第8讲 一元二次方程的根（判别式、与系数的关系）（暑假预习讲义）新九年级数学新教材湘教版

第08讲 一元二次方程的根（判别式、与系数的关系） 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型2 根据根的情况求参数的取值范围 题型3 证明一元二次方程根的情况（证明类） 题型4 一元二次方程根的情况与三角形形状结合 题型5 直接利用韦达定理求两根之和与两根之积 题型6 已知一根求另一根和参数的值 题型7 已知两个方程根的关系，求参数 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 Δ、两个不相等实数根、两个相等实数根、无实数根、两根之和、两根之积 1. 能够熟练运用判别式判断一元二次方程根的情况：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根，能独立完成对任意一元二次方程根的情况判定。 2. 理解一元二次方程根与系数的关系的推导逻辑，对于一般形式的一元二次方程，若两根为x1,x2，能够准确记忆并写出关系式， 学习重点：判别式的公式，能根据大小判断一元二次方程实数根的三种情况。 韦达定理（根与系数关系）：，，掌握定理成立条件） 学习难点：含参数一元二次方程分类讨论：区分一元一次、一元二次，牢记前提。 结合判别式与韦达定理综合解题，同时满足≥0和两根符号限制条件。 两根符号判定：两根同正、同负、一正一负的不等式组列式。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 一元二次方程根的判别式 1 判别式的推导与定义: 对于一元二次方程 ，通过配方法可以变形为： 因为，所以，方程右边的符号由分子决定。我们把叫做一元二次方程根的判别式，读作delta。 2.判别式与根的个数的关系 根据完全平方数的非负性，可以得到根的存在性结论： 当时：方程右边>0，方程有不相等的实数根： 当时：方程右边=0，方程有两个的实数根： 当时：方程右边<0，平方不可能为负数，因此方程实数根。 即时即练 1．关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 2．关于x的一元二次方程根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 3．下列方程中，无实数根的是（     ） A． B． C． D． 4．方程的根的情况是：有两个____实数根（填“相等”或“不相等”）． 5．不解方程，判断一元二次方程的根的情况是________． 【方法总结】 使用判别式之前，必须先把一元二次方程化为一般形式，准确找出a,b,c，注意符号不要写错 反过来，已知方程根的情况，可以确定Δ的符号，进而求出方程中参数的取值范围，注意不要忽略隐含条件a≠0。 知识点02 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 1.韦达定理的内容: 对于一元二次方程 ，若方程有实数根（即），设两个实数根为，则： x1+x2=x1x2= 对于二次项系数为1的特殊形式：，根与系数的关系简化为： 2.常见考法 1. 已知一元二次方程，求两根的代数式的值； 2. 已知方程的一个根，求另一个根和未知参数； 3. 根据方程两根的关系，求参数的值或取值范围； 4. 已知两数和与积，求这两个数； 5. 构造一元二次方程解决相关问题； 6. 结合判别式判定根的符号： ①若，两根同号；此时若，两根都是正根；若，两根都是负根。 ②若，两根异号；此时若，正根绝对值大，若，负根绝对值大，若，两根互为相反数。 ③若，至少有一个根为0。 即时即练 1．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B． C．3 D．5 2．已知、是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．-3 B．1 C． D． 3．一元二次方程的两个实数根为，，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 4．已知一元二次方程的一个根为2，则另一个根为（     ） A． B． C．2 D．1 5．已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（     ） A．0 B． C． D． 【方法总结】 1. 使用韦达定理的前提条件：方程是一元二次方程，即a≠0，且方程有实数根，即Δ≥0，题目中要求参数范围时不要漏掉这两个条件。 2.已知一根求另一根、求参数的值：可以直接代入方程求参数，也可以利用韦达定理列方程组求解，后者计算更简便。 3.已知两个根，求作一元二次方程：以x1,x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是。 4已知两个数的和与积，求这两个数：可以转化为解一元二次方程的问题 题型1根据判别式判断一元二次方程根的情况 【例1】当时，关于x的方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【例2】已知一元二次方程，则该方程根的情况是（      ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【技巧归纳】 先将方程整理为一般形式，确定 (a, b, c) 的值，计算，根据的符号判断根的情况；若方程系数中含有参数，需要先保证二次项系数不为0。 【变式1-1】写出一个关于x的一元二次方程，使它有两个相等的实数根：_______． 【变式1-2】关于x的一元二次方程根的情况为_____________． 题型2 根据根的情况求参数的取值范围 【例1】如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（     ） A． B． C． D．且 【例2】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的值可以是（     ） A． B．0 C．1 D．2 【技巧归纳】 已知方程根的情况，可直接利用判别式建立不等式：有两个不等实根⇒，有两个实根⇒，无实根⇒；如果是一元二次方程，一定不要忽略二次项系数不为0这个隐含条件。 【变式1-1】已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（    ） A． B． C． D．2 【变式1-2】关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 题型3 证明一元二次方程根的情况（证明类） 【例1】某班学习小组研究关于x的一元二次方程时，组员将k取不同值进行研究，发现无论k为何值，都有以下结论． (1)方程一定有实数根，请你加以证明； (2)方程有一个根是固定数值，请你说出这个根______，并加以证明． 【例2】请证明：无论取何值时，关于的方程有实数根，并解出此时方程的根． 【技巧归纳】 计算出后，通过配方、因式分解等方法，将变形为完全平方式加常数、或因式乘积的形式，再根据非负数的性质证明的符号，从而完成证明。 【变式1-1】已知关于的一元二次方程． (1)证明：当取不为0的任何值时，方程总有实数根； (2)为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 【变式1-2】已知一元二次方程的一个根 (1)如果，且另一个根，求的值； (2)若，证明方程有两个不相等的实数根． 题型4 一元二次方程根的情况与三角形形状结合 【例1】如果关于x的二次方程有两个相等的实数根，那么以正数a，b，c为边长的三角形是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．任意三角形 【例2】如果关于x的方程有两个相等的实数根，且a、b、c是的三边长，那么是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．任意三角形 【技巧归纳】 先利用判别式等于 0 得出对应边相等，直接判定等腰三角形；若出现两边平方等式，结合勾股定理判断直角三角形 【变式1-1】已知三角形的一边长为5，另外两边，为方程的解，则当_____时，三角形为等腰三角形． 【变式1-2】关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，，且以，，5为三边的三角形恰好是底边为5的等腰三角形，则m的值为_____． 题型5 直接利用韦达定理求两根之和与两根之积 【例1】若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B． C．3 D．5 【例2】已知方程的两个根是和，则_________． 【技巧归纳】 先把方程化为一般形式，确定 (a,b,c) 的值，再代入公式计算，注意符号不要出错，尤其不要忘记的负号。 【变式1-1】已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值为______． 【变式1-2】若方程的两个根分别为，，则的值为_________． 题型6已知一根求另一根和参数的值 【例1】已知一元二次方程的一个根为2，则另一个根为（     ） A． B． C．2 D．1 【例2】已知是关于x的一元二次方程的一个根，则方程的另一个根为（    ） A．2 B． C．1 D． 【技巧归纳】 方法一：把已知根代入方程求出参数，再解方程求另一根； 方法二：利用韦达定理列出方程组，直接解出另一根和参数，方法二更快捷。 【变式1-1】已知方程的一个根是10，则它的另一个根是______． 【变式1-2】已知是方程的一个根，则______，另一个根是______． 题型7 已知两个方程根的关系，求参数 【例1】已知关于的一元二次方程的两个根为，，且满足，则的值为（     ） A． B． C． D． 【例2】关于的方程的两个实数根分别为，，且，则的值为（     ） A． B． C．3 D．5 【技巧归纳】 分别设出两个方程的根，利用根的关系结合韦达定理建立等式，求解参数，注意验证判别式的取值范围。 【变式1-1】设、是方程的两个根，且，则的值是（    ） A．2 B． C．6 D． 【变式1-2】已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，．若，则k的值为_________． 1．下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 3．关于一元二次方程，下列说法正确的是（     ） A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根 C．无实数根 D．无法判断 4．关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 5．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．已知一元二次方程有两个实数根为，，则的值为（     ） A． B． C． D． 7．若一元二次方程的两根为，，则点在平面直角坐标系中位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．直线不经过第一象限，则关于的方程的实数解的个数为___________． 9．方程的根的判别式的值是____； 10．方程中，的值为___． 11．若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是______（写出一个即可）． 12．已知关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是__________． 13．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为______． 14．若方程的两个根是，，则的值为________． 15．已知关于的方程． (1)求证：无论为何实数，此方程总有实数根． (2)若两根异号且负根的绝对值大，求的取值范围． 16．为实数，关于的方程为． (1)判断方程根的情况． (2)若方程的两根为，，当时，求的值． 17．已知关于的一元二次方程． (1)讨论该一元二次方程实数根的情况； (2)当时，方程是否有两个不相等的实数根？若有，设这两个根都是不大于的正整数，求出满足条件的所有的值；若没有，请说明理由． 18．已知关于的一元二次方程．若，为该方程的两个实数根，且满足，求的值． 19．已知关于x的一元二次方程的两根，满足，求m的值． 20．已知关于x的一元二次方程． (1)求m的值； (2)设这个方程的两个根是，，且，求n的值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 一元二次方程的根（判别式、与系数的关系） 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型2 根据根的情况求参数的取值范围 题型3 证明一元二次方程根的情况（证明类） 题型4 一元二次方程根的情况与三角形形状结合 题型5 直接利用韦达定理求两根之和与两根之积 题型6 已知一根求另一根和参数的值 题型7 已知两个方程根的关系，求参数 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 Δ、两个不相等实数根、两个相等实数根、无实数根、两根之和、两根之积 1. 能够熟练运用判别式判断一元二次方程根的情况：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根，能独立完成对任意一元二次方程根的情况判定。 2. 理解一元二次方程根与系数的关系的推导逻辑，对于一般形式的一元二次方程，若两根为x1,x2，能够准确记忆并写出关系式， 学习重点：判别式的公式，能根据大小判断一元二次方程实数根的三种情况。 韦达定理（根与系数关系）：，，掌握定理成立条件） 学习难点：含参数一元二次方程分类讨论：区分一元一次、一元二次，牢记前提。 结合判别式与韦达定理综合解题，同时满足≥0和两根符号限制条件。 两根符号判定：两根同正、同负、一正一负的不等式组列式。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 一元二次方程根的判别式 1 判别式的推导与定义: 对于一元二次方程 ，通过配方法可以变形为： 因为，所以，方程右边的符号由分子决定。我们把叫做一元二次方程根的判别式，读作delta。 2.判别式与根的个数的关系 根据完全平方数的非负性，可以得到根的存在性结论： 当时：方程右边>0，方程有不相等的实数根： 当时：方程右边=0，方程有两个的实数根： 当时：方程右边<0，平方不可能为负数，因此方程实数根。 即时即练 1．关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：∵， 移项整理得，其中 , , ∴， ∴方程有两个不相等的实数根. 2．关于x的一元二次方程根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【答案】A 【分析】计算根的判别式，根据判别式的符号即可判断根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，， ， 又无论取任意实数，都有， ，即， 该方程有两个不相等的实数根． 3．下列方程中，无实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、∵，解得； B、，解得； C、，解得，； D、，，故方程无实数根． 4．方程的根的情况是：有两个____实数根（填“相等”或“不相等”）． 【答案】不相等 【详解】解：∵在方程中，，，， ∴这个方程根的判别式， ∴这个方程有两个不相等的实数根． 5．不解方程，判断一元二次方程的根的情况是________． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】首先将方程整理成一般式，然后利用判别式判断即可． 【详解】解：∵一元二次方程 ∴ ∴ ∴方程有两个不相等的实数根． 【方法总结】 使用判别式之前，必须先把一元二次方程化为一般形式，准确找出a,b,c，注意符号不要写错 反过来，已知方程根的情况，可以确定Δ的符号，进而求出方程中参数的取值范围，注意不要忽略隐含条件a≠0。 知识点02 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 1.韦达定理的内容: 对于一元二次方程 ，若方程有实数根（即），设两个实数根为，则： x1+x2=x1x2= 对于二次项系数为1的特殊形式：，根与系数的关系简化为： 2.常见考法 1. 已知一元二次方程，求两根的代数式的值； 2. 已知方程的一个根，求另一个根和未知参数； 3. 根据方程两根的关系，求参数的值或取值范围； 4. 已知两数和与积，求这两个数； 5. 构造一元二次方程解决相关问题； 6. 结合判别式判定根的符号： ①若，两根同号；此时若，两根都是正根；若，两根都是负根。 ②若，两根异号；此时若，正根绝对值大，若，负根绝对值大，若，两根互为相反数。 ③若，至少有一个根为0。 即时即练 1．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】对于一元二次方程，若方程有两个实数根，则两根之积，据此计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根，方程中， ∴． 2．已知、是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．-3 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出两根和与两根积，代入计算即可得到结果． 【详解】解：、是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴ ． 3．一元二次方程的两个实数根为，，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当方程有两个实数根时，两根之和，据此求解即可． 【详解】解∶∵方程中，， ∴． 4．已知一元二次方程的一个根为2，则另一个根为（     ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：设方程另一个根为， 由根与系数的关系得：， 解得：， 即方程另一个根为1． 5．已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（     ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，再结合一元二次方程根与系数的关系计算即可得到结果． 【详解】解：∵是方程的根， ∴ ， 即， ∵是方程 的两根， ∴， ∴ ． 【方法总结】 1. 使用韦达定理的前提条件：方程是一元二次方程，即a≠0，且方程有实数根，即Δ≥0，题目中要求参数范围时不要漏掉这两个条件。 2.已知一根求另一根、求参数的值：可以直接代入方程求参数，也可以利用韦达定理列方程组求解，后者计算更简便。 3.已知两个根，求作一元二次方程：以x1,x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是。 4已知两个数的和与积，求这两个数：可以转化为解一元二次方程的问题 题型1根据判别式判断一元二次方程根的情况 【例1】当时，关于x的方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】将原方程整理为一元二次方程的一般形式，利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，根据的条件推导判别式的符号即可得到结论． 【详解】解：， 整理得，， ∴， 又∵， ∴，即， ∴原方程没有实数根． 【例2】已知一元二次方程，则该方程根的情况是（      ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，利用判别式的符号即可判断根的情况．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 【详解】解：∵一元二次方程中，，， ∴ ∴该方程有两个不相等的实数根． 【技巧归纳】 先将方程整理为一般形式，确定 (a, b, c) 的值，计算，根据的符号判断根的情况；若方程系数中含有参数，需要先保证二次项系数不为0。 【变式1-1】写出一个关于x的一元二次方程，使它有两个相等的实数根：_______． 【答案】（答案不唯一，符合条件即可） 【分析】根据一元二次方程根的判别式等于0时，方程有两个相等的实数根，构造满足条件的方程即可． 【详解】解：设一元二次方程为，当，，时， 即方程有两个相等的实数根． 【变式1-2】关于x的一元二次方程根的情况为_____________． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】根据一元二次方程根的判别式，计算判别式的值，由判别式的符号即可判断方程根的情况． 【详解】解：∵，可得 ，，， ∴ ∴方程有两个不相等的实数根． 题型2 根据根的情况求参数的取值范围 【例1】如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（     ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】根据一元二次方程定义可得二次项系数不为0，方程有两个不相等的实数根可得判别式大于0，联立不等式即可求解k的取值范围． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴ ∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 解得 综上，的取值范围是且． 【例2】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的值可以是（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根的判别式及定义，列出不等式即可求解． 【详解】解：由题可得， ，且， 解得：且， 实数m的值可以是． 【技巧归纳】 已知方程根的情况，可直接利用判别式建立不等式：有两个不等实根⇒，有两个实根⇒，无实根⇒；如果是一元二次方程，一定不要忽略二次项系数不为0这个隐含条件。 【变式1-1】已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】解：根据题意，得， ∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故选：A． 【变式1-2】关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】需分方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论，结合方程有实数根的条件求解，再合并结果得到的取值范围． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当，即时， ∵原方程化为，是一元一次方程，有实数根， ∴符合题意； ②当，即时，原方程是一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴根的判别式，， 解得：，且； 综上，的取值范围是． 题型3 证明一元二次方程根的情况（证明类） 【例1】某班学习小组研究关于x的一元二次方程时，组员将k取不同值进行研究，发现无论k为何值，都有以下结论． (1)方程一定有实数根，请你加以证明； (2)方程有一个根是固定数值，请你说出这个根______，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)2，见解析 【分析】本题主要考查根的判别式，解题的关键是： （1），据此可得答案； （2）将方程变形为，根据有一个根是固定数值，得到不含k的项，即，可得的值，把代入原方程，判断两边是否相等即可． 【详解】（1）解：依题意得： ， 无论为何值，方程一定有实数根； （2）， 则 ∵方程有一个根是固定数值， ∴，则， 把代入原方程， 左边， 时，方程左边右边， 无论为何值，方程有一个根是固定数值． 故答案为：2． 【例2】请证明：无论取何值时，关于的方程有实数根，并解出此时方程的根． 【答案】见解析； 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据根的判别式进行证明即可，用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：变为一般形式：， ，，， ， ∵， ∴， ∴关于的方程有实数根， ∴． 【技巧归纳】 计算出后，通过配方、因式分解等方法，将变形为完全平方式加常数、或因式乘积的形式，再根据非负数的性质证明的符号，从而完成证明。 【变式1-1】已知关于的一元二次方程． (1)证明：当取不为0的任何值时，方程总有实数根； (2)为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，一元二次方程的判别式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据关于的一元二次方程，则，且，即可作答． （2）运用因式分解法得或，结合方程有两个不相等的正整数根，为整数，即可作答． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程， ∴，且 当取不为0的任何值时，总有， 所以方程总有实数根； （2）解：， ， 或， 由题意方程有两个不相等的正整数根， 即是正整数，且为整数，， ∴， ∴． 【变式1-2】已知一元二次方程的一个根 (1)如果，且另一个根，求的值； (2)若，证明方程有两个不相等的实数根． 【答案】(1)b=2，c=0； (2)见解析 【分析】（1）由，，，利用根与系数的关系即可求解； （2）由，推出b=2a+，再利用根的判别式求得,即可证明方程有两个不相等的实数根． 【详解】（1）解：∵， ∴一元二次方程为， ∵，， ∴-2+0=-b，-2×0=c， ∴b=2，c=0； （2）解：∵一元二次方程的一个根为， ∴4a-2b+c=0，即b=2a+， ∵， ∵，即， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式等知识点，能熟记根的判别式和根与系数的关系是解此题的关键． 题型4 一元二次方程根的情况与三角形形状结合 【例1】如果关于x的二次方程有两个相等的实数根，那么以正数a，b，c为边长的三角形是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．任意三角形 【答案】C 【分析】先把方程化为一般式，再根据根的判别式的意义得到，整理得，则可根据勾股定理的逆定理可判断三角形的形状． 【详解】解：方程化为， 根据题意得， 所以， 所以以正数a，b，c为边长的三角形为直角三角形． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．也考查了勾股定理的逆定理． 【例2】如果关于x的方程有两个相等的实数根，且a、b、c是的三边长，那么是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．任意三角形 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．现将原式化为一般式再根据根的判别式的意义得到，整理得，则可根据勾股定理的逆定理可判断三角形的形状． 【详解】解：方程化为， 根据题意得， 所以， 所以以正数a，b，c为边长的三角形为直角三角形． 故选：C． 【技巧归纳】 先利用判别式等于 0 得出对应边相等，直接判定等腰三角形；若出现两边平方等式，结合勾股定理判断直角三角形 【变式1-1】已知三角形的一边长为5，另外两边，为方程的解，则当_____时，三角形为等腰三角形． 【答案】15或16 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及一元二次方程的根的判别式，先进行分类讨论，即当，或当，代入解出；再或者为腰长时，得出，解出，即可作答． 【详解】解：∵三角形为等腰三角形 ∴当，则把代入 得出 解得 同理：∴当，则把代入 得出 解得 当为腰长时，方程 则 解得 故答案为：15或16 【变式1-2】关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，，且以，，5为三边的三角形恰好是底边为5的等腰三角形，则m的值为_____． 【答案】16 【分析】根据等腰三角形的定义得，即方程有两个相等的实数根，进而利用根的判别式求解即可． 【详解】解：∵，，5为三边的三角形恰好是底边为5的等腰三角形， ∴， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴该方程有两个相等的实数根， ∴，解得， 故答案为：16． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义、一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 题型5 直接利用韦达定理求两根之和与两根之积 【例1】若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】对于一元二次方程，若方程有两个实数根，则两根之积，据此计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根，方程中， ∴． 【例2】已知方程的两个根是和，则_________． 【答案】3 【分析】对于一元二次方程，若方程的两个实数根是，则，据此可得答案． 【详解】解：∵方程的两个根是和， ∴． 【技巧归纳】 先把方程化为一般形式，确定 (a,b,c) 的值，再代入公式计算，注意符号不要出错，尤其不要忘记的负号。 【变式1-1】已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为，， ∴． 【变式1-2】若方程的两个根分别为，，则的值为_________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，代入所求代数式计算即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程中，二次项系数，一次项系数，常数项， 根据根与系数的关系可得： ，， 则， 故答案为：． 题型6已知一根求另一根和参数的值 【例1】已知一元二次方程的一个根为2，则另一个根为（     ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：设方程另一个根为， 由根与系数的关系得：， 解得：， 即方程另一个根为1． 【例2】已知是关于x的一元二次方程的一个根，则方程的另一个根为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】解：设方程的另一个根为， ∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， 解得：． 【技巧归纳】 方法一：把已知根代入方程求出参数，再解方程求另一根； 方法二：利用韦达定理列出方程组，直接解出另一根和参数，方法二更快捷。 【变式1-1】已知方程的一个根是10，则它的另一个根是______． 【答案】2.5 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，设方程的另一个根是t，由根与系数的关系可得：，解方程即可得到答案． 【详解】解：设方程的另一个根是t， 由根与系数的关系可得：， 解得：， ∴方程的另一个根是2.5． 故答案为：2.5． 【变式1-2】已知是方程的一个根，则______，另一个根是______． 【答案】 3 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；设方程的另一根为，然后利用一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：设方程的另一根为，由根与系数的关系，得： ，代入，得， 解得； 又，代入，，得， 解得． 故答案为，． 题型7 已知两个方程根的关系，求参数 【例1】已知关于的一元二次方程的两个根为，，且满足，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，结合题目给出的等量关系求解，再验证方程存在两个实根即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程中，，，，方程有两个根，， ∴，， 又∵， ∴，解得：， 验证判别式：，符合要求， 故的值为． 【例2】关于的方程的两个实数根分别为，，且，则的值为（     ） A． B． C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再代入已知等式求解，最后验证方程有实根即可． 【详解】对于一元二次方程，其中，，， 因为方程有两个实数根，， 所以由根与系数的关系可得： ， ， 又因为 ， 将上述结果代入等式得 ， 解得 ， 验证判别式：，符合方程有两个实数根的条件， 因此． 【技巧归纳】 分别设出两个方程的根，利用根的关系结合韦达定理建立等式，求解参数，注意验证判别式的取值范围。 【变式1-1】设、是方程的两个根，且，则的值是（    ） A．2 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】先利用关系得到两根和与两根积，代入已知等式求解m． 【详解】解：∵、是方程的两个根， ∴， ∵ ∴ ∴． 【变式1-2】已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，．若，则k的值为_________． 【答案】1 【分析】先根据方程有两个不相等的实数根得到k的取值范围，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将变形为，即可列方程求解． 【详解】解：由根与系数的关系可得，， ， ， ， 解得， 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得， 的值为1． 1．下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：可化为，，符合题意； 的解是，，不合题意； 可化为，没有实数根，不合题意； ，，有两个不相等的实数根，不合题意． 2．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】本题利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，先计算判别式的值，再根据判别式与0的大小关系得出结论． 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，， ∵， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根． 3．关于一元二次方程，下列说法正确的是（     ） A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根 C．无实数根 D．无法判断 【答案】B 【详解】解：中，，，， ， 该方程有两个不相等的实数根． 4．关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用方程有两个相等实数根得到判别式为0，结合已知条件整理得到a，b，c的关系，进而判断选项． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ，且， ， ， 将代入，得， 整理，得， ， ， 将代入，得， ， 故C正确； ， ， 故A错误； ， 故B错误； ，a的值不确定， 不一定等于， 故D错误． 5．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当方程有两个不相等的实数根时，判别式，代入系数计算不等式即可得到的范围． 【详解】解：由于方程有两个不相等的实数根， 则判别式， 整理得：， 解得：． 6．已知一元二次方程有两个实数根为，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积的值，再将所求代数式变形后代入计算即可． 【详解】解： 一元二次方程中，，，， ，， ∴． 7．若一元二次方程的两根为，，则点在平面直角坐标系中位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的整理，根与系数的关系和平面直角坐标系内点的象限特征，先将方程整理为一般形式，再求出两根之积和两根之和，得到点的坐标后判断象限即可． 【详解】解：将原方程展开整理为一元二次方程一般形式：，其中，， ∵对于一元二次方程，两根之积为，两根之和为 ∴ ， ∴点的坐标为，横纵坐标均为负数，因此该点位于第三象限 8．直线不经过第一象限，则关于的方程的实数解的个数为___________． 【答案】或 【分析】先根据一次函数的图象性质确定的取值范围，再分和两种情况，分别判断方程的类型，进而确定方程实数解的个数． 【详解】解：直线的比例系数，且直线不经过第一象限， 分两种情况讨论方程的解的情况， （1）当时，方程化为，为一元一次方程，有个实数解； （2）当时，方程为一元二次方程， 计算根的判别式， ， ， 可得， 此时一元二次方程有个不相等的实数解． 综上，方程的实数解的个数为或． 9．方程的根的判别式的值是____； 【答案】 【详解】解：方程即为， 根的判别式的值是． 10．方程中，的值为___． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的判别式，能够识别系数，，的值和掌握判别式是是解题的关键． 根据一元二次方程的一般形式，确定系数，，的值，然后计算判别式即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 故答案为：． 11．若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】根据一元二次方程根的判别式求出的取值范围即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ， 解得， ∴的值可以是， 故答案为：． 12．已知关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是__________． 【答案】 且 【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，列不等式求解即可． 【详解】解：由题意知，， 又∵方程有实数根， ∴， 解得：， ∴且． 13．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为______． 【答案】4 【分析】本题考查一元二次方程根的定义和根与系数的关系，先将原方程整理为一般形式，利用根与系数的关系求出的值，再利用方程根的定义对所求代数式降次，最后代入计算得到结果． 【详解】解：将原方程整理为一般形式得， 方程的两个实数根为，， 根据根与系数的关系可得，， 已知， ∴， 解得， ∴， 是方程的根，将代入原方程得， 整理得， 将代入得， 将，，代入所求代数式得 ， ． 14．若方程的两个根是，，则的值为________． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，再将所求代数式因式分解，最后整体代入求值即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，两个根为， 根据根与系数的关系可得： ， ∵ ∴将，代入得：原式． 15．已知关于的方程． (1)求证：无论为何实数，此方程总有实数根． (2)若两根异号且负根的绝对值大，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)k的取值范围为 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，由此可证出：无论为何实数，方程总有实数根； （2）根据根与系数的关系列出关于的不等式组，解不等式组可得出答案． 【详解】（1）解：方程中，，，， ， 整理可得：， 无论为何实数，方程有实数根； （2）解：方程两根异号且负根的绝对值大， ， ， 解得：， 的取值范围为． 16．为实数，关于的方程为． (1)判断方程根的情况． (2)若方程的两根为，，当时，求的值． 【答案】(1)原方程总有两个实数根 (2)或 【分析】（1）求出一元二次方程的判别式，根据判别式的值即可作出判断； （2）求出一元二次方程的两个根，根据条件列式即可求解． 【详解】（1）解：原方程为一元二次方程，可化为． ． 无论为何实数，都是非负数．即． ∴原方程总有两个实数根． （2）解：由（1），原方程的根． 或． 若，则， ． 若，则， ． 综上，的值为或． 17．已知关于的一元二次方程． (1)讨论该一元二次方程实数根的情况； (2)当时，方程是否有两个不相等的实数根？若有，设这两个根都是不大于的正整数，求出满足条件的所有的值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)当时，该方程有两个不相等的实数根，当时，该方程有两个相等的实数根； (2)有，所有的值为：，， 【分析】（1）整理方程为一般形式，再利用根的判别式的值的情况讨论即可． （2）当时，可得， 求解，再进一步分析求解即可． 【详解】（1）解：， 方程化为一般式：， ∴， ∴当时，该方程有两个不相等的实数根， 当时，该方程有两个相等的实数根； （2）解：当时，，方程有两个不相等的实数根， ∵， 解得：， ∵这两个根都是不大于的正整数， ∴，， 解得． 又∵这两个根都是正整数， 为的倍数， 的值为，，． 18．已知关于的一元二次方程．若，为该方程的两个实数根，且满足，求的值． 【答案】 【分析】先利用韦达定理表示出两根和与积，再将已知等式展开变形，代入两根和与积的表达式，解方程求的值． 【详解】解：根据根与系数的关系得，， ， ， ，即． ， 解得， 检验：当时，方程的判别式，符合题意； 故． 19．已知关于x的一元二次方程的两根，满足，求m的值． 【答案】4或 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式的综合应用，解题核心是先利用根与系数的关系表示出与，再结合已知条件列方程求解，最后验证判别式保证方程有实根． 【详解】∵一元二次方程有两个实数根， ∴且， 即且，解得：且； ∵， ∴， ， ∵，， ∴， 解得：或， ∵且， ∴或． 20．已知关于x的一元二次方程． (1)求m的值； (2)设这个方程的两个根是，，且，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得，求解即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系得到，，然后根据完全平方公式将变形为，再代入计算即可解出答案． 【详解】（1）解：由题意得， 解得； （2）解：由（1）知，则原方程变为， 设这个方程的两个根是，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $