第9讲 一元二次方程的应用（暑假预习讲义）新九年级数学新教材湘教版

第9讲 一元二次方程的应用 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 增长率/下降率问题 题型2 销售利润问题 题型3 图形面积问题 题型4 动点问题 题型5 相互传染/握手/循环问题 题型6 行程问题 题型7 数字问题 题型8 图表信息题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 增长率 、降低率、利润销售、面积几何、传播 1.能准确识别增长率、销售利润、面积、传播循环、数字、动点等典型应用题，抓住题干关键词判断题型。 2.掌握各类应用题等量关系，熟练列出一元二次方程，规范设未知数、列方程、解方程。 3.会检验方程的解，舍去不符合实际意义的根（负数、超出范围数值等）。 熟记各题型核心公式与等量关系，区分易混淆模型（握手 / 互赠、增长 / 降低）。 学习重点：读懂题目关键信息，根据不同题型找准等量关系式，正确列出一元二次方程。 熟练掌握增长率、销售利润、图形面积、传播握手四大高频题型的解题思路与固定模型。 规范解一元二次方程，结合实际情境检验方程的根，舍去不符合现实意义的解。 掌握应用题完整解题步骤：设未知数→列方程→解方程→检验→作答。 学习难点：复杂文字题提取隐藏等量关系，涨价降价类利润问题中销量与单价的联动变化分析。 区分易混淆题型：握手问题（除以 2）与互赠礼物问题（不除以 2）；平均增长与平均降低公式运用。 几何面积应用题：道路、边框、裁剪类图形，准确表示变化后的长、宽边长。 动点结合勾股定理综合题型，用含未知数的代数式表示线段长度并列方程。 忽略实际限制条件，忘记对方程两个根进行取舍，出现答案不符合生活实际的错误。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 列一元二次方程解应用题的一般步骤 列一元二次方程解应用题的步骤和一元一次方程解应用题的步骤基本一致，可以归纳为审、设、列、解、验、答六个环节，每个环节的核心要求如下： 1. 审：读懂题意，明确已知量和量，梳理题目中的数量关系，找出题目中蕴含的等量关系，这是列方程解应用题的基础和前提。审题时要重点关注题目中的关键词，比如“共”“比…多…”“增长到”“增长率”“面积增加”“利润下降”等，避免因概念误解找错等量关系。 2. 设：设，分为直接设元和间接设元两种方式。直接设元就是题目问什么就设什么为未知数；间接设元是当直接设元难以列出方程或者方程形式比较复杂时，设与所求未知量相关的其他量为未知数，最后再通过计算得到题目要求的量。设未知数时要注意单位书写正确。 3. 列：根据找到的关系，把相关量用含未知数的代数式表示出来，列出一元二次方程，这是解应用题最核心的一步。列方程时要保证方程左右两边的量纲一致，相等关系准确。 4. 解：求解列出的一元二次方程，得到未知数的两个根。可以根据方程的特点选择合适的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。 5. 验：检验方程的根是否符合，一元二次方程通常会有两个实根，并不是所有根都满足实际问题的要求，比如长度、面积不能为负，人数必须是正整数，增长率不能超过100%（部分特殊情况除外）等，不符合实际的根必须舍去。 6. 答：书写最终答案，注意回答题目所问的问题，不要答非所问，同时要带上正确的单位。 即时即练 1．在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请个球队参加比赛，则可列的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】理清总比赛场数的计算方法，再根据已知总场数列出方程． 【详解】解：设邀请个球队参加比赛， ∵每个球队需要与除自身外的个球队各比赛一场，且甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛， ∴总比赛场数为， 已知计划安排28场比赛， 因此可列方程． 2．某文创公司的月收入逐月攀升，今年月份收入万元，经过两个月后，月份收入达到万元，设该文创公司收入的月平均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解题思路是根据月平均增长率依次推出3月份的收入表达式，结合已知3月份收入列出方程． 【详解】解：∵1月份收入为万元，月平均增长率为, ∴2月份收入为万元, ∴3月份收入为万元, 又∵已知3月份收入为万元, ∴可列方程为. 3．春意复苏，某地绿化工程正在如火如荼地进行着．某工程队计划将一块长，宽的矩形场地建设成绿化广场．如图，广场内部修建三条宽度相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的，求小路的宽．设小路的宽为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设小路的宽为，根据矩形的面积公式（将绿化区域合并成矩形），进而即可列出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设小路的宽为，则绿化区域的长为，宽为， 根据题意，得． 4．随着“云花”品牌全球影响力不断提升，一朵朵鲜切花源源不断地走向国际市场．据昆明海关统计，2023年云南省鲜切花出口值达5.7亿元，2025年云南省鲜切花出口值达12.2亿元．如果设这两年出口值的年平均增长率为x，那么根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平均增长率的计算方法，逐年推导2025年出口值的表达式，即可得到对应方程． 【详解】解：∵设年平均增长率为，2023年出口值为亿元， ∴2024年出口值为亿元， ∴2025年出口值为亿元， 又∵2025年出口值为亿元， ∴可列方程为． 5．某零售商购进一批单价为16元的玩具，以每件20元的价格销售时，每月能卖360件；销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格．经试验发现，若每件涨价1元，则销售量就减少30件．为使每月获得1920元的利润，设每件需涨价x元，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“总利润=每件利润×销售量”，分别表示出涨价后的每件利润和销售量，即可列出方程． 【详解】解：∵设每件涨价元， ∴涨价后每件售价为元，每件利润为元， ∵每件涨价1元，销售量就减少30件， ∴涨价元后，销售量为件， 结合总利润为1920元，可得方程． 【方法总结】 1. 审清题意设未知数，找准等量关系列一元二次方程。 2. 规范解方程，检验根是否符合实际题意舍去不合理解。 3. 最后写出完整答句，回应题目所求问题。 知识点02 常见一元二次方程应用题类型 类型1 增长率（下降率）问题 增长率问题是一元二次方程应用中非常典型的题型，核心公式有两个： 1. 增长模型：若初始量为a，平均增长率为x，增长次数为n，增长后的量为b，则公式为，当（连续两次增长）时，方程形式为。 2. 下降模型：若初始量为(a)，平均下降率为x，下降次数为n，下降后的量为b，则公式为，当（连续两次下降）时，方程形式为。 类型2 传播问题 传播问题的核心是每一轮传播中，每个个体都会传染新的个体，两轮传播后总感染数的计算逻辑是： 初始传染源为1个，每轮每个传染源传染x个个体，第一轮后总感染数为1+x；第二轮中，每个已经感染的个体都会再传染x个新个体，第二轮新增感染数为x(1+x)，所以两轮后总感染数为。如果两轮后总感染数为a，则方程为。 类型3 面积问题 面积问题通常结合图形考查，常见的考查形式有： 1. 不规则图形面积：通过割补法将不规则图形转化为规则图形，利用规则图形的面积公式建立等量关系。常见的场景是在矩形耕地修宽度相同的道路，求剩余耕地面积，此时可以将道路平移到矩形的边缘，剩余耕地拼合为一个新的矩形，新矩形的长和宽分别是原矩形的长和宽减去道路宽度，再结合面积列方程。 2. 围图形问题：利用墙作为一条边，用围栏围另外三边，给出围栏总长度和总面积，求矩形的长和宽。此时要注意墙的长度限制，解出的根不能超过墙的可用长度，否则需要舍去。 3. 面积的增加或减少问题：比如给长方形花坛增加宽度，扩大后的面积，求增加的宽度，利用扩大前后的长、宽和面积关系列方程即可。 类型4 利润（销售）问题 利润问题的核心等量关系是： 总利润 = 单件利润 × 销售量 单件利润 = 售价 - 成本（进价） 常见出题模式：当售价上涨x元时，销售量会减少kx件；当售价下降(x)元时，销售量会增加kx件，给出目标总利润，求定价或者降价（涨价）的金额。 设涨价（降价）为x元，分别表示出调整后的单件利润和调整后的销售量，代入总利润公式即可列出一元二次方程。需要注意实际问题中，售价要符合商家的定价要求，销售量不能为负数，解出根后要根据条件进行检验舍去。 类型5 动点问题 动点问题是一元二次方程应用中稍微有难度的题型，核心是用含未知数的代数式表示出动点运动后线段的长度，再结合几何图形的性质（比如三角形面积、勾股定理等）列出方程。 常见考查形式：在三角形或者矩形中，两个点分别从不同顶点出发，沿着边向某个方向匀速运动，求经过多长时间，三角形的面积为固定值，或者两点之间的距离为固定值。解决这类问题的步骤： 1. 设运动时间为t，根据速度表示出每个动点移动的路程； 2. 结合图形边长，表示出问题中需要的线段长度； 3. 根据面积公式或者勾股定理列出一元二次方程，求解后检验时间是否在动点的运动范围内，超出运动范围的根舍去。 类型6 数字问题 数字问题考查两位数、三位数或者连续数的表示，核心知识点： 1. 两位数的表示：若两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数表示为10b + a，不能直接写成ba。 2. 连续整数：若设中间的连续整数为n，则三个连续整数可以表示为；连续偶数可以表示为（n为偶数），连续奇数同理。 3. 根据题目给出的数字之间的等量关系（比如两个数字的乘积、两个数字的和、两位数和两个数字乘积的倍数关系等）列出方程，求解后检验数字是否符合要求（比如个位和十位数字都是0-9的整数，十位数字不能为0），舍去不符合的根。 即时即练 1．经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有169人患上流感．按这样的传染速度，若4人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有多少人？ 【答案】52人 【分析】设每轮传染中平均每人传染人，根据题意列出一元二次方程求解． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染人，根据题意得， 解得（舍去）， 第一轮传染后患流感的人数共有（人）， 答：第一轮传染后患流感的人数共有52人． 2．某学校校园文化节期间，委托文具店定制一批校园纪念笔记本．文具店4月15日定制出2000本，16日、17日定制量持续增加，到4月17日当天的定制量达到3380本，若16日、17日这两日定制量的日平均增长率相同，求这两日定制量的日平均增长率． 【答案】这两日定制量的日平均增长率是 【详解】解：设这两日定制量的日平均增长率是x．由题意得：      解得：，（不合题意舍去）     答：这两日定制量的日平均增长率是． 3．某公园有一块长是宽的两倍的长方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原长方形的空地长的一边减少了2m，短的一边减少了1m，剩余空地的面积为，求原长方形空地的周长． 【答案】原长方形的周长为24米 【分析】设原来长方形的宽为米，则长为米，由题意可得，求出x，再计算周长即可． 【详解】解：设原来长方形的宽为米，则长为米． 由题意可得：． 解之得：，（不符合题意，舍去）． ∴原长方形的宽为4米，长为8米． ∴原长方形的周长（米）． 答：原长方形的周长为24米． 4．有一个两位数，其个位和十位上的数字之和为7．将该数的十位数字与个位数字调换，所得到的新的两位数与原来的两位数的积为1300．求原来的两位数． 【答案】25或52 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意设出未知数，列出方程并求解． 设原来两位数十位上的数字为，则个位上的数字为，表示出原两位数和新两位数，根据它们的积为1300列方程求解． 【详解】解：设原来的两位数十位上的数字为，则个位上的数字为． 根据题意，得． 整理，得． 解得，． 当时，，原来的两位数为25； 当时，，原来的两位数为52． 答：原来的两位数为25或52． 5．某种生活用品平均每天销售40件，每件盈利20元，每件每降价1元，每天可多销售10件，如果想每天盈利1350元，每件应降价多少元？ 【答案】每件应降价5元或11元 【分析】设每件应降价元，则每件盈利元，平均每天销售件，根据每天盈利1350元，建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设每件应降价元， 由题意得：， 整理得：， 解得或（均符合题意）， 答：每件应降价5元或11元． 【方法总结】 1. 增长率问题套基数乘增长式，面积题用图形边长关系列等式。 2. 利润问题依托单件利润乘销量等于总利润建立方程。 3. 传播、循环问题理清数量递推关系，解后舍去不符合实际的根。 题型1 增长率/下降率问题 【例1】某制造企业为分析一季度到二季度初的生产经营状况，统计了产值增长数据：今年月份产值为万元，月份产值为万元，设该企业月份至月份产值平均每月的增长率为，根据题意可列方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用增长率得到月份产值的表达式，再结合已知条件即可列出方程． 【详解】解：∵设平均每月增长率为，月份产值为万元， ∴月份产值为万元， ∴月份产值为万元， 又∵已知月份产值为万元， ∴可列方程为 ． 【例2】某书店今年3月份盈利5000元，5月份盈利6000元．设该书店每月盈利的平均增长率为．根据题意，可列方程为_________． 【答案】 【详解】解：已知3月份盈利元，每月盈利的平均增长率为，则4月份盈利为，5月份盈利为，由题意可得 ． 【技巧归纳】 1.准确区分增长和下降，对应公式中符号不要写错，增长率用“+”，下降率用“-”； 2.解出方程后一定要进行根的检验：增长率不能为负数，且如果题目没有特殊说明，百分率一般保留一位或两位小数，不符合实际意义的负根要直接舍去； 3.如果题目涉及n次增长，公式拓展为a(1+x)n=b，本质逻辑不变，只是次数调整。 【变式1-1】某小型公司通过优化生产、拓展市场，每月净利润稳步增长．已知该公司第1个月净利润为10万元，第3个月净利润为万元，且这两个月的净利润的月平均增长率相同．求该公司这两个月净利润的月平均增长率． 【答案】 【分析】设该公司这两个月净利润的月平均增长率为x，根据第1个月和第3个月的净利润建立方程求解即可． 【详解】解：设该公司这两个月净利润的月平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：该公司这两个月净利润的月平均增长率为． 【变式1-2】我国2019年并网太阳能发电装机容量约为2.5亿kW，经过两年努力，我国2021年并网太阳能发电装机容量约为3.6亿kW，求我国这两年并网太阳能发电装机容量的年均增长率． 【答案】年均增长率为 【详解】解：设我国这两年并网太阳能发电装机容量的年均增长率为， 根据题意得：， ， ， ，， 增长率不能为负数， 不合题意，舍去， ． ∴年均增长率为． 题型2 销售利润问题 【例1】已知某服装店将进价为120元/件的新款时装以200元/件出售时，每天能卖出20件．经调研发现，每件时装每降价1元，每天可多卖出2件．若每件时装降价x元，每天将盈利1400元，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别表示出降价后的每件利润和销售量，根据“总盈利=每件利润×销售量”即可列出方程． 【详解】解：∵每件进价为120元，原售价为200元，每件降价元， ∴降价后每件的利润为元， ∵原每天售出20件，每降价1元每天多售出2件，降价元后每天多售出件， ∴降价后每天的销售量为件， ∵每天总盈利为1400元， ∴可列方程为． 【例2】某商店将进货价格为20元的商品按单价36元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨了x元时，获得的利润为1200元，请根据题意列出方程________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意可知，销售量为个，每个商品的利润为元，再根据总利润等于每个商品的利润乘以销售量可列出方程． 【详解】解：由题意得， 故答案为：． 【技巧归纳】 1.涨价时，单件利润增加，但总销量会下降；降价时，单件利润减少，但总销量会上升，要根据题目描述准确列出两者变化后的表达式； 2.设未知数可以选择设涨价/降价的金额为(x)，直接对应销量的变化，比设定价为未知数计算更简便； 如果题目要求“尽量减少库存”或者“优惠顾客”，在得到两个正根的时候，要选择降价更多（或涨价更少）的那个根，符合题目的实际要求 【变式1-1】某社区超市销售一款薯片，每袋进价5元．当每袋售价为15元时，平均每天能卖出20袋．超市计划降价促销以增加销量，调研发现：每袋价格每降低2元，每天销量会增加8袋． (1)若超市想让利给消费者，且每天销售该薯片的利润达到200元时，每袋薯片应降价多少元？ (2)该超市每天能否通过降低价格实现300元的利润？若能，求出每袋的降价金额；若不能，请说明理由． 【答案】(1)每袋薯片降价5元 (2)不能实现300元的利润．理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程在实际生活中的应用，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设降价为元，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设降价为元，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设降价为元，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 又∵让利给消费者， ， 答：每袋薯片降价5元； （2）解：不能． 设降价为元，根据题意得： ， 整理得：， ， ∴方程无实数解， ∴不能实现300元的利润． A． 【变式1-2】永和红枣作为山西省永和县特产，其种植历史可追溯至唐代，以核小、皮薄、肉厚、无虫蛀、无公害为显著特点．某电商选择了销售永和特产红枣，其进价为每箱40元．按每箱60元出售，平均每天可售出120箱．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20箱．若该电商销售这种红枣，要想平均每天获利2520元． (1)每箱红枣应定价多少元？ (2)在平均每天获利不变的情况下为尽可能让利于顾客赢得市场，应按原售价的几折出售？ 【答案】(1)每箱红枣应定价54元或58元 (2)应按原售价的九折出售 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程． （1）设每箱红枣降价x元，利用销售量×每件利润元列出方程求解即可； （2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折． 【详解】（1）解：设每箱红枣应降价x元， 根据题意，得， 解得，， ∴，， 答：每箱红枣应定价54元或58元； （2）解：由（1）可知每箱红枣可降价2元或6元， ∵要尽可能让利于顾客， ∴每箱红枣应降价6元， 此时，售价为：（元）， ， 答：该店应按原售价的九折出售． 题型3 图形面积问题 【例1】一个美丽的乡村计划新建一个现代化的猪舍，以改善农场的养殖条件．农场主希望这个猪舍是一个矩形，且面积为25平方米，其中一边将利用现有的围墙（墙长为8米），这样可以节省材料成本．为了建造这个猪舍，农场主购买了长为15米的木板来围住其余的三边．现在，农场主要计算猪舍的边的长度，以便他能够合理地利用这些木板，并确保猪舍的面积符合要求．请你帮他算一算吧． 【答案】的长是5米． 【分析】设的长为米，则，根据面积列方程求解． 【详解】解：设的长为米，， 根据题意得， 整理得，， 解得， ∴的长是5米． 【例2】实施乡村振兴战略是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他设计的矩形蔬菜仓库如图所示，仓库的一边靠墙，这堵墙的最大可利用长度为米，且要在边上开一扇宽为米的门，可用材料为米长的木板材料（全部使用完，门和靠墙的一边均不用木板材料），请问可以围成一个面积为平方米的矩形仓库吗？若可以，请计算出的长；若不可以，请说明理由． 【答案】可以，米 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决几何问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程求解．设,表示出的长度，然后利用面积列出方程求解即可． 【详解】解：可以，理由如下： 设米，则米，根据题意得 ∴， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴，即米． 【技巧归纳】 利用平移法处理小路/隔断问题：将不规则的剩余图形，通过平移拼接成一个新的矩形，新矩形的长和宽都可以用原长、原宽减去路宽（或隔断宽度）的形式表示，再结合面积公式列方程，避免分段计算的错误； 做无盖盒子的问题：截去的四个角都是边长为x的正方形，因此盒子的高就是x，盒子底面的长和宽要分别减去2x（左右/上下各截去一个边长为x的正方形），再结合底面积列方程即可； 利用围墙围图形的问题：围墙不需要围篱笆，因此篱笆只需要围三边，设平行于围墙的边长为(x)，则垂直于围墙的边长为，再结合面积公式列方程；解出结果后要验证边长是否小于等于围墙的长度，不符合实际的根要舍去 【变式1-1】如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种草坪，要使草坪的面积为．设道路的宽为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的性质可得草坪正好是一个长方形，其长为，宽为，据此列出方程即可． 【详解】解：由平移的性质可知，草坪正好是一个长方形，其长为，宽为， 则可列方程为． 【变式1-2】如图，为助力乡村振兴，某村规划建设“小微特色果蔬种植园”，计划将一块长20，宽15的矩形荒地改造为种植区，同时在四周保留等宽的田间步道．若改造后种植区的面积为，设步道的宽度为，则可列方程___________． 【答案】 【详解】解：改造后种植区的长为，宽为， 根据改造后种植区的面积为，可列方程． 题型4 动点问题 【例1】如图，在中，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动移动方向如图所示，点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（     ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设出动点P，Q运动t秒，能使四边形的面积为，用t分别表示出和的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【详解】解：根据题意，当运动时间为t秒时，，， 则 ∵四边形的面积为 ∴ 依题意得：， 即， 整理得：， 解得：， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 则当四边形的面积为时，点P运动的时间是2秒． 故选：A 【例2】如图，在中，，的长为，的长为，点从点开始，沿边向点以的速度移动，点从点开始，沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，______秒后的面积等于． 【答案】2或4 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；设t秒后的面积等于，由题意得：，则有，然后可得方程，进而求解即可． 【详解】解：设t秒后的面积等于，由题意得：，则有， ∴， 解得：， ∴当点P运动2或4秒后，的面积等于． 故答案为:2或4． 【技巧归纳】 1.设运动时间为t，用t表示出每个动点移动的路程（路程=速度×时间），再结合原图形边长，表示出所求图形的底、高或者直角三角形的两条直角边； 2.面积类问题根据面积公式列方程，距离问题结合勾股定理列方程； 3.一定要确定t的取值范围：点移动到端点就会停止运动，因此要根据边长和速度计算出最大运动时间，超出范围的根要舍去。 【变式1-1】如图，在矩形中，．点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动．点同时出发，当两点中有一个点运动到终点时，两点均停止运动．则几秒后，可使的面积为矩形面积的？ 【答案】2秒 【分析】本题考查一元二次方程的应用．设t秒后，可使的面积为矩形面积的，可得到关于t的方程，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， 由题意知：，，其中， ∴， ∴， 解得：， 答：2秒后，可使的面积为矩形面积的 【变式1-2】如图，中，，，，动点从点开始沿边向以2mm/s的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以4mm/s的速度移动（不与点重合），如果、分别从、同时出发，问四边形的面积能否等于，若能，求出运动时间；若不能，说明理由． 【答案】不能，理由见详解 【分析】本题主要考查了利用一元二次方程解决实际问题，解题的关键是根据题意找准等量关系并判断自变量的取值范围． 根据题目要求假设出时间来，根据面积的间接求法列出等量关系，求解并进行判断取值即可． 【详解】解：不能，理由如下： 假设运动时间为，根据题意得， 即 整理得， 解得，或 ，，所以自变量的取值范围为， 当时，不符合题意； ∴不存在这样的点， ∴四边形的面积不能等于． 题型5 相互传染/握手/循环问题 【例1】冬春季是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，流感病毒是我国急性呼吸道传染病主要病原体．某班级最初有人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有人患流感，若设每轮传染中平均一人传染了人，则根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据每轮传染中所有病人均参与传染，两轮后总人数为初始人数乘以，即可作答． 【详解】解：∵最初有人患流感， ∴第一轮传染后，患病人数为， ∴第二轮传染后，患病人数为 ∵两轮传染后该班级共有32人患流感， ∴可列方程为． 【例2】我校组织“求实杯”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个班之间都赛一场），共比了场，设共有个班参加比赛，根据题意，下列方程正确的为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单循环赛制的特点，推导总比赛场数的表达式，结合已知总场数列出方程，判断正确选项． 【详解】解：∵共有个班参加比赛，单循环赛制中每个班需要和除自身外的个班各赛一场， 又∵两个班之间只赛一场，上述计算中每场比赛被重复计算了一次， ∴总比赛场数为， ∵总比赛场数为21， ∴列方程得． 【技巧归纳】 1.注意区分单循环和双循环，不要把公式记混，核心逻辑是每两个人之间的互动会被计算几次，理解逻辑后不用死记公式； 2.结果一定是正整数，不符合要求的根直接舍去。 【变式1-1】冬季是流感等呼吸道传染病高发的季节，某班级最初有1人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有16人患流感，若设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为__________． 【答案】或 【分析】根据传染模型，每轮传染中所有病人均参与传染，两轮后总人数为初始人数乘以的平方，即可作答． 【详解】解：∵初始患流感人数为1， ∴第一轮传染后，患流感人数为 ∴第二轮传染时，有人，每人传染x人， ∴ 新传染人数为， ∴第二轮后总患病人数为， 又∵ 两轮后共有16人患流感， ∴. 【变式1-2】近期，全国多地出现因感染甲型流感病毒导致的学生病例增多情况，甲流是指甲型流感病毒引起的急性呼吸道感染．某小区有一居民不小心感染了该病毒，经过两轮传播后，共有25人感染． (1)在这两轮感染过程中，平均一人传染多少人？ (2)按照这样的传染速度，经过三轮传播后，共有多少人会被感染？ 【答案】(1)每轮感染中平均一人传染4人 (2)三轮后共有125人被感染 【分析】（1）设每轮平均传染给人，刚开始1人，第一轮传染给人，第二轮传染给人，根据经过两轮传播后，共有25人感染，列出方程，解方程即可； （2）根据题意列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：设每轮平均传染给人，刚开始1人，第一轮传染给人，第二轮传染给人，根据题意得： ， 解得，（舍去）， 答：每轮感染中平均一人传染4人． （2）解：人 答：三轮后共有125人被感染． 【变式1-3】2025年，我国各地“城超”（城市足球超级联赛）热闹非凡，人气火爆．某省“城超”联赛小组赛赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），若小组赛一共进行了156场比赛，则共有多少个球队参加比赛？ 【答案】13个 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． 设共有x个球队参加比赛，则可得方程，再解方程即可． 【详解】解：设共有x个球队参加比赛． ．    整理得：． 解得： （不合题意，舍去）     答：共有13个球队参加比赛． 题型6数字问题 【例1】已知两个连续偶数的积为168，若设其中较大的一个偶数为x，则可得方程为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据连续偶数的差值为2，由给出的较大数表示出较小偶数，再根据两数乘积为168即可列出方程． 【详解】解：∵较大的偶数为，则较小的连续偶数为， ∴根据题意，可得方程． 【例2】若两个相邻偶数的积为528，设较小的一个偶数为，则可以列方程：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设较小的一个偶数为x，则相邻的较大偶数为，再根据两数积为528直接列出方程即可求解． 【详解】解：设较小的一个偶数为x，则另一个偶数为， 因此方程为． 故答案为：． 【技巧归纳】 1.设未知数时，不要直接设整个数为(x)，要设数位上的数字为未知数：比如两位数，设个位数字为a，十位数字为b，那么这个两位数应该表示为10b+a，不要错写成ba； 2.两个连续整数：设较小的为x，较大的为x+1；两个连续偶数（奇数）：设较小的为x，较大的为x+2，根据两数乘积列方程即可； 3.解出结果后检验，数位上的数字一定是0-9的整数，十位数字不能为0，不符合要求的根舍去。 【变式1-1】若两个连续奇数的积为，则这两个数的和为多少? 【答案】或 【分析】此题考查了一元二次方程的应用；要注意题目中给出的等量条件，列出方程细心求解即可．关键是用代数式表示两个连续奇数的方法，两个连续奇数的差为，故设较小的奇数为，那么另外一个奇数为 ，根据题意列出方程，利用求根公式求出的值，即可解答． 【详解】解：设较小的奇数为x，那么另外一个奇数为 x+2， 则， 即：， 在方程中，， 根据求根公式， 解得：， 当时，较大的奇数为，两数之和为； 当时，较大的奇数为，两数之和为； 综上，这两个数的和为或． 答：这两个连续奇数的和为或． 【变式1-2】已知一个数的平方与10的差等于这个数与10的和，求这个数． 【答案】这个数为或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，根据“一个数的平方与的差等于这个数与的和”列方程求解．找到相等关系是解题的关键． 【详解】解：设这个数为x，则： ， 整理得， 因式分解得：， ∴，， 解得：，． 则这个数为或． 题型7 行程问题 【例1】2026年4月，北京举办了全球首场大规模人形机器人半程马拉松赛事．机器人“闪电”完成比赛，最终用时50分26秒，打破了人类男子半程马拉松世界纪录．已知机器人初始速度为，经过两次速度调整后，速度提升至．设这两次调整中，速度的平均增长率为．根据题意列出方程，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平均增长率的增长规律求出第二次调整后的速度，根据调整后最终速度为即可列出正确方程． 【详解】解：∵初始速度为，两次调整的平均增长率为， ∴第一次调整后速度为， 第二次调整是在第一次调整后的速度基础上再次增长， 因此第二次调整后速度为， 又∵调整后最终速度为， ∴可列方程． 【例2】新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪．已知滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间的关系是．若某滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是176m，他需要______s能到达终点． 【答案】 8 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；根据滑行距离与时间的关系式，将已知距离代入方程，解一元二次方程求时间． 【详解】解：由题意，滑行距离S与时间t的关系为． 当时，有． 整理得． 为方便计算，方程两边同乘2，得． ． 因为， 所以． 解得，． 由于时间不能为负数，故． 故答案为8． 【技巧归纳】 先利用路程=速度×时间梳理已知量，合理设速度或时间为未知数。 根据相遇、追及、变速等条件找出等量关系列出方程。 求出方程的根后，舍去速度、时间为负的不合理解，最后完整作答。 【变式1-1】一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动用了多少秒（结果保留根号）？ （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少； (2)小球滚动到用了秒． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间； （2）利用等量关系：速度×时间＝路程，时间为，根据题意列出方程：求解即可． 【详解】（1）解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间， 即， 故小球的滚动速度平均每秒减少； （2）解：设小球滚动到用了， 即， 解得（舍），． 答：小球滚动到用了秒． 【变式1-2】一敌方军舰以20海里/时的速度由西向东航行，我方侦察船以30海里/时的速度由北向南航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标．如图所示，当该敌方军舰航行至处时，我方侦察船正位于处正北方向的处，且海里．若敌方军舰和我方侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中我方侦察船最早何时能侦察到敌方军舰？ 【答案】最早再过2小时能侦察到． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能找出军舰和侦察船的距离关系，利用勾股定理正确列出一元二次方程． 设侦察船由B出发到侦察到这艘军舰经过的时间是x小时，由题中信息可以知道军舰和侦察船的行驶方向互相垂直，所以军船和侦察船的距离和时间的关系式是：时侦察船可侦察到这艘军舰，解即可求时间x． 【详解】解：能．设侦察船最早由B出发经过x小时侦察到军舰， 则， 得：， 整理得， 即， ∴， ∴， 即当经过2小时至小时时，侦察船能侦察到这艘军舰． ∴最早再过2小时能侦察到． 题型8 图表信息题 【例1】某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这居民这个月只需缴30元电费；如果超过a度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按元缴费． (1)若该厂某户居民2月份用电度，超过了规定的a度，则超过的部分应缴电费多少元（用a表示）； (2)如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况： 月份 用电量（度） 缴电费总数（元） 3 120 62 4 65 30 请根据如表数据，求出电厂规定的a的值． 【答案】(1)元 (2) 【分析】此题考查了一元二次方程的应用． （1）由题意列出代数式即可得出结论； （2）由3月份的用电量、缴电费总数，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，超过a度的电费为元； （2）由表格可知3月份的用电量超过a度，故：， 整理得：， 解得：， ∵4月份用电量度，交费元， ∴， ∴不符合题意，舍去， ∴， 答：电厂规定的a的值为． 【例2】某风景区的旅游信息如下表： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费800元 超过30人 每增加1人，人均收费降低10元，但人均收费不低于550元． (1)一个25人的老年团去该风景区旅游共需支付_____元； (2)某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付旅行费用29250元．请求出参加这次旅游的人数． 【答案】(1)20000 (2)45人 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用（分段收费问题），解题的关键是根据人数范围确定收费标准，列方程并检验解的合理性． （1）判断25人在“不超过30人”的收费范围，用“人数人均收费”计算费用； （2）先判断人数超过30人，根据“人数×（原人均收费降低的费用）总费用”列方程，求解后检验人均收费是否符合“不低于550元”的条件，确定最终人数． 【详解】（1）解：由题意得（元） 应该支付20000元． 故答案为：20000 （2）设参加这次旅游的人数是人， （元），， ． 根据题意得：． 解得：，， 当时，人均旅游费用为，符合题意， 当时，人均旅游费用为，不符合题意，舍去． 答：参加这次旅游的有45人． 【技巧归纳】 先读懂图表里数字、变化规律，提取关键已知条件。 找准变量间等量关系，设未知数列一元二次方程。 算出结果结合图表实际意义检验，舍去不合理数值再作答。 【变式1-1】疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）． (1)补全下列表格： 检测人数（人） 人均检测时间（秒） (2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？ 【答案】(1)40，，29，26 (2)他今日检测总人数为人 【分析】（1）设检测人数为y，人均检测时间为t（秒），由题意可得出y、t与x之间的函数关系式，即可补全表格； （2）根据人均检测时间×检测人数＝总检测时间，可得关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设检测人数为，人均检测时间为秒， 由题意得：、， 补全表格如下： 检测人数人 人均检测时间秒 （2）解：由题意得，， 解得，， 当时，检测总人数为人， 每位大白的检测人数不超过人， 不符合题意，舍去， 当时，检测总人数为人， 答：他今日检测总人数为人． 【点睛】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据条件建立函数关系是解决本题的关键． 【变式1-2】某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 【答案】(1)x（90－x）元 (2)50度 【分析】（1）根据题意可得用电90度超过了规定度数（90－x）度，再由超过部分按每度元交电费，即可求解； （2）根据题意可得2月份用电量超过x度，列出方程，再由3月份用电45度只交电费10元，可得x≥45，即可求解． 【详解】（1）解：∵规定用电x度， ∴用电90度超过了规定度数（90－x）度， ∵超过部分按每度元交电费， ∴超过部分应交的电费为x（90－x）元． （2）解∶2月份用电量超过x度，依题意得 x（80－x）＝25－10． 整理得x2－80x＋1500＝0． 解这个方程得x1＝30，x2＝50． 根据题意得：3月份用电45度只交电费10元， ∴电厂规定的x≥45， ∴x1＝30不合题意，舍去． ∴x＝50． 答：电厂规定的x度为50度． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 1．春天的校园，一株神奇的植物正悄然生长．这株植物的主干先长出若干支干，每根支干又分出与主干分出的支干数目相同的小分支，若主干、支干和小分支总数是21，若设主干长出x支支干，则根据题意可以列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设主干长出支支干，分别计算主干、支干、小分支的数量，根据三者总数为21列方程即可． 【详解】解：∵主干只有1根，设主干长出支支干， ∴支干的总数量为， ∵每根支干又分出支小分支， ∴小分支的总数量为， ∵主干、支干和小分支总数是21， ∴可列方程为． 2．某企业年芯片销售总额为亿元，经过两年技术革新，该企业年芯片销售总额达到亿元，那么该企业这两年芯片销售总额的年平均增长率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设该企业这两年芯片销售总额的年平均增长率为， 根据题意列方程得：， 解得，（舍去）， 因此年平均增长率为． 3．如图，某小区有一块矩形场地，，，计划在其中修建两块相同的矩形花坛，这两块花坛的面积之和为，两块花坛之间及周边留有宽度相同的人行通道．若设人行通道的宽为，则可以列出关于的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将两个矩形花坛看作整体，利用面积构造方程即可． 【详解】解：通过平移可将两个小矩形花坛合并成一个大矩形，其长为，宽为， 根据题意，可列方程：， 整理，得． 4．小明在算一个数的2倍时，误算成了这个数的平方，他发现两个结果的和为8，则这个数为（    ） A．2 B．2或4 C．2或 D．或4 【答案】C 【详解】解：设这个数为， ∵根据题意，这个数的平方与这个数的2倍的和为8， ∴， 整理得，， 因式分解得，， 解得，或， 故选：C． 5．某文创店销售一种纪念徽章，原定价销售每枚徽章盈利12元，平均每天可售出80枚．市场调研发现：若每枚徽章降价1元，则平均每天可多售出10枚．为了尽快减少库存，店主决定降价促销．销售一段时间后发现，平均日盈利为910元．假设每天售出徽章的数量相同，设每件商品降价x元，依题意可列方程（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际利润问题，解题核心是利用“总盈利等于每枚徽章盈利乘以销售量”的关系，根据降价情况分别表示出降价后的每枚盈利和销售量，即可列出方程． 【详解】解：∵设每件商品降价元， ∴降价后每枚徽章的盈利为元， ∵每降价元平均每天可多售出枚， ∴降价元后，每天的销售量为枚， 又∵平均日盈利为元， ∴可列方程为． 6．如图，在中，，，，点P从点A开始，沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始，沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q同时出发，当一个点到达目的地时，所有运动停止．若四边形的面积为，则点P运动的时间是（　　） A．3 B．3或5 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题关键． 设点P运动的时间为，则，，根据题意易得，，根据可得关于的一元二次方程并求解，然后确定的取值范围，即可获得答案． 【详解】解：设点P运动的时间为， 则，， ∵，，， ∴， ， ∵四边形的面积为， ∴， 即，整理可得， 解得， 又∵点P，Q同时出发，点P从点A出发运动到点B用时，点Q从点B运动到点C用时，且当一个点到达目的地时，所有运动停止， ∴， ∴点P运动的时间是． 故选：A． 7．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（    ） A．36 B．26 C．24 D．10 【答案】C 【分析】设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t值，将其值代入中即可求出结论． 【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∴． 故乙走的步数是． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8．根据下表提供的信息，一元二次方程的解大概是（    ） 2 3 4 5 6 5 13 A．0 B．3.5 C．3.8 D．4.5 【答案】D 【分析】根据表格数据，找出代数式从变为时的取值范围即可判断 【详解】时，， 时，， 则的解的范围为， 即一元二次方程的解大概是4.5． 故选D． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的解的近似值，根据表格获得信息是解题的关键． 9．2025年9月13日，重庆城市足球超级联赛（简称“渝超”）正式拉开帷幕．第一轮是分赛区小组积分赛，中心城区赛区在这一赛段一共会举办55场比赛，已知该赛段为单循环赛制，即每支队伍会分别与赛区内其他所有队伍各进行1场比赛，那么中心城区赛区在第一轮的参赛队伍的数量是（     ）支 A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】设中心城区赛区在第一轮的参赛队伍的数量是支，根据单循环赛制可得一共会举办场比赛，据此建立方程，解方程即可． 【详解】解：设中心城区赛区在第一轮的参赛队伍的数量是支， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 所以中心城区赛区在第一轮的参赛队伍的数量是11支． 10．某校组织乒乓球比赛，初赛时参加比赛的每两名选手之间都要进行一场比赛，初赛共进行了55场．若设有x名选手参加比赛，可列方程为_______． 【答案】 【分析】设有名选手参加比赛，每名选手与其他名选手各赛一场，每场比赛涉及两名选手，总比赛场数需除以避免重复计算，结合总场数为即可列出方程． 【详解】解：∵设有名选手参加比赛，初赛共进行了55场 ∴． 11．疫情期间，若有1人染上“新冠”不及时治疗，经过两轮传染后总共有361人染上新冠，平均一个人传染给多少人，设平均一个人传染个人，可列方程为_____． 【答案】 【分析】分别表示出第一轮传染后和第二轮传染后的染病人数，根据两轮传染后的总染病人数列方程． 【详解】解：初始有个感染者，平均一个人传染个人， 则第一轮传染后，染病人数为， 第二轮传染中，这些已感染的每个人又传染个人，因此第二轮新增染病人数为， 则第二轮传染后总染病人数为：， 已知两轮传染后共有人感染， 因此可列方程为． 12．2025年某公司一月份的销售额是100万元，要使三月份的销售额达到144万元，平均每月销售额增长的百分率为_________． 【答案】 【分析】先根据平均增长率的规律列出关于增长率的一元二次方程，舍去不符合实际意义的根，即可得到结果． 【详解】解：设平均每月销售额增长的百分率为， 根据题意得：， 解得：，， 因为增长率不能为负数，所以舍去， 即平均每月销售额增长的百分率为． 13．学校劳动实践课上，同学们计划利用已有的一段长为的围墙，用篱笆搭建一个矩形花圃，如图所示．若要使总长为的篱笆恰好用完，矩形花圃的面积为，则的长为__________． 【答案】 【分析】设的长为，根据篱笆总长为表示出的长，利用矩形面积公式列出一元二次方程，解方程并根据围墙长度限制进行检验即可． 【详解】解：设的长为， ∵四边形是矩形， ∴， ∵篱笆总长为， ∴， 根据题意，得， 解得， 当时，， ∵，即长超过了围墙长度， ∴不符合题意，舍去， 当时，， ∵，符合题意， ∴的长为． 14．一个两位数的个位数字与十位数字之和是9，且个位数字与十位数字的积是20，设这个两位数的个位数字为，则根据题意可列方程为_____． 【答案】（或） 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是找到等量关系． 先利用个位数字与十位数字的和为9，用含的代数式表示出十位数字，再根据两者乘积为20的等量关系列出方程． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为，则十位数字为． 根据“个位数字与十位数字的积是20”，可列方程为， 将其整理为一元二次方程的一般形式为． 故答案为：（或）． 15．某奶茶店销售一款招牌奶茶，每杯成本为5元．当售价为15元/杯时，平均每天能售出300杯．市场调查发现，售价每降价1元，平均每天就能多售出50杯．店主希望扩大销量，提高知名度，且使每天的销售利润仍保持在3000元，则每杯奶茶应降价____________元． 【答案】 【分析】设出每杯奶茶的降价金额，结合已知条件表示出每杯利润和每日销售量，根据总利润每杯利润销售量列方程求解，再根据扩大销量的要求选择符合题意的解即可. 【详解】解：设每杯奶茶应降价元， 由题意得：， 解得，； ∵店主希望扩大销量，降价越多销量越高， ∴舍去，取， 答：每杯奶茶应降价元. 16．数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 【答案】4名 【分析】先设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学，根据题意列出一元二次方程，求出解，舍去不合题意的即可． 【详解】解：设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学， 根据题意，得． 解得，（不合题意，舍去）． 答：每一轮传播中，1名同学传给4名新同学． 17．2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国机器人产业发展的关注．某市机器人产业2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元．求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率； 【答案】 这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为 【分析】设年平均增长率为，根据2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元，列出方程求解，并取符合实际的值即可． 【详解】解：设年平均增长率为， 根据题意得，， 解得 或 （舍去）． 答：这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为． 18．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料． (1)当长度是多少时，矩形花园的面积为； (2)能否围成矩形花园面积为，为什么？ 【答案】(1)当长度是时，矩形花园的面积为 (2)不能，理由如下： 设，则， 依题意得：， 整理得：． ， 该方程无实数根， 不能围成面积为的矩形花园． 【分析】（1）设，则，根据矩形花园的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合围墙最长可利用，即可确定结论； （2）设，则，根据矩形花园的面积为，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，即可得出该方程无实数根，进而可得出不能围成面积为的矩形花园． 【详解】（1）解：设，则， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：当长度是时，矩形花园的面积为． （2）略 19．APEC会议预计于2026年11月在深圳举行，这是中国第三次担任此会议的东道主，为让学生更加了解此次会议，学校想要组织学生手工制作联名产品帆布袋，需要购入原材料帆布袋和染料．已知购入4个帆布袋和2套染料共需104元，6个帆布袋和5套染料共需196元． (1)求帆布袋与染料的单价； (2)制作1个成品帆布袋需要1个帆布袋原材料，1套染料可以制作5个帆布袋，不计其余耗材及人工成本；该成品原定售价30元，平均每周可卖出100个；若单个售价每上涨1元，每周销量减少5个．若文创中心想要每周获利1125元，售价应定为多少元？ 【答案】(1)每个帆布袋单价为 16 元，每套染料单价为 20 元 (2)售价应定为 35 元 【分析】（1）设未知数建立方程组求解帆布袋与染料的单价即可； （2）根据利润公式建立方程求解售价即可． 【详解】（1）解：设每个帆布袋单价为x元，每套染料单价为y元． 根据题意列二元一次方程组， 解得， 答：每个帆布袋单价为16元，每套染料单价为20元； （2）解：每套染料可制作5个帆布袋，单个帆布袋分摊染料成本（元）， 单个成品帆布袋总成本：（元）， 设单个售价上涨m元， 则由题意可列方程， 解得， 此时售价：（元）， 答：售价应定为35元． 20．某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）．乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_____，请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时的值． 【答案】(1)，淇淇的说法正确 (2)10 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）设有x人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （2）结合设有x人报名参赛，有一人比赛了4场后退出比赛，由题意，整理并求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，乐乐列出的方程应该是：， ∴， 整理得， 解得，不为整数， ∴方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场， 故淇淇的说法正确； 故答案为：； （2）解：∵有一人比赛了4场后退出比赛， 由题意得， 解得，（舍去）， ∴x的值为10． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲 一元二次方程的应用 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 增长率/下降率问题 题型2 销售利润问题 题型3 图形面积问题 题型4 动点问题 题型5 相互传染/握手/循环问题 题型6 行程问题 题型7 数字问题 题型8 图表信息题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 增长率 、降低率、利润销售、面积几何、传播 1.能准确识别增长率、销售利润、面积、传播循环、数字、动点等典型应用题，抓住题干关键词判断题型。 2.掌握各类应用题等量关系，熟练列出一元二次方程，规范设未知数、列方程、解方程。 3.会检验方程的解，舍去不符合实际意义的根（负数、超出范围数值等）。 熟记各题型核心公式与等量关系，区分易混淆模型（握手 / 互赠、增长 / 降低）。 学习重点：读懂题目关键信息，根据不同题型找准等量关系式，正确列出一元二次方程。 熟练掌握增长率、销售利润、图形面积、传播握手四大高频题型的解题思路与固定模型。 规范解一元二次方程，结合实际情境检验方程的根，舍去不符合现实意义的解。 掌握应用题完整解题步骤：设未知数→列方程→解方程→检验→作答。 学习难点：复杂文字题提取隐藏等量关系，涨价降价类利润问题中销量与单价的联动变化分析。 区分易混淆题型：握手问题（除以 2）与互赠礼物问题（不除以 2）；平均增长与平均降低公式运用。 几何面积应用题：道路、边框、裁剪类图形，准确表示变化后的长、宽边长。 动点结合勾股定理综合题型，用含未知数的代数式表示线段长度并列方程。 忽略实际限制条件，忘记对方程两个根进行取舍，出现答案不符合生活实际的错误。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 列一元二次方程解应用题的一般步骤 列一元二次方程解应用题的步骤和一元一次方程解应用题的步骤基本一致，可以归纳为审、设、列、解、验、答六个环节，每个环节的核心要求如下： 1. 审：读懂题意，明确已知量和量，梳理题目中的数量关系，找出题目中蕴含的等量关系，这是列方程解应用题的基础和前提。审题时要重点关注题目中的关键词，比如“共”“比…多…”“增长到”“增长率”“面积增加”“利润下降”等，避免因概念误解找错等量关系。 2. 设：设，分为直接设元和间接设元两种方式。直接设元就是题目问什么就设什么为未知数；间接设元是当直接设元难以列出方程或者方程形式比较复杂时，设与所求未知量相关的其他量为未知数，最后再通过计算得到题目要求的量。设未知数时要注意单位书写正确。 3. 列：根据找到的关系，把相关量用含未知数的代数式表示出来，列出一元二次方程，这是解应用题最核心的一步。列方程时要保证方程左右两边的量纲一致，相等关系准确。 4. 解：求解列出的一元二次方程，得到未知数的两个根。可以根据方程的特点选择合适的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。 5. 验：检验方程的根是否符合，一元二次方程通常会有两个实根，并不是所有根都满足实际问题的要求，比如长度、面积不能为负，人数必须是正整数，增长率不能超过100%（部分特殊情况除外）等，不符合实际的根必须舍去。 6. 答：书写最终答案，注意回答题目所问的问题，不要答非所问，同时要带上正确的单位。 即时即练 1．在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请个球队参加比赛，则可列的方程为（     ） A． B． C． D． 2．某文创公司的月收入逐月攀升，今年月份收入万元，经过两个月后，月份收入达到万元，设该文创公司收入的月平均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．春意复苏，某地绿化工程正在如火如荼地进行着．某工程队计划将一块长，宽的矩形场地建设成绿化广场．如图，广场内部修建三条宽度相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的，求小路的宽．设小路的宽为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 4．随着“云花”品牌全球影响力不断提升，一朵朵鲜切花源源不断地走向国际市场．据昆明海关统计，2023年云南省鲜切花出口值达5.7亿元，2025年云南省鲜切花出口值达12.2亿元．如果设这两年出口值的年平均增长率为x，那么根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 5．某零售商购进一批单价为16元的玩具，以每件20元的价格销售时，每月能卖360件；销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格．经试验发现，若每件涨价1元，则销售量就减少30件．为使每月获得1920元的利润，设每件需涨价x元，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 1. 审清题意设未知数，找准等量关系列一元二次方程。 2. 规范解方程，检验根是否符合实际题意舍去不合理解。 3. 最后写出完整答句，回应题目所求问题。 知识点02 常见一元二次方程应用题类型 类型1 增长率（下降率）问题 增长率问题是一元二次方程应用中非常典型的题型，核心公式有两个： 1. 增长模型：若初始量为a，平均增长率为x，增长次数为n，增长后的量为b，则公式为，当（连续两次增长）时，方程形式为。 2. 下降模型：若初始量为(a)，平均下降率为x，下降次数为n，下降后的量为b，则公式为，当（连续两次下降）时，方程形式为。 类型2 传播问题 传播问题的核心是每一轮传播中，每个个体都会传染新的个体，两轮传播后总感染数的计算逻辑是： 初始传染源为1个，每轮每个传染源传染x个个体，第一轮后总感染数为1+x；第二轮中，每个已经感染的个体都会再传染x个新个体，第二轮新增感染数为x(1+x)，所以两轮后总感染数为。如果两轮后总感染数为a，则方程为。 类型3 面积问题 面积问题通常结合图形考查，常见的考查形式有： 1. 不规则图形面积：通过割补法将不规则图形转化为规则图形，利用规则图形的面积公式建立等量关系。常见的场景是在矩形耕地修宽度相同的道路，求剩余耕地面积，此时可以将道路平移到矩形的边缘，剩余耕地拼合为一个新的矩形，新矩形的长和宽分别是原矩形的长和宽减去道路宽度，再结合面积列方程。 2. 围图形问题：利用墙作为一条边，用围栏围另外三边，给出围栏总长度和总面积，求矩形的长和宽。此时要注意墙的长度限制，解出的根不能超过墙的可用长度，否则需要舍去。 3. 面积的增加或减少问题：比如给长方形花坛增加宽度，扩大后的面积，求增加的宽度，利用扩大前后的长、宽和面积关系列方程即可。 类型4 利润（销售）问题 利润问题的核心等量关系是： 总利润 = 单件利润 × 销售量 单件利润 = 售价 - 成本（进价） 常见出题模式：当售价上涨x元时，销售量会减少kx件；当售价下降(x)元时，销售量会增加kx件，给出目标总利润，求定价或者降价（涨价）的金额。 设涨价（降价）为x元，分别表示出调整后的单件利润和调整后的销售量，代入总利润公式即可列出一元二次方程。需要注意实际问题中，售价要符合商家的定价要求，销售量不能为负数，解出根后要根据条件进行检验舍去。 类型5 动点问题 动点问题是一元二次方程应用中稍微有难度的题型，核心是用含未知数的代数式表示出动点运动后线段的长度，再结合几何图形的性质（比如三角形面积、勾股定理等）列出方程。 常见考查形式：在三角形或者矩形中，两个点分别从不同顶点出发，沿着边向某个方向匀速运动，求经过多长时间，三角形的面积为固定值，或者两点之间的距离为固定值。解决这类问题的步骤： 1. 设运动时间为t，根据速度表示出每个动点移动的路程； 2. 结合图形边长，表示出问题中需要的线段长度； 3. 根据面积公式或者勾股定理列出一元二次方程，求解后检验时间是否在动点的运动范围内，超出运动范围的根舍去。 类型6 数字问题 数字问题考查两位数、三位数或者连续数的表示，核心知识点： 1. 两位数的表示：若两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数表示为10b + a，不能直接写成ba。 2. 连续整数：若设中间的连续整数为n，则三个连续整数可以表示为；连续偶数可以表示为（n为偶数），连续奇数同理。 3. 根据题目给出的数字之间的等量关系（比如两个数字的乘积、两个数字的和、两位数和两个数字乘积的倍数关系等）列出方程，求解后检验数字是否符合要求（比如个位和十位数字都是0-9的整数，十位数字不能为0），舍去不符合的根。 即时即练 1．经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有169人患上流感．按这样的传染速度，若4人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有多少人？ 2．某学校校园文化节期间，委托文具店定制一批校园纪念笔记本．文具店4月15日定制出2000本，16日、17日定制量持续增加，到4月17日当天的定制量达到3380本，若16日、17日这两日定制量的日平均增长率相同，求这两日定制量的日平均增长率． 3．某公园有一块长是宽的两倍的长方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原长方形的空地长的一边减少了2m，短的一边减少了1m，剩余空地的面积为，求原长方形空地的周长． 4．有一个两位数，其个位和十位上的数字之和为7．将该数的十位数字与个位数字调换，所得到的新的两位数与原来的两位数的积为1300．求原来的两位数． 5．某种生活用品平均每天销售40件，每件盈利20元，每件每降价1元，每天可多销售10件，如果想每天盈利1350元，每件应降价多少元？ 【方法总结】 1. 增长率问题套基数乘增长式，面积题用图形边长关系列等式。 2. 利润问题依托单件利润乘销量等于总利润建立方程。 3. 传播、循环问题理清数量递推关系，解后舍去不符合实际的根。 题型1 增长率/下降率问题 【例1】某制造企业为分析一季度到二季度初的生产经营状况，统计了产值增长数据：今年月份产值为万元，月份产值为万元，设该企业月份至月份产值平均每月的增长率为，根据题意可列方程是（     ） A． B． C． D． 【例2】某书店今年3月份盈利5000元，5月份盈利6000元．设该书店每月盈利的平均增长率为．根据题意，可列方程为_________． 【技巧归纳】 1.准确区分增长和下降，对应公式中符号不要写错，增长率用“+”，下降率用“-”； 2.解出方程后一定要进行根的检验：增长率不能为负数，且如果题目没有特殊说明，百分率一般保留一位或两位小数，不符合实际意义的负根要直接舍去； 3.如果题目涉及n次增长，公式拓展为a(1+x)n=b，本质逻辑不变，只是次数调整。 【变式1-1】某小型公司通过优化生产、拓展市场，每月净利润稳步增长．已知该公司第1个月净利润为10万元，第3个月净利润为万元，且这两个月的净利润的月平均增长率相同．求该公司这两个月净利润的月平均增长率． 【变式1-2】我国2019年并网太阳能发电装机容量约为2.5亿kW，经过两年努力，我国2021年并网太阳能发电装机容量约为3.6亿kW，求我国这两年并网太阳能发电装机容量的年均增长率． 题型2 销售利润问题 【例1】已知某服装店将进价为120元/件的新款时装以200元/件出售时，每天能卖出20件．经调研发现，每件时装每降价1元，每天可多卖出2件．若每件时装降价x元，每天将盈利1400元，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【例2】某商店将进货价格为20元的商品按单价36元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨了x元时，获得的利润为1200元，请根据题意列出方程________． 【技巧归纳】 1.涨价时，单件利润增加，但总销量会下降；降价时，单件利润减少，但总销量会上升，要根据题目描述准确列出两者变化后的表达式； 2.设未知数可以选择设涨价/降价的金额为(x)，直接对应销量的变化，比设定价为未知数计算更简便； 如果题目要求“尽量减少库存”或者“优惠顾客”，在得到两个正根的时候，要选择降价更多（或涨价更少）的那个根，符合题目的实际要求 【变式1-1】某社区超市销售一款薯片，每袋进价5元．当每袋售价为15元时，平均每天能卖出20袋．超市计划降价促销以增加销量，调研发现：每袋价格每降低2元，每天销量会增加8袋． (1)若超市想让利给消费者，且每天销售该薯片的利润达到200元时，每袋薯片应降价多少元？ (2)该超市每天能否通过降低价格实现300元的利润？若能，求出每袋的降价金额；若不能，请说明理由． 【变式1-2】永和红枣作为山西省永和县特产，其种植历史可追溯至唐代，以核小、皮薄、肉厚、无虫蛀、无公害为显著特点．某电商选择了销售永和特产红枣，其进价为每箱40元．按每箱60元出售，平均每天可售出120箱．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20箱．若该电商销售这种红枣，要想平均每天获利2520元． (1)每箱红枣应定价多少元？ (2)在平均每天获利不变的情况下为尽可能让利于顾客赢得市场，应按原售价的几折出售？ 题型3 图形面积问题 【例1】一个美丽的乡村计划新建一个现代化的猪舍，以改善农场的养殖条件．农场主希望这个猪舍是一个矩形，且面积为25平方米，其中一边将利用现有的围墙（墙长为8米），这样可以节省材料成本．为了建造这个猪舍，农场主购买了长为15米的木板来围住其余的三边．现在，农场主要计算猪舍的边的长度，以便他能够合理地利用这些木板，并确保猪舍的面积符合要求．请你帮他算一算吧． 【例2】实施乡村振兴战略是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他设计的矩形蔬菜仓库如图所示，仓库的一边靠墙，这堵墙的最大可利用长度为米，且要在边上开一扇宽为米的门，可用材料为米长的木板材料（全部使用完，门和靠墙的一边均不用木板材料），请问可以围成一个面积为平方米的矩形仓库吗？若可以，请计算出的长；若不可以，请说明理由． 【技巧归纳】 利用平移法处理小路/隔断问题：将不规则的剩余图形，通过平移拼接成一个新的矩形，新矩形的长和宽都可以用原长、原宽减去路宽（或隔断宽度）的形式表示，再结合面积公式列方程，避免分段计算的错误； 做无盖盒子的问题：截去的四个角都是边长为x的正方形，因此盒子的高就是x，盒子底面的长和宽要分别减去2x（左右/上下各截去一个边长为x的正方形），再结合底面积列方程即可； 利用围墙围图形的问题：围墙不需要围篱笆，因此篱笆只需要围三边，设平行于围墙的边长为(x)，则垂直于围墙的边长为，再结合面积公式列方程；解出结果后要验证边长是否小于等于围墙的长度，不符合实际的根要舍去 【变式1-1】如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种草坪，要使草坪的面积为．设道路的宽为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，为助力乡村振兴，某村规划建设“小微特色果蔬种植园”，计划将一块长20，宽15的矩形荒地改造为种植区，同时在四周保留等宽的田间步道．若改造后种植区的面积为，设步道的宽度为，则可列方程___________． 题型4 动点问题 【例1】如图，在中，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动移动方向如图所示，点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（     ） A． B． C．或 D． 【例2】如图，在中，，的长为，的长为，点从点开始，沿边向点以的速度移动，点从点开始，沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，______秒后的面积等于． 【技巧归纳】 1.设运动时间为t，用t表示出每个动点移动的路程（路程=速度×时间），再结合原图形边长，表示出所求图形的底、高或者直角三角形的两条直角边； 2.面积类问题根据面积公式列方程，距离问题结合勾股定理列方程； 3.一定要确定t的取值范围：点移动到端点就会停止运动，因此要根据边长和速度计算出最大运动时间，超出范围的根要舍去。 【变式1-1】如图，在矩形中，．点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动．点同时出发，当两点中有一个点运动到终点时，两点均停止运动．则几秒后，可使的面积为矩形面积的？ 【变式1-2】如图，中，，，，动点从点开始沿边向以2mm/s的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以4mm/s的速度移动（不与点重合），如果、分别从、同时出发，问四边形的面积能否等于，若能，求出运动时间；若不能，说明理由． 题型5 相互传染/握手/循环问题 【例1】冬春季是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，流感病毒是我国急性呼吸道传染病主要病原体．某班级最初有人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有人患流感，若设每轮传染中平均一人传染了人，则根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【例2】我校组织“求实杯”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个班之间都赛一场），共比了场，设共有个班参加比赛，根据题意，下列方程正确的为（     ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 1.注意区分单循环和双循环，不要把公式记混，核心逻辑是每两个人之间的互动会被计算几次，理解逻辑后不用死记公式； 2.结果一定是正整数，不符合要求的根直接舍去。 【变式1-1】冬季是流感等呼吸道传染病高发的季节，某班级最初有1人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有16人患流感，若设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为__________． 【变式1-2】近期，全国多地出现因感染甲型流感病毒导致的学生病例增多情况，甲流是指甲型流感病毒引起的急性呼吸道感染．某小区有一居民不小心感染了该病毒，经过两轮传播后，共有25人感染． (1)在这两轮感染过程中，平均一人传染多少人？ (2)按照这样的传染速度，经过三轮传播后，共有多少人会被感染？ 【变式1-3】2025年，我国各地“城超”（城市足球超级联赛）热闹非凡，人气火爆．某省“城超”联赛小组赛赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），若小组赛一共进行了156场比赛，则共有多少个球队参加比赛？ 题型6数字问题 【例1】已知两个连续偶数的积为168，若设其中较大的一个偶数为x，则可得方程为（） A． B． C． D． 【例2】若两个相邻偶数的积为528，设较小的一个偶数为，则可以列方程：________． 【技巧归纳】 1.设未知数时，不要直接设整个数为(x)，要设数位上的数字为未知数：比如两位数，设个位数字为a，十位数字为b，那么这个两位数应该表示为10b+a，不要错写成ba； 2.两个连续整数：设较小的为x，较大的为x+1；两个连续偶数（奇数）：设较小的为x，较大的为x+2，根据两数乘积列方程即可； 3.解出结果后检验，数位上的数字一定是0-9的整数，十位数字不能为0，不符合要求的根舍去。 【变式1-1】若两个连续奇数的积为，则这两个数的和为多少? 【变式1-2】已知一个数的平方与10的差等于这个数与10的和，求这个数． 题型7 行程问题 【例1】2026年4月，北京举办了全球首场大规模人形机器人半程马拉松赛事．机器人“闪电”完成比赛，最终用时50分26秒，打破了人类男子半程马拉松世界纪录．已知机器人初始速度为，经过两次速度调整后，速度提升至．设这两次调整中，速度的平均增长率为．根据题意列出方程，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【例2】新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪．已知滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间的关系是．若某滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是176m，他需要______s能到达终点． 【技巧归纳】 先利用路程=速度×时间梳理已知量，合理设速度或时间为未知数。 根据相遇、追及、变速等条件找出等量关系列出方程。 求出方程的根后，舍去速度、时间为负的不合理解，最后完整作答。 【变式1-1】一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动用了多少秒（结果保留根号）？ （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 【变式1-2】一敌方军舰以20海里/时的速度由西向东航行，我方侦察船以30海里/时的速度由北向南航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标．如图所示，当该敌方军舰航行至处时，我方侦察船正位于处正北方向的处，且海里．若敌方军舰和我方侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中我方侦察船最早何时能侦察到敌方军舰？ 题型8 图表信息题 【例1】某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这居民这个月只需缴30元电费；如果超过a度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按元缴费． (1)若该厂某户居民2月份用电度，超过了规定的a度，则超过的部分应缴电费多少元（用a表示）； (2)如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况： 月份 用电量（度） 缴电费总数（元） 3 120 62 4 65 30 请根据如表数据，求出电厂规定的a的值． 【例2】某风景区的旅游信息如下表： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费800元 超过30人 每增加1人，人均收费降低10元，但人均收费不低于550元． (1)一个25人的老年团去该风景区旅游共需支付_____元； (2)某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付旅行费用29250元．请求出参加这次旅游的人数． 【技巧归纳】 先读懂图表里数字、变化规律，提取关键已知条件。 找准变量间等量关系，设未知数列一元二次方程。 算出结果结合图表实际意义检验，舍去不合理数值再作答。 【变式1-1】疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）． (1)补全下列表格： 检测人数（人） 人均检测时间（秒） 【变式1-2】某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 1．春天的校园，一株神奇的植物正悄然生长．这株植物的主干先长出若干支干，每根支干又分出与主干分出的支干数目相同的小分支，若主干、支干和小分支总数是21，若设主干长出x支支干，则根据题意可以列方程为（     ） A． B． C． D． 2．某企业年芯片销售总额为亿元，经过两年技术革新，该企业年芯片销售总额达到亿元，那么该企业这两年芯片销售总额的年平均增长率为（    ） A． B． C． D． 3．如图，某小区有一块矩形场地，，，计划在其中修建两块相同的矩形花坛，这两块花坛的面积之和为，两块花坛之间及周边留有宽度相同的人行通道．若设人行通道的宽为，则可以列出关于的方程是（     ） A． B． C． D． 4．小明在算一个数的2倍时，误算成了这个数的平方，他发现两个结果的和为8，则这个数为（    ） A．2 B．2或4 C．2或 D．或4 5．某文创店销售一种纪念徽章，原定价销售每枚徽章盈利12元，平均每天可售出80枚．市场调研发现：若每枚徽章降价1元，则平均每天可多售出10枚．为了尽快减少库存，店主决定降价促销．销售一段时间后发现，平均日盈利为910元．假设每天售出徽章的数量相同，设每件商品降价x元，依题意可列方程（） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，，点P从点A开始，沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始，沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q同时出发，当一个点到达目的地时，所有运动停止．若四边形的面积为，则点P运动的时间是（　　） A．3 B．3或5 C．4 D．5 7．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（    ） A．36 B．26 C．24 D．10 8．根据下表提供的信息，一元二次方程的解大概是（    ） 2 3 4 5 6 5 13 A．0 B．3.5 C．3.8 D．4.5 9．2025年9月13日，重庆城市足球超级联赛（简称“渝超”）正式拉开帷幕．第一轮是分赛区小组积分赛，中心城区赛区在这一赛段一共会举办55场比赛，已知该赛段为单循环赛制，即每支队伍会分别与赛区内其他所有队伍各进行1场比赛，那么中心城区赛区在第一轮的参赛队伍的数量是（     ）支 A．9 B．10 C．11 D．12 10．某校组织乒乓球比赛，初赛时参加比赛的每两名选手之间都要进行一场比赛，初赛共进行了55场．若设有x名选手参加比赛，可列方程为_______． 11．疫情期间，若有1人染上“新冠”不及时治疗，经过两轮传染后总共有361人染上新冠，平均一个人传染给多少人，设平均一个人传染个人，可列方程为_____． 12．2025年某公司一月份的销售额是100万元，要使三月份的销售额达到144万元，平均每月销售额增长的百分率为_________． 13．学校劳动实践课上，同学们计划利用已有的一段长为的围墙，用篱笆搭建一个矩形花圃，如图所示．若要使总长为的篱笆恰好用完，矩形花圃的面积为，则的长为__________． 14．一个两位数的个位数字与十位数字之和是9，且个位数字与十位数字的积是20，设这个两位数的个位数字为，则根据题意可列方程为_____． 15．某奶茶店销售一款招牌奶茶，每杯成本为5元．当售价为15元/杯时，平均每天能售出300杯．市场调查发现，售价每降价1元，平均每天就能多售出50杯．店主希望扩大销量，提高知名度，且使每天的销售利润仍保持在3000元，则每杯奶茶应降价____________元． 16．数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 17．2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国机器人产业发展的关注．某市机器人产业2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元．求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率； 18．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料． (1)当长度是多少时，矩形花园的面积为； (2)能否围成矩形花园面积为，为什么？ 19．APEC会议预计于2026年11月在深圳举行，这是中国第三次担任此会议的东道主，为让学生更加了解此次会议，学校想要组织学生手工制作联名产品帆布袋，需要购入原材料帆布袋和染料．已知购入4个帆布袋和2套染料共需104元，6个帆布袋和5套染料共需196元． (1)求帆布袋与染料的单价； (2)制作1个成品帆布袋需要1个帆布袋原材料，1套染料可以制作5个帆布袋，不计其余耗材及人工成本；该成品原定售价30元，平均每周可卖出100个；若单个售价每上涨1元，每周销量减少5个．若文创中心想要每周获利1125元，售价应定为多少元？ 20．某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）．乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_____，请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时的值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $