第10讲 二次函数及确定表达式（暑假预习讲义）新九年级数学新教材湘教版

第10讲 二次函数及确定表达式 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 二次函数的概念辨析 题型2 根据实际问题列二次函数 题型3 根据二次函数的定义求参数 题型4 利用一般式确定二次函数表达式 题型5 利用顶点式确定二次函数表达式 题型6 利用交点式确定二次函数表达式 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 自变量最高次数为2、标准形式、待定系数法、解方程组 1. 掌握二次函数定义，牢记核心条件a≠0，能辨别二次函数。 2. 熟记三种解析式，根据已知点灵活选用待定系数法求函数表达式。 学习重点：熟记二次函数三种表达式的形式与适用条件，熟练运用待定系数法求解析式。 学习难点：区分三种表达式适用场景，复杂条件下灵活转换一般式、顶点式、交点式。 结合图像隐含条件列式，忽略a≠0、自变量实际取值范围导致解出错。 平移变换、图像交点综合题型中，快速梳理等量关系求解函数表达式。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 二次函数的基本概念 二次函数的定义 一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a、b、c分别是二次项系数、一次项系数和。 理解定义需要注意两个关键点： 1. 最高次项必须是次项，即二次项系数a不能为0，如果，函数就变成了一次函数或常数函数。 2. 表达式必须是整式形式，若函数中含有分母带自变量或者根号带自变量的形式，不属于二次函数，例如和都不是二次函数。 即时即练 1．下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【方法总结】 先整理式子化为整式，确认只含一个自变量x。 看自变量最高次数是2，且二次项系数不能为0。 含分式、根号、x在分母里的式子都不是二次函数。 知识点02 二次函数的形式 形式类型 表达式 适用场景 一般式 已知任意三个点坐标求表达式 顶点式 已知顶点坐标或对称轴、最值求表达式 交点式 已知抛物线与x轴两个交点坐标求表达式 其中，顶点式中(h,k)是抛物线顶点坐标，交点式中、是抛物线与x轴交点的横坐标。三种形式之间可以互相转化，一般式可以通过配方转化为顶点式，因式分解后可以转化为交点式。 即时即练 1．若抛物线的图象经过点，则的值为（   ）． A．4 B．3 C．2 D．1 2．若抛物线的顶点坐标为，与轴相交于点，则该抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【方法总结】 二次函数共有一般式、顶点式、交点式三种标准形式，均要求二次项系数a不为0。 已知三点常设一般式，给出顶点或最值选用顶点式，告知与x轴交点用交点式。 三种解析式可通过配方、展开相互转化，解题按需选择简化计算。 知识点03 确定二次函数表达式 一般式法 1. 设函数表达式为一般形式：； 2. 将三个点的坐标、、分别代入表达式，得到一个关于a,b,c的三元一次方程组； 3. 解方程组，求出a,b,c的值； 4. 将a,b,c回代所设表达式，得到二次函数解析式。 顶点式法 1. 设函数表达式为顶点形式：，其中(h,k)是已知顶点坐标； 2. 将顶点坐标代入后，表达式中仅剩余参数a未知，再利用题目给出的另一个点坐标代入表达式，得到关于a的一元一次方程； 3. 解方程求出a的值； 4. 将a回代顶点式，整理后如果需要可化为一般式。 交点式法 1. 设函数表达式为交点形式：，其中是两个交点的横坐标； 2. 代入题目给出的另外一个点坐标（任意非交点坐标均可），得到关于a的一元一次方程； 3. 解方程求出a的值； 4. 将a回代交点式，展开整理后得到一般式。 即时即练 1．如图所示的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．若点是抛物线上一点，则________． 3．已知二次函数的图象经过、、三点，求这个二次函数的解析式． 【方法总结】 确定二次函数表达式，核心思路是待定系数法，根据已知条件选择合适的表达式形式，可以大幅减少计算量，以下是选择方法的优先级总结： 1.已知顶点、对称轴、最值，优先选顶点式：顶点式仅需要求一个未知数a，计算量最小，不容易出错； 2.已知抛物线与x轴两个交点，优先选交点式：同样仅需要求一个未知数a，展开整理即可得到一般式，比三点式简单很多； 3.已知任意三个点，或没有给出顶点交点，选一般式：解三元一次方程组求出三个系数，注意计算过程中消元的准确性； 题型1 二次函数的概念辨析 【例1】下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【例2】下列各式中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 1.必须抓住两个核心判断点：第一，自变量的最高次数是2；第二，二次项系数不为0，两个条件缺一不可。 2.如果给出的解析式是含参形式，先整理成一般形式，再根据最高次数为2、二次项系数不等于0列方程或不等式求解。 【变式1-1】函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1-2】下列函数不属于二次函数的是（        ） A． B． C． D． 题型2 根据实际问题列二次函数 【例1】公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【例2】某商店销售一种商品，每件成本为a元，售价为x元，每天可销售件，则每天的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【技巧归纳】 1.第一步：找准问题中的两个变量，明确哪个是自变量，哪个是因变量。 2.第二步：根据实际场景中的等量关系列等式，常见等量关系包括： 面积类：图形面积公式，根据边长变化表示出对应底和高，代入公式整理即可； 利润类：总利润 = 单件利润 × 销售量，分别用自变量表示出单件利润和销售量，相乘整理即可； 增长率类：初始量为a，平均增长率为x，增长n次后的量为，整理即可得到二次函数。 第三步：整理得到的形式，结合实际意义确定自变量的取值范围（如长度不能为负、销售量不能为负等） 【变式1-1】一个正方形的边长为，它的边长增加后，得到新的正方形的面积为，则y关于x的函数解析式为________． 【变式1-2】某化肥厂10月份生产某种化肥，如果11、12月的月平均增长率为x，则12月份化肥的产量与x之间的函数关系式为______． 【变式1-3】如图，小明的父亲想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长，设m，矩形菜园的面积为，则与之间的函数解析式为___________．（不必写出的取值范围） 题型3 根据二次函数的定义求参数 【例1】已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【例2】若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 先根据二次函数定义列两个条件：自变量最高次数为2、二次项系数不等于0。 联立得到方程与不等式，分别求解再取公共解集。 最后把符合条件的参数值代回检验，排除使二次项系数为0的取值。 【变式1-1】如果函数是关于x的二次函数，则________． 【变式1-2】___________时，是关于的二次函数． 题型4 利用一般式确定二次函数表达式 【例1】已知抛物线经过和两点，则的值为（   ） A．0 B．4 C．8 D． 【例2】已知，请设计一个二次函数，使得该函数的图像经过其中的三个点．那么该函数的解析式可以为：__________（写出一个答案即可） 【技巧归纳】 1.设二次函数的表达式为(a≠0)。 2.将三个点的坐标分别代入所设表达式，得到关于a、b、c的三元一次方程组。 3.解方程组求出a、b、c的值，代回所设表达式即可得到最终解析式。 【变式1-1】已知一个二次函数的图象经过，，三点，求这个二次函数的表达式． 【变式1-2】如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点．求此二次函数的解析式； 题型5 利用顶点式确定二次函数表达式 【例1】（已知顶点坐标）已知抛物线的顶点坐标是，且当时，，则这条抛物线的解析式是（　　） A． B． C． D． 【例2】已知抛物线的二次项系数为1，顶点坐标为，则抛物线对应的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 1.设二次函数的表达式为，其中(h,k就是顶点坐标，对称轴为直线x=h，最值为k，可以直接代入已知条件，减少未知参数的数量。 2.将顶点坐标代入，得到只有参数a的表达式，再将另外一个点的坐标代入，解出a的值。 3.将a代回表达式，整理成一般式即可（题目要求顶点式的话不需要整理）。 【变式1-1】若二次函数图象的顶点坐标为，且经过点，则该二次函数的关系式为__________． 【变式1-2】写出一个开口向上、顶点是的抛物线解析式为________（写出一个即可）． 题型6 利用交点式确定二次函数表达式 【例1】已知二次函数的图象与y轴交点坐标为，与x轴交点坐标为和，则函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【例2】二次函数图像与轴交点为，，与轴交点，则解析式为______. 【技巧归纳】 1.设二次函数的表达式为，其中x1、x2就是二次函数与x轴交点的横坐标。 2.将x1、x2代入，得到只有参数a的表达式，再将另外一个点的坐标代入解出a。 3.将表达式展开整理为一般式即可。 【变式1-1】已知一个二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(-1，0)和(2，0)，与y轴的交点坐标为(0，-2)，则该二次函数的解析式为______. 【变式1-2】已知抛物线与x轴两交点分别是(-1，0)，(3，0)另有一点(0，-3)也在图象上，则该抛物线的关系式______． 1．下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．在物理学中，物体由于运动而具有的能量，称为物体的动能，其满足关系，则下列说法正确的是（    ） A．当一定时，与满足一次函数关系 B．当一定时，与满足二次函数关系 C．当一定时，与不满足函数关系 D．当一定时，与满足二次函数关系 3．下列变量间具有二次函数关系的是（   ） A．正方形的周长y与边长x B．正方形的面积S与边长x C．三角形的高一定时，面积y与底边长x D．速度一定时，路程s与时间t 4．已知（为常数）是二次函数，那么的值是（   ） A．3 B． C． D．3或 5．若是二次函数，则（   ） A． B． C． D． 6．若抛物线经过点，则b的值是（   ） A． B． C．3 D．2 7．已知点在抛物线上，则a的值为（    ） A． B． C．2 D． 8．在下列给定的关于的函数中：①，②，③，④，一定是二次函数的是___________．（填写序号） 9．二次函数化简后，其一次项系数是_________． 10．二次函数中，二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______． 11．用一根长为的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为，面积为，则y关于x的函数关系式是________．（化成一般式，不需写出取值范围） 12．将二次函数整理为一般式得___________ 13．西宁某商城计划销售大号宁萌公仔，每个进货价为50元．调查发现，当销售价为120元时，平均每天能售出80个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．设每个宁萌公仔降价x元时，每天获得的利润为y元，则y关于x的函数关系式为______________(化为一般式) 14．若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 15．已知二次函数的常数项为零，则的值为_____． 16．已知二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点，则该二次函数的解析式为_____． 17．已知二次函数，当时，求函数的值． 18．已知函数（m为常数），求当m为何值时： (1)y是x的一次函数？ (2)y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标． 19．关于x的函数（为常数），甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”请问谁的说法正确？为什么？ 20．已知二次函数的图象经过点．求这个二次函数的表达式． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 二次函数及确定表达式 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 二次函数的概念辨析 题型2 根据实际问题列二次函数 题型3 根据二次函数的定义求参数 题型4 利用一般式确定二次函数表达式 题型5 利用顶点式确定二次函数表达式 题型6 利用交点式确定二次函数表达式 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 自变量最高次数为2、标准形式、待定系数法、解方程组 1. 掌握二次函数定义，牢记核心条件a≠0，能辨别二次函数。 2. 熟记三种解析式，根据已知点灵活选用待定系数法求函数表达式。 学习重点：熟记二次函数三种表达式的形式与适用条件，熟练运用待定系数法求解析式。 学习难点：区分三种表达式适用场景，复杂条件下灵活转换一般式、顶点式、交点式。 结合图像隐含条件列式，忽略a≠0、自变量实际取值范围导致解出错。 平移变换、图像交点综合题型中，快速梳理等量关系求解函数表达式。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 二次函数的基本概念 二次函数的定义 一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a、b、c分别是二次项系数、一次项系数和。 理解定义需要注意两个关键点： 1. 最高次项必须是次项，即二次项系数a不能为0，如果，函数就变成了一次函数或常数函数。 2. 表达式必须是整式形式，若函数中含有分母带自变量或者根号带自变量的形式，不属于二次函数，例如和都不是二次函数。 即时即练 1．下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数定义逐一判断选项即可. 【详解】解：二次函数的定义为：一般地，形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数. ∵选项A中是一次函数， ∴A不符合题意； ∵选项B中 ，符合二次函数的定义， ∴B符合题意； ∵选项C中，未说明，当时不是二次函数， ∴C不符合题意； ∵选项D中 里，是分式，不是整式，不符合二次函数定义， ∴D不符合题意. 2．下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如（，，是常数，）的整式函数，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A. 不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意； B. ，该函数是一次函数，不是二次函数，故不符合题意； C. 符合（，，）的形式，是二次函数，故符合题意； D. ，不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意， 综上，选C． 3．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的定义，一般的，形如（，，是常数，且）的函数叫做二次函数． 【详解】解：①符合定义，是二次函数． ②符合定义，是二次函数． ③，符合定义，是二次函数． ④不符合定义，不是二次函数． ⑤不符合定义，不是二次函数． ⑥，因为为常数，所以，符合定义，是二次函数． ⑦，符合定义，是二次函数． 综上所述，符合条件的二次函数共个，故选C． 【方法总结】 先整理式子化为整式，确认只含一个自变量x。 看自变量最高次数是2，且二次项系数不能为0。 含分式、根号、x在分母里的式子都不是二次函数。 知识点02 二次函数的形式 形式类型 表达式 适用场景 一般式 已知任意三个点坐标求表达式 顶点式 已知顶点坐标或对称轴、最值求表达式 交点式 已知抛物线与x轴两个交点坐标求表达式 其中，顶点式中(h,k)是抛物线顶点坐标，交点式中、是抛物线与x轴交点的横坐标。三种形式之间可以互相转化，一般式可以通过配方转化为顶点式，因式分解后可以转化为交点式。 即时即练 1．若抛物线的图象经过点，则的值为（   ）． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的概念与图象，掌握好相关知识是关键． 将点代入抛物线方程，解出 a 的值即可． 【详解】解：将，代入抛物线解析式得， ， 解得，． 故选： B． 2．若抛物线的顶点坐标为，与轴相交于点，则该抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据顶点坐标设抛物线解析式为，再代入点，求出系数，问题得解． 【详解】解：∵抛物线顶点为， ∴设解析式为， 又∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴解抛物线析式为． 故选：A 【方法总结】 二次函数共有一般式、顶点式、交点式三种标准形式，均要求二次项系数a不为0。 已知三点常设一般式，给出顶点或最值选用顶点式，告知与x轴交点用交点式。 三种解析式可通过配方、展开相互转化，解题按需选择简化计算。 知识点03 确定二次函数表达式 一般式法 1. 设函数表达式为一般形式：； 2. 将三个点的坐标、、分别代入表达式，得到一个关于a,b,c的三元一次方程组； 3. 解方程组，求出a,b,c的值； 4. 将a,b,c回代所设表达式，得到二次函数解析式。 顶点式法 1. 设函数表达式为顶点形式：，其中(h,k)是已知顶点坐标； 2. 将顶点坐标代入后，表达式中仅剩余参数a未知，再利用题目给出的另一个点坐标代入表达式，得到关于a的一元一次方程； 3. 解方程求出a的值； 4. 将a回代顶点式，整理后如果需要可化为一般式。 交点式法 1. 设函数表达式为交点形式：，其中是两个交点的横坐标； 2. 代入题目给出的另外一个点坐标（任意非交点坐标均可），得到关于a的一元一次方程； 3. 解方程求出a的值； 4. 将a回代交点式，展开整理后得到一般式。 即时即练 1．如图所示的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图可得，图象过，可设抛物线解析式为. 由图可知，对称轴为直线，可确定顶点坐标为. 将顶点坐标代入方程，从而求得a的值，得到解析式. 【详解】解：由图可知：设抛物线解析式为. 代入顶点坐标得：. . 所以抛物线方程为：. 故选：D. 【点睛】本题考查了二次函数图象性质及二次函数表达式的求解. 2．若点是抛物线上一点，则________． 【答案】2或4/4或2 【分析】点在抛物线上，因此点的坐标满足抛物线的解析式，将点的坐标代入解析式，得到关于的一元二次方程，求解方程即可得到的值． 【详解】解：点在抛物线上， 将，代入抛物线解析式得， ， 解得或， 故答案为或． 3．已知二次函数的图象经过、、三点，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【详解】解：设二次函数的解析式为，把点、、代入得， ，解得， ∴这个二次函数的解析式为． 【方法总结】 确定二次函数表达式，核心思路是待定系数法，根据已知条件选择合适的表达式形式，可以大幅减少计算量，以下是选择方法的优先级总结： 1.已知顶点、对称轴、最值，优先选顶点式：顶点式仅需要求一个未知数a，计算量最小，不容易出错； 2.已知抛物线与x轴两个交点，优先选交点式：同样仅需要求一个未知数a，展开整理即可得到一般式，比三点式简单很多； 3.已知任意三个点，或没有给出顶点交点，选一般式：解三元一次方程组求出三个系数，注意计算过程中消元的准确性； 题型1 二次函数的概念辨析 【例1】下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义判断各选项，二次函数要求表达式是关于x的整式，且自变量x的最高次数为2，二次项系数不为0． 【详解】解：∵二次函数的定义为：形如（，，为常数，且）的函数，等式右边是关于x的整式， A：是反比例函数，右边是分式，不符合定义， B：是一次函数，x最高次数为1，不符合定义， C：，符合二次函数形式，，右边是整式，x最高次数为2，符合定义， D：含分式项，右边不是整式，不符合定义． 【例2】下列各式中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如（，为常数）的整式函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是分式，不是整式，不符合定义，该选项不符合题意； B、整理得，符合，符合二次函数定义，该选项符合题意； C、中x的最高次数为1，是一次函数，该选项不符合题意； D、中，一个x对应两个不同的y值，y不是x的函数，该选项不符合题意． 【技巧归纳】 1.必须抓住两个核心判断点：第一，自变量的最高次数是2；第二，二次项系数不为0，两个条件缺一不可。 2.如果给出的解析式是含参形式，先整理成一般形式，再根据最高次数为2、二次项系数不等于0列方程或不等式求解。 【变式1-1】函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，依据二次函数一般式（）中各系数的定义来确定对应值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的一般形式为（，为二次项系数，为一次项系数，为常数项）， ∴函数解析式中二次项系数是，一次项系数是，常数项是， 故选：． 【变式1-2】下列函数不属于二次函数的是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：对于A：，是二次函数，故本选项不符合题意； 对于B：，是二次函数，故本选项不符合题意； 对于C：，是一次函数，故本选项符合题意； 对于D：，是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：C． 题型2 根据实际问题列二次函数 【例1】公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据题意列函数关系式． 根据每月的增长百分率，依次推导8月、9月的销售量，从而得到9月销售量关于x的函数解析式． 【详解】解：∵7月份销售量为1500个，每月销售量的增长百分率为x， ∴8月份的销售量为个， ∴9月份的销售量． 故选：A． 【例2】某商店销售一种商品，每件成本为a元，售价为x元，每天可销售件，则每天的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列函数关系式，利润由每件利润乘以销售数量得出，每件利润为售价减成本，销售数量由题干给出，由此可解． 【详解】解：∵ 每件利润为元，每天销售件， ∴ 每天利润 ． 故选：A． 【技巧归纳】 1.第一步：找准问题中的两个变量，明确哪个是自变量，哪个是因变量。 2.第二步：根据实际场景中的等量关系列等式，常见等量关系包括： 面积类：图形面积公式，根据边长变化表示出对应底和高，代入公式整理即可； 利润类：总利润 = 单件利润 × 销售量，分别用自变量表示出单件利润和销售量，相乘整理即可； 增长率类：初始量为a，平均增长率为x，增长n次后的量为，整理即可得到二次函数。 第三步：整理得到的形式，结合实际意义确定自变量的取值范围（如长度不能为负、销售量不能为负等） 【变式1-1】一个正方形的边长为，它的边长增加后，得到新的正方形的面积为，则y关于x的函数解析式为________． 【答案】 【分析】先根据题意得到新正方形的边长. 再利用正方形面积公式列出与的关系式. 整理后即可得到函数解析式． 【详解】由题意可知，原正方形边长为，边长增加后，新正方形的边长为 根据正方形面积公式，可得： 展开整理得： 由的实际意义可知， ∴． 【变式1-2】某化肥厂10月份生产某种化肥，如果11、12月的月平均增长率为x，则12月份化肥的产量与x之间的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查列函数解析式，根据月平均增长率问题，11月份产量为，12月份产量为，从而得到函数关系式． 【详解】解：依题意，月平均增长率为，则11月份化肥产量为，12月份化肥产量为， 故， 故答案为：． 【变式1-3】如图，小明的父亲想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长，设m，矩形菜园的面积为，则与之间的函数解析式为___________．（不必写出的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查了列二次函数关系式，由m，得m，m，即可求解； 【详解】解：∵m， ∴m，m， ∴， 故答案为： 题型3 根据二次函数的定义求参数 【例1】已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数二次项系数不为的要求，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数不能为，是二次函数， ∴， 解得． 【例2】若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式即可求出的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解方程，即， 解得或， 又∵， ， ． 【技巧归纳】 先根据二次函数定义列两个条件：自变量最高次数为2、二次项系数不等于0。 联立得到方程与不等式，分别求解再取公共解集。 最后把符合条件的参数值代回检验，排除使二次项系数为0的取值。 【变式1-1】如果函数是关于x的二次函数，则________． 【答案】0 【分析】根据二次函数的定义可得二次项系数不为0，且x的最高次数为2，据此列方程与不等式求解即可得到k的值． 【详解】解：根据二次函数的定义，得， 解方程，解得或． 由得， 因此． 【变式1-2】___________时，是关于的二次函数． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，注意二次项系数不能为0是解题的关键．根据二次函数的定义，可得，并且注意二次项系数不能为0，即，即可解答． 【详解】解：由题意得， 解得， ， 故答案为：． 题型4 利用一般式确定二次函数表达式 【例1】已知抛物线经过和两点，则的值为（   ） A．0 B．4 C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查了求二次函数解析式． 根据待定系数法求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过和两点， ∴， 解得：． 故选：C． 【例2】已知，请设计一个二次函数，使得该函数的图像经过其中的三个点．那么该函数的解析式可以为：__________（写出一个答案即可） 【答案】（或或） 【分析】选取三个点分四种组合求解二次函数解析式． 组合：选取、、三点，利用对称性设顶点式求解； 组合：选取、、三点，利用对称性设顶点式求解； 组合：选取、、三点，设一般式，代入三点坐标列方程组求解； 组合：选取、、三点，设一般式，代入三点坐标列方程组求解． 【详解】解：组合：过、、， ∵、关于轴对称， ∴抛物线对称轴为，设解析式为． 代入得， ∴， 代入得 解得， ∴解析式为． 组合：过、、 ∵、关于轴对称， ∴抛物线对称轴为， ∴设解析式为． 代入得， 代入得， 联立得， 解得，； ∴解析式为． 组合：过、、， 设解析式为， 代入：， 代入：，即， 代入：，即， 联立得， 解得，， ∴解析式为． 组合：过、、 设解析式为， 代入：， 代入：，即， 代入：，即， 联立得 解得，， ∴解析式为一次函数，不符合二次函数要求，故此组合舍去． 故答案为：（或或）． 【技巧归纳】 1.设二次函数的表达式为(a≠0)。 2.将三个点的坐标分别代入所设表达式，得到关于a、b、c的三元一次方程组。 3.解方程组求出a、b、c的值，代回所设表达式即可得到最终解析式。 【变式1-1】已知一个二次函数的图象经过，，三点，求这个二次函数的表达式． 【答案】 【分析】设出二次函数的一般式，然后将三个已知点的坐标分别代入一般式，得到关于、、的三元一次方程组，再解方程组求出、、的值，最后确定二次函数的表达式． 【详解】解：由题知，设这个二次函数的表达式为， 将，，代入，得， 解得， ∴这个二次函数的表达式为． 【变式1-2】如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点．求此二次函数的解析式； 【答案】 【分析】本根据二次函数图象经过原点得到，再结合图象经过点，进而联立方程求出的值，确定二次函数的解析式． 【详解】解：函数图像经过原点和点， ， 解得：， 二次函数的解析式为． 题型5 利用顶点式确定二次函数表达式 【例1】（已知顶点坐标）已知抛物线的顶点坐标是，且当时，，则这条抛物线的解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线的顶点坐标是，设抛物线的解析式为，再由当时，，求出的值，即可得到答案． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 设抛物线的解析式为， 当时，， ， 解得：， 抛物线的解析式为， 故选：D． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，告诉了顶点，采用顶点式，将抛物线解析式设为是解题的关键． 【例2】已知抛物线的二次项系数为1，顶点坐标为，则抛物线对应的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式．根据抛物线的顶点式，结合已知条件直接求解． 【详解】解：设抛物线的顶点式为，其中为顶点，为二次项系数， ∵二次项系数为1，顶点坐标为， ∴， 故选：A． 【技巧归纳】 1.设二次函数的表达式为，其中(h,k就是顶点坐标，对称轴为直线x=h，最值为k，可以直接代入已知条件，减少未知参数的数量。 2.将顶点坐标代入，得到只有参数a的表达式，再将另外一个点的坐标代入，解出a的值。 3.将a代回表达式，整理成一般式即可（题目要求顶点式的话不需要整理）。 【变式1-1】若二次函数图象的顶点坐标为，且经过点，则该二次函数的关系式为__________． 【答案】(或) 【详解】解：设该二次函数的关系式为，代入 解得： ∴(或) 【变式1-2】写出一个开口向上、顶点是的抛物线解析式为________（写出一个即可）． 【答案】 【分析】本题考查求函数解析式，根据抛物线的顶点坐标，可设解析式为顶点式，由开口向上可知，取即可得到解析式． 【详解】解：由题意，抛物线的顶点为，且开口向上，因此可设其解析式为，其中．取，得解析式为． 故答案为：（答案不唯一）． 题型6 利用交点式确定二次函数表达式 【例1】已知二次函数的图象与y轴交点坐标为，与x轴交点坐标为和，则函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设二次函数解析式，利用待定系数法即可求即． 【详解】解：设二次函数解析式， ∵二次函数的图象与y轴交点坐标为， ∴， ∴， ∵二次函数的图象与x轴交点坐标为和， ∴， 解得， ∴二次函数解析式． 故选择B． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，掌握待定系数法求二次函数解析式方法是解题关键． 【例2】二次函数图像与轴交点为，，与轴交点，则解析式为______. 【答案】. 【分析】根据待定系数法求解即可. 【详解】解：∵二次函数图像与轴交点为，，∴设抛物线的解析式为：， 把代入得：，解得a=2，所以抛物线的解析式为：. 故答案为. 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，属于基本题型，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法是关键. 【技巧归纳】 1.设二次函数的表达式为，其中x1、x2就是二次函数与x轴交点的横坐标。 2.将x1、x2代入，得到只有参数a的表达式，再将另外一个点的坐标代入解出a。 3.将表达式展开整理为一般式即可。 【变式1-1】已知一个二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(-1，0)和(2，0)，与y轴的交点坐标为(0，-2)，则该二次函数的解析式为______. 【答案】 【分析】设二次函数解析式为，将点(-1，0)和(2，0)，(0，-2)代入解析式就能求得函数解析式. 【详解】设二次函数是， 二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(-1，0)和(2，0)，与y轴的交点坐标为(0，-2)， 则将点(-1，0)和(2，0)，(0，-2)代入解析式得： 解得. 所以二次函数解析式为. 故答案为： 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 【变式1-2】已知抛物线与x轴两交点分别是(-1，0)，(3，0)另有一点(0，-3)也在图象上，则该抛物线的关系式______． 【答案】 【详解】试题分析：设该抛物线的解析式是，因为点（0，-3）也在图象上，所以 考点：抛物线的解析式 点评：本题属于对抛物线的基本知识的理解和运用 1．下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义，判断各选项是否符合形如（、、为常数，）的整式函数，且最高次项次数为2． 【详解】解：选项A：中含有（即项），不是整式，不符合二次函数定义，故A不符合题意； 选项B：最高次项次数为1，是一次函数，不符合二次函数定义，故B不符合题意； 选项C：符合（，，）的形式，是二次函数，故C符合题意； 选项D：展开为，最高次项次数为1，是一次函数，不符合二次函数定义，故D不符合题意． 2．在物理学中，物体由于运动而具有的能量，称为物体的动能，其满足关系，则下列说法正确的是（    ） A．当一定时，与满足一次函数关系 B．当一定时，与满足二次函数关系 C．当一定时，与不满足函数关系 D．当一定时，与满足二次函数关系 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数，二次函数的定义，熟练掌握一次函数与二次函数的定义是解题的关键． 根据一次函数，二次函数的定义，即可判断． 【详解】解：∵一次函数的形式为（，、为常数），二次函数的形式为（，、、为常数） ①当一定时，令（为常数且），则，符合二次函数的形式，∴与满足二次函数关系，故A不符合题意，B符合题意； ②当一定时，令（为常数且），则，符合一次函数的形式，∴与满足一次函数关系，故C、D不符合题意．. 故选：B． 3．下列变量间具有二次函数关系的是（   ） A．正方形的周长y与边长x B．正方形的面积S与边长x C．三角形的高一定时，面积y与底边长x D．速度一定时，路程s与时间t 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义． 根据二次函数的定义（形如，其中），逐一分析各选项变量间的关系式，判断是否为二次函数即可． 【详解】解：A．正方形的周长与边长的关系为，是一次函数，不符合题意； B．正方形的面积与边长的关系为，符合二次函数形式，符合题意； C．三角形的高一定时，面积与底边的关系为（为定值），是一次函数，不符合题意； D．速度一定时，路程与时间的关系为（为定值），是一次函数，不符合题意； 故选：B． 4．已知（为常数）是二次函数，那么的值是（   ） A．3 B． C． D．3或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，x的指数必须为2，且系数不为零，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵（为常数）是二次函数， ∴， ∴， 解得， 故选：B． 5．若是二次函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的一般形式、一元二次方程的解法，即，即未知数的最高次幂是次，且二次项系数不为零． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴指数部分，且系数， 解方程 移项得， 因式分解得， ∴或 又∵，即， ∴． 故选：C． 6．若抛物线经过点，则b的值是（   ） A． B． C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质． 将点代入抛物线方程，解关于b的方程即可． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴， 即， 解得． 故选：D． 7．已知点在抛物线上，则a的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了点与函数的关系，用待定系数法，将点坐标代入抛物线方程求解 a 的值 【详解】解：∵ 点在抛物线上， ∴ 当时，，代入得， ∴， 故选：C. 8．在下列给定的关于的函数中：①，②，③，④，一定是二次函数的是___________．（填写序号） 【答案】 ① 【分析】本题考查二次函数的判断，根据二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数，需满足整式且的最高次数为2，据此解答即可． 【详解】解：①，其中，是二次函数； ②，可能为0，不一定是二次函数； ③，为一次函数，不是二次函数； ④，是分式函数，不是二次函数． 故答案为：①． 9．二次函数化简后，其一次项系数是_________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的展开化简及项的系数识别，解题的关键是将二次函数的乘积形式展开为一般式，再确定一次项的系数． 将按多项式乘法法则展开，合并同类项得到二次函数的一般式，进而找出一次项对应的系数． 【详解】解：， 其一次项为，系数是． 故答案为：． 10．二次函数中，二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，关键是熟练应用定义解题； 二次函数的一般形式为 （其中 ，， 是常数且），称为二次项系数，称为一次项系数，称为常数项． 【详解】解：对于二次函数 ，其一般形式中，，， 因此二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故答案为：，，． 11．用一根长为的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为，面积为，则y关于x的函数关系式是________．（化成一般式，不需写出取值范围） 【答案】 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式．根据长方形的宽和周长表示出长方形的长为，再根据长方形的面积公式可得答案． 【详解】解：由题意得：长方形的长为， ∴， 故答案为：． 12．将二次函数整理为一般式得___________ 【答案】 【分析】本题考查了将二次函数的顶点式化为一般式，注意打开括号变号即可； 【详解】解：， 故答案为： 13．西宁某商城计划销售大号宁萌公仔，每个进货价为50元．调查发现，当销售价为120元时，平均每天能售出80个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．设每个宁萌公仔降价x元时，每天获得的利润为y元，则y关于x的函数关系式为______________(化为一般式) 【答案】 【分析】本题考查根据题意列二次函数解析式． 根据总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式，再化为一般式即可． 【详解】由题意，可列y关于x的函数关系式为：． 故答案为：． 14．若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征；将点代入二次函数解析式，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴将，代入解析式得， 即， 解得． 故答案为：1． 15．已知二次函数的常数项为零，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，解一元一次不等式． 根据常数项为零的条件列出方程，并结合二次函数的定义（二次项系数不为零）求解． 【详解】解：∵二次函数的常数项为零， ∴，即， ∴或． 又∵函数为二次函数， ∴二次项系数， ∴， ∴． 故答案为：2． 16．已知二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点，则该二次函数的解析式为_____． 【答案】 【分析】利用待定系数法将，，代入求解即可． 【详解】解：将，，代入得， 解得 ∴该二次函数的解析式为． 17．已知二次函数，当时，求函数的值． 【答案】 【详解】解：将代入，得． 18．已知函数（m为常数），求当m为何值时： (1)y是x的一次函数？ (2)y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标． 【答案】(1) (2)，纵坐标为的点的横坐标 【分析】本题考查一次函数和二次函数的定义，熟练掌握系数和次数的值是关键． （1）由一次函数定义得出，且，求出的值；（2）由二次函数定义得出，且，求出的值． 【详解】（1）解：（1）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的一次函数； （2）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的二次函数， 当时，， 解得， 纵坐标为64的点的横坐标． 19．关于x的函数（为常数），甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”请问谁的说法正确？为什么？ 【答案】乙说法正确，理由见解析． 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义即可求解，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：乙说法正确，理由： 由题意得：， ∴关于的函数（为常数）一定是二次函数， 所以乙的说法正确． 20．已知二次函数的图象经过点．求这个二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 把点代入得到二元一次方程组，解方程组得、，即可得结论． 【详解】解：把点代入得，， 解得， ∴二次函数表达式为． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $