第11讲 二次函数的图像与性质（暑假预习讲义）新九年级数学新教材湘教版

第11讲 二次函数的图像与性质 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 二次函数的图像过定点问题 题型2 二次函数一般式化为顶点式 题型3 求二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标 题型4 二次函数的增减性判断 题型5 二次函数的最值问题 题型6 二次函数图像与系数a,b,c的关系判断 题型7 抛物线的平移问题 题型8 判断一次函数与二次函数的大致图像 题型9 二次函数与x轴的交点问题 题型10 二次函数对称性的应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 抛物线、开口向上、开口向下、对称轴、顶点、顶点坐标、最值、增减性、上升、下降、平移 1. 能画出二次函数抛物线图像，掌握开口、对称轴、顶点等基础特征。 2. 理解a、b、c对图像的影响，会判断函数增减性与最大、最小值。 3. 熟练用配方法转化顶点式，借助图像解决比较函数值、交点类题型。 4. 数形结合分析图像信息，能利用性质求解简单综合小题。 学习重点：掌握抛物线开口、对称轴、顶点、最值、增减性五大核心性质。看懂系数 a、b、c 各自对图像的影响，熟练配方转化顶点式。会利用图像比较函数值、求最值、判断函数增减区间。 学习难点：根据 a、b 符号判断对称轴位置，综合判断图像经过的象限。 分段讨论自变量取值范围，区分顶点最值与区间最值。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 二次函数的图像特征 1. 开口方向：由二次项系数___________的符号决定： 当 a>0 时，抛物线开口向___________ 当 a<0 时，抛物线开口向___________ |a| 越大，抛物线开口越窄；|a| 越小，抛物线开口越宽 2. 对称轴：抛物线是轴对称图形，对称轴为平行于y轴的直线，一般式中对称轴为 ，顶点式中对称轴为 3. 顶点：抛物线与对称轴的交点就是顶点，是抛物线的最值点： a>0 时，顶点是抛物线的最___________点，对应函数最小值 a<0 时，顶点是抛物线的最___________点，对应函数最大值 顶点坐标一般式中为 4. 与坐标轴的交点： 与y轴交点：令 ，得 ，所以交点坐标为 (0,c)，因此常数项 c 决定抛物线与y轴的交点位置，c>0 交点在y轴正半轴， 过原点，c<0 交点在y轴负半轴 与x轴交点：令 ，得一元二次方程 ，交点个数由判别式 决定： · ：抛物线与x轴有两个不同的交点 · ：抛物线与x轴有一个交点（顶点在x轴上） · ：抛物线与x轴没有交点 即时即练 1．已知二次函数，其顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数顶点式的顶点坐标，利用二次函数顶点式的性质即可直接求解． 【详解】解：二次函数顶点式的形式为，其顶点坐标为． ∵已知二次函数为，对比顶点式可得， ∴该二次函数的顶点坐标为． 2．抛物线的对称轴是直线（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为抛物线的解析式为， 所以该抛物线的对称轴为直线． 3．下列抛物线中，在开口向下的抛物线中开口最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，开口向下，二次项系数小于0，开口向下，二次项系数的绝对值越小，开口越大解答．本题考查了二次函数的性质，熟记二次项系数与二次函数的开口方向和开口大小的关系是解题的关键． 【详解】解：抛物线开口向下， 二次项系数小于0， 则A和D选项是不符合条件，故A和D选项是错误的 ∵，二次项系数的绝对值越小，开口越大 抛物线的开口更大． 故选：C． 4．抛物线的开口方向，对称轴和y轴交点坐标分别是（    ） A．开口向下，对称轴是直线，与y轴交点坐标是 B．开口向下，对称轴是直线，与y轴交点坐标是 C．开口向上，对称轴是直线，与y轴交点坐标是 D．开口向下，对称轴是直线，与y轴交点坐标是 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质，求解即可． 【详解】解：抛物线 ，开口向下， 对称轴为， 当时，，与y轴交点坐标是 故选B 【点睛】此题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图像与性质． 【方法总结】 画二次函数图像的步骤： 先求对称轴和顶点坐标，确定抛物线的核心位置 求出抛物线与x轴、y轴的交点坐标，可再找几个对称点 用光滑曲线连接点，从左到右延伸画出完整抛物线 画图像时优先抓住顶点、对称轴、交点三个关键要素，不需要画太多点就能得到准确草图。 知识点02 二次函数的性质 1.增减性（单调性） 二次函数的增减性以对称轴为分界，结合开口方向判断： 当 a>0（开口向上）： 在对称轴左侧（即 ），y 随 x 的增大而___________（左降） 在对称轴右侧（即 ），y 随 x 的增大而___________（右升） 当 a<0（开口向下）： 在对称轴左侧（即 ），y 随 x 的增大而___________（左升） 在对称轴右侧（即 ），y 随 x 的增大而___________（右降） 2.最值 a>0 时，抛物线开口向上，顶点是最低点，所以当 时，y 取得最___________值 ，无最大值 a<0 时，抛物线开口向下，顶点是最高点，所以当 时，y 取得最___________值 ，无最小值 3.对称性 抛物线上关于对称轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标到对称轴的距离相等；若已知两个纵坐标相等的点 、，则对称轴为直线 。 即时即练 1．在平面直角坐标系中，二次函数（a为常数，且）的图象与y轴的交点在x轴下方，则该二次函数有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值3 D．最小值3 【答案】C 【分析】先根据二次函数与y轴交点位置得到a的取值范围，判断二次函数开口方向，再对二次函数配方得到顶点纵坐标，即可求出函数最值． 【详解】解：将代入，得， ∵二次函数（a为常数，且）的图象与y轴的交点在x轴下方， ∴， 解得， ∴二次项系数， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴， ∴该二次函数的最大值为． 2．已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据抛物线顶点式确定开口方向和对称轴，利用开口向上时，点到对称轴的距离越大，对应函数值越大，比较三个点的距离即可得到结果． 【详解】解：抛物线解析式为，其中二次项系数， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大， 三个点的横坐标到对称轴的距离为：，，， ， ． 3．抛物线，其中，a，b，c能决定抛物线的增减性的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，需明确抛物线增减性的影响因素，抛物线增减性由开口方向和对称轴位置共同决定，根据二次函数性质分析各参数的作用即可得到结果； 【详解】解：∵抛物线的开口方向由决定，开口方向决定整体增减趋势；抛物线的对称轴为直线，对称轴位置由和共同决定；抛物线的增减性以对称轴为分界，因此增减性由共同决定；只决定抛物线与轴的交点位置，仅上下平移抛物线，不改变开口方向和对称轴位置，不影响增减性∴能决定抛物线增减性的是． 4．已知抛物线经过和两点，则的值为（    ） A． B．4 C．3 D．5 【答案】B 【分析】利用抛物线上纵坐标相等的两点关于抛物线对称轴对称的性质，先求出对称轴，再计算的值，最后代入点坐标求即可． 【详解】解：∵抛物线经过和两点，两点纵坐标相等， ∴两点关于抛物线对称轴对称，可得抛物线对称轴为， 对于抛物线，对称轴为， 解得， ∴抛物线解析式为， 将代入解析式得． 5．二次函数的图象经过．则当时，y的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由二次函数与x轴的两个交点的坐标得到对称轴，再根据对称性可得答案． 【详解】解：∵二次函数图象过和两个点， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴当时的函数值与当时的函数值相等， ∵二次函数图象过点， ∴二次函数图象过点，即时，． 【方法总结】 比较二次函数函数值大小的方法： 先看两个点的横坐标是否在对称轴同侧，若在同侧直接根据增减性判断 若在对称轴异侧，先计算两个点到对称轴的距离，结合开口方向判断：开口向上时，距离对称轴越远，函数值越大；开口向下时，距离对称轴越远，函数值越小。 知识点03 二次函数图像的平移变换 二次函数平移遵循“左___________右___________，上___________下___________”的规律，平移不改变二次项系数 a 的大小，仅改变顶点位置，因此平移问题一般转化为顶点平移分析： 1.顶点式平移： 左右平移：向左平移 m（m>0）个单位，得到 ；向右平移 m 个单位，得到 （即x轴方向：左加右减） 上下平移：向上平移 n（n>0）个单位，得到 ；向下平移 n 个单位，得到 （即y轴方向：上加下减） 2.一般式平移：先将一般式配方化为顶点式，按上述规律平移后，再展开整理为一般式即可。 即时即练 1．将抛物线向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平移不改变抛物线的二次项系数，利用“左加右减，上加下减”的规律即可求出平移后的解析式． 【详解】解：∵ 原抛物线的顶点坐标为，将顶点向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到新顶点坐标为，平移后抛物线二次项系数不变，仍为， ∴平移后抛物线的解析式为． 2．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用二次函数图像平移的“左加右减，上加下减”法则，先得到平移后的抛物线解析式，再求出顶点坐标即可． 【详解】解：∵原抛物线解析式为 ，根据平移法则，向左平移2个单位，再向上平移6个单位， ∴新抛物线解析式为， 整理得 ， ∴平移后抛物线的顶点坐标为． 3．在平面直角坐标系中，抛物线经变换后得到抛物线，则下列变换正确的是（  ） A．向右平移3个单位 B．向左平移3个单位 C．向右平移2个单位 D．向左平移2个单位 【答案】D 【分析】先求出变换前后抛物线的顶点坐标，再根据抛物线平移“上加下减，左加右减”的规律，即可判断平移方向和距离． 【详解】解：∵原抛物线， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∵变换后抛物线为， ∴变换后抛物线的顶点坐标为， ∵顶点纵坐标不变，横坐标从变为， ∴原抛物线向左平移个单位即可得到变换后的抛物线． 4．将抛物线向右平移3个单位后，所得到的新抛物线，一定经过下列哪个点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“左加右减”的平移法则求出平移后新抛物线的解析式，再代入验证即可得到答案． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位后，可得新抛物线为： 即， 当时，， ∴抛物线不经过点与， 当时， ∴点在新抛物线上，点不在新抛物线上． 【方法总结】 解决平移问题，优先转化为顶点式，对顶点坐标进行平移，再写出新的解析式，避免直接对一般式加减出错。平移顺序不影响最终结果，“左加右减针对x，上加下减针对常数项”，记准规律即可。 知识点04 系数 a、b、c 与图像的关系 系数 符号 图像位置特征 a a>0 开口向__________ a a<0 开口向__________ a c c>0 与y轴交于正半轴 c 过__________点 c c<0 与y轴交于__________半轴 ab ab>0（a、b同号） 对称轴 ，在y轴左侧 ab ab<0（a、b异号） 对称轴 ，在y轴右侧 ab 对称轴为__________轴 即时即练 1．如图是抛物线的示意图，则的值可以是（     ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴ ∴的值可以是2． 2．二次函数开口向上，与轴交于负半轴，对称轴在轴左侧，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据二次函数的基本性质，由开口方向与的关系确定a的正负，对称轴位置与的关系确定b的正负，与轴交点的位置与的关系确定c的正负，逐一判断选项，即可得到正确结论． 【详解】解： 二次函数 开口向上， ，选项A错误； 对称轴在轴左侧，二次函数对称轴为 ， ， 又， ，选项B错误； 二次函数与轴交于负半轴，且当时，， ，选项C错误； 由， 得， ∴， ∵， ∴，选项D正确． 3．二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于负半轴，则a、b、c符号判断正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据二次函数的图象与性质，分别通过开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置判断a、b、c的符号，从而得到正确选项． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∵对称轴在y轴左侧，二次函数对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数图象与y轴交于负半轴，当时，， ∴， 综上，，，，故选项A符合题意． 4．已知二次函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（   ） A．＞0， B．＜0， C．＞0， D．＜0， 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，关键在于根据抛物线的对称轴位置判断的符号，根据抛物线与轴的交点个数判断判别式的符号． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为直线，且对称轴在轴右侧，即， ∴； ∵二次函数的图象与轴有两个交点， ∴对应的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴； 综上，，，故选：D． 5．已知二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（   ）． A． B． C． D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，能从图象中获取有效信息是解答的关键． A选项考查的取值范围，相乘即可求解，B选项考查当时，的取值范围即可求解，C选项考查图像与轴的交点个数即可求解，D选项考查二次函数的增减性，观察图像即可求解． 【详解】解：选项A：由图可知开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴右侧，即，，，那么，故不符合题意； 选项B：当时，，由图可知，当时，，即，故不符合题意； 选项C：由图可知，抛物线与轴有两个交点，即，故不符合题意； 选项D：由图可知，当时，随的增大而减小，故符合题意． 故选：D． 【方法总结】 根据二次函数图像判断系数代数式符号的步骤： 先由开口方向判断 a 的符号 由对称轴位置判断 b 的符号（利用的符号推导） 由与y轴交点位置判断 c 的符号 由与x轴交点个数判断判别式 Δ= 的符号 特殊点代入得到对应代数式的符号，逐一验证即可。 题型1 二次函数的图像过定点问题 【例1】抛物线经过定点，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，代数式求值，先把代入求出的值，然后整体代入即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线经过定点， ∴，则， ∴， 故选：C． 【例2】若抛物线与一次函数的图象都经过同一定点，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可知抛物线经过定点，再将代入，可得，从而可求得代数式的值． 【详解】解：， 抛物线必经过定点， 一次函数也经过点， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了十字相乘法分解因式，二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，代数式求值等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质，求出抛物线经过的定点是解题的关键． 【技巧归纳】 把参数整理到一起，让参数的系数等于0，剩下的方程解出的坐标就是定点，定点和参数的取值无关，因此只有参数的系数为0时，等式才恒成立。 【变式1-1】研究二次函数的图像时发现：无论如何变化，该图像总经过一个定点．这个定点坐标为_______． 【答案】（2，5） 【分析】当x＝2时，代入可求得y＝5，则可求得答案． 【详解】∵= ∴当x＝2时，y＝5， 此时无论如何变化，该图像总经过定点（2，5） 故答案为：（2，5）． 【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 【变式1-2】设抛物线，其中为实数． （1）若经过点，则__________； （2）无论为何值，总经过定点__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，解题的关键是： （1）把代入求解即可； （2）把抛物线解析式整理为，当时，抛物线总经过定点． 【详解】解：（1）把代入， 得， 解得， 故答案为：； （2） ， 当，即时，， ∴无论为何值，总经过定点， 故答案为：． 题型2 二次函数一般式化为顶点式 【例1】将二次函数化成的形式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用配方法，将二次函数的一般式转化为的形式，对比选项得到结果． 【详解】解：． 【例2】将二次函数化为的形式，结果为_____． 【答案】 【分析】先提取二次项系数，再利用完全平方公式配方即可得到结果. 【详解】解： ， 即. 【技巧归纳】 提取二次项系数的时候，常数项不要提取，只提取二次项和一次项，配方后不要忘记把外面的常数乘回去，最后整理常数项即可。 【变式1-1】如图是嘉嘉求抛物线的顶点坐标的过程，则（   ） 解：∵ …………① ………………② ∴抛物线的顶点坐标为………③ A．该过程完全正确 B．该过程从①开始出错 C．该过程从②开始出错 D．该过程从③开始出错 【答案】B 【分析】按配方法正确步骤逐步比对，即可找到错误起始位置． 【详解】解： ， ∴抛物线的顶点坐标为． 【变式1-2】抛物线的顶点坐标是__________． 【答案】 【分析】将抛物线的一般式通过配方法转化为顶点式，即可得到顶点坐标，也可利用顶点坐标公式求解． 【详解】解： 抛物线顶点坐标为． 题型3 求二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标 【例1】函数与的图象的关系是（    ） A．开口方向不同，顶点相同，对称轴相同 B．开口方向不同，顶点不同，对称轴相同 C．开口方向相同，顶点相同，对称轴相同 D．开口方向相同，顶点不同，对称轴不同 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；对于，其对称轴为y轴，顶点为坐标原点；当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下，由此即可作出判断． 【详解】解：函数与的图象顶点为原点，对称轴为y轴；而函数中二次项系数为正，故开口向上，中二次项系数为负，故开口向下；除A选项外，其它选项均不正确； 故选：A． 【例2】二次函数的顶点坐标和开口方向分别是（   ） A．，开口向下 B．，开口向上 C．，开口向上 D．，开口向下 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式确定抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴及最大值或最小值是基本的要求；由二次函数的顶点式可直接得出顶点坐标和开口方向． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为，且，开口向上． ∴故选C． 【技巧归纳】 用一般式公式计算顶点纵坐标容易出错，优先配方成顶点式再求，准确率更高，记住顶点式各项的符号不要出错，y=a(x−h)2+k中h是带负号的，不要把对称轴符号写反。 【变式1-1】二次函数的对称轴为__________，顶点坐标为__________；二次函数的对称轴为__________，顶点坐标为__________． 【答案】 直线 直线 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握抛物线（）的对称轴是直线，顶点坐标是是解题的关键． 根据抛物线（）的对称轴是直线，顶点坐标是求解作答即可． 【详解】解：的对称轴为直线，顶点坐标为，即； 同理，的对称轴为直线，顶点坐标为， 故答案为：直线，，直线，． 【变式1-2】二次函数的对称轴是直线________；函数的图象的对称轴是直线________． 【答案】 2 -1 【分析】根据二次函数和的对称轴的求解方法即可写出它们的对称轴，本题得以解决． 【详解】解：∵二次函数中，，b＝2， ∴其对称轴为； ∵与x轴的两交点为（1，0），， ∴其对称轴． 故答案为：2；． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的两种形式，解答本题的关键是根据不同形式的函数解析式的特点确定求解方法． 题型4 二次函数的增减性判断 【例1】抛物线过，，三点，对称轴是直线，，，大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，函数值的大小比较，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．先判断抛物线开口向上，则点离抛物线的对称轴越远，纵坐标值越大，即函数值越大，据此求解即可． 【详解】解：∵，对称轴是直线， ∴抛物线开口向上， ∴点离抛物线的对称轴越远，纵坐标值越大，即函数值越大， ∵， ∴． 故选：C ． 【例2】已知抛物线开口向下，且为抛物线上的三个点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的性质．将抛物线解析式配方成顶点式，得到其对称轴位置，再根据开口向下知离对称轴的水平距离越小，对应的函数值越大，据此求解可得． 【详解】解：，且抛物线开口向下， 离对称轴的水平距离越小，对应的函数值越大， ∵， ∴． 故选：C． 【技巧归纳】 比较两个点函数值大小，第一步找对称轴，第二步看两个点在对称轴同侧还是异侧，异侧的话计算两个点到对称轴的距离，开口向上距离越远函数值越大，开口向下距离越远函数值越小。 【变式1-1】若二次函数的图象经过点，，，则，，的大小关系是_____．（用“”连接） 【答案】 【分析】先根据二次函数解析式确定开口方向和对称轴，利用开口向下的二次函数的性质，比较各点到对称轴的距离，即可得到函数值的大小关系． 【详解】解：二次函数中，， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ， ． 【变式1-2】已知二次函数（为实数，），当时，随的增大而增大，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数单调性结合题目条件推导得到的取值范围． 【详解】解：已知二次函数，， 根据二次函数对称轴公式，其中二次项系数为，一次项系数， ∴对称轴为：， ∵当时，随的增大而增大， ∴抛物线开口向上，即，此时对称轴右侧，当时，随的增大而增大； ∴． 故答案为：． 题型5 二次函数的最值问题 【例1】二次函数的最小值为（    ） A．2 B．0 C． D．−9 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的最值，掌握配方法将二次函数转化为顶点式是解题的关键． 将二次函数的一般式通过配方转化为顶点式，利用二次函数开口向上时顶点纵坐标为最小值的性质求解． 【详解】解： ∵二次项系数，抛物线开口向上， ∴当时，函数取得最小值，最小值为， 故选D． 【例2】若二次函数有最大值7，则的值为________． 【答案】6 【分析】将二次函数解析式配方为顶点式，根据二次函数有最大值，列出关于的方程，求解即可得到的值. 【详解】解：， ， 二次函数开口向下， 二次函数的最大值为， 二次函数的最大值为， ， 解得. 【技巧归纳】 区间最值问题不要直接把端点代入就结束，一定要看对称轴是不是在区间里面，顶点才可能取到区间内的最值，这是最容易出错的地方。 【变式1-1】已知实数，满足，则的最大值为________． 【答案】34 【分析】根据已知条件将用含的代数式表示，代入所求式子，转化为关于的二次函数，利用二次函数的性质求解最大值． 【详解】解：， ， 将 代入得 ． 二次项系数， 该二次函数开口向下，当时，取得最大值，最大值为． 【变式1-2】汽车刹车后行驶的距离（单位：米）与行驶的时间（单位：秒）的函数关系式是，则汽车从开始刹车到停下来所用的时间是（   ） A．2秒 B．1.5秒 C．1秒 D．秒 【答案】B 【分析】汽车刹车后停下来时，行驶距离s达到最大值，本题利用二次函数的性质，将解析式配方为顶点式，顶点的横坐标即为刹车到停车的时间. 【详解】解：∵ 对解析式配方得： ∵二次项系数 ∴当时，取得最大值，即汽车停下来. 因此汽车从开始刹车到停下来所用时间是秒． 【变式1-3】已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得出，利用二次函数的性质即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∴顶点坐标为． ∴的最小值为． 题型6 二次函数图像与系数a,b,c的关系判断 【例1】二次函数的，，，那么其图象必过（     ） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二象限 D．第一、二、三象限 【答案】C 【分析】根据题意可以判断出该抛物线的开口方向、顶点坐标在y轴的哪一侧，交y轴的位置，从而可以判断出该函数图象一定经过哪几个象限即可． 【详解】解：∵二次函数的， ∴该函数图象开口向上， 又∵，， ∴，顶点在y轴左侧，经过y轴正半轴， ∴该二次函数的图象必过第一、二象限． 【例2】已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④，其中正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】首先根据开口方向，对称轴和与y轴的交点位置判断出a，b，c的正负，然后结合图象逐项判断即可． 【详解】解：①∵二次函数图象开口向下 ∴ ∵二次函数的对称轴在y轴左边 ∴ ∴ ∵二次函数图象与y轴交于正半轴 ∴ ∴，故①错误； ②由图象可得，当时，，故②错误； ③由图象可得，当时，y随x的增大而增大，故③正确； 由二次函数图象的对称性可得，当时，，故④正确； 综上所述：正确的有2个． 【技巧归纳】 记住“左同右异”四个字，直接快速判断b的符号，遇到特殊代数式，直接把x对应的值代入，看图像上对应点的位置在x轴上方还是下方就能判断符号。 【变式1-1】二次函数的图象如图，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】开口方向判断的符号，左同右异判断的符号，与轴的交点位置判断的符号，与轴的交点个数判断判别式的符号. 【详解】解：由图象可知，抛物线的开口向上，对称轴在轴的右侧，与轴交于正半轴，与轴有2个交点， ∴，，，， 故选项B不正确，符合题意. 【变式1-2】二次函数的图象开口向上，写出一个符合条件的值：___． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次函数图象的性质：当二次项系数时，二次函数图象开口向上即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， 取即能满足题意． 【变式1-3】已知二次函数的图象如图所示，则点在第______象限． 【答案】二 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及判断点所在的象限，解题的关键在于熟练掌握开口方向，图象与y轴的交点情况与系数的关系． 先根据二次函数的图象及性质判断a与c的符号，从而即可得出点所在象限． 【详解】解：由图知，二次函数开口向下， ， 二次函数的图象与轴交于正半轴， ， 则点在第二象限； 故答案为：二． 题型7 抛物线的平移问题 【例1】将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数平移“左加右减，上加下减”的规律，逐步推导即可得到结果． 【详解】解：∵抛物线平移规律为左加右减自变量，上加下减常数项，原抛物线解析式为， ∴向左平移2个单位后，解析式变为，再向下平移3个单位，解析式整理得， ∴所得抛物线解析式为． 【例2】抛物线经过平移得到抛物线，平移的方法是（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向上平移个单位 D．向下平移个单位 【答案】A 【分析】将抛物线化为顶点式，再根据平移规律即可求解． 【详解】解：抛物线， 抛物线经过向左平移个单位得到抛物线． 【技巧归纳】 记住“左同右异”四个字，直接快速判断b的符号，遇到特殊代数式，直接把x对应的值代入，看图像上 左加右减是对x本身进行加减，不要带系数进去，比如把向右平移2个单位，应该是，不要错算成，记住只给x做加减。反过来，已知平移后解析式求原解析式，就反过来计算，平移方向反过来，加减也反过来 【变式1-1】将抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与y轴交点的坐标是_____． 【答案】 【分析】先根据二次函数平移规律得到平移后抛物线的解析式，再令 求出的值，即可得到抛物线与轴的交点坐标． 【详解】解：将抛物线 向右平移 个单位，根据二次函数平移规律“左加右减”，可得平移后抛物线的解析式为， 令 ，则， 平移后的抛物线与轴交点的坐标是． 【变式1-2】将抛物线平移到抛物线的位置，则抛物线顶点平移的最短距离为________． 【答案】5 【分析】本题先将原抛物线整理为顶点式，得到原抛物线顶点坐标，再得到平移后抛物线的顶点坐标，利用两点间距离公式即可求出顶点平移的最短距离． 【详解】解：原抛物线化为顶点式：， 故顶点坐标为， 平移后抛物线的顶点坐标为：， 由两点间距离公式得：， 所以抛物线顶点平移的最短距离为5． 题型8 判断一次函数与二次函数的大致图像 【例1】若二次函数的图象如图所示，则一次函数图象大致是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】先由二次函数图像开口向下得出，再根据对称轴在轴右侧推出，最后结合一次函数的特征，判断图像即可． 【详解】解：∵开口方向：抛物线开口向下， ∴， ∵从图中可知对称轴在轴右侧， ∴根据对称轴公式，得， ∵， ∴ ， 分析一次函数的图像： ，说明直线从左上到右下； ，说明直线与轴交于正半轴； 故符合这两个特征的是选项C． 【例2】在同一坐标系中画出直线与抛物线，有可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两个函数的性质和图象的特征，结合选项中的图象逐项判断即可． 【详解】解：A、直线中，，抛物线中，，故本选项符合题意； B、直线中，，抛物线中，，矛盾，故本选项不符合题意； C、直线中，，抛物线中，，矛盾，故本选项不符合题意； D、直线中，，抛物线中，，矛盾，故本选项不符合题意． 【技巧归纳】 逐一排除法，每一个选项都找a,b的符号对比，矛盾直接排除，很快就能得到正确答案，不需要逐个推导。 【变式1-1】函数和函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象问题． 先求出的顶点坐标， 再分情况讨论即可． 【详解】解：当时，， 即函数的顶点为，B、D不符合要求； 当时，函数经过一、三象限，函数开口向上，C符合； 当时，函数经过二、四象限，函数开口向下，无符合选项； 故选：C． 【变式1-2】函数和（m是常数，且）在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查图象的性质，熟知一次函数和二次函数的图象性质是解答的关键； 根据的图象判断，m 的正负，再判断的图象的开口方向即可； 【详解】解： 选项A：由函数的图象可知，则函数的图象应该开口向下，与图像不一致，不符合题意； 选项B：由函数的图象可知，则函数的图象应该开口向下，与图像一致，；符合题意； 选项C： 由函数的图象可知，则函数的图象应该开口向下，与图像不一致，不符合题意； 选项D：由函数的图象可知，则函数的图象应该开口向上，与图像不一致，不符合题意； 故选B． 题型9 二次函数与x轴的交点问题 【例1】根据下表中的二次函数的自变量与与函数的对应值，可判断二次函数的图象与轴（　　） … 0 1 2 … … 1 2 … A．有两个交点，且它们分别在轴两侧 B．有两个交点，且它们均在轴同侧 C．无交点 D．只有一个交点 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系．利用二次函数的自变量与函数的对应值． 【详解】解：根据表中的二次函数的自变量与函数的对应值，可以发现当时，的值都等于， 又根据二次函数的图象对称性可得：直线是二次函数的对称轴，此时有最大值2， 因此判断该二次函数的图象与轴有两个交点，且它们分别在轴两侧， 故选：A 【例2】若二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴的正半轴交于一点，且对称轴为直线，则下列说法正确的是（  ） A．二次函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧 B．二次函数的图象与x轴的交点位于y轴的右侧 C．其中二次函数中的 D．二次函数的图象与x轴的一个交点位于的右侧 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，开口向上，则；反之，．对称轴在轴左侧，则同号；反之，则异号；图象与轴交点在轴上方，则；反之，则，据此即可求解． 【详解】解：∵的图象与x轴交于两点，与y轴的正半轴交于一点，且对称轴为直线， ∴，，得， ∴，得，故选项C错误， ∴， ∴二次函数的图象与x轴的交点位于y轴右侧，且与x轴的交点一个在0到1之间，一个在1到2之间，故选项B正确，选项A和D错误， 故选：B． 【技巧归纳】 求交点直接令y=0解一元二次方程就行，已知交点求解析式可以用交点式y=a(x−x1)(x−x2)，比一般式计算更简单。 【变式1-1】已知二次函数的对称轴是直线，与x轴的一个交点坐标是，则另一个交点坐标为________ 【答案】 【分析】本题考查二次函数的对称性，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数的对称性，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称． 【详解】解：设另一个交点的横坐标为 ， ∵抛物线对称轴是直线 ，与x轴的一个交点为 ，且抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称， ∴， 解得， ∴另一个交点坐标为 ． 故答案为： ． 【变式1-2】如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，若与轴的一个交点坐标为，则由图象可知，与轴的另一个交点坐标是________． 【答案】 【分析】本题主要考查的是抛物线与轴的交点，利用抛物线的对称性求解是解题的关键．利用抛物线的对称性即可求得抛物线与轴的另一个交点坐标． 【详解】解：点与关于直线对称， 抛物线与轴的另一个交点坐标为． 故答案为：． 题型10 二次函数对称性的应用 【例1】已知二次函数（a、b为常数，），若其图象上有两点，，则m的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】A、 B两点的纵坐标相等，因此两点关于二次函数的对称轴对称，先求出二次函数的对称轴，再利用对称轴等于两点横坐标的中点，计算得到m的值． 【详解】解：由题意得，二次函数的对称轴为直线 ， ∵二次函数的图象上有两点，， ∴点A和点B关于对称轴对称， ∴， ∴． 【例2】若，是抛物线上的两个点，则它的对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用抛物线的对称性求解，抛物线上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，对称轴为两点横坐标的平均值． 【详解】解：∵ 两点纵坐标相等， ∴两点关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线． 【技巧归纳】 已知一个点的对称点坐标，直接用对称性计算，不需要求解析式，可以快速得到对称轴，也可以利用对称性求另一个交点坐标，非常方便。 【变式1-1】若点,,都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，由抛物线为，从而开口向上，对称轴是轴，结合抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，进而可以判断得解．掌握二次函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数，其对称轴为轴，开口向上， ∴对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大． 点关于轴对称的点为， ， ， 故选：A ． 【变式1-2】已知抛物线的对称轴是直线，与轴交于、两点，若点坐标是，则方程的两根是_____． 【答案】 ， 【分析】利用二次函数的对称性，根据一个交点坐标和对称轴即可求出另一个交点坐标，从而得到方程的另一个根． 【详解】解：∵抛物线与轴交点的横坐标就是方程的两根，其中一个交点为， ∴方程的一个根为， 设方程的另一个根为， 又∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴方程的两根为，． 【变式1-3】已知抛物线经过点和，则该抛物线的对称轴为直线________． 【答案】 【分析】抛物线与x轴的两个交点纵坐标相等，可知两个交点关于抛物线对称轴对称，根据交点横坐标即可计算出对称轴． 【详解】解：∵ 抛物线 经过点 和 ， ∴ 两个交点关于抛物线的对称轴对称， 抛物线对称轴为直线 ． 1．当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将代入，得 2．已知二次函数，下列说法错误的是（     ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】将二次函数一般式配方化为顶点式，再根据二次函数的性质判断各选项的说法，找出错误的选项即可． 【详解】解：∵ ，二次项系数， ∴ 抛物线开口向上，A选项说法正确， 抛物线对称轴为直线，B选项说法正确， 顶点坐标为，不是，C选项说法错误， ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而增大，D选项说法正确． 3．关于抛物线，下列说法错误的是（     ） A．该抛物线一定经过点 B．该抛物线顶点纵坐标的最小值为1 C．若点、在该抛物线上，则m的值为3 D．当时，该抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4 【答案】B 【分析】把代入计算，得出，故该抛物线一定经过点；对于选项，将抛物线解析式化为顶点式，求顶点纵坐标关于的表达式的最小值；对于选项，利用抛物线对称性，由点和求出对称轴，进而求的值；先得出抛物线的解析式，再求出抛物线与x轴的交点的横坐标，再列式计算，即可作答． 【详解】解：将代入抛物线解析式，得， ∴该抛物线一定经过点， 故A选项不符合题意； ∵， ∴， ∴顶点纵坐标为， ∵， ∴顶点纵坐标的最小值为，不是， 故B选项符合题意； ∵点和纵坐标相同， ∴抛物线对称轴为直线， 又抛物线对称轴为， ∴， 得， 故C选项不符合题意； 当时，抛物线解析式为， 令，得， 解得，， 即两个交点之间的距离为， 故D选项不符合题意． 4．对于二次函数，下列说法正确的是（      ） A．图象开口向下 B．对称轴是直线 C．与轴的交点是和 D．当时，随的增大而增大 【答案】B 【分析】先将给定二次函数整理为顶点式，再根据二次函数的性质，依次判断各选项的说法，即可得到正确结果． 【详解】解：∵ ，二次项系数， ∴ 抛物线开口向上，选项A错误； ∵ 整理得到的顶点式为， ∴ 图象的对称轴是直线，选项B正确； 令，得，解得， ∴ 抛物线与轴的交点坐标是和，选项C错误； ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，选项D错误． 5．二次函数的图象如图所示，对称轴为，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据二次函数开口方向、与轴交点，对称轴位置、与轴交点确定①②③，再根据顶点坐标确定④． 【详解】解：由二次函数图象可知，开口向上，与轴交于负半轴， ，， 二次函数的对称轴为， ，即， ，，结论①、③正确； 二次函数图象与轴有两个交点， 有两个不等实数根， ，结论②正确； 由图象可知，当时，， 即，结论④正确． 综上，结论正确的个数是个，选项符合题意． 6．如图，若，，，则抛物线的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可以得出抛物线的开口向下，由得出抛物线与轴的交点在轴的负半轴上，由，可以得出抛物线的对称轴，即抛物线的对称轴在轴右侧，据此即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，故C选项错误； ∵， ∴抛物线与轴的交点在轴的负半轴上，故A选项错误； ∵，， 故抛物线的对称轴为， ∴抛物线的对称轴在轴右侧，故D选项错误． 7．如图，二次函数的图象与x轴交于点，，则下列说法正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，掌握好相关知识是关键． 根据二次函数的图象，判断系数、、的符号，并判断选项即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴，故A错误； ∵抛物线与x轴交于点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，即， ∴，，故B错误，C正确； ∵抛物线过点， ∴，故D错误． 故选：C． 8．若二次函数的图象经过点，则方程的解为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象的对称性．先根据二次函数的对称性求出二次函数图象与直线的另一个交点坐标，进而求出方程的解． 【详解】解：∵方程的解是二次函数与直线交点的横坐标， 已知其中一个交点为， 二次函数的对称轴为， 设另一个交点横坐标为， 由二次函数的对称性得， 解得， ∴方程的解为或， 故选：D． 9．二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 1 1 ．．． 下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据表格中函数值相等的两点确定二次函数的对称轴，再利用二次函数的对称性判断m与n的关系． 【详解】解：∵二次函数图象过点和， ∴该抛物线的对称轴为， ∵，， ∴点与点关于对称轴对称， ∴． 故选：C． 10．已知二次函数（b、c是常数）的图象与x轴的交点的横坐标为和1，且二次函数的最小值为m，则的值为（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】利用二次函数与x轴交点满足函数解析式，先求出b，c的值，再根据二次函数性质求出最小值m，最后计算即可； 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交点横坐标为和， ∴函数图象过点和， 将两点坐标代入解析式得：， 整理得， 解得，， ∴二次函数解析式为， 配方得， ∵二次项系数，函数开口向上， ∴最小值， 则． 11．已知抛物线开口向下，那么的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象性质，抛物线的开口方向由二次项系数决定：当二次项系数大于0时，抛物线开口向上；当二次项系数小于0时，抛物线开口向下． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴二次项系数，解得， 故答案为：． 12．已知关于x的二次函数的图象如图所示，则点在第_________象限． 【答案】二 【分析】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，系数符号的确定是解题关键． 根据开口方向、函数与y轴的交点的位置判断出的符号即可求解． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 二次函数与y轴的交点在y轴正半轴， ， 在第二象限， 故答案为：二． 13．如果抛物线上的点和点B关于它的对称轴对称，那么点B的坐标是______． 【答案】 【分析】首先确定抛物线的对称轴，再求出点A的坐标，最后根据对称点的性质求解即可. 【详解】解：抛物线中，，， ∴抛物线的对称轴为， 将代入抛物线解析式，得， 点的坐标为， 点和点关于抛物线对称轴对称，对称点纵坐标相等，点，点到对称轴的距离相等， 设点的横坐标为，可得， 解得， 点的坐标为. 14．已知二次函数（），其中，，满足，，则该二次函数图象的对称轴是直线________． 【答案】 【分析】根据，中的系数判定出的值，再根据抛物线上两点的纵坐标相等则两点关于对称轴对称，对称轴的横坐标等于两对称点的横坐标之和的一半求解． 【详解】解：令，则， ∴是二次函数图像上的点； 令，则， ∴是二次函数图像上的点， 且点与点的纵坐标相等， ∴两点关于对称轴对称， ∴对称轴为． 15．二次函数的最大值是___________． 【答案】5 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先判断开口方向，再分别计算当时和当时的函数值，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数， ∴抛物线开口向上，在顶点处取得最小值，顶点横坐标，在内． 当时，； 当时，． ∴最大值为5． 故答案为5． 16．抛物线沿x轴向右平移1个单位长度，沿y轴向下平移3个单位长度，则平移后抛物线对应的表达式是________． 【答案】 【分析】利用二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”规律，对原表达式进行变换，即可得到平移后抛物线的表达式． 【详解】解：原抛物线的表达式为， 将抛物线沿轴向右平移个单位长度，根据平移规律“左加右减”，可得平移后的表达式为， 再将得到的抛物线沿轴向下平移个单位长度，根据平移规律“上加下减”，可得最终平移后抛物线的表达式为． 17．用描点法画函数的图象，并完成下列问题： (1)求曲线与x轴、y轴交点坐标； (2)根据图象分析，y随x变化而变化的情况． 【答案】(1)与x轴交点坐标为和，与y轴交点坐标为 (2)当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小 【分析】本题考查了描点作图法画二次函数图象以及二次函数图象的相关性质． （1）根据列表、描点、连线的步骤作出二次函数的图象，令，求得函数与y轴的交点坐标；令，求得函数与x轴的交点坐标； （2）根据函数图象以及函数增减性的定义求解即可． 【详解】（1）解：列表如下： x 0 1 2 y 2 1 1 描点作图如图所示： 令，则，即二次函数与y轴的交点为； 令，则，解得，即二次函数与x轴的交点为和； （2）解：由图象可知，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 18．二次函数的部分图象如图所示．根据图象填空： (1)该函数图象的对称轴是______； (2)二次函数图象与x轴的交点坐标为_______； (3)b_____0，c____0， ____0；（填>、<或=） (4)当时，x的取值范围是______ 【答案】(1)直线 (2) (3)，， (4) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与坐标轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据函数图象，得出对称轴是直线； （2）结合对称轴是直线，二次函数图象与x轴的一个交点坐标为得出该函数图象与x轴的另一个交点坐标为，即可作答． （3）观察函数图象，得出开口方向向上，对称轴为直线，则，把代入，得，即可作答． （4）观察函数图象，得出开口方向向上，由（2）得函数与x轴的交点坐标为，得当时，x的取值范围是，即可作答． 【详解】（1）解：观察函数图象，得出该函数图象的对称轴是直线， 故答案为：直线； （2）解：观察函数图象，对称轴是直线，二次函数图象与x轴的一个交点坐标为 则 ∴得出该函数图象与x轴的另一个交点坐标为； 即二次函数图象与x轴的交点坐标为， 故答案为：； （3）解：观察函数图象，得出开口方向向上，对称轴为直线， ∴，， 即 观察函数图象，得出抛物线与轴的交点坐标在负半轴， 即； 把代入，得， 故答案为：，，； （4）解：观察函数图象，得出开口方向向上， 由（2）得函数与x轴的交点坐标为， ∴当时，x的取值范围是， 故答案为：． 19．已知二次函数图象上的部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … 0 … … 1 1 … 根据以上信息回答下列问题： (1)二次函数图象的顶点坐标是_____，_____，_____． (2)求该二次函数的表达式． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了二次函数图象的对称性，待定系数法求解函数解析式． （1）由表格可得当和时的函数值相等，即可确定对称轴和顶点坐标，再由对称性求解值； （2）设顶点式，再代入一组的值即可求解抛物线的表达式． 【详解】（1）解：由表格可得顶点坐标为，对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，，； （2）解：∵抛物线的顶点坐标为 ∴设解析式为， ∵当时，， ∴， 解得， ∴二次函数表达式为． 20．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，关于x的方程有实数根，直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）把和代入即可求解； （2）求出抛物线在的函数值范围即可求解． 【详解】（1）解：把和代入得， ，解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：由抛物线的表达式为，方程可化为， ∵的对称轴为， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，， ∴t的取值范围为． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 二次函数的图像与性质 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 二次函数的图像过定点问题 题型2 二次函数一般式化为顶点式 题型3 求二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标 题型4 二次函数的增减性判断 题型5 二次函数的最值问题 题型6 二次函数图像与系数a,b,c的关系判断 题型7 抛物线的平移问题 题型8 判断一次函数与二次函数的大致图像 题型9 二次函数与x轴的交点问题 题型10 二次函数对称性的应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 抛物线、开口向上、开口向下、对称轴、顶点、顶点坐标、最值、增减性、上升、下降、平移 1. 能画出二次函数抛物线图像，掌握开口、对称轴、顶点等基础特征。 2. 理解a、b、c对图像的影响，会判断函数增减性与最大、最小值。 3. 熟练用配方法转化顶点式，借助图像解决比较函数值、交点类题型。 4. 数形结合分析图像信息，能利用性质求解简单综合小题。 学习重点：掌握抛物线开口、对称轴、顶点、最值、增减性五大核心性质。看懂系数 a、b、c 各自对图像的影响，熟练配方转化顶点式。会利用图像比较函数值、求最值、判断函数增减区间。 学习难点：根据 a、b 符号判断对称轴位置，综合判断图像经过的象限。 分段讨论自变量取值范围，区分顶点最值与区间最值。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 二次函数的图像特征 1. 开口方向：由二次项系数___________的符号决定： 当 a>0 时，抛物线开口向___________ 当 a<0 时，抛物线开口向___________ |a| 越大，抛物线开口越窄；|a| 越小，抛物线开口越宽 2. 对称轴：抛物线是轴对称图形，对称轴为平行于y轴的直线，一般式中对称轴为 ，顶点式中对称轴为 3. 顶点：抛物线与对称轴的交点就是顶点，是抛物线的最值点： a>0 时，顶点是抛物线的最___________点，对应函数最小值 a<0 时，顶点是抛物线的最___________点，对应函数最大值 顶点坐标一般式中为 4. 与坐标轴的交点： 与y轴交点：令 ，得 ，所以交点坐标为 (0,c)，因此常数项 c 决定抛物线与y轴的交点位置，c>0 交点在y轴正半轴， 过原点，c<0 交点在y轴负半轴 与x轴交点：令 ，得一元二次方程 ，交点个数由判别式 决定： · ：抛物线与x轴有两个不同的交点 · ：抛物线与x轴有一个交点（顶点在x轴上） · ：抛物线与x轴没有交点 即时即练 1．已知二次函数，其顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 2．抛物线的对称轴是直线（     ） A． B． C． D． 3．下列抛物线中，在开口向下的抛物线中开口最大的是（   ） A． B． C． D． 4．抛物线的开口方向，对称轴和y轴交点坐标分别是（    ） A．开口向下，对称轴是直线，与y轴交点坐标是 B．开口向下，对称轴是直线，与y轴交点坐标是 C．开口向上，对称轴是直线，与y轴交点坐标是 D．开口向下，对称轴是直线，与y轴交点坐标是 【方法总结】 画二次函数图像的步骤： 先求对称轴和顶点坐标，确定抛物线的核心位置 求出抛物线与x轴、y轴的交点坐标，可再找几个对称点 用光滑曲线连接点，从左到右延伸画出完整抛物线 画图像时优先抓住顶点、对称轴、交点三个关键要素，不需要画太多点就能得到准确草图。 知识点02 二次函数的性质 1.增减性（单调性） 二次函数的增减性以对称轴为分界，结合开口方向判断： 当 a>0（开口向上）： 在对称轴左侧（即 ），y 随 x 的增大而___________（左降） 在对称轴右侧（即 ），y 随 x 的增大而___________（右升） 当 a<0（开口向下）： 在对称轴左侧（即 ），y 随 x 的增大而___________（左升） 在对称轴右侧（即 ），y 随 x 的增大而___________（右降） 2.最值 a>0 时，抛物线开口向上，顶点是最低点，所以当 时，y 取得最___________值 ，无最大值 a<0 时，抛物线开口向下，顶点是最高点，所以当 时，y 取得最___________值 ，无最小值 3.对称性 抛物线上关于对称轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标到对称轴的距离相等；若已知两个纵坐标相等的点 、，则对称轴为直线 。 即时即练 1．在平面直角坐标系中，二次函数（a为常数，且）的图象与y轴的交点在x轴下方，则该二次函数有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值3 D．最小值3 2．已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 3．抛物线，其中，a，b，c能决定抛物线的增减性的是（     ） A． B． C． D． 4．已知抛物线经过和两点，则的值为（    ） A． B．4 C．3 D．5 5．二次函数的图象经过．则当时，y的值为（　　） A． B． C． D． 【方法总结】 比较二次函数函数值大小的方法： 先看两个点的横坐标是否在对称轴同侧，若在同侧直接根据增减性判断 若在对称轴异侧，先计算两个点到对称轴的距离，结合开口方向判断：开口向上时，距离对称轴越远，函数值越大；开口向下时，距离对称轴越远，函数值越小。 知识点03 二次函数图像的平移变换 二次函数平移遵循“左___________右___________，上___________下___________”的规律，平移不改变二次项系数 a 的大小，仅改变顶点位置，因此平移问题一般转化为顶点平移分析： 1.顶点式平移： 左右平移：向左平移 m（m>0）个单位，得到 ；向右平移 m 个单位，得到 （即x轴方向：左加右减） 上下平移：向上平移 n（n>0）个单位，得到 ；向下平移 n 个单位，得到 （即y轴方向：上加下减） 2.一般式平移：先将一般式配方化为顶点式，按上述规律平移后，再展开整理为一般式即可。 即时即练 1．将抛物线向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，抛物线经变换后得到抛物线，则下列变换正确的是（  ） A．向右平移3个单位 B．向左平移3个单位 C．向右平移2个单位 D．向左平移2个单位 4．将抛物线向右平移3个单位后，所得到的新抛物线，一定经过下列哪个点（   ） A． B． C． D． 【方法总结】 解决平移问题，优先转化为顶点式，对顶点坐标进行平移，再写出新的解析式，避免直接对一般式加减出错。平移顺序不影响最终结果，“左加右减针对x，上加下减针对常数项”，记准规律即可。 知识点04 系数 a、b、c 与图像的关系 系数 符号 图像位置特征 a a>0 开口向__________ a a<0 开口向__________ a c c>0 与y轴交于正半轴 c 过__________点 c c<0 与y轴交于__________半轴 ab ab>0（a、b同号） 对称轴 ，在y轴左侧 ab ab<0（a、b异号） 对称轴 ，在y轴右侧 ab 对称轴为__________轴 即时即练 1．如图是抛物线的示意图，则的值可以是（     ） A．0 B．2 C． D． 2．二次函数开口向上，与轴交于负半轴，对称轴在轴左侧，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于负半轴，则a、b、c符号判断正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．已知二次函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（   ） A．＞0， B．＜0， C．＞0， D．＜0， 5．已知二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（   ）． A． B． C． D．当时，随的增大而减小 【方法总结】 根据二次函数图像判断系数代数式符号的步骤： 先由开口方向判断 a 的符号 由对称轴位置判断 b 的符号（利用的符号推导） 由与y轴交点位置判断 c 的符号 由与x轴交点个数判断判别式 Δ= 的符号 特殊点代入得到对应代数式的符号，逐一验证即可。 题型1 二次函数的图像过定点问题 【例1】抛物线经过定点，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】若抛物线与一次函数的图象都经过同一定点，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 把参数整理到一起，让参数的系数等于0，剩下的方程解出的坐标就是定点，定点和参数的取值无关，因此只有参数的系数为0时，等式才恒成立。 【变式1-1】研究二次函数的图像时发现：无论如何变化，该图像总经过一个定点．这个定点坐标为_______． 【变式1-2】设抛物线，其中为实数． （1）若经过点，则__________； （2）无论为何值，总经过定点__________． 题型2 二次函数一般式化为顶点式 【例1】将二次函数化成的形式为（     ） A． B． C． D． 【例2】将二次函数化为的形式，结果为_____． 【技巧归纳】 提取二次项系数的时候，常数项不要提取，只提取二次项和一次项，配方后不要忘记把外面的常数乘回去，最后整理常数项即可。 【变式1-1】如图是嘉嘉求抛物线的顶点坐标的过程，则（   ） 解：∵ …………① ………………② ∴抛物线的顶点坐标为………③ A．该过程完全正确 B．该过程从①开始出错 C．该过程从②开始出错 D．该过程从③开始出错 【变式1-2】抛物线的顶点坐标是__________． 题型3 求二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标 【例1】函数与的图象的关系是（    ） A．开口方向不同，顶点相同，对称轴相同 B．开口方向不同，顶点不同，对称轴相同 C．开口方向相同，顶点相同，对称轴相同 D．开口方向相同，顶点不同，对称轴不同 【例2】二次函数的顶点坐标和开口方向分别是（   ） A．，开口向下 B．，开口向上 C．，开口向上 D．，开口向下 【技巧归纳】 用一般式公式计算顶点纵坐标容易出错，优先配方成顶点式再求，准确率更高，记住顶点式各项的符号不要出错，y=a(x−h)2+k中h是带负号的，不要把对称轴符号写反。 【变式1-1】二次函数的对称轴为__________，顶点坐标为__________；二次函数的对称轴为__________，顶点坐标为__________． 【变式1-2】二次函数的对称轴是直线________；函数的图象的对称轴是直线________． 题型4 二次函数的增减性判断 【例1】抛物线过，，三点，对称轴是直线，，，大小关系是（    ） A． B． C． D． 【例2】已知抛物线开口向下，且为抛物线上的三个点，则（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 比较两个点函数值大小，第一步找对称轴，第二步看两个点在对称轴同侧还是异侧，异侧的话计算两个点到对称轴的距离，开口向上距离越远函数值越大，开口向下距离越远函数值越小。 【变式1-1】若二次函数的图象经过点，，，则，，的大小关系是_____．（用“”连接） 【变式1-2】已知二次函数（为实数，），当时，随的增大而增大，则的取值范围是__________． 题型5 二次函数的最值问题 【例1】二次函数的最小值为（    ） A．2 B．0 C． D．−9 【例2】若二次函数有最大值7，则的值为________． 【技巧归纳】 区间最值问题不要直接把端点代入就结束，一定要看对称轴是不是在区间里面，顶点才可能取到区间内的最值，这是最容易出错的地方。 【变式1-1】已知实数，满足，则的最大值为________． 【变式1-2】汽车刹车后行驶的距离（单位：米）与行驶的时间（单位：秒）的函数关系式是，则汽车从开始刹车到停下来所用的时间是（   ） A．2秒 B．1.5秒 C．1秒 D．秒 【变式1-3】已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型6 二次函数图像与系数a,b,c的关系判断 【例1】二次函数的，，，那么其图象必过（     ） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二象限 D．第一、二、三象限 【例2】已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④，其中正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【技巧归纳】 记住“左同右异”四个字，直接快速判断b的符号，遇到特殊代数式，直接把x对应的值代入，看图像上对应点的位置在x轴上方还是下方就能判断符号。 【变式1-1】二次函数的图象如图，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】二次函数的图象开口向上，写出一个符合条件的值：___． 【变式1-3】已知二次函数的图象如图所示，则点在第______象限． 题型7 抛物线的平移问题 【例1】将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【例2】抛物线经过平移得到抛物线，平移的方法是（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向上平移个单位 D．向下平移个单位 【技巧归纳】 记住“左同右异”四个字，直接快速判断b的符号，遇到特殊代数式，直接把x对应的值代入，看图像上 左加右减是对x本身进行加减，不要带系数进去，比如把向右平移2个单位，应该是，不要错算成，记住只给x做加减。反过来，已知平移后解析式求原解析式，就反过来计算，平移方向反过来，加减也反过来 【变式1-1】将抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与y轴交点的坐标是_____． 【变式1-2】将抛物线平移到抛物线的位置，则抛物线顶点平移的最短距离为________． 题型8 判断一次函数与二次函数的大致图像 【例1】若二次函数的图象如图所示，则一次函数图象大致是（   ） A．B． C． D． 【例2】在同一坐标系中画出直线与抛物线，有可能是（　　） A． B． C． D． 【技巧归纳】 逐一排除法，每一个选项都找a,b的符号对比，矛盾直接排除，很快就能得到正确答案，不需要逐个推导。 【变式1-1】函数和函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A．B． C． D． 【变式1-2】函数和（m是常数，且）在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型9 二次函数与x轴的交点问题 【例1】根据下表中的二次函数的自变量与与函数的对应值，可判断二次函数的图象与轴（　　） … 0 1 2 … … 1 2 … A．有两个交点，且它们分别在轴两侧 B．有两个交点，且它们均在轴同侧 C．无交点 D．只有一个交点 【例2】若二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴的正半轴交于一点，且对称轴为直线，则下列说法正确的是（  ） A．二次函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧 B．二次函数的图象与x轴的交点位于y轴的右侧 C．其中二次函数中的 D．二次函数的图象与x轴的一个交点位于的右侧 【技巧归纳】 求交点直接令y=0解一元二次方程就行，已知交点求解析式可以用交点式y=a(x−x1)(x−x2)，比一般式计算更简单。 【变式1-1】已知二次函数的对称轴是直线，与x轴的一个交点坐标是，则另一个交点坐标为________ 【变式1-2】如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，若与轴的一个交点坐标为，则由图象可知，与轴的另一个交点坐标是________． 题型10 二次函数对称性的应用 【例1】已知二次函数（a、b为常数，），若其图象上有两点，，则m的值为（   ） A． B． C．3 D． 【例2】若，是抛物线上的两个点，则它的对称轴是（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 已知一个点的对称点坐标，直接用对称性计算，不需要求解析式，可以快速得到对称轴，也可以利用对称性求另一个交点坐标，非常方便。 【变式1-1】若点,,都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知抛物线的对称轴是直线，与轴交于、两点，若点坐标是，则方程的两根是_____． 【变式1-3】已知抛物线经过点和，则该抛物线的对称轴为直线________． 1．当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 2．已知二次函数，下列说法错误的是（     ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 3．关于抛物线，下列说法错误的是（     ） A．该抛物线一定经过点 B．该抛物线顶点纵坐标的最小值为1 C．若点、在该抛物线上，则m的值为3 D．当时，该抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4 4．对于二次函数，下列说法正确的是（      ） A．图象开口向下 B．对称轴是直线 C．与轴的交点是和 D．当时，随的增大而增大 5．二次函数的图象如图所示，对称轴为，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．如图，若，，，则抛物线的图象大致为（    ） A． B． C． D． 7．如图，二次函数的图象与x轴交于点，，则下列说法正确的是（    ）． A． B． C． D． 8．若二次函数的图象经过点，则方程的解为（   ） A． B． C．或 D．或 9．二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 1 1 ．．． 下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知二次函数（b、c是常数）的图象与x轴的交点的横坐标为和1，且二次函数的最小值为m，则的值为（    ） A． B． C．4 D．8 11．已知抛物线开口向下，那么的取值范围是__________． 12．已知关于x的二次函数的图象如图所示，则点在第_________象限． 13．如果抛物线上的点和点B关于它的对称轴对称，那么点B的坐标是______． 14．已知二次函数（），其中，，满足，，则该二次函数图象的对称轴是直线________． 15．二次函数的最大值是___________． 16．抛物线沿x轴向右平移1个单位长度，沿y轴向下平移3个单位长度，则平移后抛物线对应的表达式是________． 17．用描点法画函数的图象，并完成下列问题： (1)求曲线与x轴、y轴交点坐标； (2)根据图象分析，y随x变化而变化的情况． 18．二次函数的部分图象如图所示．根据图象填空： (1)该函数图象的对称轴是______； (2)二次函数图象与x轴的交点坐标为_______； (3)b_____0，c____0， ____0；（填>、<或=） (4)当时，x的取值范围是______ 19．已知二次函数图象上的部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … 0 … … 1 1 … 根据以上信息回答下列问题： (1)二次函数图象的顶点坐标是_____，_____，_____． (2)求该二次函数的表达式． 20．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，关于x的方程有实数根，直接写出t的取值范围． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $