第7讲 一元二次方程的定义和解法（暑假预习讲义）新九年级数学新教材湘教版

第07讲 一元二次方程的定义和解法 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 一元二次方程的定义判定 题型2 利用一元二次方程定义求参数值 题型3 一元二次方程的一般形式整理 题型4 一元二次方程根的判定 题型5 直接开平方法解一元二次方程 题型6 配方法解一元二次方程 题型7 公式法解一元二次方程 题型8 因式分解法解一元二次方程 题型9 用换元法解特殊一元二次方程 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 一元、二次、整式方程、一般形式、配方法、公式法、因式分解法 1.准确说出一元二次方程定义，区分一元一次、分式方程，会判断是否为一元二次方程。 2.能将方程整理为一般形式。 3.掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法，能根据方程特点选简便方法。 学习重点：一元二次方程的定义，化成一般形式a+bx+c，确定a、b、c的值。 四种解法：因式分解法、直接开平方法、配方法、公式法，能根据方程特征选择简便解法 学习难点：二次项系数不为 1 时的配方变形，理解 “加一次项系数一半平方再减” 的原理 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 一元二次方程的定义 核心三要素： ①整式方程：方程两边必须都是，分母中不能含有未知数，根号下也不能含有未知数。若方程分母含有未知数则属于分式方程，根号含有未知数则属于无理方程，都不是一元二次方程。 ②只含一个未知数：一元二次方程中只能出现未知数，通常用字母x表示，若同时出现x、y两个未知数则不属于一元二次方程。 ③未知数最高次数为：方程中未知数的最高次项次数必须是2，且这一项的系数不能为0；当二次项系数为0时，方程最高次数降为1，此时就不再是一元二次方程 即时即练 1．下列关于x的方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列方程中，一元二次方程共有（   ）个． ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2 B．3 C．4 D．5 【方法总结】 识别一元二次方程要满足三点： 整式方程、仅有一个未知数、未知数最高次数为2，且二次项系数不能为0。 知识点02 一元二次方程的一般形式 1.一般形式：一元二次方程的一般形式为：(a≠0)，其中：是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 2.注意点：任何一元二次方程经过整理都可以化为一般形式，所以判定一元二次方程通常都要先整理为一般形式，再根据定义判断。同时二次项系数不能为0，这是判定一元二次方程的核心条件，题目中若给出含有参数的一元二次方程，默认二次项系数不为0，求解参数范围时必须考虑这个隐含条件。 即时即练 1．一元二次方程的常数项是（   ） A．3 B． C．5 D． 2．一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．把方程化成一般形式，得到，则的值为（   ） A．3 B． C．7 D． 【方法总结】 整理一元二次方程一般形式，先去括号、移项合并同类项，写成，保证二次项系数a不为零。 知识点03 一元二次方程的根 定义：能使一元二次方程左右两边的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。利用根的定义，可以将已知根代入原方程，求解方程中的未知参数，这是这类题目的常用解法。 即时即练 1．在下列方程中，是方程的根的是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 3．如表是小钰同学求代数式（，为常数）的值的情况．根据表中的数据可知，关于的一元二次方程的实数根是（   ） … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 【方法总结】 判断一个数是否是方程的解，只需把数值代入方程中的未知数。分别计算等式左右两边的结果，两边数值相等则是方程的解。若两边计算结果不相等，该数值就不是此一元二次方程的解。 知识点04 一元二次方程的解法 1. 直接开平方法：直接开平方法适用于形如的一元二次方程，这类方程可以直接开平方得到，进而得到方程的两个根，。 2. 配方法：配方法是通过配方将一元二次方程化为，再用直接开平方法求解的方法，配方法是解一元二次方程的基础方法，也是推导求根公式的依据。 3. 公式法：公式法是通过配方法推导得到一元二次方程的通用求根公式，直接代入系数求解的方法，是解一元二次方程的通用方法，适用于所有一元二次方程。 4. 因式分解法：因式分解法是将一元二次方程整理为一次式乘积等于的形式，再令每个一次式分别等于0，从而实现降次求解的方法，是解一元二次方程中最简便的方法，只要能因式分解的方程优先选择这种方法。 即时即练 1．一元二次方程用配方法解方程，配方结果是（     ） A． B． C． D． 2．若记方程的两个不相等的实数根为，则的值为（    ） A． B． C．4 D．2 3．一元二次方程的两个实数根为和，则代数式的值为（     ） A．1 B．2 C．0 D． 【方法总结】 解一元二次方程核心思想是降次，共有四种常用解法。 形式适合开平方或易因式分解优先简便方法，省时易计算。 不易分解的统一整理成一般式，代入求根公式求解；配方法多用于推导公式与求最值。 题型1一元二次方程的定义判定 【例1】下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【例2】下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 一元二次方程的判定核心是抓住三个必要条件： 必须是整式方程（分母中不含未知数） 只含有一个未知数 未知数的最高次数是2，且二次项系数不为0 判定步骤：先整理方程为一般形式（），再逐一核对三个条件，只要有一个条件不满足，就不是一元二次方程。 【变式1-1】关于的一元二次方程的一次项系数是（    ） A．5 B．4 C． D． 【变式1-2】方程的二次项系数是______． 题型2 利用一元二次方程定义求参数值 【例1】若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．m为任意实数 【例2】已知 是关于x的一元二次方程，则a的值为(　　) A． B． C． D． 【技巧归纳】 这类问题核心是利用两个条件列不等式组： 1.未知数最高次数等于2：即x的次数n=2 2.二次项系数不等于0：即a≠0 求解时，先根据次数条件求出参数所有可能值，再排除二次项系数为0的情况，最终得到符合要求的参数。 【变式1-1】已知是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 【变式1-2】已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 题型3 一元二次方程的一般形式整理 【例1】把一元二次方程化成一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】关于x的一元二次方程的一次项系数是（    ） A．1 B．7 C． D． 【技巧归纳】 一元二次方程的一般形式是，整理步骤为： 1.去括号、去分母，移项，将所有项移到等号左侧，右侧化为0 2.合并同类项，按照次数从高到低排列各项 3.注意：确定二次项系数、一次项系数、常数项时，必须先化为一般形式，且系数包含符号。 【变式1-1】把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（     ） A．4，1，3 B． C． D． 【变式1-2】把方程化成一般形式，得到，则的值为（   ） A．3 B． C．7 D． 题型4 一元二次方程根的判定 【例1】如表是某代数式的值的情况，根据表格可知方程的根是（   ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 10 4 0 0 ．．． A． B． C．或 D．或 【例2】下列一元二次方程中，有一个根为1的方程是（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 判定一个数是不是一元二次方程的根，只需要把这个数代入方程左右两边：若左右两边相等，则该数是方程的根；若不相等，则不是方程的根。 对于已知根求参数的问题，可将根直接代入原方程，得到关于参数的方程，求解后再结合一元二次方程定义验证即可。 【变式1-1】若，则必有一个根是（   ） A．0 B． C． D． 【变式1-2】若方程中，满足和，则方程的根是（　　） A．1，2 B．1 C．1 D．无法确定 题型5 直接开平方法解一元二次方程 【例1】方程的根为（    ） A． B． C． D． 【例2】一元二次方程的根是（    ） A．5 B． C． D．25 【技巧归纳】 直接开平方法适用于形如的一元二次方程，求解步骤： 1.先将方程变形为左边是完全平方式，右边是非负常数的形式 2.直接开平方得x+m= 3.移项得到两个一元一次方程的解：， 注意：若(n<0)，方程没有实数根。如果方程形式是，开平方后得到ax+m=±(bx+n)，分别解两个一次方程即可得到原方程的根。 【变式1-1】方程的解是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型6配方法解一元二次方程 【例1】用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】方程配方成的形式为（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 配方法的核心是通过配方将方程化为的形式，再用直接开平方法求解，步骤如下： 1.化1：若二次项系数不为1，方程两边同时除以二次项系数，将二次项系数化为1 2.移项：把常数项移到方程的右边 3.配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式 4.开方求解：若右边非负，直接开平方求解；若右边为负，方程无实根 注意：配方时，等式两边必须同时加一次项系数一半的平方，不能只加左边。 【变式1-1】将一元二次方程配方，得到方程，其中“▲”表示的数是（   ） A．3 B．6 C．9 D．10 【变式1-2】若将一元二次方程 转化为的形式，则的值为（     ） A． B． C． D． 题型7 公式法解一元二次方程 【例1】一元二次方程的实数根是（    ） A． B． C．， D． 【例2】用公式法解一个一元二次方程的根为，则此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【技巧归纳】 公式法是解一元二次方程的通用方法，对于任意一元二次方程，当判别式时，求根公式为：求解步骤： 1.把方程整理为一般形式，确定(a,b,c)的值（注意符号） 2.计算判别式：若，直接得出方程无实数根；若Δ≥0，代入求根公式计算 3.写出方程的两个根 记忆口诀：先化一般式，再找系数a,b,c，算判别式定根的个数，再套公式得结果。 【变式1-1】下列一元二次方程的根可以根据计算得出的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】用公式法解一元二次方程时，的值为（） A．8 B．12 C．16 D．24 题型8 因式分解法解一元二次方程 【例1】一元二次方程 的一个根为，则另一个根是（     ） A． B． C． D． 【例2】一元二次方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 【技巧归纳】 因式分解法适用于可以分解为两个一次因式乘积等于0的方程，核心原理是若ab=0，则a=0或b=0，求解步骤： 1.将方程整理为右边等于0的形式 2.将左边的二次多项式分解为两个一次因式的乘积（常用方法：提公因式法、公式法<平方差、完全平方>、十字相乘法） 3.令每个一次因式分别等于0，得到两个一元一次方程 4.解两个一元一次方程，得到原方程的根 优势：因式分解法是解题速度最快的方法，只要能分解，优先选择因式分解法，避免复杂计算。 【变式1-1】一张矩形纸张的长和宽分别为方程的两根，则这个矩形的周长为（    ） A．8 B．15 C．16 D．30 【变式1-2】一元二次方程的解是（    ） A． B．， C．， D．， 题型9 用换元法解特殊一元二次方程 【例1】已知方程的解是，，现给出另一个方程，则它的实数解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【例2】已知关于的方程的解是（均为常数，），则方程的解是（    ） A． B． C． D．无法求解 【技巧归纳】 对于方程中存在重复整体的高次方程，换元法可以降次，将复杂方程转化为一元二次方程求解。步骤： 1.设出重复出现的整体为新未知数y 2.将原方程转化为关于y的一元二次方程，求解得到y的值 3.把(y)换回原来的整体，求解原未知数，验证结果是否符合要求。 【变式1-1】若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（　　） A．33 B．34 C．35 D．36 【变式1-2】当时，的值为（　　） A． B．1 C．1或 D．0 1．下列关于的方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．有以下两个方程：甲：，乙：，其中（    ） A．甲是一元二次方程 B．乙是一元二次方程 C．甲和乙均是一元二次方程 D．甲和乙均不是一元二次方程 3．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A． B． C．5，2，1 D． 4．若关于x的方程是一元二次方程，则a的值不可以为（   ） A．4 B．3 C．2 D．0 5．下列方程中，两根分别是和的方程是（   ） A． B． C． D． 6．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 7．方程 的根是（   ） A． B． C． D． 8．把方程转化成的形式，则的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 9．用公式法解方程时，得，则“”处应填（） A． B．5 C． D．7 10．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 11．一元二次方程的一次项系数_______． 12．将方程化为一元二次方程的一般形式为___________． 13．若是关于的一元二次方程，则的值是______． 14．关于的一元二次方程有一个根是2，则这个一元二次方程可以是_____．（写出一个即可） 15．方程 的解是______． 16．将方程配方成的形式，则______． 17．解一元二次方程： (1) ； (2)； (3)（用配方法解）； (4)（用公式法解）． 18．解关于的方程：． 19．求下列式子中的值： (1) (2) 20．解下列方程： (1)； (2)． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 一元二次方程的定义和解法 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 一元二次方程的定义判定 题型2 利用一元二次方程定义求参数值 题型3 一元二次方程的一般形式整理 题型4 一元二次方程根的判定 题型5 直接开平方法解一元二次方程 题型6 配方法解一元二次方程 题型7 公式法解一元二次方程 题型8 因式分解法解一元二次方程 题型9 用换元法解特殊一元二次方程 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 一元、二次、整式方程、一般形式、配方法、公式法、因式分解法 1.准确说出一元二次方程定义，区分一元一次、分式方程，会判断是否为一元二次方程。 2.能将方程整理为一般形式。 3.掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法，能根据方程特点选简便方法。 学习重点：一元二次方程的定义，化成一般形式a+bx+c，确定a、b、c的值。 四种解法：因式分解法、直接开平方法、配方法、公式法，能根据方程特征选择简便解法 学习难点：二次项系数不为 1 时的配方变形，理解 “加一次项系数一半平方再减” 的原理 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 一元二次方程的定义 核心三要素： ①整式方程：方程两边必须都是，分母中不能含有未知数，根号下也不能含有未知数。若方程分母含有未知数则属于分式方程，根号含有未知数则属于无理方程，都不是一元二次方程。 ②只含一个未知数：一元二次方程中只能出现未知数，通常用字母x表示，若同时出现x、y两个未知数则不属于一元二次方程。 ③未知数最高次数为：方程中未知数的最高次项次数必须是2，且这一项的系数不能为0；当二次项系数为0时，方程最高次数降为1，此时就不再是一元二次方程 即时即练 1．下列关于x的方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程需满足：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，二次项系数不为0，据此逐一验证即可． 【详解】解：选项A：中未说明，当时方程不是一元二次方程， ∴A错误； 选项B：分母含有未知数，是分式方程，且含有两个未知数， ∴B错误； 选项C：整理得，未知数最高次数为3， ∴C错误； 选项D：整理得，符合一元二次方程的定义， ∴D正确． 2．下列方程中，一元二次方程共有（   ）个． ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题根据一元二次方程的定义逐个判断方程，统计符合条件的个数即可得到结果，一元二次方程需满足：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，二次项系数不为0． 【详解】解： ∵①满足所有条件， ∴①是一元二次方程 ∵②未说明，当时不是一元二次方程， ∴②不符合要求 ∵③是分式方程，不是整式方程， ∴③不符合要求 ∵④满足所有条件， ∴④是一元二次方程 ∵⑤含有x，y两个未知数， ∴⑤不符合要求 ∵⑥展开整理原方程得，化简得，未知数最高次数为1， ∴⑥不是一元二次方程； 综上，一元二次方程共有2个． 【方法总结】 识别一元二次方程要满足三点： 整式方程、仅有一个未知数、未知数最高次数为2，且二次项系数不能为0。 知识点02 一元二次方程的一般形式 1.一般形式：一元二次方程的一般形式为：(a≠0)，其中：是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 2.注意点：任何一元二次方程经过整理都可以化为一般形式，所以判定一元二次方程通常都要先整理为一般形式，再根据定义判断。同时二次项系数不能为0，这是判定一元二次方程的核心条件，题目中若给出含有参数的一元二次方程，默认二次项系数不为0，求解参数范围时必须考虑这个隐含条件。 即时即练 1．一元二次方程的常数项是（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的有关定义，解题的关键是掌握相关定义，只含有一个未知数，并且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程，一般形式为，其中，，分别为二次项，一次项和常数项．先将一元二次方程化为一般式，即可求解． 【详解】解：由可得， 则常数项为，D选项符合题意． 2．一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】一元二次方程的一般形式为 ，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为5和． 3．把方程化成一般形式，得到，则的值为（   ） A．3 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】将方程化为一般形式，比较系数即可解答． 【详解】解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， ∴． 【方法总结】 整理一元二次方程一般形式，先去括号、移项合并同类项，写成，保证二次项系数a不为零。 知识点03 一元二次方程的根 定义：能使一元二次方程左右两边的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。利用根的定义，可以将已知根代入原方程，求解方程中的未知参数，这是这类题目的常用解法。 即时即练 1．在下列方程中，是方程的根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．当时，，不是方程的根； B．当时，，不是方程的根； C．当时，，是方程的根； D．当时，，不是方程的根． 2．下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意； B、未知数最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，将代入方程左边得：左边右边，是的根，符合题意； D、即，不是一元二次方程，不符合题意． 3．如表是小钰同学求代数式（，为常数）的值的情况．根据表中的数据可知，关于的一元二次方程的实数根是（   ） … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了判断是否是一元二次方程的解．通过观察表格数据，找到使代数式的值为2的值，这些值即为方程 的实数根，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，方程可化为， 由表格可知，当 或 时，， ∴方程的实数根为，， 故选：B 【方法总结】 判断一个数是否是方程的解，只需把数值代入方程中的未知数。分别计算等式左右两边的结果，两边数值相等则是方程的解。若两边计算结果不相等，该数值就不是此一元二次方程的解。 知识点04 一元二次方程的解法 1. 直接开平方法：直接开平方法适用于形如的一元二次方程，这类方程可以直接开平方得到，进而得到方程的两个根，。 2. 配方法：配方法是通过配方将一元二次方程化为，再用直接开平方法求解的方法，配方法是解一元二次方程的基础方法，也是推导求根公式的依据。 3. 公式法：公式法是通过配方法推导得到一元二次方程的通用求根公式，直接代入系数求解的方法，是解一元二次方程的通用方法，适用于所有一元二次方程。 4. 因式分解法：因式分解法是将一元二次方程整理为一次式乘积等于的形式，再令每个一次式分别等于0，从而实现降次求解的方法，是解一元二次方程中最简便的方法，只要能因式分解的方程优先选择这种方法。 即时即练 1．一元二次方程用配方法解方程，配方结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 方程配方后得到． 2．若记方程的两个不相等的实数根为，则的值为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【分析】先解出方程的两个根，再利用平方差公式化简所求代数式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：解方程得，， ∴ ． 3．一元二次方程的两个实数根为和，则代数式的值为（     ） A．1 B．2 C．0 D． 【答案】A 【分析】可通过因式分解法求出方程的两个根，再计算两根之和得到结果． 【详解】解：∵原方程为：对左侧因式分解得： ， ∴或， ∴方程的两个实数根为：， ∴ ． 【方法总结】 解一元二次方程核心思想是降次，共有四种常用解法。 形式适合开平方或易因式分解优先简便方法，省时易计算。 不易分解的统一整理成一般式，代入求根公式求解；配方法多用于推导公式与求最值。 题型1一元二次方程的定义判定 【例1】下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证． 【详解】A、若是一元二次方程，是常数，且，故此选项不符合题意； B、是分式方程，故此选项不符合题意； C、是一元二次方程，故此选项符合题意； D、是一元一次方程，故此选项不符合题意． 故选：C 【例2】下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、方程不是整式方程，故不是一元二次方程，该选项不符合题意； B、方程是一元二次方程，该选项符合题意； C、方程整理得，故不是一元二次方程，该选项不符合题意； D、方程含有两个未知数，故不是一元二次方程，该选项不符合题意； 故选：B 【技巧归纳】 一元二次方程的判定核心是抓住三个必要条件： 必须是整式方程（分母中不含未知数） 只含有一个未知数 未知数的最高次数是2，且二次项系数不为0 判定步骤：先整理方程为一般形式（），再逐一核对三个条件，只要有一个条件不满足，就不是一元二次方程。 【变式1-1】关于的一元二次方程的一次项系数是（    ） A．5 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键：一元二次方程的一般形式是，它的特征是等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是，其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项． 根据一元二次方程的一般形式找出一次项系数即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的一次项系数是， 故选：． 【变式1-2】方程的二次项系数是______． 【答案】3 【分析】本题考查一元二次方程的一般式．根据一元二次方程的一般形式解答． 【详解】解：方程的二次项是，其系数是3． 故答案为：3． 题型2 利用一元二次方程定义求参数值 【例1】若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．m为任意实数 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项系数不能为0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数， 解得． 【例2】已知 是关于x的一元二次方程，则a的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2次的整式方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：根据题意可知，， 解得： 【技巧归纳】 这类问题核心是利用两个条件列不等式组： 1.未知数最高次数等于2：即x的次数n=2 2.二次项系数不等于0：即a≠0 求解时，先根据次数条件求出参数所有可能值，再排除二次项系数为0的情况，最终得到符合要求的参数。 【变式1-1】已知是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，得到未知数最高次数为，且二次项系数不为，据此列方程即可求解． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程； 解得，即； 由得． ． 【变式1-2】已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且． 解得． 故答案为：． 题型3 一元二次方程的一般形式整理 【例1】把一元二次方程化成一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的一般形式（，，，为常数），先展开多项式乘法，再移项合并同类项即可得到结果． 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 整理得， 移项合并同类项得． 【例2】关于x的一元二次方程的一次项系数是（    ） A．1 B．7 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一次项为：， ∴一次项系数是． 【技巧归纳】 一元二次方程的一般形式是，整理步骤为： 1.去括号、去分母，移项，将所有项移到等号左侧，右侧化为0 2.合并同类项，按照次数从高到低排列各项 3.注意：确定二次项系数、一次项系数、常数项时，必须先化为一般形式，且系数包含符号。 【变式1-1】把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（     ） A．4，1，3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程一般式的概念，解题思路是将原方程展开，移项合并同类项整理为一般形式，即可对应得到，，的值． 【详解】解：把一元二次方程化成一般式：， 对比一般式，可得，，． 【变式1-2】把方程化成一般形式，得到，则的值为（   ） A．3 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】将方程化为一般形式，比较系数即可解答． 【详解】解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， ∴． 题型4 一元二次方程根的判定 【例1】如表是某代数式的值的情况，根据表格可知方程的根是（   ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 10 4 0 0 ．．． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的定义． 观察表格，找出使方程左右两边相等的的值，根据方程解的定义进行解答即可． 【详解】解：通过观察表格可知：当和2时，， ∴方程的根是：或， 故选D． 【例2】下列一元二次方程中，有一个根为1的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解，熟知方程的解是满足方程成立的未知数的值是解题的关键． 将代入各方程，验证方程是否成立． 【详解】解：A、当时，，该选项不符合题意； B、当时，，该选项符合题意； C、当时，，该选项不符合题意； D、当时，，该选项不符合题意． 故选：B． 【技巧归纳】 判定一个数是不是一元二次方程的根，只需要把这个数代入方程左右两边：若左右两边相等，则该数是方程的根；若不相等，则不是方程的根。 对于已知根求参数的问题，可将根直接代入原方程，得到关于参数的方程，求解后再结合一元二次方程定义验证即可。 【变式1-1】若，则必有一个根是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的解，由可知令即成立，则可求出答案． 【详解】解：当时，方程为， 方程必有一个根是， 故选：C． 【变式1-2】若方程中，满足和，则方程的根是（　　） A．1，2 B．1 C．1 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了方程的解的定义，掌握方程的解的定义并能准确利用定义进行判断是解题的关键．根据一元二次方程的根的定义，将未知数的值代入方程，计算后即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴把代入方程得：， ∴方程的一个根， 把代入方程得：， ∴是方程的一个根； ∴方程的根是，， 故选：B． 题型5 直接开平方法解一元二次方程 【例1】方程的根为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程，若一个数的平方等于0，则这个数为0，即可求出方程的根． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴． 【例2】一元二次方程的根是（    ） A．5 B． C． D．25 【答案】C 【分析】直接开平方法计算得到方程的根． 【详解】解： ， ∴移项得 ， 对等式两边开平方，可得 ， 即原方程的根为 ． 【技巧归纳】 直接开平方法适用于形如的一元二次方程，求解步骤： 1.先将方程变形为左边是完全平方式，右边是非负常数的形式 2.直接开平方得x+m= 3.移项得到两个一元一次方程的解：， 注意：若(n<0)，方程没有实数根。如果方程形式是，开平方后得到ax+m=±(bx+n)，分别解两个一次方程即可得到原方程的根。 【变式1-1】方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用直接开平方法即可计算，按移项、化系数为1、开平方的步骤求解即可． 【详解】解：， ∴ ， ∴， ∴，即． 【变式1-2】如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程的要求，等式右边必须为非负数，据此列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵任意实数的平方为非负数 ∴ ∵方程可以用直接开平方法求解 ∴等式右边需满足非负，即 解得． 题型6配方法解一元二次方程 【例1】用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据解一元二次方程——配方法判断选项即可． 【详解】解：， ， ，即． 【例2】方程配方成的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将常数项移到等号右侧，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边整理为完全平方形式，即可得到结果． 【详解】解：∵ ， 移项得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方 得， 整理得． 【技巧归纳】 配方法的核心是通过配方将方程化为的形式，再用直接开平方法求解，步骤如下： 1.化1：若二次项系数不为1，方程两边同时除以二次项系数，将二次项系数化为1 2.移项：把常数项移到方程的右边 3.配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式 4.开方求解：若右边非负，直接开平方求解；若右边为负，方程无实根 注意：配方时，等式两边必须同时加一次项系数一半的平方，不能只加左边。 【变式1-1】将一元二次方程配方，得到方程，其中“▲”表示的数是（   ） A．3 B．6 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，根据配方法的规则，计算一次项系数一半的平方，即可得到▲表示的数. 【详解】对一元二次方程配方时，若二次项系数为1，需要在等式两边同时加上一次项系数一半的平方. ∵原方程为，一次项系数为， ∴一次项系数的一半为 ， ∴， ∴等式两边同时加9，▲表示的数是9， 【变式1-2】若将一元二次方程 转化为的形式，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用完全平方公式将原方程配方为指定形式，即可得到的值． 【详解】解：∵ ， ∴ 移项得 ， 配方，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得 ， 整理得 ， 对比，可得． 题型7 公式法解一元二次方程 【例1】一元二次方程的实数根是（    ） A． B． C．， D． 【答案】D 【分析】先将原一元二次方程整理为一般形式，再利用一元二次方程求根公式求解即可． 【详解】解：， ， 判别式 ， ∴代入求根公式得 ∴，即选项D符合题意． 【例2】用公式法解一个一元二次方程的根为，则此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式与求根公式，通过对比题干给出的根的表达式，反推方程的二次项系数、一次项系数和常数项即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的一般形式为，其求根公式为， 又∵题干中方程的根为， ∴，，， 解得，，， ∴此一元二次方程的一般形式为， ∴此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为，，， 故选：． 【技巧归纳】 公式法是解一元二次方程的通用方法，对于任意一元二次方程，当判别式时，求根公式为：求解步骤： 1.把方程整理为一般形式，确定(a,b,c)的值（注意符号） 2.计算判别式：若，直接得出方程无实数根；若Δ≥0，代入求根公式计算 3.写出方程的两个根 记忆口诀：先化一般式，再找系数a,b,c，算判别式定根的个数，再套公式得结果。 【变式1-1】下列一元二次方程的根可以根据计算得出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据求根公式确定二次项系数，一次项系数和常数项即可． 【详解】解：根据求根公式可得， 可得， 所以对应的一元二次方程为． 【变式1-2】用公式法解一元二次方程时，的值为（） A．8 B．12 C．16 D．24 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程判别式的计算，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 直接用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵方程为标准形式， ∴， ∴． 故选A． 题型8 因式分解法解一元二次方程 【例1】一元二次方程 的一个根为，则另一个根是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根的定义，先把代入一元二次方程 中，求出参数，再解这个一元二次方程，即可得到另一个根． 【详解】解：是方程的一个根， 将代入原方程中，得 ， 化简得 ， 解得， 将代入原方程中，得， 对左边因式分解得， 解得，， 因此方程的另一个根为． 【例2】一元二次方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【详解】解：， 则或， 解得：，． 【技巧归纳】 因式分解法适用于可以分解为两个一次因式乘积等于0的方程，核心原理是若ab=0，则a=0或b=0，求解步骤： 1.将方程整理为右边等于0的形式 2.将左边的二次多项式分解为两个一次因式的乘积（常用方法：提公因式法、公式法<平方差、完全平方>、十字相乘法） 3.令每个一次因式分别等于0，得到两个一元一次方程 4.解两个一元一次方程，得到原方程的根 优势：因式分解法是解题速度最快的方法，只要能分解，优先选择因式分解法，避免复杂计算。 【变式1-1】一张矩形纸张的长和宽分别为方程的两根，则这个矩形的周长为（    ） A．8 B．15 C．16 D．30 【答案】C 【分析】先解给定的一元二次方程得到矩形的长和宽，再根据矩形周长公式计算即可得到结果． 【详解】解： ． ． 解得：． 即矩形的长和宽分别为5和3． ∴这个矩形的周长为． 【变式1-2】一元二次方程的解是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】使用因式分解法解题，先移项变形，提取公因式分解后，即可求出方程的解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 题型9 用换元法解特殊一元二次方程 【例1】已知方程的解是，，现给出另一个方程，则它的实数解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】将新方程中的看作整体，对应原方程的未知数，再分别解一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：令则新方程可化为， 原方程的解为，， ∴的解是或， 即或， 当时，整理得， 此方程无实数解； 当时，整理得， 因式分解得， 解得，， 因此新方程的实数解为，． 【例2】已知关于的方程的解是（均为常数，），则方程的解是（    ） A． B． C． D．无法求解 【答案】B 【分析】利用换元法，将新方程中的看作整体，对应原方程的，根据原方程的解得到整体的取值，再解一元一次方程即可得到新方程的解． 【详解】解：令，则方程可变形为， 关于的方程的解为， ， 即或， 解得或， 方程的解是． 【技巧归纳】 对于方程中存在重复整体的高次方程，换元法可以降次，将复杂方程转化为一元二次方程求解。步骤： 1.设出重复出现的整体为新未知数y 2.将原方程转化为关于y的一元二次方程，求解得到y的值 3.把(y)换回原来的整体，求解原未知数，验证结果是否符合要求。 【变式1-1】若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（　　） A．33 B．34 C．35 D．36 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解的应用，关键是将第二个方程变形为与第一个方程结构相同的形式，利用换元思想找到对应解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一根为 ∴ 将方程变形为： 令 解得 ∴一元二次方程必有一根为35， 故选：C 【变式1-2】当时，的值为（　　） A． B．1 C．1或 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，设，原式化成关于的一元二次方程，解方程即可求解， 解题关键是能准确的找出可用替换的代数式，再用字母代替解方程． 【详解】解：设，则原方程可化为：， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 2026年6月19日初中数学作业 1．下列关于的方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程必须满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，依次判断各选项即可． 【详解】选项A中，原方程整理得 ，满足一元二次方程的全部条件，故A符合要求； 选项B中，原方程是分式方程，不是整式方程，故B不符合要求； 选项C中，原方程含有两个未知数，故C不符合要求； 选项D中，原方程整理得，未知数最高次数为1，是一元一次方程，故D不符合要求． 故选：A． 2．有以下两个方程：甲：，乙：，其中（    ） A．甲是一元二次方程 B．乙是一元二次方程 C．甲和乙均是一元二次方程 D．甲和乙均不是一元二次方程 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，进行判断即可． 【详解】解：∵方程甲 只含1个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程， ∴甲是一元二次方程； ∵方程乙 含有，两个未知数， ∴乙不是一元二次方程； 3．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A． B． C．5，2，1 D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的基本概念，明确一元二次方程的“二次项系数、一次项系数、常数项”的定义是解题关键． 一元二次方程的一般形式为，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 【详解】解：方程，二次项系数为5，一次项系数为，常数项为． 故选：D 4．若关于x的方程是一元二次方程，则a的值不可以为（   ） A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程方程的定义．根据一元二次方程的二次项系数不为0求解即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，则， 故选：B． 5．下列方程中，两根分别是和的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，准确分析判断是解题的关键． 根据二次方程根的性质，两根为和的方程可写为，展开后即为，判断即可． 【详解】解：方程的两根分别为和， 方程可表示为，展开得． 故选：． 6．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】解：∵是一元二次方程 的一个根， ∴将代入原方程得， 解得． 7．方程 的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程， 方程是完全平方形式，根据平方的性质直接求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 8．把方程转化成的形式，则的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】利用配方法将原方程化为指定形式，得到m，n的值后即可计算的值． 【详解】解：∵， ∴， 整理得， 对比，可得，， ∴． 9．用公式法解方程时，得，则“”处应填（） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 将方程化为标准形式，确定系数、、，再根据求根公式判断“□”处应填． 【详解】解：∵原方程， 移项得， ∴，，． 求根公式为， ∴“□”处应填． 故选A． 10．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的知识，先将一元二次方程整理为一般形式，一元二次方程的一般形式为 （），其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项.排除二次项系数为的错误选项，即可得到结果． 【详解】解：将原方程移项整理为一般形式：原方程为 移项得 ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 11．一元二次方程的一次项系数_______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，将方程化为一般形式后，即可确定一次项系数． 【详解】解：， 展开得， 移项得，即， 所以一次项系数为； 故答案为：． 12．将方程化为一元二次方程的一般形式为___________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，把等号右边的项移到左边即可，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 13．若是关于的一元二次方程，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，最高次项指数必须为2且二次项系数不为零，由此确定且，求解m的值. 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴， 解得或， 同时，二次项系数，即， ∴. 故答案为：. 14．关于的一元二次方程有一个根是2，则这个一元二次方程可以是_____．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根据题意写出有一个解为的一元二次方程即可． 【详解】解：由题意得，符合题意的方程可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 15．方程 的解是______． 【答案】， 【分析】利用直接开平方法求解一元二次方程即可． 【详解】解： ， ∴或， 解得． 16．将方程配方成的形式，则______． 【答案】30 【分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方将原方程转化为的形式，确定与的值后，计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 整理得， ∴， ∴． 17．解一元二次方程： (1) ； (2)； (3)（用配方法解）； (4)（用公式法解）． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，. 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，理解一元二次方程解法是解答关键. （1）（2）利用开方法来求解； （3）先配方，再利用开方法求解； （4）先求出，判断根的情况，再利用求根公式求解. 【详解】（1）解：原方程移项得， 开平方得. （2）解：原方程开平方得， 解得. （3）解：移项得 配方得， 即 开平方得 解得. （4）解：由原方程可得， 则， 方程有两个不相等的实数根， ， . 18．解关于的方程：． 【答案】 【分析】利用完全平方公式对原方程变形，再采用换元法将原方程转化为整式方程求解，最后对分式方程的根进行检验． 【详解】解：原方程变形，得， 移项，得 ， 设，则原方程化为： 因式分解，得 解得，， 当时，，方程两边同乘（），整理得，此时方程无实数根， 当时，，方程两边同乘（），整理得 因式分解得， 解得， 检验：将代入原方程分母，得 ， 因此是原方程的解． 19．求下列式子中的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直接开平方法计算即可； （2）根据立方根的定义计算即可． 【详解】（1）解：， ， ∴； （2）解：， ， ∴． 20．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ∵，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ∴，． （2）解：， 移项，得， 因式分解，得， 即， ∴或， 解得，． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $