第12讲 二次函数与一元二次方程的关系（暑假预习讲义）新九年级数学新教材湘教版

第11讲 二次函数与一元二次方程的关系 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 利用二次函数图像判断一元二次方程根的情况 题型2 已知一元二次方程根的情况，判断二次函数图像与x轴的位置关系 题型3 求二次函数图像与x轴的交点坐标 题型4 利用二次函数图像求一元二次方程的近似根 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 零点、交点、判别式 Δ、实数根、不等根、等根、无实根、数形结合、韦达定理、一元二次不等式、开口方向、对称轴 1. 理解二次函数与一元二次方程的内在联系，掌握二次函数图像与x轴交点个数和一元二次方程根的个数之间的对应关系。 2. 学会利用二次函数的图像求解一元二次方程的近似根，能通过一元二次方程解决二次函数相关的交点问题。 3. 体会数形结合的数学思想，提升从函数视角理解方程问题的转化能力。 学习重点：根据一元二次方程根的判别式，可对应二次函数图像与x轴的交点情况；利用二次函数图像求解一元二次方程 学习难点：判别式与交点个数的逻辑混淆；含参数问题的分类讨论遗漏；与一元二次不等式的衔接混淆 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 二次函数与一元二次方程的对应关系 1.核心对应逻辑 二次函数的一般形式为，当函数值时，二次函数就转化为一元二次方程，二者的对应关系可以从数和形两个维度理解： 数的角度：一元二次方程的解，就是二次函数的函数值为0时自变量x的取值。 形的角度：一元二次方程的根，就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标。 2.延伸对应关系 除了的情况，任意给定函数值，都对应着一个一元二次方程： 若二次函数为，当时，对应方程为，整理为标准形式，该方程的根就是二次函数图象与直线交点的___________坐标。 即时即练 1．若二次函数的图象经过点，则方程的解为（   ） A． B． C．或 D．或 2．已知抛物线与直线交于点和点，则关于的方程的解是（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．根据下列表格中的对应值： x 1.98 1.99 2.00 2.01 -0.06 -0.05 -0.03 0.01 判断方程（，a，b，c为常数）一个根x的范围是（   ） A． B． C． D． 【方法总结】 二次函数y=ax²+bx+c的函数值为0时，就转化为对应的一元二次方程ax²+bx+c=0。 知识点02 二次函数图象与x轴的位置关系 和一元二次方程根的个数关系 一元二次方程根的个数由根的判别式决定，对应到二次函数图象就是与x轴交点的个数，具体对应关系如下表： 判别式的取值 一元二次方程根的情况 二次函数图象与x轴交点个数 示意图（开口向上） 不相等的实数根 个交点 抛物线穿过x轴，与x轴交于两个不同点 相等的实数根（重根） 个交点（顶点在x轴上） 抛物线顶点落在x轴上，与x轴相切于一点 没有实数根 个交点 抛物线整个图象在x轴上方（a>0）或下方（a<0），与x轴无公共点 注意事项 判别式中a,b,c是一元二次方程标准形式的系数，当问题是求二次函数与直线的交点个数时，需要整理方程得到标准形式后，再用整理后的系数计算判断个数。 当时，二次函数与x轴只有一个交点，这个交点就是抛物线的顶点，横坐标为，纵坐标为0。 即时即练 1．二次函数与两坐标轴交点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知二次函数与轴的一个交点为，则方程的解是（　　） A．， B．， C．， D．， 3．抛物线与轴交于点、两点，则线段长是（   ） A． B． C． D． 4．二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为，则与轴的另一个交点的横坐标是（   ） A． B．1 C．2 D．0 【方法总结】 方程根的个数对应抛物线与 x 轴交点个数，判别式 Δ 可统一判断两者解与交点情况。 方程的根就是抛物线与 x 轴交点的横坐标. 题型1 利用二次函数图像判断一元二次方程根的情况 【例1】已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个不相等的正实数根 D．有两个异号实数根 【例2】二次函数的图象如图所示，若一元二次方程有两个不相等的实数根，的值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【技巧归纳】 二次函数y =的图像与x轴的交点个数和一元二次方程= 0根的个数存在直接对应关系： 1.图像与x轴有2个交点→ 一元二次方程有两个不相等的实数根，此时判别式Δ=b2−4ac>0 2.图像与x轴有1个交点→ 一元二次方程有两个相等的实数根，此时判别式Δ=b2−4ac=0 3.图像与x轴没有交点 → 一元二次方程没有实数根，此时判别式Δ=b2−4ac<0 当问题给出二次函数解析式或图像，要求判断对应一元二次方程根的情况时，直接计算判别式或观察图像与x轴交点个数即可得出结论。 【变式1-1】已知抛物线的图象如图所示，则方程的实数根的情况是（    ） A．方程没有实数根 B．方程的实数根情况不确定 C．方程有两个相等的实数根 D．方程有一正一负两个实数根 【变式1-2】如图是二次函数的图象，与x轴交于点和点，与y轴交于点，顶点坐标为，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________． 【变式1-4】如图是二次函数的部分图象，由图象可知方程的解是______． 题型2 已知一元二次方程根的情况，判断二次函数图像与x轴的位置关系 【例1】已知关于x的一元二次方程没有实数根，则二次函数的图象与x轴的交点个数是______． 【例2】已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则二次函数的图象与x轴的交点坐标为（   ）． A．、 B．、 C．、 D．、 【技巧归纳】 1.若一元二次方程(a≠0)有两个不相等的实数根，则二次函数y = (a≠0)的图像与x轴有两个交点，Δ>0 2.若一元二次方程有两个相等的实数根，则二次函数图像与x轴有一个交点，Δ=0 3.若一元二次方程没有实数根，则二次函数图像与x轴没有交点，Δ<0 【变式1-1】 已知关于x的方程有两个实数根、，且，，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知关于的一元二次方程的一个根是，且二次函数的对称轴是直线，则此方程的另一个根为___________． 题型3 求二次函数图像与x轴的交点坐标 【例1】二次函数的图象与x轴交点的横坐标是（   ） A．， B．， C．， D．， 【例2】已知在平面直角坐标系中，抛物线（k为常数）与x轴的一个交点是，则它与轴的另一个交点的坐标为______． 【技巧归纳】 求二次函数y = (a≠0)与x轴的交点坐标：令y=0，得到一元二次方程=0，解方程得到的x值就是交点的横坐标，交点坐标为(x1,0)、(x2,0)（若有两个交点）。 【变式1-1】如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系式为，则此次实心球训练的成绩为（   ） A．9米 B．8米 C．7米 D．6米 【变式1-2】已知函数与x轴的交点为，则a的值为（    ） A．5 B．2 C． D． 题型4 利用二次函数图像求一元二次方程的近似根 【例1】根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）一个解的范围是（    ） 3.23 3.24 3.25 3.26      -0.06 -0.02 0.03 0.09 A．3 B．3 C．3 D．3 【例2】二次函数部分x和y的值如表：则方程的较大的根范围是（   ） x y 0.61 0.24 A． B． C． D． 【技巧归纳】 估算一元二次方程近似根的步骤为： 1.作出二次函数y=的图像，确定图像与x轴交点在哪两个相邻整数之间； 2.在两个整数之间取x的中间值，计算对应的函数值，根据函数值的符号缩小根的范围； 3.根据题目要求的精度，重复上一步缩小范围，得到近似根。 注意：一元二次方程若有两个根，需要分别估算每个根的近似值。 【变式1-1】如图，抛物线与直线交于，两点，则方程的解为（   ） A． B． C．或3 D．或 【变式1-2】下表给出了二次函数中的部分对应值，估计方程的一个解的取值范围是____________． … 1 … … 3 … 1．二次函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 2．如图，已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．方程的解为， 3．抛物线的对称轴，若关于的一元二次方程在范围内有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A．3 B． C．3 D． 4．如表列出了二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，则一元二次方程的其中一个解的取值范围是（   ） x … 0 1 ... y … 15 3 3 … A． B． C． D． 5．如图为函数的部分图象，则一元二次方程的根为（   ） A． B．， C．， D．， 6．设二次函数，下表列出了与的6对对应值： 0 1 2 3 4 5 13 23 根据表格中的内容，能够判断一元二次方程的一个解的大致范围是（    ） A． B． C． D． 7．根据下列表格对应值：判断关于的方程的一个解的范围是（   ） 3 4 5 0.5 A． B． C． D． 8．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，y与x的部分对应值如下： x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 y -1.59 -1.16 -0.71 -0.24 0.25 0.76 则一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解x满足条件（    ） A．1.2＜x＜1.3 B．1.3＜x＜1.4 C．1.4＜x＜1.5 D．1.5＜x＜1.6 9．若抛物线的对称轴是直线，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 10．已知（m，﹣2）是抛物线y＝x2﹣x﹣3上一点，则代数式m2﹣m+2018的值为（　　） A．2017 B．2018 C．2019 D．2020 11．抛物线的部分图象如图所示，则关于x的方程的解是_________． 12．如图是二次函数的图象，则关于的方程根的情况是______． 13．下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x y 根据此表，可以判断方程的一 个解x 可能的取值范围是________． 14．二次函数的函数值与自变量的四组对应值如下表所示： 6.15 6.18 6.21 6.24 0.02 0.02 0.11 则方程有___________个根（填“0”，“1”或“2”） 15．抛物线图象如图所示，求解一元二次方程．    （1）方程的根为 ___； （2）方程的根为 ___； （3）方程的根为 ___； 16．计算： (1)解方程：． (2)请直接写出函数的图像与轴交点坐标． 17．已知二次函数（为常数）． (1)若点在该函数图象上，则_________； (2)证明：该二次函数的图象与轴有两个不同的公共点． 18．已知函数． (1)求证：不论为何实数，此二次函数的图象与轴都有两个不同的交点； (2)若，求函数与轴的交点坐标． 19．已知二次函数（为常数，）． (1)该函数图象的对称轴是直线________； (2)若，当时，求函数值的取值范围； (3)若，求证：该函数的图象与轴有两个交点． 20．已知抛物线的对称轴为直线． (1)求的值； (2)当时，过点与轴平行的直线交抛物线于，两点，且点为线段的中点，求的值； (3)当时，抛物线与轴没有交点，直接写出的取值范围． 2 / 14 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设另一个交点横坐标为， 由二次函数的对称性得， 解得， ∴方程的解为或， 故选：D． 2．已知抛物线与直线交于点和点，则关于的方程的解是（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与一次函数图象的交点问题，将变形为，则该方程的解即为抛物线与直线交点的横坐标． 【详解】解：∵抛物线与直线交于点和点， ∴当或时，成立， 即方程的解为或， 故选：D 3．根据下列表格中的对应值： x 1.98 1.99 2.00 2.01 -0.06 -0.05 -0.03 0.01 判断方程（，a，b，c为常数）一个根x的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 根据二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的联系即可得． 【详解】解：由表格可知，在内，y随x的增大而增大， 当时，， 当时，， 在内，必有一个x的值对应的函数值， 方程（，为常数）一个根x的范围是， 故选：D． 【方法总结】 二次函数y=ax²+bx+c的函数值为0时，就转化为对应的一元二次方程ax²+bx+c=0。 知识点02 二次函数图象与x轴的位置关系 和一元二次方程根的个数关系 一元二次方程根的个数由根的判别式决定，对应到二次函数图象就是与x轴交点的个数，具体对应关系如下表： 判别式的取值 一元二次方程根的情况 二次函数图象与x轴交点个数 示意图（开口向上） 不相等的实数根 个交点 抛物线穿过x轴，与x轴交于两个不同点 相等的实数根（重根） 个交点（顶点在x轴上） 抛物线顶点落在x轴上，与x轴相切于一点 没有实数根 个交点 抛物线整个图象在x轴上方（a>0）或下方（a<0），与x轴无公共点 注意事项 判别式中a,b,c是一元二次方程标准形式的系数，当问题是求二次函数与直线的交点个数时，需要整理方程得到标准形式后，再用整理后的系数计算判断个数。 当时，二次函数与x轴只有一个交点，这个交点就是抛物线的顶点，横坐标为，纵坐标为0。 即时即练 1．二次函数与两坐标轴交点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，本题需分别求出二次函数与x轴、y轴的交点个数，再求和得到总交点数． 【详解】解：当时，， ∴二次函数与y轴有1个交点 令，则， ∵， ∴该方程有两个相等的实数根，即二次函数与x轴有1个交点 ∴总交点个数为个． 故选：B． 2．已知二次函数与轴的一个交点为，则方程的解是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，先求出抛物线的对称轴，根据对称性求出抛物线与轴的另一个交点，进而求出一元二次方程的解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵二次函数与轴的一个交点为， ∴二次函数与轴的另一个交点为， ∴方程，即的解是，； 故选A． 3．抛物线与轴交于点、两点，则线段长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点坐标，解题的关键在于熟知抛物线与轴的交点坐标的纵坐标为．先求出抛物线与轴的交点坐标，然后计算两点间的距离即可． 【详解】解：抛物线与轴交于点、两点， 令，即， ，解得，， 抛物线与轴的两个交点坐标为，， ． 故选：D． 4．二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为，则与轴的另一个交点的横坐标是（   ） A． B．1 C．2 D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；通过求二次函数的对称轴，利用抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称的性质求解即可． 【详解】解：由二次函数可知：对称轴为直线， ∵图象与轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点的横坐标为， 设另一个交点的横坐标为， 则， 即， ∴， 故另一个交点的横坐标为； 故选D． 【方法总结】 方程根的个数对应抛物线与 x 轴交点个数，判别式 Δ 可统一判断两者解与交点情况。 方程的根就是抛物线与 x 轴交点的横坐标. 题型1 利用二次函数图像判断一元二次方程根的情况 【例1】已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个不相等的正实数根 D．有两个异号实数根 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的解的关系． 直接根据函数图象作答即可． 【详解】解：∵的图象与只有一个交点，且方程即的根就是抛物线的图象与的交点的横坐标， ∴关于x的方程有两个相等实数根． 故选：B． 【例2】二次函数的图象如图所示，若一元二次方程有两个不相等的实数根，的值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程与二次函数，数形结合是解题的关键． 一元二次方程有两个不相等的实数根，即有两个不相等的实数根，则函数与函数有两个不同的交点，结合图象求解即可． 【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数根， 即有两个不相等的实数根，则函数与函数有两个不同的交点， ， 选项中只有2符合要求． 故选：A． 【技巧归纳】 二次函数y =的图像与x轴的交点个数和一元二次方程= 0根的个数存在直接对应关系： 1.图像与x轴有2个交点→ 一元二次方程有两个不相等的实数根，此时判别式Δ=b2−4ac>0 2.图像与x轴有1个交点→ 一元二次方程有两个相等的实数根，此时判别式Δ=b2−4ac=0 3.图像与x轴没有交点 → 一元二次方程没有实数根，此时判别式Δ=b2−4ac<0 当问题给出二次函数解析式或图像，要求判断对应一元二次方程根的情况时，直接计算判别式或观察图像与x轴交点个数即可得出结论。 【变式1-1】已知抛物线的图象如图所示，则方程的实数根的情况是（    ） A．方程没有实数根 B．方程的实数根情况不确定 C．方程有两个相等的实数根 D．方程有一正一负两个实数根 【答案】D 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，由图象可知，抛物线与轴有两个交点，即可得方程有两个不相等的实数根，且一正一负． 【详解】解：由图可得：抛物线与轴有两个交点，一个在负半轴，一个在正半轴， ∴方程有一正一负两个实数根． 故选：D． 【变式1-2】如图是二次函数的图象，与x轴交于点和点，与y轴交于点，顶点坐标为，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程,掌握知识点是解题的关键。 根据抛物线与轴的交点的横坐标即为对应的一元二次方程的解，进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数的部分图象与x轴的交点坐标为和点， ∴关于x的方程的解为； 故选B． 【变式1-3】二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________． 【答案】 【分析】先求出抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线与x轴交点的横坐标即为方程的解求解即可． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，该抛物线与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴由图像可知，方程的解是． 【变式1-4】如图是二次函数的部分图象，由图象可知方程的解是______． 【答案】， 【分析】根据抛物线的对称轴的定义、抛物线的图象来求该抛物线与x轴的两交点的横坐标，即可求得对应方程的根． 【详解】解：由图象可知二次函数的对称轴， ∵与x轴的一个交点横坐标是， ∴设与x轴的另外一个交点横坐标是， ∴对称轴， 解得：， ∴方程的解是：，． 题型2 已知一元二次方程根的情况，判断二次函数图像与x轴的位置关系 【例1】已知关于x的一元二次方程没有实数根，则二次函数的图象与x轴的交点个数是______． 【答案】0 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数图象与x轴的交点，一元二次方程的解的情况是解题的关键．根据二次函数图象与x轴的交点，与一元二次方程解的联系即可解答． 【详解】解：关于x的一元二次方程没有实数根， 二次函数的图象与x轴没有交点， 即交点个数是0． 故答案为：0． 【例2】已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则二次函数的图象与x轴的交点坐标为（   ）． A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．先利用根与系数的关系得到，则二次函数可变形为，然后解方程得到二次函数的图象与轴的交点坐标． 【详解】解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为和， ，，即， 二次函数可变形为， 即， 当时，， 解得：，， 二次函数的图象与轴的交点坐标为、． 故选：D． 【技巧归纳】 1.若一元二次方程(a≠0)有两个不相等的实数根，则二次函数y = (a≠0)的图像与x轴有两个交点，Δ>0 2.若一元二次方程有两个相等的实数根，则二次函数图像与x轴有一个交点，Δ=0 3.若一元二次方程没有实数根，则二次函数图像与x轴没有交点，Δ<0 【变式1-1】 已知关于x的方程有两个实数根、，且，，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，二次函数与x轴的交点坐标，设，根据二次函数的图像与x轴的交点分别在直线的两侧时，关于x的方程有两个实数根、，且，，分两种情况：当，即时，当，即时，分别画出图形，进行求解即可． 【详解】解：设， ∴抛物线的对称轴为：， 由题意得，二次函数的图像与x轴的交点分别在直线的两侧时，关于x的方程有两个实数根、，且，， 当时，则， 当，即时，二次函数的图像，如图所示： ∴， 解得：， ∴当时，关于x的方程有两个实数根、，且，； 当，即时，二次函数的图像，如图所示： ∴， 解得：， ∴此时没有符合题意的m值存在； 综上分析可知：当时，关于x的方程有两个实数根、，且，． 故选：C． 【变式1-2】已知关于的一元二次方程的一个根是，且二次函数的对称轴是直线，则此方程的另一个根为___________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，以及抛物线的对称性，明确抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称是解题的关键． 根据抛物线的对称性，可知的图像与x轴的两个交点关于直线对称，两交点的横坐标即为方程的两根，根据对称性建立关系式即可求解． 【详解】解：设方程的另一根为， ∵二次函数的对称轴是直线， ∴，即， 解得，， ∴另一根为， 故答案为：． 题型3 求二次函数图像与x轴的交点坐标 【例1】二次函数的图象与x轴交点的横坐标是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质和解一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，根据二次函数与x轴交点是对应方程的解，即解方程，通过因式分解求解即可得到答案. 【详解】解：∵与x轴交点即， ∴ 解方程， 因式分解得：， ∴或， ∴或， ∴ 交点的横坐标为，. 故选：B. 【例2】已知在平面直角坐标系中，抛物线（k为常数）与x轴的一个交点是，则它与轴的另一个交点的坐标为______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与x轴的一个交点是， ∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为， ∴它与轴的另一个交点的坐标为． 【技巧归纳】 求二次函数y = (a≠0)与x轴的交点坐标：令y=0，得到一元二次方程=0，解方程得到的x值就是交点的横坐标，交点坐标为(x1,0)、(x2,0)（若有两个交点）。 【变式1-1】如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系式为，则此次实心球训练的成绩为（   ） A．9米 B．8米 C．7米 D．6米 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义．此次实心球训练的成绩就是抛物线与轴交点的横坐标，即当时，求的值即可． 【详解】解：当实心球落地时，， 即， 解得，， 因为水平距离不能为负数， 所以舍去， 则此次实心球训练的成绩为米， 故选：． 【变式1-2】已知函数与x轴的交点为，则a的值为（    ） A．5 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征．把代入求得a的值即可． 【详解】解：把代入可得： ， 解得， 故选：B． 题型4 利用二次函数图像求一元二次方程的近似根 【例1】根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）一个解的范围是（    ） 3.23 3.24 3.25 3.26      -0.06 -0.02 0.03 0.09 A．3 B．3 C．3 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，方程的解就是二次函数与x轴交点的横坐标，只需找出函数值由负变正对应的x范围即可． 【详解】令（，，，为常数）， ∵当时，， 当时，， ∴当时，必然取到0， 即方程的一个解的范围是：． 【例2】二次函数部分x和y的值如表：则方程的较大的根范围是（   ） x y 0.61 0.24 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、利用表格确定一元二次方程的近似根等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 先求得对称轴为直线，再根据表格数据得的较小的根的范围为，最后根据二次函数图象的对称性即可解答． 【详解】解：依题意，函数的对称轴为直线， 由表格数据可得： 当时，；当时，， ∴的较小的根的范围为， 设较小根为，较大根为， ∵函数的对称轴为直线， ∴， 当时，； 当时，， ∴的较大的根的范围是． 故选：C． 【技巧归纳】 估算一元二次方程近似根的步骤为： 1.作出二次函数y=的图像，确定图像与x轴交点在哪两个相邻整数之间； 2.在两个整数之间取x的中间值，计算对应的函数值，根据函数值的符号缩小根的范围； 3.根据题目要求的精度，重复上一步缩小范围，得到近似根。 注意：一元二次方程若有两个根，需要分别估算每个根的近似值。 【变式1-1】如图，抛物线与直线交于，两点，则方程的解为（   ） A． B． C．或3 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握二次函数与一次函数的交点是解题的关键．根据抛物线与直线交于，两点，即可得到答案． 【详解】解：抛物线与直线交于，两点， 的解为或3， 故选：C． 【变式1-2】下表给出了二次函数中的部分对应值，估计方程的一个解的取值范围是____________． … 1 … … 3 … 【答案】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，掌握知识点是解题的关键．通过观察表格中函数值的变化，确定方程根所在区间． 【详解】解：方程的解即为函数的零点． 由表格数据可知，当时，；当时，． 由于函数连续，故在与之间必然存在一点使， 因此方程的一个解的取值范围是． 故答案为：． 1．二次函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是掌握二次函数的性质； 一元二次方程的根即为二次函数的图象与轴的交点的横坐标，结合图象即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程的根即为二次函数的图象与轴的交点的横坐标， 结合图象，可知二次函数的图象与轴有两个不同的交点，即方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 2．如图，已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．方程的解为， 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据开口方向和对称轴可判断A、C；根据二次函数与x轴有两个不同的交点可判断B；求出二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标即可判断D． 【详解】解：A、∵函数图象开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故原说法正确，符合题意； B、∵二次函数与x轴有两个不同的交点， ∴， ∴，故原说法错误，不符合题意； C、由A选项可知，故原说法错误，不符合题意； D、∵二次函数的图象经过点，对称轴为直线 ∴二次函数的图象经过点， ∴方程的解为，，故原说法错误，不符合题意； 故选：A． 3．抛物线的对称轴，若关于的一元二次方程在范围内有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A．3 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数图象确定相应方程根的情况．由抛物线对称轴求出b，将方程转化为抛物线与水平线的交点问题，根据在给定区间内有两个不等实根的条件，确定的范围，进而得到t的取值范围，即可作答． 【详解】解：∵抛物线的对称轴， ∴， 即， ∴， ∴抛物线为， 方程可化为， 即函数与在内有两个交点， 当时，， 当时，， 当时，， ∵关于的一元二次方程在范围内有两个不相等的实数根， ∴需满足， 即， 故选：D． 4．如表列出了二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，则一元二次方程的其中一个解的取值范围是（   ） x … 0 1 ... y … 15 3 3 … A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据表格可得对称轴为直线，函数开口向上，则可确定时自变量的取值范围，进而可得答案． 【详解】解：∵当和当时的函数值都是3， ∴对称轴为直线， ∵， ∴当时的函数值大于时的函数值， ∴函数开口向上， ∴在对称轴左侧y随x增大而减小，在对称轴右侧y随x增大而增大， ∵时，，时，， ∴一元二次方程的其中一个解的取值范围是， ∴由对称性可知，一元二次方程的另一个解的取值范围是， 故选：A． 5．如图为函数的部分图象，则一元二次方程的根为（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，运用数形结合思想，关键是利用抛物线的对称性求方程的根，易错点是对对称轴与交点横坐标关系的理解错误；根据抛物线的对称轴和已知交点，利用对称性求出另一个交点横坐标，即可得到方程的根． 【详解】解：观察图像可知抛物线的对称轴为，且抛物线与轴的一个交点为； 根据二次函数图象的对称性，设另一个交点为，则对称轴， 解得； 所以一元二次方程的根为，； 故选：D． 6．设二次函数，下表列出了与的6对对应值： 0 1 2 3 4 5 13 23 根据表格中的内容，能够判断一元二次方程的一个解的大致范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的解的关系，解本题的关键在找出当函数值y为0时，对应的一元二次方程的一个解的取值范围． 根据二次函数图象的连续性，当两个x值对应的函数值异号时，这两个x值之间的区间内存在一元二次方程的解，通过表格数据找出y异号的x区间即可． 【详解】解：∵当时，；当时，； 又∵二次函数的图象是连续的抛物线； ∴在的区间内，存在使得，即一元二次方程的一个解的大致范围是． 故选：B 7．根据下列表格对应值：判断关于的方程的一个解的范围是（   ） 3 4 5 0.5 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程． 利用和所对应的函数值可判断抛物线与x轴的一个交点在和之间，则根据抛物线与x轴的交点问题可判断关于x的方程的一个解x的范围． 【详解】解：∵时，，即； 时，，即， ∴抛物线与x轴的一个交点在和之间， ∴关于x的方程的一个解x的范围是． 故选：D． 8．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，y与x的部分对应值如下： x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 y -1.59 -1.16 -0.71 -0.24 0.25 0.76 则一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解x满足条件（    ） A．1.2＜x＜1.3 B．1.3＜x＜1.4 C．1.4＜x＜1.5 D．1.5＜x＜1.6 【答案】C 【分析】仔细看表，可发现y的值﹣0.24和0.25最接近0，再看对应的x的值即可得． 【详解】解：由表可以看出，当x取1.4与1.5之间的某个数时，y＝0，即这个数是ax2+bx+c＝0的一个根． ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为1.4＜x＜1.5． 故选：C． 【点睛】本题考查了同学们的估算能力，对题目的正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的． 9．若抛物线的对称轴是直线，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用对称轴公式求出b的值，然后解方程. 【详解】解：由题意： 解得：b=-4 ∴ 解得：， 故选：C 【点睛】本题考查抛物线对称轴公式及解一元二次方程，熟记公式正确计算是本题的解题关键. 10．已知（m，﹣2）是抛物线y＝x2﹣x﹣3上一点，则代数式m2﹣m+2018的值为（　　） A．2017 B．2018 C．2019 D．2020 【答案】C 【分析】将点代入抛物线解析式可得m2﹣m的值，此题得解. 【详解】∵（m，﹣2）是抛物线y＝x2﹣x﹣3上一点， ∴m2﹣m﹣3＝﹣2， ∴m2﹣m＝1， ∴m2﹣m+2018＝1+2018＝2019． 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线，抛物线上的点满足其相应的解析式，因此可将点代入解析式求解，这是解题的关键. 11．抛物线的部分图象如图所示，则关于x的方程的解是_________． 【答案】 【分析】根据抛物线的对称轴为直线，与x轴的交点为，利用抛物线的对称性即可求得． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，与x轴的交点为， 设另一个交点为， ， 解得：， 故另一个交点为， 关于的方程的解是：， 12．如图是二次函数的图象，则关于的方程根的情况是______． 【答案】没有实数根 【详解】解：由图像可知，二次函数的最大值是， 二次函数的图像与的图像没有交点， 方程没有实数根． 故答案为：没有实数根． 13．下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x y 根据此表，可以判断方程的一 个解x 可能的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查观察图表得知函数值情况，一元二次方程的根，二次函数与一元二次方程的关系．通过观察函数值的变化，当时，时，因此方程根在和之间． 【详解】解：由表可知，当时，；当时，， 由于二次函数图象是连续的，函数值由负变正，说明方程的一个解在和之间，即， 故答案为：． 14．二次函数的函数值与自变量的四组对应值如下表所示： 6.15 6.18 6.21 6.24 0.02 0.02 0.11 则方程有___________个根（填“0”，“1”或“2”） 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、方程与函数的关系；用到的思想是函数与方程思想；方法是利用二次函数的连续性判断函数值的正负变化来确定方程根的个数；解题关键是根据表格中函数值的正负变化，结合二次函数图像是抛物线（最多有两个不同的x值使来判断；易错点是忽略二次函数的连续性以及抛物线的特征，错误判断根的个数． 首先观察表格里x对应的y值，发现当x在不同区间时，y值从负数变为正数，因为二次函数是连续的，所以在这些区间内必然存在使的x值．又因为二次函数的图像是抛物线，最多有两个不同的x值能让，所以可以得出方程有2个根． 【详解】由表格可知，当时，； 当时，，y从正数变为负数． 当时， 当时，y从负数变正数． 由于二次函数图像是抛物线，最多有两个不同的x值使， 所以方程有2个根． 故答案为：2． 15．抛物线图象如图所示，求解一元二次方程．    （1）方程的根为 ___； （2）方程的根为 ___； （3）方程的根为 ___； 【答案】 ， ， 【分析】（1）根据图象，利用抛物线与x轴交点的横坐标是方程的根求解即可； （2）根据图象，利用抛物线与直线交点的横坐标是方程的根求解即可； （3）根据图象，利用抛物线与直线交点的横坐标是方程的根求解即可． 【详解】（1）解：由图象可得：抛物线与x轴的两个交点为， ∴方程的根为，， 故答案为：，； （2）解：由图象可得：抛物线与直线的两个交点为， ∴方程的根为，， 故答案为：，； （3）解：由图象可得：抛物线与直线的一个交点为， ∴方程的根为， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用图象法求一元二次方程的根，熟练掌握方程的根为抛物线与x轴交点的横坐标，方程的根为抛物线与直线交点的横坐标是解题的关键． 16．计算： (1)解方程：． (2)请直接写出函数的图像与轴交点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点，以及一元二次方程的解法． （1）根据因式分解法求出x的值； （2）根据（1）中的解可得到函数图像与x轴交点坐标． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， 解得：； （2）解：当时，， 由（1）得：， ∴函数的图像与x轴交点的坐标为． 17．已知二次函数（为常数）． (1)若点在该函数图象上，则_________； (2)证明：该二次函数的图象与轴有两个不同的公共点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）根据一元二次方程根的判别式即可求证； 本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点在函数图象上， ∴， 解得， 故答案为：； （2）证明：∵， ∴该二次函数的图象与轴有两个不同的公共点． 18．已知函数． (1)求证：不论为何实数，此二次函数的图象与轴都有两个不同的交点； (2)若，求函数与轴的交点坐标． 【答案】(1)证明：令，则有， ， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴不论为何实数，二次函数的图象与轴都有两个不同的交点． (2)， 【分析】（1）由题意可令，则有，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）把代入二次函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：当时，则有， ∴令，则有， 解得， ∴二次函数与轴的交点坐标为，． 19．已知二次函数（为常数，）． (1)该函数图象的对称轴是直线________； (2)若，当时，求函数值的取值范围； (3)若，求证：该函数的图象与轴有两个交点． 【答案】(1) (2) (3)证明：，且， ，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， 该函数的图象与x轴有两个公共点． 【分析】（1）根据的对称轴为求解，即可解题； （2）将代入函数解析式计算，得到函数解析式，再根据抛物线的增减性和最值求解，即可解题； （3）根据根的判别式，以及不等式性质求解，即可证明该函数的图象与x轴有两个公共点． 【详解】（1）解：， 该函数图象的对称轴是直线； （2）解：将代入函数解析式得，， 抛物线的对称轴为直线，开口向上． 当时，随的增大而增大， ， 当时，y最小是2，当时，距离对称轴最远，则y最大是6， ； （3）略 20．已知抛物线的对称轴为直线． (1)求的值； (2)当时，过点与轴平行的直线交抛物线于，两点，且点为线段的中点，求的值； (3)当时，抛物线与轴没有交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据抛物线对称轴公式即可求解； （2）由题意得到抛物线的解析式为，得到，关于对称轴对称，，的纵坐标均为，根据点为线段的中点，求出，把代入，即可求解； （3）根据抛物线的开口方向，分，抛物线都在轴上方时，，抛物线都在轴下方时，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ，解得； （2）解：当时，抛物线的解析式为， 点在轴上，过点与轴平行的直线交抛物线于，两点， ，关于对称轴对称，，的纵坐标均为， 点为线段的中点， ， ， ， 把代入，得， ； （3）解：∵抛物线中，， ∴抛物线开口向上， ①当，抛物线都在轴上方时，在此范围内，抛物线与轴没有交点， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴函数在处取得最小值， 要使抛物线在轴上方，则当时，， ∴，解得； ②当，抛物线都在轴下方时，在此范围内，抛物线与轴也没有交点， ， 解得； 综上， 的取值范围为或． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $