售量就减少2件.设每件商品的售价为元（且为整数），每天的销售量为件. (1)求与的函数关系式； (2)设每天的销售利润为元，当每件商品的售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（且为整数） (2)当每件商品的售价定为32元或33元时，每天的销售利润最大，最大利润是612元 【分析】（1）根据“现有销售量原销售量涨价减少的销售量”列出与的函数关系式，并结合实际意义确定自变量的取值范围； （2）根据“总利润每件商品的利润销售量”得到关于的二次函数, 再利用二次函数的性质结合为整数的条件, 求出最大利润和对应售价． 【详解】（1）解：（且为整数）； （2）解：， 对称轴为直线， 因为x为整数，且两侧的整数为32和33，， 当时， （元）． 当时： （元）． 答：当售价定为32元或33元时，每天利润最大，最大利润为612元． 【变式1-4】某商场销售人员在销售中发现：“南极人”牌童装进价为60元，售价定为100元时平均每天可售出20件．为了迎接六•一儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现，如果每件童装每降价5元，那么平均每天可多售出10件． (1)要想平均每天盈利1200元，那么每件童装的售价应定为多少元？ (2)每件童装的售价为多少元时，该商场每天销售此童装的盈利最多？ 【答案】(1)80元 (2)每件童装售价为85元时，商场平均每天盈利最多1250元 【分析】（1）设每件应降价x元，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）设总利润为W元，建立起关于的函数解析式，再由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每件应降价x元，由题意得 ， 解得：，， ∵为增大销量，减少库存， ∴每件童装应降价20元， 则售价为（元）； （2）解：设总利润为W元，由题意，得 ， ∴， ∴抛物线的开口向下，W有最大值， ∴当时，，元． 即每件童装售价为85元时，商场平均每天盈利最多1250元． 题型2 面积最值问题 【例1】如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，，则花园最大面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，求得的取值范围，再利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：设，则， 墙长，， ，， 解得， 花园的面积， ∴当时，花园面积最大，最大面积为． 【例2】如图，某工程队一边靠墙，用长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，为了方便取物，在各个仓库之间留了宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留了一个宽的小门，那么围成的长方形仓库的最大面积是（   ）． A．108 B．120 C．140 D．144 【答案】D 【分析】设垂直于墙的边长为 x米，根据铁栅栏总长及缺口长度表示出平行于墙的边长，进而列出面积公式，最后利用二次函数性质求最值即可． 【详解】解：设垂直于墙的边长为 x米， 由图可知，垂直于墙的边有4条，平行于墙的边有1条． 则在各个仓库之间留了 宽的缺口（共2个），在平行于墙的一边留了宽的小门（共1个）， ∴ 缺口总长度为 ． ∴ 平行于墙的边长为米． 设仓库总面积为 平方米， 则， ∵ ， ∴ 当 时，有最大值，最大值为 ． 【技巧归纳】 1.设定图形的一条边长为自变量( x )，根据材料总长度或是边长的约束关系，表示出相邻边的长度。 2.注意图形靠墙、有隔断、预留门宽这类特殊条件：靠墙的边不需要消耗材料，隔断也需要占用材料长度，门宽要额外增加到可用边长中，梳理边长关系时一定不要漏算这些特殊项。 3.根据图形面积公式列出面积关于( x )的二次函数解析式，根据边长为正确定自变量的取值范围。 4.同利润最值问题的思路，结合二次函数性质求解最大面积或是对应边长；如果是给定面积求边长，令面积等于给定值解一元二次方程，结合定义域筛选符合要求的根即可。 【变式1-1】如图，一根铝合金型材长为，用它制作一个“日”字型窗户的框架，如果恰好用完整条铝合金型材，则窗户的最大面积是_______． 【答案】 【分析】设为，则，根据矩形的面积求得面积与的函数关系，根据二次函数的性质求解即可求得答案． 【详解】解：设为，则， 则窗户的面积 当时，取得最大值为． 【变式1-2】如图，矩形，点在边上，设的底边长为，边上的高为，它的面积为，且，是关于的函数，则的最大值为______． 【答案】 【分析】由，得到，利用三角形的面积公式即可得到与的函数关系式，根据二次函数的性质即可求解最大值． 【详解】解：， ， 的底边长为，边上的高为，它的面积为， ， ， 当时，有最大值，为． 【变式1-3】实际应用：如图，某农场拟建造由甲乙两个矩形组成的羊羔饲养室，饲养室的一面靠9米长的墙AB，其余的部分用栅栏围成甲乙两部分，已知提前准备的建筑材料可以建造24米长的栅栏，则该羊羔饲养室最大面积为多少？ 【答案】羊羔饲养室面积最大为45平方米 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． 设垂直于墙的一边长为米，则平行墙的一边为米，先求出x的取值范围，再根据面积公式建立函数关系式，即可求解最值． 【详解】解：设垂直于墙的一边长为米，则平行墙的一边为米， 根据题意，得：， 解得：． 由题意得， ， 当时，随着的增大而减小， 当时，， 该羊羔饲养室面积最大为45平方米． 【变式1-4】某校计划围一个矩形小菜园作为实践基地，九年级数学学习小组以“怎样围面积最大”为主题，开展活动．在学校实验楼房一侧的空地上，计划用篱笆和楼房的一面外墙围一个矩形小菜园作为实践基地，其中篱笆长米．如果外墙长米，矩形小菜园一边靠墙，另三边用篱笆围成． 任务一： （1）小菜园的面积能达到平方米吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 任务二： （2）怎样围小菜园面积最大？请你给出设计方案并求出最大面积． 【答案】任务一：小菜园的面积能达到平方米，此时米，米； 任务二：当米，米时，小菜园面积最大，最大面积为平方米． 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，解题关键是准确构建数学模型并合理求解． 任务一：设，则，根据面积关系列出一元二次方程，求解后判断是否符合题意即可； 任务二：建立小菜园面积关于边长的二次函数模型，利用二次函数性质求解面积最大值及对应的边长． 【详解】解：依题意得：米， 任务一：设，则， 若小菜园的面积能达到平方米， 即， ， ， 解得，， 则当米时，米，符合题意； 当米时，，不符合题意； 综上，小菜园的面积能达到平方米，此时米，米． 任务二：小菜园的面积， ， 当时，取最大值，最大值为， 即当米，米时，小菜园面积最大，最大面积为平方米． 题型3 运动轨迹问题 【例1】如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿向点A以的速度移动，动点Q从点C出发，沿向点B以的速度移动．若P、Q两点分别从B、C两点同时出发，当其中一点到达时两点同时停止运动，则的面积S与出发时间t的函数图像大致是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图像，正确得出函数关系式是解题关键．根据题意表示出的面积S与t的关系式，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得， 的面积S随出发时间t的函数关系图像大致是二次函数图像，且开口向下． 故选C． 【例2】如图，在中，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，如果分别从同时出发，当的面积最大时，运动时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用．设运动时间为，先用含的代数式表示出、，再根据三角形的面积公式列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：设运动时间为， 根据题意得，， ∴， ∴当时，的面积最大为． 故选：B． 【技巧归纳】 1.设运动时间为( t )，根据动点的运动方向和速度，表示出动点移动的距离，进而得到动点坐标（如果建立坐标系）或是线段长度。 2.若求面积，用割补法把不规则图形的面积表示为规则图形面积的和差，整理得到面积关于( t )的二次函数，再求解最值或是给定面积对应的( t )。 3.若求解特殊三角形存在性，分情况讨论：等腰三角形分“哪两条边相等”三种情况，分别利用勾股定理表示出边长，列方程求解；直角三角形分“哪个顶点是直角顶点”三种情况，同样用勾股定理列方程求解，舍去不符合范围的解即可。 【变式1-1】如图，在等腰中，，，点E以每秒1个单位从点A移到点B，点F以每秒1个单位从点D移到点A，则四边形面积的最小值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的应用及三角函数、等腰三角形的性质、锐角三角函数，熟练掌握二次函数的应用及三角函数、等腰三角形的性质是解题的关键；设点E的运动时间为t秒，由题意易得，，过点F作于点H，过点D作于点G，则有，，然后根据三角函数及三角形面积可得到二次函数关系式，进而问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 过点F作于点H，过点D作于点G，如图所示： 设点E的运动时间为t秒，由题意得：， ∴，， ∴， ∴， ∵，且， ∴当时，四边形的面积为最小，最小值为； 故答案为：． 【变式1-2】如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，以的速度沿运动，当点Q到达C时，P、Q两点同时停止运动，则的最大面积是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，设动点运动的时间为t s，从而，故，再结合二次函数的性质可以判断得解． 【详解】解：根据题意，点运动的时间为，点运动的时间为，设动点运动的时间为，则， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的最大面积为：， 故答案为：． 【变式1-3】如图1,在长方形中，，，点从点开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别从同时出发，请问： (1)经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)经过几秒时，五边形的面积最小?最小值是多少？ 【答案】(1)2或4 (2) 【分析】本题考查二次函数的应用，根据已知条件列出解析式是解题的关键． （1）设运动时间为秒，则,，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可； （2）由（1）知，，该函数图象开口向下，有最大值，根据顶点坐标公式求出顶点坐标，五边形的面积最小值等于矩形面积减去的面积的最大值，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：设运动时间为秒，则, 则， 即， 解得或 答：经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米； （2）解：设运动时间为秒，则, 则， 当时，有最大值，最大值为， 则五边形的面积最小值为：， 答：经过3秒时,五边形的面积最小，最小值是． 【变式1-4】如图，等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，边与边在同一条直线上．沿方向以的速度匀速运动，开始时点A与点M重合，运动到点A与点N重合时停止．设运动的时间为，运动过程中与正方形重叠部分的面积为．试写出关于t的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是根据题意列出函数关系式．设与交于点R，三角形是等腰直角三角形，且正方形的边长等于三角形的直角边长，所以当三角形移动时，它与正方形的重叠部分始终是一个等腰直角三角形，设三角形移动的距离为，那么重叠部分的等腰直角三角形的两条直角边的长度都是，因此，重叠部分的面积就是这个等腰直角三角形的面积． 【详解】解：如图，设与交于点R． 是等腰直角三角形，四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， ． 题型4 拱桥问题 【例1】如图所示的拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为（    ） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 【答案】C 【分析】令，解方程即可求出水面的宽度． 【详解】解：根据题意，令，得： ， 解得：，， 所以水面宽为：米． 【例2】如图，搭建一座蔬菜大棚，横截面形状为抛物线 （单位：米），施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，已知，则脚手架高为（    ）    A．7米 B．6米 C．5米 D．4米 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用问题，设出点的坐标并代入解析式是解题的关键．设，然后用表示点的坐标，将点坐标代入抛物线解析式求出，从而可得到的值． 【详解】解：，矩形脚手架在大棚正中， 设，，则， 点坐标为， 将代入， 得， 解得或（舍）， ， 故选：B． 【技巧归纳】 先建立平面直角坐标系，一般以拱顶或水面中点为原点简化计算。 代入图像已知点求出抛物线解析式，确定自变量合理范围。 将高度或宽度数值代入函数，解方程得到对应所求长度。 计算结果要结合实际场景取舍，舍去无现实意义的数值。 【变式1-1】某拱桥的主桥拱近似地看作抛物线，桥拱在水面的跨度为长，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，主桥拱所在抛物线可以表示为，则主桥拱最高点P与其在水中倒影点P＇之间的距离为___________米． 【答案】20 【分析】本题考查了二次函数的运用，根据主桥拱所在抛物线的顶点为，根据顶点坐标，对称的性质，两点之间距离的计算方法即可求解． 【详解】解：主桥拱所在抛物线可以表示为， ∴主桥拱所在抛物线的顶点为， ∴倒影点的坐标为， ∴主桥拱最高点与其在水中倒影点之间的距离为， 故答案为：． 【变式1-2】如图，某湖面上有一座抛物线型拱桥，以拱顶O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则桥拱所在抛物线的函数表达式为．某一时刻，桥下水面的宽度为16米，则此时拱顶O到水面的距离为__米． 【答案】4 【分析】本题主要考查二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意可得点的横坐标为8，把代入，进行计算，即可求解． 【详解】解：根据题意可得，点的横坐标为， 当时，， ， 此时拱顶O到水面的距离为（米）． 故答案为：4． 【变式1-3】某农户有如图1所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中是地面所在的直线，点O是抛物线与地面所在直线的交点，是保温墙，，已知塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面的高度是3米，以所在直线为x轴，以过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)若保温墙的高度为米，且保温墙位于塑料顶棚最高点的右侧，求保温墙到点O的水平距离（即的长）． 【答案】(1) (2)保温墙到点O的水平距离为8米 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确审题和用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）根据顶点坐标，设抛物线的函数解析式为，代入求解即可； （2）将代入解析式，求出x的值即可． 【详解】（1）解：由题可得，顶点， 设抛物线的函数解析式为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得， ∴该抛物线的函数解析式为； （2）当时，， 解得，， ∵保温墙位于塑料顶棚最高点的右侧， ， 答：保温墙到点O的水平距离为8米． 【变式1-4】如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，水面上升，求水面宽度．      【答案】此时水面的宽度为 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：由题意，建立如图所示平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， 由题意可知，点 在此抛物线上， 则 ， 解得， ， 当水面上升时，，则：， 解得， 此时水面的宽度为． 答：此时水面的宽度为． 题型5 投球问题 【例1】如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系式为，则该男生此次实心球训练的成绩为（    ） A．5米 B．7米 C．8米 D．9米 【答案】C 【分析】此次实心球训练的成绩就是抛物线与轴交点的横坐标，即当时，求的值即可． 【详解】解：当实心球落地时，， 即， 解得，， 因为水平距离不能为负数， 所以舍去， 则此次实心球训练的成绩为米． 【例2】如图，在某次篮球训练中，小张在距篮圈中心的水平距离处跳起投篮，球运行的路线是抛物线．当球运行的水平距离为时达到最大高度，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离是，则此时抛物线的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数的应用．设抛物线的表达式为，根据题意得，抛物线过点，由此可得的值，即可求解． 【详解】解：∵当球运行的水平距离为米时，达到最大高度米，   ∴抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的表达式为． 根据题意得，抛物线过点． ∴， 解得∶， ∴抛物线的表达式为． 故选∶ B． 【技巧归纳】 1. 先建立坐标系，找准抛球起点、落地点、最高点坐标，代入解析式求参数。 2. 求最大高度看顶点纵坐标，判断能否投中把目标横坐标代入算高度对比。 3. 实际取值要结合自变量范围，舍去不符合抛球场景的负数解。 【变式1-1】如图，某运动员推铅球，铅球行进高度与水平距离之间的关系是，则此运动员将铅球推出的距离是_______． 【答案】 【分析】令，进行求解即可． 【详解】解：当时， 解得（舍去）， 故此运动员将铅球推出的距离是． 【变式1-2】一个球从地面上竖直向上弹起的高度米与经过的时间秒的关系式为．当球的高度第一次达到米时，经过的时间为__________秒． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 根据题意，将高度代入关系式得到方程，解方程求时间，取较小根即为第一次达到的时间． 【详解】解：据题意得：， 整理得：， ， 解得：或， ∵第一次达到， ∴． 故答案为：． 【变式1-3】掷实心球是中学生体育测试项目之一，小明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应地发生变化，实心球的竖直高度是水平距离的二次函数．已知实心球出手时候的高度是，当水平距离是时，实心球达到最大高度． (1)求满足条件的抛物线的关系式； (2)根据中学生体育测试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于时，即可得满分10分，小明在此次投掷中是否得到满分？请说明理由． 【答案】(1) (2)小明在这次投掷中得到了满分， 理由如下： 当时，则， 解得或（舍去）， ∵， ∴小明在这次投掷中得到了满分． 【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标，把关系式设为顶点式，再代入即可求出对应的关系式； （2）把代入，即可求出x的值，再与比较即可得到结果． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的关系式是， 把点代入得 解得， ∴ 抛物线的关系式为； （2）略 【变式1-4】如图，某排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方的A处发出，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式．已知球网与O点的水平距离为，高度为． (1)求y与x的关系式； (2)球能否越过球网？ 【答案】(1) (2)球能越过球网 【分析】（1）把点代入关系式，求出a的值，即可求出y与x的关系式； （2）把代入解析式求得y的值，若则球能越过球网，反之则不能，把代入解析式求得y的值，若则会出界，反之则不会． 【详解】（1）解：把点代入关系式得：， 解得：， 则y与x的关系式为：； （2）∵当时，， ∴球能越过球网． 题型6 喷水问题 【例1】如图，某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系，若要在喷水池中心上方设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物设计高度应为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 由待定系数法求出函数表达式，即可求解． 【详解】解：由题意得，抛物线顶点的坐标为：，点， 则抛物线的表达式为：， 将点C的坐标代入上式得：，则， 则抛物线的表达式为：， 当时，， 故选：A． 【例2】从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足函数关系式，则喷出水珠的最大高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用．把二次函数化为顶点式，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴当时，， 即喷出水珠的最大高度是． 故选：B． 【技巧归纳】 1. 以喷水口为原点或地面中点建坐标系，提取喷头、落地点、水柱顶点坐标。 2. 已知顶点优先设顶点式，代入已知点求出二次函数解析式。 3. 求最大喷水高度直接取顶点纵坐标，求落水距离令y=0解x，舍去负根。 4. 检验高度、射程问题时，将对应横坐标代入函数对比实际高度判断。 【变式1-1】如图，广场有一喷水池，以出水点为原点，出水点与落水点所在直线为轴建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线的一部分，则水喷出后，离地面的最大高度是_____米． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题．根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线的顶点坐标的纵坐标，利用配方法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案． 【详解】解：∵水在空中划出的曲线是抛物线， ∴水喷出后，离地面的最大高度是的顶点坐标的纵坐标， ∴， ∴顶点坐标为：， ∴水喷出后，离地面的最大高度是4米， 故答案为：4． 【变式1-2】广场上音乐喷泉中的喷头与地面齐平，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠与喷头的水平距离（米）的函数解析式是．那么水珠从喷出到落地时的水平距离为___________米． 【答案】6 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，由题意可知水珠落地时高度，代入二次函数解析式并求解，即可获得答案． 【详解】解：对于函数，令，得， 整理可得， 解得， 对应喷头位置，可知水珠落地时水平距离为6米． 故答案为：6． 【变式1-3】某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由题目所给条件可得点的坐标和抛物线顶点坐标，设出其顶点式，把点代入求解即可得到该抛物线的函数表达式； （2）题意为求点的坐标，令（1）中求得的函数表达式值为求解即可． 【详解】（1）解：由题可得，点的坐标为，该抛物线的顶点为， 设该抛物线的顶点式为， 把点代入得，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：令得， 两边同时乘以得， 因式分解得， 解得，， 点的坐标为， 水柱落地点与雕塑的水平距离为． 【变式1-4】随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．从喷水口喷出的水柱呈抛物线形．如图是某家庭喷灌器喷水时的截面示意图，喷水口A点离地高度为（即），喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，以喷灌器（与地面垂直）所在直线为y轴、地面所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求喷出的水柱所在抛物线的解析式； (2)若水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点B处，求喷灌器到围墙的距离． 【答案】(1) (2)5m 【分析】本题考查二次函数的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． （1）设该抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）令，求出点B的坐标，据此解答即可． 【详解】（1）解：由题意得，顶点坐标为， ∴设该抛物线的解析式为， ∵点在该抛物线上， ∴， 解得， ∴喷出的水柱所在抛物线的解析式为； （2）解：令得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴点B的坐标为， ∴， ∴喷灌器到围墙的距离为． 题型7 增长率问题 【例1】某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键； 根据连续两次降价，每次降价的百分率为，则两次降价后的价格等于原价乘以的平方． 【详解】解：∵每次降价的百分率都是， ∴第一次降价后价格为， 第二次降价后价格为， ∴， 故选：B． 【例2】据省统计局公布的数据，长春市2024年第一季度总值约为千亿元人民币，若我市第三季度总值为千亿元人民币，平均每个季度增长的百分率为，则关于的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键． 根据平均每个季度增长的百分率为，第二季度总值约为千亿元，第三季度总值为千亿元，则函数解析式即可求得． 【详解】解：根据题意得： 关于的函数表达式是：， 故选：C． 【技巧归纳】 1. 找准基础量、增长率，套用两次增长模型=b列方程。 2. 解方程后舍去负数增长率，只保留正数合理解。 3. 看清题干是两年增长还是下降，下降就把加号换成减号。 【变式1-1】某超市一月份的营业额为30万元，三月份的营业额为y万元．设每月的平均增长率为x，则y与x之间的函数表达式为_______ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用．由题意知，二月份的营业额万元，三月份的营业额万元，依题意得，． 【详解】解：由题意知，二月份的营业额万元，三月份的营业额万元， 依题意得，， 故答案为：． 【变式1-2】某商场开展了家电惠民补贴活动，其中9月份投入资金20万元，设平均每月投入资金的增长率为x（），11月份的投入资金为y万元，则可列y关于x的函数表达式为______． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数的关系式的知识，从9月到11月经过两个月，每月增长率为x，因此11月资金是9月资金乘以的平方． 【详解】解：9月份投入资金为20万元，每月增长率为x，则10月份投入资金为万元，11月份投入资金为万元， 故． 故答案为：． 【变式1-3】某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元． (1)求与的关系式； (2)当时，求今年的总产值为多少万元？ 【答案】(1) (2)当时，今年的总产值为万元． 【分析】（1）利用增长率公式即可找出y关于x的函数关系式； （2）代入，求出y值即可得出结论． 【详解】（1）依题意得：； （2）当时，， 答：当时，今年的总产值为万元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，掌握增长率问题的公式是解题的关键，若起始值为a，经过n年后值为b，设增长率为x，则有． 【变式1-4】某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同． (1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率； (2)2014年这种产品的产量应达到多少万件？ 【答案】(1)这种产品产量的年增长率为 (2)2014年这种产品的产量应达到110万件 【分析】（1）通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率； （2）依据求得的增长率，代入2014年产量的表达式即可解决． 【详解】（1）解：设这种产品产量的年增长率为x， 根据题意列方程得， 解得，（舍去）． 答：这种产品产量的年增长率为． （2）解：（万件）． 答：2014年这种产品的产量应达到110万件． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程是实际应用——增长率问题，解题的关键是掌握：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为；而增长率为负数时，则降低后的结果为． 1．如图，小明的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙的长度为）的矩形鸭舍，并在垂直于墙的某一边中间留一个宽为的门（由其他材料制成）．已知矩形的宽为x米，当矩形面积S最大时，则矩形的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设矩形场地垂直于墙一边长为，可以得出平行于墙的一边的长为．根据矩形的面积公式构建S关于x的二次函数，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设矩形场地垂直于墙一边长为， 根据题意，得 ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，S最大， 此时． 2．如图，在中，，，是边上一动点，过点作，交于点，连接，设，的面积为，则关于的函数图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的面积，列出关于的函数，再由函数类型判断图象即可． 【详解】由题意，当在线段边上运动时（不含两点），，， ， 为等腰直角三角形， ，且， 为等腰直角三角形， ， 的面积为， 关于的函数为二次函数，函数图象为开口向下的抛物线， 只有选项C的图象符合． 3．某班为了举办活动准备做一个拱形门，要在拱形门的，，，，处粘贴装饰物，拱形门的形状近似一个抛物线形，如图在平面直角坐标系中，，抛物线最高点的五角星（点）到的距离为，，，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据顶点式设抛物线解析式，代入已知点坐标求出参数；再将点D的横坐标代入解析式求纵坐标，点C到的距离即为该纵坐标与到顶点距离的和． 【详解】解：设抛物线的解析式为， ∵，且点B与点C关于y轴对称， ∴将点代入解析式，得， 解得， ∴ 抛物线解析式为． ∵，且点A与点D关于y轴对称， ∴点D的横坐标为，代入解析式得， ∴ 点D的纵坐标为， 点C到的距离为． 4．第十九届杭州亚运会的吉祥物“琮琮”、“宸宸”、“莲莲”深受大家喜爱．某商场购进一批吉祥物玩偶，进价为每个40元，按每个50元出售，每周可卖出200个．经调查发现，售价每上涨1元，每周少卖10个．若设每个涨价x元，每周总利润为y元，则y与x的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用总利润单个玩偶的利润销售量，分别表示出单个玩偶的利润和销售量，即可得到y与x的函数关系式． 【详解】解：设每个涨价元，则现在的售价为元，单个利润为元， 由于售价每上涨元，每周少卖个， 则涨价元后，每周的销售量为个， 根据题意得：． 5．从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的实际应用，分别通过解方程求落地时间，配方求最大高度，代入计算函数值比较大小，逐一验证三个结论即可． 【详解】解：①：小球落地时高度，令， 得， 因式分解得， 解得或， 为抛出时刻，因此小球从抛出到落地需要，①正确． ②：， ， 的最大值为，， 因此小球高度不可能达到，②错误． ③：当时，， 当时，， ， 因此小球运动时的高度大于运动时的高度，③错误． 综上，正确结论的个数是，故选B． 6．为方便市民出行，某公司第一个月在市内投放了1500辆电动自行车，计划第三个月投放电动自行车辆，设该公司第二、三两个月投放电动自行车数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系，理解在第一个月投放1500辆电动自行车的基础上增长2次得到y是解题的关键． 在第一个月投放1500辆电动自行车的基础上，增长2次即可得到y，据此列出一元二次方程即可． 【详解】解：第二个月投放单车数量， 第三个月投放单车数量． 故选A． 7．数学兴趣小组的同学在“综合与实践”活动中，用总长为的栅栏围一个一边靠墙的矩形花圃．设与墙垂直的边的长为，花圃的面积为．则S关于x的函数表达式为______，当______时，S可以取得最大值． 【答案】 【详解】解：墙的一面不需要栅栏，栅栏只需要围三边， 与墙平行的一边长为， ， ， 时，可取最大值，为． 8．如图①，在矩形中，动点E从点B出发，以一个单位每秒的速度沿的路线运动，当点E到达点D时停止运动．若，交于点F，设点E运动的时间为t秒，，已知y关于t的函数图象如图②所示，则_________；抛物线顶点纵坐标m的值为_________． 【答案】 4 【分析】先由图②得到，，分别当点E在边上时和当点E在边上时，两种情况，利用相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：由题意和图②得，，， 当点E在边上时，，则； 当点E在边上时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴顶点坐标为，即顶点纵坐标m的值为. 9．如图是一座截面为抛物线形的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面宽度为4米，则当水面下降2米时，水面的宽度为________米． 【答案】 【分析】根据题意建立坐标系，然后得出抛物线的解析式，进而令进行求解即可． 【详解】解：由题意可建立坐标系如图所示： ∴抛物线与x轴的交点坐标为， 设抛物线的解析式为，则把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∴当时，则有， 解得：， ∴当水面下降2米时，水面的宽度为米． 10．某商店销售一种玩具，每件的进货价为40元，经市场调研，当该玩具每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件，现该商店决定涨价销售，若该玩具每件销售价不低于57元，则销售该玩具每天获得的利润w最大为____元． 【答案】 【分析】根据每件利润乘以总销售量得到利润的二次函数解析式，再结合二次函数的性质和给定的自变量取值范围求解最大利润． 【详解】解∶设每件玩具涨价x元， 则利润， ∵每件销售价不低于57元销售， ∴，解得， ∵，抛物线开口向下，当时，w随x的增大而减小， ∴当时，w有最大值，为， ∴最大利润w为2210元． 11．如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为__________． 【答案】8 【分析】根据题意得到，当时，，解一元二次方程即可． 【详解】解：铅球抛出时离地面的高度为， ， ， 当时，， 解得或（舍去）， 铅球掷出的水平距离为． 12． 某公司去年的销售额为万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年）为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，用待定系数法求出二次函数解析式，再把代入解析式求出即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：二次函数经过，， ∴， 解得 ， ∴二次函数解析式为， 当时，， ∴第三年的增长率为， 故答案为：． 13．某居民小区要在一块一边靠墙（墙长米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另外三边用总长为米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为米，面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到平方米？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； (3)当是多少时，矩形花园面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)； (2)当时，满足条件的花园面积能达到平方米 (3)当时，最大，最大面积是平方米 【分析】（1）根据矩形周长、面积公式列二次函数，结合墙长限制求自变量范围； （2）把代入解方程并检验取值； （3）配方法求二次函数在定义域内的最值． 【详解】（1）解：米，三边栅栏总长为米， 米． ，即． 墙长米， ， 解得． （2）解：令，则， 整理，得， 解得或． ， ， 当时，满足条件的花园面积能达到平方米． （3）解：将化为顶点式为， ， 当时，最大，最大面积是平方米． 14．如图，已知等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，与在同一条直线上，开始时点A与点M重合，让向右移动，最后点A与点N重合． (1)试写出两图形重叠部分的面积与线段MA的长度之间的函数关系式． (2)当点A从点M开始向右移动时，重叠部分的面积是多少？ 【答案】(1)（）． (2) 【分析】（1）根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角三角形，从而根据的长度可得出y与x的关系； （2）将代入可得出重叠部分的面积． 【详解】（1）解：由题意知，开始时A点与M点重合， 让向右移动，最后点A与点N重合， 两图形重合的长度为， （）． （2）解：当时， 即， 重叠部分的面积 （）． 15．某古镇有一座抛物线形的石拱桥，其示意图如图，桥洞的水面宽度为，拱顶（点）与水面的距离为．以水面的中点为原点，所在的直线为轴，过点且垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的表达式． (2)今年元宵节，古镇居民计划在桥洞两侧对称地悬挂两个灯笼，以增添节日气氛．灯笼悬挂点距离水面．请你计算这两个灯笼悬挂点之间的水平距离．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得到抛物线的顶点坐标为，设该抛物线的表达式为，将点B的坐标代入即可求出解析式； （2）代入（1）的解析式，求出x的值，由此解答； 【详解】（1）解：根据题意，得，拱顶（点）的坐标为， 设该抛物线的表达式为， 把代入，得， 解得， ∴该抛物线的表达式为． （2）解：把代入，得， 解得或， ∴两个灯笼悬挂点之间的水平距离为． 16．河南特产：铁棍山药实体店、网店两种销售模式，实体店进价8元/斤，售价元；销量y （斤）与单价x （元/斤）满足一次函数：，，，． (1)求y与x解析式； (2)网店每斤成本6元，单价不低于成本且不高于15元，求网店单日最大利润． 【答案】(1) (2)定价元，最大利润元 【详解】（1）解：设解析式为 ， 将、代入， 解得 ∴y与x的解析式为： ； （2）解：设网店单日总利润为元， 每斤利润为元，销量为， ， ∵， ∴开口方向向下， 且， ∴当时，取得最大值元， 答：当定价元时，最大利润为元． 17．在一次“校园科技节”物理探究活动中，某物理小组用发射器从距地面2米高的处将一个小球斜抛向前方．建立如图所示的平面直角坐标系，下图1中的抛物线表示小球的飞行高度（单位：）关于飞行水平距离（单位：）的函数图象（不考虑空气的阻力）．已知小球发射后水平飞行时，飞行的最大高度是． (1)求关于的函数关系式； (2)如图2，为发射器，为标靶，小球由点射出，，若，则小球能否击中标靶？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能击中标靶． 理由是：由（1），知 ， 时， ， ∴不能击中标靶． 【分析】（1）根据题意得出抛物线顶点坐标为，设抛物线解析式为，将点代入求解即可； （2）将代入（1）中函数解析式与比较即可． 【详解】（1）解：由题意，得抛物线顶点坐标为． 设抛物线解析式为， 在函数图象上， ， ， 即 ． （2）略 18．如图是某跳水运动员在进行跳水训练时的截面图，运动员身体（看成一点）在空中的运动路线是一条抛物线，已知跳板长为2米，跳板距水面的高为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度米，现以为横轴，为纵轴建立直角坐标系． (1)画出平面直角坐标系，并求当时，这条抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，求运动员落水点与点的距离； (3)图中米，米，若跳水运动员在区域内（不含点，）入水时才能达到训练要求，直接写出的取值范围是__________． 【答案】(1) (2)5米 (3) 【分析】（1）根据抛物线顶点坐标，设抛物线解析为：，将点代入求得a的值即可； （2）先求得抛物线与x轴交点为：，进而完成解答； （3）若跳水运动员在区域内（不含点E，F）入水达到训练要求，则在函数中，当时，；当米，时，据此列关于的不等式组求解即可． 【详解】（1）解：如图所示： 根据题意可得，抛物线的顶点坐标为，点， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入得，， 解得，， ∴抛物线的解析式为． （2）解：依题意，当，则． 解得：，． 故抛物线与x轴交点为：． ∴观察图中，得出运动员落水点与点C的距离为5米． （3）解： ∵跳板长为2米，跳板距水面的高为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度米，是固定不变的， ∴设抛物线的解析式为，且过点， ∴， 则， ∵米，米， ∴当时，， 则， 解得：； 当时，， 则， 解得． 综上所述，的取值范围是． 19．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【答案】(1) (2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元 【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可； ②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可． 【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴， 答： 第二、三天的日平均增长率为10%． （2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应张价5元； ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：每件涨价应为8元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 20．如图，一位跳台滑雪运动员在一次训练中从起跳点起跳飞出，在着陆坡着陆．已知起跳点与着陆坡上的计分参照点的竖直距离为，水平距离为．按如图所示的平面直角坐标系，这位运动员这次起跳后在空中的运动轨迹近似满足抛物线． (1)求的值和该运动员这次起跳后在空中飞行的最大高度； (2)请通过计算，判断着陆时他能越过点吗？ 【答案】(1)，该运动员这次起跳后在空中飞行的最大高度为 (2)运动员着陆时他能越过点 【分析】（1）由题意可得，，将其代入抛物线解析式即可得到的值，进而求出抛物线的解析式，再将解析式化为顶点式，利用函数的性质即可求解； （2）在函数解析式中令，求出的值，再与比较，即可判断． 【详解】（1）解：由题意可得，， 将代入，得， 解得， ， 化为顶点式为， ， 当时，有最大值，最大值为， ，该运动员这次起跳后在空中飞行的最大高度为； （2）由（1）可得，这位运动员这次起跳后在空中的运动轨迹近似满足抛物线， 令，则， 解得，， ，且， ，舍去， ， ， ， ， 即运动员着陆时他能越过点． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $