暑假培优：圆锥摆问题、单层轨道问题、转弯问题专项训练-2025-2026学年高一下学期暑假物理人教版必修第二册

**基本信息** 聚焦圆周运动三大核心模块，通过区域真题典例构建从模型建构到临界分析的知识逻辑链，强化科学推理与运动和相互作用观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |圆锥摆问题|2例+2变式|轻绳/光滑内壁模型，结合几何关系求角速度、周期|从受力分析（重力、弹力）到向心力公式推导，建立角度与运动参量关联| |单层轨道问题|2例+2变式|竖直圆轨道与斜抛结合，涉及最高点临界、切线进入条件|通过机械能守恒衔接圆周运动与抛体运动，强化速度方向与轨道作用力分析| |转弯问题|2例+2变式|水平/倾斜路面动力学，含匀变速直线运动与圆周运动衔接|从摩擦力/支持力提供向心力切入，推导临界速度，关联运动学公式应用|

暑假培优：圆锥摆问题、单层轨道问题、转弯问题专项训练 暑假培优：圆锥摆问题、单层轨道问题、转弯问题专项训练 考点目录 圆锥摆问题 单层轨道问题 转弯问题 考点一 圆锥摆问题 例1．（25-26高一下·浙江温州·期末）雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图甲、乙所示，传动装置有一高度可调、半径R＝5m的水平圆盘，可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘A处固定连接一轻绳，轻绳另一端B连接质量m＝50kg的转椅（视为质点）。转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相等。已知转椅与雪地间的动摩擦因数μ＝0.6，不计空气阻力。 (1)在图甲中，圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平面内做匀速圆周运动，已知绳长，轻绳AB与竖直方向的夹角α＝45°。求转椅做匀速圆周运动的半径r1，及角速度ω1； (2)将圆盘降低至雪地上，改变绳长，如图乙所示，圆盘在水平雪地上以角速度ω2＝2rad/s匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径r2＝6m的匀速圆周运动。求转椅所需的向心力大小Fn，及AB与OB之间夹角β的正切值； 例2．（25-26高一下·广东深圳·期中）如图所示。半径为R=0.5m的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合。转台静止不转动时，将一质量为m=2kg，可视为质点的小物块放入陶罐内，小物块恰能静止于陶罐内壁的A点，且A点与陶罐球心O的连线与对称轴OO′成θ=37°角。重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则： (1)物块与陶罐内壁之间的动摩擦因数为多少？ (2)当转台绕转轴匀速转动时，若物块在陶罐中的A点与陶罐一起转动且所受的摩擦力恰好为0，则转台转动的角速度为多少？ (3)若转台转动的角速度为3rad/s，物块仍在陶罐中的A点随陶罐一起转动，则陶罐给物块的弹力和摩擦力大小为多少？（小数点后保留两位） 变式1．（25-26高一下·江苏南京·期末）有一种叫飞椅的游乐项目，示意图如图所示。长为的钢绳一端系着飞椅，飞椅质量为5 kg。另一端固定在半径为的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。设当转盘匀速转动时，钢绳与转动轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角，不计钢绳的重力和空气阻力，求 (1)转动时钢绳对飞椅的拉力大小； (2)飞椅匀速转动的角速度大小； 变式2．（25-26高一下·山东潍坊·期中）如图所示，固定的圆锥桶轴线沿竖直方向，内壁光滑。质量为的小球沿圆锥桶内壁在水平面内做匀速圆周运动，半径为，速度大小为，重力加速度大小为。求： (1)小球做匀速圆周运动的角速度和周期； (2)小球对桶壁压力的大小。 考点二 单层轨道问题 例1．（25-26高一下·广西贵港·期中）如图所示，AB为竖直光滑圆弧轨道的直径，其半径R=0.9m，A端沿水平方向。水平轨道BC与光滑圆弧轨道CDE相接于C点，O为圆弧轨道CDE的圆心，OC和OE与竖直方向的夹角均为，圆弧轨道CDE和斜坡交于E点。一质量m=0.45 kg的物块（视为质点）从水平轨道上以一定速度冲上竖直圆轨道，并从A点飞出，经过C点时恰好沿圆弧轨道切线进入，一段时间后从E点飞出。取sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度大小g=10m/s2 (1)求物块到达C点时的速度大小； (2)求物块到达A点时对圆弧轨道的压力大小； (3)若已知物块经过E点时速度大小与经过C点时速度大小相等，物块从E点飞出后经过t=1 s落到斜坡上，求斜坡倾角的正切值。 例2．（25-26高一下·广东茂名·期中）如图，一人骑摩托车做特技表演，从水平平台出发，从平台端点C水平飞出，恰好能从固定在竖直面内的圆弧轨道的D点沿切线进入轨道，O为圆心。已知圆弧轨道的半径R=10 m，OD连线与竖直方向间夹角为，人与摩托车整体的质量m=150 kg。人与摩托车整体视为质点，不计空气阻力，重力加速度，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： (1)若人与摩托车整体恰好能运动到最高点B，人与摩托车整体经过B点时的速度大小； (2)若人与摩托车整体经过最低点A时速度为30 m/s，求摩托车对轨道的压力； (3)若测得经过D点时对轨道的压力大小，人与摩托车整体从C点飞出时的速度大小及从C到D的飞行时间。 变式1．（25-26高一下·天津宝坻·期中）如图所示，半径为的圆弧形轨道竖直固定在水平地面上，为其最高点，为其最低点，O为其圆心，倾斜轨道与圆弧轨道相切于点，倾斜轨道与水平地面的夹角。质量的小球由倾斜轨道某处滑下，重力加速度，不计一切摩擦。 (1)若小球恰好能通过点，小球在圆弧轨道上点对轨道的压力比通过点对轨道的压力大，求小球在点、点的速度大小； (2)若小球经过点时速度大小为，求小球在点时受到的合力大小是多少； (3)若小球能到达点，请判断小球能否落到点，若能，计算小球到达点的速度大小，若不能，请说明理由。 变式2．（25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图所示的游戏平台，AB为竖直半圆形光滑圆管轨道，其半径（忽略圆管的内径），A端切线水平，水平轨道AC与半径也为R的光滑圆弧轨道CD相接于C点，C、D两，点等高，圆弧轨道CD对应的圆心角为。一质量的小球在弹射器的作用下从水平轨道AC上某点以某一速度冲上竖直圆管轨道，并从B点飞出，经过C点恰好沿切线进入圆弧轨道，然后从D点离开，由于圆弧轨道CD光滑，因此小球离开D点的速度与C点速度大小相等，小球离开D点后做斜抛运动，最终从高为的圆框中心穿过。已知圆框中心与固定圆框的竖直挡板（足够高）的距离，重力加速度g取，不计摩擦阻力和空气阻力，小球可视为质点，，。 (1)求小球到达C点时的速度大小； (2)求小球在B点和C点受到的轨道作用力的大小； (3)如果游戏要求小球在圆筐的上方与竖直挡板碰撞一次后从圆框中心穿过，假设小球碰撞竖直挡板时沿平行挡板方向的速度不变，垂直挡板方向的速度大小不变，方向相反，求竖直挡板与圆弧轨道D点间的距离。（不计小球与挡板的碰撞时间） 考点三 转弯问题 例1．（2026·福建福州·一模）2026年张雪机车在世界超级摩托车锦标赛中获得三连冠，成为本赛季最大黑马。在匈牙利站的比赛中，53号车手驾驶张雪机车，由起点沿直线赛道从静止出发，以加速度加速后，获得的速度。为了安全通过弯道，机车需减速至，已知机车减速最大加速度为，设加速和减速过程均视为匀变速直线运动，车手和机车总质量，取重力加速度大小。求： (1)机车匀加速时间； (2)机车匀减速距离至少为多少； (3)若通过水平弯道的运动可视为半径的匀速圆周运动，求过弯道过程中地面对机车作用力的大小。 例2．（25-26高一下·浙江衢州·期末）2026年3月，中国自主研发的张雪机车在世界超级摩托车锦标赛（WSBK）葡萄牙站连续夺冠。如图所示，某段测试赛道由水平直道AB和水平弯道BC组成，两段赛道平滑连接。机车由A点驶入，沿赛道中间虚线行驶至C点。已知机车和车手的总质量，平直赛道AB的长度，虚线处弯道半径，弯道圆心角，机车在直道上加速和减速的最大加速度均为，最高限速为，在弯道上车轮与赛道的最大静摩擦力约为总重力的0.8倍。 (1)若机车从A点由静止出发在直道AB上以最大加速度做匀加速直线运动，求机车到达B点时的速度大小，并判断机车是否达到最高限速； (2)要使机车在BC段安全过弯，求机车过弯的最大速度； (3)若机车从A点以的速度驶入赛道，求机车在AB段行驶的最短时间。 变式1．（25-26高一下·新疆喀什·期中）汽车转弯时如果速度过大，容易发生侧滑。因此，汽车转弯时不允许超过规定的速度。如图所示，一辆质量为2.0×103 kg的汽车（可视为质点），在水平公路的弯道上行驶，速度的大小为10 m/s，其轨迹可视为半径为50 m的圆弧。 (1)求这辆汽车转弯时的角速度大小ω。 (2)已知路面与轮胎之间的最大静摩擦力为1.4×104 N，若车速达20 m/s，请判断该车是否会发生侧滑。 变式2．（25-26高一下·海南省直辖县级单位·期中）如图甲所示，一辆质量为1.6吨的轿车正在水平路面上转弯，已知圆弧形弯道半径R=120 m，汽车与路面间的动摩擦因数μ=0.75、设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g=10 m/s2。 (1)为确保弯道行车安全，汽车进入弯道前必须减速，要确保汽车进入弯道后不侧滑，求汽车在弯道上行驶的最大速度vm； (2)为了进一步增加安全性，通常将弯道路面设计成外高内低，如图乙路面与水平路基成一定倾角θ（未知），已知水平路基的宽度为d=4 m，要使汽车以15 m/s的速度行驶时，车轮与路面之间的侧向（即垂直于前进方向）摩擦力刚好为零，求路面内外两侧高度差h； (3)若汽车以30 m/s的速度通过一座半径为120 m的拱形桥，如图丙所示，求汽车过最高点时所受支持力。 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假培优：圆锥摆问题、单层轨道问题、转弯问题专项训练 暑假培优：圆锥摆问题、单层轨道问题、转弯问题专项训练 考点目录 圆锥摆问题 单层轨道问题 转弯问题 考点一 圆锥摆问题 例1．（25-26高一下·浙江温州·期末）雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图甲、乙所示，传动装置有一高度可调、半径R＝5m的水平圆盘，可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘A处固定连接一轻绳，轻绳另一端B连接质量m＝50kg的转椅（视为质点）。转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相等。已知转椅与雪地间的动摩擦因数μ＝0.6，不计空气阻力。 (1)在图甲中，圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平面内做匀速圆周运动，已知绳长，轻绳AB与竖直方向的夹角α＝45°。求转椅做匀速圆周运动的半径r1，及角速度ω1； (2)将圆盘降低至雪地上，改变绳长，如图乙所示，圆盘在水平雪地上以角速度ω2＝2rad/s匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径r2＝6m的匀速圆周运动。求转椅所需的向心力大小Fn，及AB与OB之间夹角β的正切值； 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）由几何关系得 解得 对转椅进行受力分析，由牛顿第二定律可得 解得 （2）转椅所需的向心力大小为 解得 对转椅进行受力分析，有 解得 例2．（25-26高一下·广东深圳·期中）如图所示。半径为R=0.5m的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合。转台静止不转动时，将一质量为m=2kg，可视为质点的小物块放入陶罐内，小物块恰能静止于陶罐内壁的A点，且A点与陶罐球心O的连线与对称轴OO′成θ=37°角。重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则： (1)物块与陶罐内壁之间的动摩擦因数为多少？ (2)当转台绕转轴匀速转动时，若物块在陶罐中的A点与陶罐一起转动且所受的摩擦力恰好为0，则转台转动的角速度为多少？ (3)若转台转动的角速度为3rad/s，物块仍在陶罐中的A点随陶罐一起转动，则陶罐给物块的弹力和摩擦力大小为多少？（小数点后保留两位） 【答案】(1)0.75 (2)5rad/s (3)19.24N，7.68N 【详解】（1）对物块受力分析，如图所示 根据平衡条件可得，， 联立解得 （2）对物块受力分析，如图所示 根据牛顿第二定律可得 根据几何关系可得 联立解得 （3）当转台的角速度为3rad/s时，物块有向内滑的趋势，摩擦力向外，对物块受力分析，如图所示 x方向，有 y方向，有 联立解得， 变式1．（25-26高一下·江苏南京·期末）有一种叫飞椅的游乐项目，示意图如图所示。长为的钢绳一端系着飞椅，飞椅质量为5 kg。另一端固定在半径为的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。设当转盘匀速转动时，钢绳与转动轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角，不计钢绳的重力和空气阻力，求 (1)转动时钢绳对飞椅的拉力大小； (2)飞椅匀速转动的角速度大小； 【答案】(1)62.5N (2) 【详解】（1）对飞椅分析可知 解得 （2）对飞椅水平方向 解得 变式2．（25-26高一下·山东潍坊·期中）如图所示，固定的圆锥桶轴线沿竖直方向，内壁光滑。质量为的小球沿圆锥桶内壁在水平面内做匀速圆周运动，半径为，速度大小为，重力加速度大小为。求： (1)小球做匀速圆周运动的角速度和周期； (2)小球对桶壁压力的大小。 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）根据圆周运动的知识得角速度为     周期为 （2）小球受重力和支持力，设支撑力与水平方向的夹角为，则，     由牛顿第三定律，小球对桶壁压力的大小 考点二 单层轨道问题 例1．（25-26高一下·广西贵港·期中）如图所示，AB为竖直光滑圆弧轨道的直径，其半径R=0.9m，A端沿水平方向。水平轨道BC与光滑圆弧轨道CDE相接于C点，O为圆弧轨道CDE的圆心，OC和OE与竖直方向的夹角均为，圆弧轨道CDE和斜坡交于E点。一质量m=0.45 kg的物块（视为质点）从水平轨道上以一定速度冲上竖直圆轨道，并从A点飞出，经过C点时恰好沿圆弧轨道切线进入，一段时间后从E点飞出。取sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度大小g=10m/s2 (1)求物块到达C点时的速度大小； (2)求物块到达A点时对圆弧轨道的压力大小； (3)若已知物块经过E点时速度大小与经过C点时速度大小相等，物块从E点飞出后经过t=1 s落到斜坡上，求斜坡倾角的正切值。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）将物块经过点时的速度沿水平方向和竖直方向分解，设其竖直方向的分速度大小为，根据几何关系有 物块从点到点做平抛运动，根据运动规律有 解得 （2）物块到达点时的速度大小为，根据运动规律有 设物块到达点时，圆弧轨道对物块的弹力大小为，根据向心力公式有 根据牛顿第三定律可知，物块到达点时对圆弧轨道的压力大小 解得 （3）将物块从点飞出后的运动分解为垂直于方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，根据运动规律有 根据几何关系有 解得 例2．（25-26高一下·广东茂名·期中）如图，一人骑摩托车做特技表演，从水平平台出发，从平台端点C水平飞出，恰好能从固定在竖直面内的圆弧轨道的D点沿切线进入轨道，O为圆心。已知圆弧轨道的半径R=10 m，OD连线与竖直方向间夹角为，人与摩托车整体的质量m=150 kg。人与摩托车整体视为质点，不计空气阻力，重力加速度，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： (1)若人与摩托车整体恰好能运动到最高点B，人与摩托车整体经过B点时的速度大小； (2)若人与摩托车整体经过最低点A时速度为30 m/s，求摩托车对轨道的压力； (3)若测得经过D点时对轨道的压力大小，人与摩托车整体从C点飞出时的速度大小及从C到D的飞行时间。 【答案】(1) (2)15000N，方向竖直向下 (3) 【详解】（1）人与摩托车整体恰好能运动到最高点B，由重力提供向心力，根据牛顿第二定律有 代入数据解得 （2）在最低点A，人与摩托车整体受重力和轨道的支持力，合力提供向心力，根据牛顿第二定律有 代入数据解得 根据牛顿第三定律，摩托车对轨道的压力大小为，方向竖直向下。 （3）在D点，人与摩托车整体受重力和轨道的支持力，沿半径方向的合力提供向心力。由几何关系可知，重力沿半径向外的分力为。根据牛顿第二定律有 代入数据解得 人与摩托车从C到D做平抛运动，在D点速度方向沿切线方向，由几何关系可知速度方向与水平方向夹角为 水平方向分速度即为C点飞出速度 竖直方向分速度 由 得飞行时间 变式1．（25-26高一下·天津宝坻·期中）如图所示，半径为的圆弧形轨道竖直固定在水平地面上，为其最高点，为其最低点，O为其圆心，倾斜轨道与圆弧轨道相切于点，倾斜轨道与水平地面的夹角。质量的小球由倾斜轨道某处滑下，重力加速度，不计一切摩擦。 (1)若小球恰好能通过点，小球在圆弧轨道上点对轨道的压力比通过点对轨道的压力大，求小球在点、点的速度大小； (2)若小球经过点时速度大小为，求小球在点时受到的合力大小是多少； (3)若小球能到达点，请判断小球能否落到点，若能，计算小球到达点的速度大小，若不能，请说明理由。 【答案】(1)， (2) (3)不能，理由见解析 【详解】（1）若小球恰好能通过D点，则有 解得小球在D点的速度为 小球刚好过D点，所以D点压力大小为0，则小球在圆弧轨道上点对轨道的压力大小为。由牛顿第三定律，点支持力大小为。由牛顿第二定律得 得 （2）小球经过B点时指向圆心的合力 沿斜面向下的合力为 可知合力为 （3）设小球以上述最小速度 解得 到达D点之后做平抛运动，所以x=vDt， 由几何关系有y=R+Rcosθ 联立以上各式可得>0.6R=Rsin37° 所以小球不会落在B点，而是落在B点的左上方。 变式2．（25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图所示的游戏平台，AB为竖直半圆形光滑圆管轨道，其半径（忽略圆管的内径），A端切线水平，水平轨道AC与半径也为R的光滑圆弧轨道CD相接于C点，C、D两，点等高，圆弧轨道CD对应的圆心角为。一质量的小球在弹射器的作用下从水平轨道AC上某点以某一速度冲上竖直圆管轨道，并从B点飞出，经过C点恰好沿切线进入圆弧轨道，然后从D点离开，由于圆弧轨道CD光滑，因此小球离开D点的速度与C点速度大小相等，小球离开D点后做斜抛运动，最终从高为的圆框中心穿过。已知圆框中心与固定圆框的竖直挡板（足够高）的距离，重力加速度g取，不计摩擦阻力和空气阻力，小球可视为质点，，。 (1)求小球到达C点时的速度大小； (2)求小球在B点和C点受到的轨道作用力的大小； (3)如果游戏要求小球在圆筐的上方与竖直挡板碰撞一次后从圆框中心穿过，假设小球碰撞竖直挡板时沿平行挡板方向的速度不变，垂直挡板方向的速度大小不变，方向相反，求竖直挡板与圆弧轨道D点间的距离。（不计小球与挡板的碰撞时间） 【答案】(1) (2)； (3) 【详解】（1）从B到C，由 解得 因为小球沿切线进入圆弧轨道CD，所以 （2）由（1）知 在B点，由牛顿第二定律有 解得 在C点，根据牛顿第二定律可得 解得 （3）小球从点射出后做斜抛运动，由于竖直方向上的速度不受影响，因此在竖直方向上有 解得（舍去） 如图所示 由对称性可知，水平方向上有 即 竖直挡板与圆弧轨道D点间的距离为 考点三 转弯问题 例1．（2026·福建福州·一模）2026年张雪机车在世界超级摩托车锦标赛中获得三连冠，成为本赛季最大黑马。在匈牙利站的比赛中，53号车手驾驶张雪机车，由起点沿直线赛道从静止出发，以加速度加速后，获得的速度。为了安全通过弯道，机车需减速至，已知机车减速最大加速度为，设加速和减速过程均视为匀变速直线运动，车手和机车总质量，取重力加速度大小。求： (1)机车匀加速时间； (2)机车匀减速距离至少为多少； (3)若通过水平弯道的运动可视为半径的匀速圆周运动，求过弯道过程中地面对机车作用力的大小。 【答案】(1)5s (2)135m (3) 【详解】（1）根据题意，由公式可得，机车匀加速时间 （2）根据题意，由公式可得，机车匀减速距离 （3）根据题意，水平方向上，由牛顿第二定律有 竖直方向上有 地面对机车作用力 联立解得 例2．（25-26高一下·浙江衢州·期末）2026年3月，中国自主研发的张雪机车在世界超级摩托车锦标赛（WSBK）葡萄牙站连续夺冠。如图所示，某段测试赛道由水平直道AB和水平弯道BC组成，两段赛道平滑连接。机车由A点驶入，沿赛道中间虚线行驶至C点。已知机车和车手的总质量，平直赛道AB的长度，虚线处弯道半径，弯道圆心角，机车在直道上加速和减速的最大加速度均为，最高限速为，在弯道上车轮与赛道的最大静摩擦力约为总重力的0.8倍。 (1)若机车从A点由静止出发在直道AB上以最大加速度做匀加速直线运动，求机车到达B点时的速度大小，并判断机车是否达到最高限速； (2)要使机车在BC段安全过弯，求机车过弯的最大速度； (3)若机车从A点以的速度驶入赛道，求机车在AB段行驶的最短时间。 【答案】(1)；超过最高限速 (2) (3) 【详解】（1）由匀变速直线运动规律 解得 超过最高限速 （2）最大静摩擦力恰好提供向心力，安全过弯，需满足 解得机车过弯的最大速度 （3）最高限速为，机车由A点加速至最高限速 解得 直道加速运动的时间 直道匀减速至B点 解得 减速运动的时间 直道匀速运动的时间 总时间 变式1．（25-26高一下·新疆喀什·期中）汽车转弯时如果速度过大，容易发生侧滑。因此，汽车转弯时不允许超过规定的速度。如图所示，一辆质量为2.0×103 kg的汽车（可视为质点），在水平公路的弯道上行驶，速度的大小为10 m/s，其轨迹可视为半径为50 m的圆弧。 (1)求这辆汽车转弯时的角速度大小ω。 (2)已知路面与轮胎之间的最大静摩擦力为1.4×104 N，若车速达20 m/s，请判断该车是否会发生侧滑。 【答案】(1) (2)会侧滑 【详解】（1）根据可得汽车转弯时的角速度大小为 （2）这辆汽车转弯时需要向心力的大小为 所以汽车会侧滑。 变式2．（25-26高一下·海南省直辖县级单位·期中）如图甲所示，一辆质量为1.6吨的轿车正在水平路面上转弯，已知圆弧形弯道半径R=120 m，汽车与路面间的动摩擦因数μ=0.75、设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g=10 m/s2。 (1)为确保弯道行车安全，汽车进入弯道前必须减速，要确保汽车进入弯道后不侧滑，求汽车在弯道上行驶的最大速度vm； (2)为了进一步增加安全性，通常将弯道路面设计成外高内低，如图乙路面与水平路基成一定倾角θ（未知），已知水平路基的宽度为d=4 m，要使汽车以15 m/s的速度行驶时，车轮与路面之间的侧向（即垂直于前进方向）摩擦力刚好为零，求路面内外两侧高度差h； (3)若汽车以30 m/s的速度通过一座半径为120 m的拱形桥，如图丙所示，求汽车过最高点时所受支持力。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）汽车进入弯道后静摩擦力充当向心力，当摩擦力达到最大静摩擦力时，行驶速度最大 解得 （2）要使车轮与路面之间的横向摩擦力（即垂直于前进方向）等于零，则重力与支持力的合力提供向心力 由几何关系可得 联立可得 （3）车在拱形桥最高点时，重力与支持力的合力提供向心力，方向竖直向下 解得 2 学科网（北京）股份有限公司 $