素养提升08 圆周运动的临界和极值问题-2024年暑假高一物理弯道超车（人教版2019必修第一册）

素养提升08 圆周运动的临界和极值问题 01 考点梳理 【考点1 水平面内圆周运动的临界和极值问题】 物体做圆周运动时，若物体的速度、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态。 分析圆周运动临界问题的方法是让角速度或线速度从小逐渐增大，分析各量的变化，找出临界状态。确定了物体运动的临界状态和临界条件后，选择研究对象进行受力分析，利用牛顿第二定律列方程求解。 【考向1 水平面上汽车转弯类问题】 【典例1】（23-24高一下·北京朝阳·期末）生活中常见的许多运动，摩擦力在其中都起着重要的作用。例如，自行车在水平路面拐弯时，所受的侧向摩擦力为其提供向心力。 （1）情境1：如图甲所示，假定场地自行车的赛道坡面与水平面的夹角为。运动员骑自行车（可视为质点）在水平面内做半径为R的匀速圆周运动。已知自行车和运动员的总质量为m。不计空气阻力。重力加速度为g。取，。 a.若使自行车不受侧向摩擦力作用，求自行车和运动员的速度大小； b.若运动员骑自行车的速度，求自行车所受侧向摩擦力的大小f。 （2）情境2：一固定的、内表面均粗糙的竖直圆筒，筒底水平。一小滑块（图中未画）贴着筒内壁在水平面内做圆周运动。关于小滑块的位置及受力，小强认为：小滑块不可能在筒底贴着内壁运动，只可能在筒侧壁上某一高度处运动；小滑块受三个力，重力、筒侧壁施加的支持力和摩擦力。请分析说明小强的上述说法是否正确。 【考向2 火车转弯类问题】 【典例2】（23-24高一下·浙江宁波·期末）随着交通的发展，旅游才真正变成一件赏心乐事，各种“休闲游享乐游”纷纷打起了宣传的招牌，某次旅游中游客乘坐列车，以恒定速率通过一段水平圆弧形弯道过程中，发现车顶部悬挂玩具小熊的细线稳定后与车用侧壁平行。与车厢底板平行的桌面上有一水杯，已知水杯与桌面间的动摩擦因数，水杯与水的总质量m，水平圆弧形弯道半径R，此弯道路面的倾角为θ，重力加速度为g，不计空气阻力，求： （1）列车转弯过程中的向心加速度大小； （2）列车转弯过程中，水杯与桌面间的摩擦力。 【考向3 圆锥摆的临界和极值问题】 圆锥摆的临界和极值问题，常常与弹力有关 (1)绳子松弛的临界条件是：绳恰好拉直且没有弹力；绳子断开的临界条件是：绳上的拉力恰好达最大值。 (2)两物体接触或脱离的临界条件是：两物体间的弹力恰好为零。 (3)对于半圆形碗内的水平圆周运动，有两类临界情况：①摩擦力的方向发生改变；②恰好发生相对滑动。 【典例3】（23-24高一下·广东广州·期末）“旋转飞椅”是游乐园里常见的娱乐设施，游客坐在座椅上随支架一起匀速旋转时可将游客和座椅组成的整体看成质点，其简化示意图如图所示，已知圆形旋转支架半径为R=5m，绳子悬点到地面的垂直距离H=7m，悬挂座椅的轻绳长为l=5m，当旋转飞椅以最大的角速度匀速旋转时，绳子与竖直方向的夹角为θ=37°，游客和座椅的总质量为60kg，取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，试求： （1）当旋转飞椅以最大的角速度匀速旋转时，悬绳的拉力及游客的线速度大小；（计算结果可用根式表示） （2）为防止游客携带的物品掉落伤人，管理员需以支架轴心为圆心设置圆形安全范围，求圆形安全范围的半径。 【考向4 水平转盘上的圆周运动及其临界问题】 水平转盘上圆周运动的临界问题，主要涉及与摩擦力和弹力有关的临界极值问题。 (1)如果只有摩擦力提供向心力，物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，则最大静摩擦力Fm＝，方向指向圆心。 (2)如果水平方向除受摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体在水平面上转动，其临界情况要根据题设条件进行判断，如判断某个力是否存在以及这个力存在时的方向(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)。 (3)运动实例 【典例4】（23-24高一下·安徽亳州·期末）如图所示，平台固定在转轴的顶端，可随转轴一起转动，A、B两个小朋友坐在平台两侧，A的质量为m，B的质量为2m。A到转轴的距离是3l，B到转轴的距离是l。两小朋友腰间系一轻绳，轻绳通过转轴中心，处于刚好伸直且无张力的状态，小朋友与平台接触面间的最大静摩擦力均为其重力的k倍，重力加速度大小为g。若使小朋友与平台保持相对静止，则平台转动的角速度不能超过（　　） A． B． C． D． 【素养能力提升】 解决临界问题的注意事项 (1)先确定研究对象受力情况，看哪些力充当向心力，哪些力可能突变引起临界问题。 (2)注意分析物体所受静摩擦力大小和方向随圆盘转速的变化而发生的变化。 (3)关注临界状态，例如静摩擦力达到最大值时，开始相对滑动，出现临界情况，此时对应的角速度为临界角速度。 【考点二 竖直面内的圆周运动——“绳”模型和“杆”模型】 1．在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接、物体沿内轨道运动等)，称为“绳(环)约束模型”；二是有支撑(如球与杆连接、物体在弯管内运动等)，称为“杆(管)约束模型”。 2．绳、杆模型涉及的临界问题 绳模型 杆模型 常见 类型 均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球 受力 特征 除重力外，物体受到的弹力向下或等于零 除重力外，物体受到的弹力向下、等于零或向上 受力 示意图 过最高 点的临 界条件 由mg＝m得v临＝ 由小球恰能做完整的圆周运动得v临＝0 讨论 分析 (1)过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、圆轨道对球产生弹力FN； (2)不能过最高点时，v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道 (1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心； (2)当0<v<时，mg－FN＝m，FN背离圆心，随v的增大而减小； (3)当v＝时，FN＝0； (4)当v>时，FN＋mg＝m，FN指向圆心，并随v的增大而增大 【考向1 竖直面内圆周运动的“绳”模型】 【典例5】（23-24高一下·江西上饶·期末）我国航天员在太空失重环境中开讲的“天宫课堂”演示了多种有趣的实验，提高了青少年科学探索的兴趣。某同学设计了如下实验：如图所示，细绳一端固定，另一端系一小球，给小球一初速度使其在竖直平面内做圆周运动，不计地面上的空气阻力，关于在“天宫”和在地面做此实验，下列说法正确的是（　　） A．在“天宫”中做此实验，小球的速度大小会变化 B．在地面上做此实验，小球的速度大小不变 C．在“天宫”中做此实验，绳子拉力大小不变 D．在地面上做此实验，绳子拉力大小不变 【考向2 竖直面内圆周运动的“杆”模型】 【典例6】（23-24高一下·江苏镇江·期末）如图所示，在竖直平面内固定着光滑圆管道。一小球从管道内的最低点以不同的初速度v0向右运动，球的直径略小于管的内径，不计空气阻力。用阴影表示小球在运动过程中对内侧管壁有作用力的区域，虚线为过O点的水平线，下列图示可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【素养能力提升】 竖直面内圆周运动问题的解题思路 【考点三 斜面上圆周运动的分析】 在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制(图甲)、轻绳控制(图乙)、轻杆控制(图丙)，物体的受力情况和临界条件也不相同。 由于重力沿斜面的分力，在斜面内做圆周运动的物体的速率不断变化，运动情况与竖直面内的圆周运动类似，所以通常分析物体在最高点和最低点的受力情况求临界状态。物体在斜面上运动时，若受摩擦力，还要参照水平面内圆周运动的临界问题分析摩擦力的突变问题，如静摩擦力的方向变化、静摩擦力变为滑动摩擦力。 【考向1 静摩擦力作用下斜面上的圆周运动】 【典例7】（多选）（23-24高一下·河北·期末）一倾角为的圆盘绕垂直盘面的轴以大小为的角速度匀速转动，盘面上有一个离转轴距离为r、质量为m的物块（可视为质点）随圆盘一起转动（相对于盘面静止）。如图所示，P点是物块运动的轨迹圆上的最高点，Q点是物块运动的轨迹圆上的最低点，重力加速度大小为g，物块与圆盘间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（    ） A．物块经过Q点时受到的静摩擦力大小为 B．物块经过P点时受到的静摩擦力大小为 C．物块与盘面间的动摩擦因数可能为 D．若圆盘的角速度继续缓慢增大，则物块最容易与圆盘发生相对滑动的位置为Q点 【考向2 轻绳作用下斜面上的圆周运动】 【典例8】（22-23高一下·辽宁鞍山·阶段练习）如图所示，在倾角为的光滑斜面上，有一根长为的细绳，一端固定在O点，另一端系一质量为的小球，沿斜面做圆周运动，取，小球在A点最小速度为（    ） A． B． C． D． 【考向3 轻杆作用下斜面上的圆周运动】 【典例9】（多选）（20-21高一下·云南昭通·期中）如图所示，在倾角为的足够大的固定斜面上，一长度为L的轻杆一端可绕斜面上的O点自由转动，另一端连着一质量为m的小球（视为质点）。现使小球从最低点A以速率v开始在斜面上做圆周运动，通过最高点B。重力加速度大小为g，轻杆与斜面平行，不计一切摩擦。下列说法正确的是（　　） A．小球通过A点时所受轻杆的作用力大小为 B．小球通过B点时的最小速度为 C．小球通过A点时斜面对小球的支持力与小球的速度无关 D．若小球以的速率通过B点时突然脱落而离开轻杆，则小球到达与A点等高处时与A点间的距离为2L 02 素养提升练 一、单选题 1．（23-24高一下·四川绵阳·期末）某同学将手机用充电线悬挂于固定点，拉开一定角度（小于45°）释放，手机在竖直面内沿圆弧往复运动，手机传感器记录速率v随时间t变化的关系如图所示。不计空气阻力。则手机（　　） A．在A、C两点时，速度方向相反 B．在B点时，手机受到合力为零 C．在C点时，线中拉力最小 D．在B、D两点时，线中拉力相同 2．（23-24高一下·河北·期末）如图所示，质量为m的小球穿在半径为R的光滑圆环上，圆环可绕竖直方向的轴以角速度匀速转动，相对于圆环静止（未在圆环最低点）的小球和圆心的连线与转轴的夹角为（大小未知），重力加速度大小为g．下列说法正确的是（    ） A． B． C．只要圆环转动的角速度足够大，可能为 D．当时，小球仍能在圆环上除最低点外的某位置相对于圆环静止 3．（23-24高一下·广东广州·期中）如图甲，小球用不可伸长的轻绳连接绕定点O在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点的速度大小为v，此时绳子拉力大小为，拉力与速度的平方的关系如图乙所示，图像中的数据a和b以及重力加速度g都为已知量，以下说法正确的是（　　） A．数据a与小球的质量有关 B．数据a与圆周轨道的的半径有关 C．数据b与小球的质量无关 D．数据b与圆周轨道的的半径有关 4．（23-24高一下·广东江门·期中）游乐园的醒狮秋千广受欢迎。如下图，当质量为m的游客（可视为质点）坐在质量不计的秋千板上，此时绳子与竖直方向成θ角，人与拴绳子的横梁距离为l，如果秋千板摆动经过最低点时速度大小为v，重力加速度为g，不计人与绳子作用力，则（　　） A．每根绳子对秋千板的拉力大小为 B．每根绳子对秋千板的拉力大小为 C．此时秋千板给人的支持力为 D．此时秋千板给人的支持力为m 5．（23-24高一下·重庆·期末）某同学使用小型电动打夯机平整自家房前的场地，如图所示是电动打夯机的结构示意图。质量为m的摆锤通过轻杆与总质量为M的底座（含电动机）上的转轴相连。电动机带动摆锤绕转轴О在竖直面内匀速转动，转动半径为R，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．转到最低点时摆锤处于失重状态 B．若打夯机底座刚好能离开地面，则摆锤的角速度为 C．摆锤在最低点和最高点，杆给摆锤的弹力大小之差为6mg D．若打夯机底座刚好能离开地面，则摆锤转到最低点时，打夯机对地面的压力为2mg+Mg 6．（23-24高一下·广东佛山·期末）如图所示，汽车轮胎进行动态平衡校准时，通过动平衡机使车轮在竖直面内以恒定速率匀速转动，在轮毂内侧某处粘贴平衡块，使车轮重心调节到轴心上，从而避免行驶时车轮出现抖动现象，以下说法正确的是（　　） A．车轮匀速转动过程中平衡块的向心力不变 B．平衡块处于最高点时，一定对轮毂产生压力 C．平衡块在最低点时对轮毂的压力与平衡块的质量成正比 D．汽车沿直线行驶时，以地面为参考系，平衡块做圆周运动 7．（2024·湖北·二模）某同学在转动如图所示的铅笔的过程中，发现在水平面内绕笔中心转动的角速度超过20rad/s时，位于铅笔一端的橡皮将滑出，已知他使用的铅笔长，假设橡皮受到的最大静摩擦力为定值，且橡皮的大小可忽略，取，则要保证橡皮擦不滑出，这支铅笔在竖直面内绕其中心转动的角速度的最大值为（　　） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·山东济宁·期中）如图甲所示为一种叫“魔力陀螺”的玩具，其结构可简化为图乙所示。半径为R的铁质圆轨道用支架固定在竖直平面内，陀螺在轨道内、外两侧均可以旋转。陀螺的质量为m（视为质点），陀螺磁芯对轨道的吸引力始终沿轨道的半径方向（指向圆心或背离圆心），大小恒为6mg。不计摩擦和空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．陀螺沿轨道可能做匀速圆周运动 B．陀螺在轨道外侧运动，由A到B的过程中，轨道对其的支持力逐渐增大 C．陀螺在轨道外侧运动到最低点时不脱离轨道，此时的最大速度为 D．陀螺在轨道内侧运动到最高点时的速度为，其对轨道的压力大小为3mg 二、多选题 9．（23-24高一下·安徽·期末）汽车的车厢地板上水平放着内装三个相同圆柱形工件的木箱，工件截面和车的行驶方向垂直，如图乙所示（向汽车前进方向看）。当汽车匀速率通过三个半径依次变小的水平圆形弯道A、B、C时，木箱及箱内工件均保持相对静止。下列分析判断正确的是（　　） A．Q和M对P的支持力大小始终相等 B．汽车过A、B、C三点时工件P受到的合外力大小相等 C．汽车过C点时，汽车的向心加速度最大 D．汽车过B点时，M对P的支持力小于Q对P的支持力 10．（23-24高一下·山东德州·阶段练习）有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的侧壁高速行驶，做匀速圆周运动。如图所示，图中虚线表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为，下列说法中正确的是（　　） A．越高，摩托车对侧壁的压力将越大 B．越高，摩托车做圆周运动的线速度将越大 C．越高，摩托车做圆周运动的周期将越大 D．越高，摩托车做圆周运动的向心力不变 11．（23-24高一下·安徽合肥·期中）如图，半径为的半球形陶罐固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心的对称轴重合，转台以一定角速度匀速旋转。甲、乙两个小物块（可视为质点）质量均为，分别在转台的两处随陶罐一起转动且始终相对罐壁静止，与间的夹角分别为和，重力加速度为。当转台的角速度为时，小物块甲受到的摩擦力恰好为零，下列说法正确的是（　　） A． B．当转台的角速度为时，乙有上滑的趋势 C．当角速度从缓慢增加到的过程中，乙受到的支持力一直增大 D．当角速度从缓慢增加到的过程中，乙受到的摩擦力一直增大 12．（23-24高一下·湖南·阶段练习）河北省某国家体育训练基地中有一台我国自主研发、世界首创的转盘滑雪训练机。运动员的某次训练过程可简化为如图所示的模型，转盘滑雪训练机绕垂直于盘面的固定转轴以恒定的角速度转动，盘面边缘处离转轴距离为r的运动员（可视为质点）始终相对于盘面静止。已知运动员的质量为m，运动员运动到最高点时恰好不受摩擦力，接触面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面的夹角为，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（　　） A．圆盘的角速度大小为 B．运动员与盘面间的动摩擦因数可能为 C．运动员在最低点受到的摩擦力大小为 D．若仅减小圆盘的转速，则运动员可能相对于圆盘滑动 三、解答题 13．（23-24高一下·安徽黄山·期末）如图所示，细绳一端系着质量的物体A（可视为质点），另一端通过圆盘中心的光滑小孔吊着质量的物体B，物体A与小孔的距离为，物体B与小孔的距离为，已知M和水平圆盘间的动摩擦因素为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取。则： （1）若B处于静止状态，圆盘绕中心轴顺时针转运（如左图），求圆盘转动的取值范围； （2）若B在水平面内做匀速圆周运动（如右图），A的质量增加到且与圆盘均静止不动，求此时的最大值和OB与竖直方向夹角的余弦值。 14．（23-24高一下·安徽·期末）某校高一物理兴趣小组正在进行无人机飞行表演。如图所示，质量的无人机用长为的轻绳吊起质量也为的小物块，此时无人机绕着O点在水平面内做半径匀速圆周运动，稳定后轻绳偏离竖直方向的夹角始终为，重力加速度g取，，不计空气阻力对物块的影响，试求出（结果可保留根号）： （1）轻绳的拉力大小； （2）无人机做匀速圆周运动的线速度大小； （3）无人机受到的空气的作用力大小。 15．（23-24高一下·辽宁沈阳·期中）如图所示，水平转盘上放有质量为m=1kg的物块，物块到转轴的距离为r=0.3m。一段轻绳的一端与物块相连，另一端系在圆盘中心上方d=0.4m处，绳恰好伸直，物块和转盘间的动摩擦因数为μ=0.3，设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知重力加速度为g。 （1）当水平转盘以角速度匀速转动时，绳上恰好有张力，求的值； （2）当水平转盘以角速度匀速转动时，物块恰好离开转盘，求的值。 （3）当水平转盘以角速度匀速转动时，求此时轻绳拉力F的大小。 16．（23-24高一下·山东临沂·期中）“疯狂大转盘”在游乐场中是很常见的娱乐设施。现在简化模型平面图如图所示，大转盘的最大半径为R，大转盘转动的角速度ω从0开始缓慢的增加。大转盘上有两位游客A和B，分别位于距转盘中心和R处。为保证安全，两游客之间系上了一根轻质不可伸长的安全绳。游客和转盘之间的最大静摩擦力为游客自身重力的k倍，两游客的质量均为m，且可视为质点，重力加速度为g。求： （1）当绳子开始出现张力时，转盘的角速度ω0； （2）当转盘的角速度增加到时，游客A受到转盘的静摩擦力大小； （3）游客A、B相对转盘保持静止，安全绳上的最大张力。 17．（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）如图甲，半径为3r的水平圆形转盘可绕竖直轴转动，，圆盘上放有小物体A、B、C，质量分别为m、2m、12m，物块A叠放在B上，B、C到转盘中心O的距离分别为3r、2r，已知C与圆盘间的动摩擦因数为，B与圆盘间的动摩擦因数为2μ，A、B间动摩擦因数为3μ．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为．A、B、C均可视为质点，现让圆盘从静止开始逐渐缓慢加速，求： （1）C相对于圆盘恰好滑动时，圆盘的角速度为多少？ （2）B相对于圆盘恰好滑动，圆盘的角速度为多少？ （3）若B、C间用一轻质细线相连如图乙所示，圆盘静止时，细线刚好伸直无拉力，当ω增加到某一数值时，B、C哪个物体不受圆盘的摩擦力？求此时圆盘角速度大小（物体仍在圆盘上且圆盘角速度不为零）． 18．（22-23高一下·湖南长沙·阶段练习）如图所示，一水平放置的内表面光滑对称“V”型二面体AB－CD－EF，可绕其竖直中心轴在水平面内匀速转动，置于AB中点P的小物体（视为质点）恰好在ABCD面上没有相对滑动。二面体的二面角为120°。面ABCD和面CDEF的长和宽均为L＝20cm，CD距水平地面的高度为h＝1.1m，取重力加速度。 （1）求“V”型二面体匀速转动的角速度的大小； （2）若“V”型二面体突然停止转动，求小物体从二面体上离开的位置距A点的距离。 03 体验高考 1．（2024·江苏·高考真题）陶瓷是以粘土为主要原料以及各种天然矿物经过粉碎混炼、成型和煅烧制得的材料以及各种制品。如图所示是生产陶磁的简化工作台，当陶磁匀速转动时，台面面上掉有陶屑，陶屑与桌面间的动摩因数处处相同（台面够大），则（   ） A．离轴OO´越远的陶屑质量越大 B．  离轴OO´越近的陶屑质量越小 C． 只有平台边缘有陶屑 D．离轴最远的陶屑距离不会超过某一值 2．（多选）（2024·江苏·高考真题）如图所示，细绳穿过竖直的管子拴住一个小球，让小球在A高度处作水平面内的匀速圆周运动，现用力将细绳缓慢下拉，使小球在B高度处作水平面内的匀速圆周运动，不计一切摩擦，则（   ） A．线速度vA > vB B．角速度ωA < ωB C．向心加速度aA < aB D．向心力FA > FB 3．（2023·福建·高考真题）一种离心测速器的简化工作原理如图所示。细杆的一端固定在竖直转轴上的O点，并可随轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧，弹簧一端固定于O点，另一端与套在杆上的圆环相连。当测速器稳定工作时，圆环将相对细杆静止，通过圆环的位置可以确定细杆匀速转动的角速度。已知细杆长度，杆与竖直转轴的夹角a始终为，弹簧原长，弹簧劲度系数，圆环质量；弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取，摩擦力可忽略不计 （1）若细杆和圆环处于静止状态，求圆环到O点的距离； （2）求弹簧处于原长时，细杆匀速转动的角速度大小； （3）求圆环处于细杆末端P时，细杆匀速转动的角速度大小。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 素养提升08 圆周运动的临界和极值问题 01 考点梳理 【考点1 水平面内圆周运动的临界和极值问题】 物体做圆周运动时，若物体的速度、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态。 分析圆周运动临界问题的方法是让角速度或线速度从小逐渐增大，分析各量的变化，找出临界状态。确定了物体运动的临界状态和临界条件后，选择研究对象进行受力分析，利用牛顿第二定律列方程求解。 【考向1 水平面上汽车转弯类问题】 【典例1】（23-24高一下·北京朝阳·期末）生活中常见的许多运动，摩擦力在其中都起着重要的作用。例如，自行车在水平路面拐弯时，所受的侧向摩擦力为其提供向心力。 （1）情境1：如图甲所示，假定场地自行车的赛道坡面与水平面的夹角为。运动员骑自行车（可视为质点）在水平面内做半径为R的匀速圆周运动。已知自行车和运动员的总质量为m。不计空气阻力。重力加速度为g。取，。 a.若使自行车不受侧向摩擦力作用，求自行车和运动员的速度大小； b.若运动员骑自行车的速度，求自行车所受侧向摩擦力的大小f。 （2）情境2：一固定的、内表面均粗糙的竖直圆筒，筒底水平。一小滑块（图中未画）贴着筒内壁在水平面内做圆周运动。关于小滑块的位置及受力，小强认为：小滑块不可能在筒底贴着内壁运动，只可能在筒侧壁上某一高度处运动；小滑块受三个力，重力、筒侧壁施加的支持力和摩擦力。请分析说明小强的上述说法是否正确。 【答案】（1）a.；b.；（2）不正确 【详解】（1）a.自行车和运动员所受重力与支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有 得 b.对自行车和运动员整体受力分析如图所示，N为所受的支持力，根据牛顿第二定律有 得 （2）小强的说法不正确。若小滑块在圆筒侧壁上贴着内壁做水平面内的圆周运动，则小滑块受三个力：竖直向下的重力，水平指向圆心的支持力，与运动方向相反沿水平方向的滑动摩擦力，小球将会落下，不可能在水平面内做圆周运动。因此，小滑块只可能在筒底贴着内壁运动；小滑块受五个力：重力、侧壁施加的支持力和摩擦力、筒底施加的支持力和摩擦力。 【考向2 火车转弯类问题】 【典例2】（23-24高一下·浙江宁波·期末）随着交通的发展，旅游才真正变成一件赏心乐事，各种“休闲游享乐游”纷纷打起了宣传的招牌，某次旅游中游客乘坐列车，以恒定速率通过一段水平圆弧形弯道过程中，发现车顶部悬挂玩具小熊的细线稳定后与车用侧壁平行。与车厢底板平行的桌面上有一水杯，已知水杯与桌面间的动摩擦因数，水杯与水的总质量m，水平圆弧形弯道半径R，此弯道路面的倾角为θ，重力加速度为g，不计空气阻力，求： （1）列车转弯过程中的向心加速度大小； （2）列车转弯过程中，水杯与桌面间的摩擦力。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）设玩具小熊的质量为m，则玩具小熊受到的重力mg、细线的拉力FT的合力提供玩具小熊随列车做水平面内圆周运动的向心力F，有 mgtanθ=ma 可知列车在转弯过程中的向心加速度大小为 a=gtanθ    （2）水杯的向心加速度 a=gtanθ 由水杯的重力与桌面的支持力的合力提供，则水杯与桌面间的静摩擦力为零 f＝0N 【考向3 圆锥摆的临界和极值问题】 圆锥摆的临界和极值问题，常常与弹力有关 (1)绳子松弛的临界条件是：绳恰好拉直且没有弹力；绳子断开的临界条件是：绳上的拉力恰好达最大值。 (2)两物体接触或脱离的临界条件是：两物体间的弹力恰好为零。 (3)对于半圆形碗内的水平圆周运动，有两类临界情况：①摩擦力的方向发生改变；②恰好发生相对滑动。 【典例3】（23-24高一下·广东广州·期末）“旋转飞椅”是游乐园里常见的娱乐设施，游客坐在座椅上随支架一起匀速旋转时可将游客和座椅组成的整体看成质点，其简化示意图如图所示，已知圆形旋转支架半径为R=5m，绳子悬点到地面的垂直距离H=7m，悬挂座椅的轻绳长为l=5m，当旋转飞椅以最大的角速度匀速旋转时，绳子与竖直方向的夹角为θ=37°，游客和座椅的总质量为60kg，取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，试求： （1）当旋转飞椅以最大的角速度匀速旋转时，悬绳的拉力及游客的线速度大小；（计算结果可用根式表示） （2）为防止游客携带的物品掉落伤人，管理员需以支架轴心为圆心设置圆形安全范围，求圆形安全范围的半径。 【答案】（1）750N，；（2） 【详解】（1）设悬绳的拉力大小为F，根据题意可得 根据牛顿第二定律 几何关系可得 联立解得 ， （2）物品掉落后做平抛运动，则 ， 几何关系可知 联立可得 【考向4 水平转盘上的圆周运动及其临界问题】 水平转盘上圆周运动的临界问题，主要涉及与摩擦力和弹力有关的临界极值问题。 (1)如果只有摩擦力提供向心力，物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，则最大静摩擦力Fm＝，方向指向圆心。 (2)如果水平方向除受摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体在水平面上转动，其临界情况要根据题设条件进行判断，如判断某个力是否存在以及这个力存在时的方向(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)。 (3)运动实例 【典例4】（23-24高一下·安徽亳州·期末）如图所示，平台固定在转轴的顶端，可随转轴一起转动，A、B两个小朋友坐在平台两侧，A的质量为m，B的质量为2m。A到转轴的距离是3l，B到转轴的距离是l。两小朋友腰间系一轻绳，轻绳通过转轴中心，处于刚好伸直且无张力的状态，小朋友与平台接触面间的最大静摩擦力均为其重力的k倍，重力加速度大小为g。若使小朋友与平台保持相对静止，则平台转动的角速度不能超过（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两小朋友与平台相对静止，具有共同角速度，刚开始由摩擦力提供向心力，根据 分析可得，小朋友A先达到临界态，随着角速度的增大，轻绳上开始产生张力。A小朋友转动过程中需要的向心力 B小朋友转动过程中需要的向心力 A需要的向心力由摩擦力和轻绳张力共同提供，设即将发生相对滑动对应的最大角速度，对A 对B 联立解得 故选A。 【素养能力提升】 解决临界问题的注意事项 (1)先确定研究对象受力情况，看哪些力充当向心力，哪些力可能突变引起临界问题。 (2)注意分析物体所受静摩擦力大小和方向随圆盘转速的变化而发生的变化。 (3)关注临界状态，例如静摩擦力达到最大值时，开始相对滑动，出现临界情况，此时对应的角速度为临界角速度。 【考点二 竖直面内的圆周运动——“绳”模型和“杆”模型】 1．在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接、物体沿内轨道运动等)，称为“绳(环)约束模型”；二是有支撑(如球与杆连接、物体在弯管内运动等)，称为“杆(管)约束模型”。 2．绳、杆模型涉及的临界问题 绳模型 杆模型 常见 类型 均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球 受力 特征 除重力外，物体受到的弹力向下或等于零 除重力外，物体受到的弹力向下、等于零或向上 受力 示意图 过最高 点的临 界条件 由mg＝m得v临＝ 由小球恰能做完整的圆周运动得v临＝0 讨论 分析 (1)过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、圆轨道对球产生弹力FN； (2)不能过最高点时，v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道 (1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心； (2)当0<v<时，mg－FN＝m，FN背离圆心，随v的增大而减小； (3)当v＝时，FN＝0； (4)当v>时，FN＋mg＝m，FN指向圆心，并随v的增大而增大 【考向1 竖直面内圆周运动的“绳”模型】 【典例5】（23-24高一下·江西上饶·期末）我国航天员在太空失重环境中开讲的“天宫课堂”演示了多种有趣的实验，提高了青少年科学探索的兴趣。某同学设计了如下实验：如图所示，细绳一端固定，另一端系一小球，给小球一初速度使其在竖直平面内做圆周运动，不计地面上的空气阻力，关于在“天宫”和在地面做此实验，下列说法正确的是（　　） A．在“天宫”中做此实验，小球的速度大小会变化 B．在地面上做此实验，小球的速度大小不变 C．在“天宫”中做此实验，绳子拉力大小不变 D．在地面上做此实验，绳子拉力大小不变 【答案】C 【详解】AC．在天宫中由于完全失重，且绳子拉力总是与速度方向垂直，所以小球做匀速圆周运动，绳子拉力提供向心力，则小球的速度大小不变，细绳拉力大小不变，故A错误，C正确； BD．在地面上，小球受到重力和绳子拉力的作用，小球的速度大小和方向均时刻发生变化，设绳子拉力与竖直方向的夹角为，当小球在下半圆周时，根据牛顿第二定律可得 当小球在上半圆周时，根据牛顿第二定律可得 可知细绳拉力大小不断变化，故BD错误。 故选C。 【考向2 竖直面内圆周运动的“杆”模型】 【典例6】（23-24高一下·江苏镇江·期末）如图所示，在竖直平面内固定着光滑圆管道。一小球从管道内的最低点以不同的初速度v0向右运动，球的直径略小于管的内径，不计空气阻力。用阴影表示小球在运动过程中对内侧管壁有作用力的区域，虚线为过O点的水平线，下列图示可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在虚线以下的半圆，小球的重力分解成沿切线方向和沿半径背离圆心的分力，所以重力无法提供向心力，此时小球必受到外管对其指向圆心的弹力。在虚线上半圆，小球的重力分解成沿切线方向和沿半径指向圆心的分力，重力沿半径指向圆心的分力可以提供向心力，根据速度的不同，即可以受到外管对其指向圆心的弹力也可以受到内管对其沿半径背离圆心的弹力。故ABD错误，C正确。 故选C。 【素养能力提升】 竖直面内圆周运动问题的解题思路 【考点三 斜面上圆周运动的分析】 在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制(图甲)、轻绳控制(图乙)、轻杆控制(图丙)，物体的受力情况和临界条件也不相同。 由于重力沿斜面的分力，在斜面内做圆周运动的物体的速率不断变化，运动情况与竖直面内的圆周运动类似，所以通常分析物体在最高点和最低点的受力情况求临界状态。物体在斜面上运动时，若受摩擦力，还要参照水平面内圆周运动的临界问题分析摩擦力的突变问题，如静摩擦力的方向变化、静摩擦力变为滑动摩擦力。 【考向1 静摩擦力作用下斜面上的圆周运动】 【典例7】（多选）（23-24高一下·河北·期末）一倾角为的圆盘绕垂直盘面的轴以大小为的角速度匀速转动，盘面上有一个离转轴距离为r、质量为m的物块（可视为质点）随圆盘一起转动（相对于盘面静止）。如图所示，P点是物块运动的轨迹圆上的最高点，Q点是物块运动的轨迹圆上的最低点，重力加速度大小为g，物块与圆盘间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（    ） A．物块经过Q点时受到的静摩擦力大小为 B．物块经过P点时受到的静摩擦力大小为 C．物块与盘面间的动摩擦因数可能为 D．若圆盘的角速度继续缓慢增大，则物块最容易与圆盘发生相对滑动的位置为Q点 【答案】AD 【详解】物块随圆盘一起转动过程中，所需向心力为 A．物块经过Q点时根据牛顿第二定律 解得 故A正确； B．物块经过P点时根据牛顿第二定律 解得 故B错误； C．静摩擦力小于等于最大静摩擦力，即 解得 故C错误； D．若圆盘的角速度继续缓慢增大，物块经过Q点时，沿斜面向上的静摩擦力和沿斜面向下的重力的分力的合力提供向心力，即静摩擦力等于重力与向心力之和；物块经过P点时，当静摩擦力为零时 解得 则，当角速度增大到后，沿斜面向下的静摩擦力和沿斜面向下的重力的分力的合力提供向心力，即静摩擦力等于重力与向心力之差，即在Q点时的静摩擦力大，所以，若圆盘的角速度继续缓慢增大，则物块最容易与圆盘发生相对滑动的位置为Q点，故D正确。 故选AD。 【考向2 轻绳作用下斜面上的圆周运动】 【典例8】（22-23高一下·辽宁鞍山·阶段练习）如图所示，在倾角为的光滑斜面上，有一根长为的细绳，一端固定在O点，另一端系一质量为的小球，沿斜面做圆周运动，取，小球在A点最小速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，小球恰好过A点时的速度最小，即小球过A点时绳子上的拉力恰好为零时，此时小球做圆周运动的向心力完全由小球重力沿斜面向下的分力来提供，由牛顿第二定律有 解得 故选B。 【考向3 轻杆作用下斜面上的圆周运动】 【典例9】（多选）（20-21高一下·云南昭通·期中）如图所示，在倾角为的足够大的固定斜面上，一长度为L的轻杆一端可绕斜面上的O点自由转动，另一端连着一质量为m的小球（视为质点）。现使小球从最低点A以速率v开始在斜面上做圆周运动，通过最高点B。重力加速度大小为g，轻杆与斜面平行，不计一切摩擦。下列说法正确的是（　　） A．小球通过A点时所受轻杆的作用力大小为 B．小球通过B点时的最小速度为 C．小球通过A点时斜面对小球的支持力与小球的速度无关 D．若小球以的速率通过B点时突然脱落而离开轻杆，则小球到达与A点等高处时与A点间的距离为2L 【答案】ACD 【详解】A．小球在A点受到重力、斜面的支持力以及杆的拉力，由向心力公式可得 可得 故A正确； B．杆可以为小球提供支持力，所以小球经过最高点B时的最小速度为零，故B错误； C．斜面对小球的支持力始终等于重力沿垂直于斜面方向的分量，与小球的速度无关，故C正确； D．经分析可知小球经过B点脱落后在斜面上作类平抛运动，在水平方向做匀速直线运动，在沿斜面方向做初速度为零的匀加速度直线运动。沿斜面方向根据牛顿第二定律 由位移公式可知 水平方向 故D正确。 故选ACD。 02 素养提升练 一、单选题 1．（23-24高一下·四川绵阳·期末）某同学将手机用充电线悬挂于固定点，拉开一定角度（小于45°）释放，手机在竖直面内沿圆弧往复运动，手机传感器记录速率v随时间t变化的关系如图所示。不计空气阻力。则手机（　　） A．在A、C两点时，速度方向相反 B．在B点时，手机受到合力为零 C．在C点时，线中拉力最小 D．在B、D两点时，线中拉力相同 【答案】A 【详解】A．手机在一个周期内，两次经过最低点，所以在A、C两点时，速度方向相反，故A正确； B．在B点时，手机速度为零，加速度不为零，合力不为零，故B错误； C．在C点时，根据牛顿第二定律可得 在C点速度最大，线中拉力最大，故C错误； D．在B、D两点手机处于左右侧最高点，线中拉力大小相等，方向不同，故D错误。 故选A。 2．（23-24高一下·河北·期末）如图所示，质量为m的小球穿在半径为R的光滑圆环上，圆环可绕竖直方向的轴以角速度匀速转动，相对于圆环静止（未在圆环最低点）的小球和圆心的连线与转轴的夹角为（大小未知），重力加速度大小为g．下列说法正确的是（    ） A． B． C．只要圆环转动的角速度足够大，可能为 D．当时，小球仍能在圆环上除最低点外的某位置相对于圆环静止 【答案】B 【详解】AB．对小球受力分析可知 解得 A错误，B正确； C．当时，弹力方向水平，重力方向沿竖直方向，竖直方向无法平衡，无论如何小球无法做圆周运动，C错误； D．当时，可知圆环静止（未在圆环最低点）的小球和圆心的连线与转轴的夹角为 显然是不可能的，D错误。 故选B。 3．（23-24高一下·广东广州·期中）如图甲，小球用不可伸长的轻绳连接绕定点O在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点的速度大小为v，此时绳子拉力大小为，拉力与速度的平方的关系如图乙所示，图像中的数据a和b以及重力加速度g都为已知量，以下说法正确的是（　　） A．数据a与小球的质量有关 B．数据a与圆周轨道的的半径有关 C．数据b与小球的质量无关 D．数据b与圆周轨道的的半径有关 【答案】B 【详解】AB．当v2=a时，此时绳子的拉力为零，物体的重力提供向心力可知 解得 所以 与物体的质量无关，与圆周轨道的的半径有关，故A错误，B正确； CD．当v2=2a时，对物体受力分析，则有 解得 与小球的质量有关，与圆周轨道半径无关，故CD错误。 故选B。 4．（23-24高一下·广东江门·期中）游乐园的醒狮秋千广受欢迎。如下图，当质量为m的游客（可视为质点）坐在质量不计的秋千板上，此时绳子与竖直方向成θ角，人与拴绳子的横梁距离为l，如果秋千板摆动经过最低点时速度大小为v，重力加速度为g，不计人与绳子作用力，则（　　） A．每根绳子对秋千板的拉力大小为 B．每根绳子对秋千板的拉力大小为 C．此时秋千板给人的支持力为 D．此时秋千板给人的支持力为m 【答案】A 【详解】CD．秋千板摆动经过最低点时对人受力分析，根据牛顿第二定律可得 解得 故CD错误； AB．对秋千板和人整体分析，设每根绳的拉力为F，根据牛顿第二定律可得 解得 故A正确；B错误。 故选A。 5．（23-24高一下·重庆·期末）某同学使用小型电动打夯机平整自家房前的场地，如图所示是电动打夯机的结构示意图。质量为m的摆锤通过轻杆与总质量为M的底座（含电动机）上的转轴相连。电动机带动摆锤绕转轴О在竖直面内匀速转动，转动半径为R，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．转到最低点时摆锤处于失重状态 B．若打夯机底座刚好能离开地面，则摆锤的角速度为 C．摆锤在最低点和最高点，杆给摆锤的弹力大小之差为6mg D．若打夯机底座刚好能离开地面，则摆锤转到最低点时，打夯机对地面的压力为2mg+Mg 【答案】B 【详解】A．转到最低点时摆锤有向上的加速度，则处于超重状态，故A错误； B．电动机带动摆锤绕转轴O在竖直面内匀速转动，设角速度为ω，则有 所以 故B正确； C．根据牛顿第二定律可得 联立可得 故C错误； D．根据以上分析可知 若打夯机底座刚好能离开地面，则 所以 对打夯机底座受力分析，有 根据牛顿第三定律可得，打夯机对地而的压力为2mg+2Mg，故D错误。 故选B。 6．（23-24高一下·广东佛山·期末）如图所示，汽车轮胎进行动态平衡校准时，通过动平衡机使车轮在竖直面内以恒定速率匀速转动，在轮毂内侧某处粘贴平衡块，使车轮重心调节到轴心上，从而避免行驶时车轮出现抖动现象，以下说法正确的是（　　） A．车轮匀速转动过程中平衡块的向心力不变 B．平衡块处于最高点时，一定对轮毂产生压力 C．平衡块在最低点时对轮毂的压力与平衡块的质量成正比 D．汽车沿直线行驶时，以地面为参考系，平衡块做圆周运动 【答案】C 【详解】A．车轮匀速转动过程中，平衡块做匀速圆周运动，由所受外力的合力提供向心力，向心力大小不变，向心力方向始终指向圆心，方向在变化，可知，车轮匀速转动过程中平衡块的向心力发生了变化，故A错误； B．平衡块处于最高点时，若有 解得 此时，平衡块处于最高点，平衡块对轮毂没有压力作用，故B错误； C．平衡块在最低点时，根据牛顿第二定律有 根据牛顿第三定律有 解得 车轮在竖直面内以恒定速率匀速转动，可知，平衡块在最低点时对轮毂的压力与平衡块的质量成正比，故C正确； D．汽车沿直线行驶时，以轴心为参考系，平衡块做圆周运动，一地面为参考系，平衡块做曲线运动，但不是圆周运动，故D错误。 故选C。 7．（2024·湖北·二模）某同学在转动如图所示的铅笔的过程中，发现在水平面内绕笔中心转动的角速度超过20rad/s时，位于铅笔一端的橡皮将滑出，已知他使用的铅笔长，假设橡皮受到的最大静摩擦力为定值，且橡皮的大小可忽略，取，则要保证橡皮擦不滑出，这支铅笔在竖直面内绕其中心转动的角速度的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在水平面内绕笔中心转动过程中，令最大静摩擦力为，则有 在竖直面内绕其中心转动过程中，若要保证橡皮擦不滑出，由于在最低点由竖直向上的摩擦力与重力的合力提供向心力，则在橡皮擦能够顺利通过最低点，则有 解得 故选B。 8．（23-24高一下·山东济宁·期中）如图甲所示为一种叫“魔力陀螺”的玩具，其结构可简化为图乙所示。半径为R的铁质圆轨道用支架固定在竖直平面内，陀螺在轨道内、外两侧均可以旋转。陀螺的质量为m（视为质点），陀螺磁芯对轨道的吸引力始终沿轨道的半径方向（指向圆心或背离圆心），大小恒为6mg。不计摩擦和空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．陀螺沿轨道可能做匀速圆周运动 B．陀螺在轨道外侧运动，由A到B的过程中，轨道对其的支持力逐渐增大 C．陀螺在轨道外侧运动到最低点时不脱离轨道，此时的最大速度为 D．陀螺在轨道内侧运动到最高点时的速度为，其对轨道的压力大小为3mg 【答案】C 【详解】A．陀螺磁芯对轨道的吸引力始终沿轨道的半径方向（指向圆心或背离圆心），则可知，该力与重力的合力不是始终指向圆心，不可能做匀速圆周运动，故A错误； B．陀螺在轨道外侧运动，由A到与圆心等高点处，速度增大，所需向心力变大，重力沿径向分力变小，则轨道对其的支持力逐渐变小，故B错误； C．设陀螺在轨道外侧运动到最低点时，轨道对小球的吸引力为，轨道对陀螺的弹力为，小球所受的重力为mg，最低点的速度为，受力分析如图所示，则有 由题意可知，当时，陀螺通过最低点时的速度为最大值，有 故C正确； D．陀螺在轨道内侧运动到最高点时的速度为，根据 解得 根据牛顿第三定律可知，其对轨道的压力大小为15mg，故D错误。 故选C。 二、多选题 9．（23-24高一下·安徽·期末）汽车的车厢地板上水平放着内装三个相同圆柱形工件的木箱，工件截面和车的行驶方向垂直，如图乙所示（向汽车前进方向看）。当汽车匀速率通过三个半径依次变小的水平圆形弯道A、B、C时，木箱及箱内工件均保持相对静止。下列分析判断正确的是（　　） A．Q和M对P的支持力大小始终相等 B．汽车过A、B、C三点时工件P受到的合外力大小相等 C．汽车过C点时，汽车的向心加速度最大 D．汽车过B点时，M对P的支持力小于Q对P的支持力 【答案】CD 【详解】A．汽车过A、B、C三点时，做匀速圆周运动，合外力指向圆弧的圆心，故对P分析，A、C两点合外力向左，B点合外力向右，Q和M对P的支持力大小不是始终相等，故A错误； B．汽车过A、B、C三点时的圆弧轨道半径不同，根据合外力提供向心力得 当汽车匀速通过三个半径依次变小的圆形弯道时，工件P受到的合外力大小依次增大，故B错误； C．汽车的向心加速度为 可知汽车过C点时，弯道对应的半径最小，向心加速度最大，故C正确； D．汽车过B点时，所受的合外力向右，故M对P的支持力小于Q对P的支持力，故D正确。 故选CD。 10．（23-24高一下·山东德州·阶段练习）有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的侧壁高速行驶，做匀速圆周运动。如图所示，图中虚线表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为，下列说法中正确的是（　　） A．越高，摩托车对侧壁的压力将越大 B．越高，摩托车做圆周运动的线速度将越大 C．越高，摩托车做圆周运动的周期将越大 D．越高，摩托车做圆周运动的向心力不变 【答案】BCD 【详解】A．摩托车做匀速圆周运动，合外力完全提供向心力，如图 所以小球在竖直方向上受力平衡 可知侧壁对摩托车的支持力与高度无关，根据牛顿第三定律可知摩托车对侧壁的压力不变，故A错误； B．根据牛顿第二定律可知 解得 高度越大，越大，摩托车做圆周运动的线速度越大，故B正确； C．根据牛顿第二定律可知 解得 高度越大，越大，摩托车运动的周期越大，故C正确； D．摩托车的向心力大小为，即越高，摩托车做圆周运动的向心力大小不变，故D正确。 故选BCD。 11．（23-24高一下·安徽合肥·期中）如图，半径为的半球形陶罐固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心的对称轴重合，转台以一定角速度匀速旋转。甲、乙两个小物块（可视为质点）质量均为，分别在转台的两处随陶罐一起转动且始终相对罐壁静止，与间的夹角分别为和，重力加速度为。当转台的角速度为时，小物块甲受到的摩擦力恰好为零，下列说法正确的是（　　） A． B．当转台的角速度为时，乙有上滑的趋势 C．当角速度从缓慢增加到的过程中，乙受到的支持力一直增大 D．当角速度从缓慢增加到的过程中，乙受到的摩擦力一直增大 【答案】AC 【详解】A．设陶罐内壁对物块甲的支持力为F1，则有 ， 解得 故A正确； B．设当转台的角速度为时，物块乙受到的摩擦力恰好为零，设此时支持力为F2，则有 ， 解得 所以当转速为时，支持力的分力大于提供物块所需要的向心力，物块必然受到一个沿内壁切线向上的静摩擦力，即物块乙有下滑的趋势，故B错误； D．由于 ， 所以当角速度从，缓慢增加到的过程中，物块乙一开始具有下滑的趋势，到最后具有上滑的趋势，所受的摩擦力方向发生了变化，其大小先减小再增大，故D错误； C．摩擦力沿着陶罐内壁的切线方向，把它沿着水平和竖直方向进行分解；当角速度从缓慢增加到的过程中，摩擦力在沿着切线向上的方向上逐渐减小到零并反向增大，由于物块竖直方向上所受合力为零，则由沿切线向上时 沿切线向下时 可知，物块乙受到的支持力一直在增大，故C正确。 故选AC。 12．（23-24高一下·湖南·阶段练习）河北省某国家体育训练基地中有一台我国自主研发、世界首创的转盘滑雪训练机。运动员的某次训练过程可简化为如图所示的模型，转盘滑雪训练机绕垂直于盘面的固定转轴以恒定的角速度转动，盘面边缘处离转轴距离为r的运动员（可视为质点）始终相对于盘面静止。已知运动员的质量为m，运动员运动到最高点时恰好不受摩擦力，接触面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面的夹角为，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（　　） A．圆盘的角速度大小为 B．运动员与盘面间的动摩擦因数可能为 C．运动员在最低点受到的摩擦力大小为 D．若仅减小圆盘的转速，则运动员可能相对于圆盘滑动 【答案】AC 【详解】A．运动员运动到最高点时恰好不受摩擦力，则有 解得圆盘的角速度大小为 故A正确； BC．当运动员在最低点受到的摩擦力最大，根据牛顿第二定律可得 解得 又 可得运动员与盘面间的动摩擦因数应满足 故B错误，C正确； D．若仅减小圆盘的转速，即角速度减小，运动员在最低点时有 可知随着角速度的减小，运动员在最低点受到的静摩擦力减小，当角速度减小为0时，根据受力平衡可知，摩擦力大小为 可知运动员不可能相对于圆盘滑动，故D错误。 故选AC。 三、解答题 13．（23-24高一下·安徽黄山·期末）如图所示，细绳一端系着质量的物体A（可视为质点），另一端通过圆盘中心的光滑小孔吊着质量的物体B，物体A与小孔的距离为，物体B与小孔的距离为，已知M和水平圆盘间的动摩擦因素为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取。则： （1）若B处于静止状态，圆盘绕中心轴顺时针转运（如左图），求圆盘转动的取值范围； （2）若B在水平面内做匀速圆周运动（如右图），A的质量增加到且与圆盘均静止不动，求此时的最大值和OB与竖直方向夹角的余弦值。 【答案】（1）；（2）， 【详解】（1）对B受力分析有 对A受力分析当角速度最大时 当角速度最小时 综上代入数据可得 （2）对A受力分析有 设此时OB与竖直方向的夹角为，对B受力分析有 代入数据可得 ， 14．（23-24高一下·安徽·期末）某校高一物理兴趣小组正在进行无人机飞行表演。如图所示，质量的无人机用长为的轻绳吊起质量也为的小物块，此时无人机绕着O点在水平面内做半径匀速圆周运动，稳定后轻绳偏离竖直方向的夹角始终为，重力加速度g取，，不计空气阻力对物块的影响，试求出（结果可保留根号）： （1）轻绳的拉力大小； （2）无人机做匀速圆周运动的线速度大小； （3）无人机受到的空气的作用力大小。 【答案】（1）12.5N；（2）；（3） 【详解】（1）对物块受力分析，如图所示 由图可知 代入可得 （2）根据物块的受力分析可知 解得 无人机的角速度与物块角速度相等，无人机的线速度大小 （3）设空气对无人机的作用力为F，与水平方向夹角为 ，对无人机受力分析如下 水平方向有 竖直方向有 两式联立可得 15．（23-24高一下·辽宁沈阳·期中）如图所示，水平转盘上放有质量为m=1kg的物块，物块到转轴的距离为r=0.3m。一段轻绳的一端与物块相连，另一端系在圆盘中心上方d=0.4m处，绳恰好伸直，物块和转盘间的动摩擦因数为μ=0.3，设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知重力加速度为g。 （1）当水平转盘以角速度匀速转动时，绳上恰好有张力，求的值； （2）当水平转盘以角速度匀速转动时，物块恰好离开转盘，求的值。 （3）当水平转盘以角速度匀速转动时，求此时轻绳拉力F的大小。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）当水平转盘以角速度匀速转动时，绳上恰好有张力，静摩擦力达到最大值，则 解得 （2）物块恰好离开转盘，则 物块只受重力和绳的拉力，如图所示 根据牛顿第二定律 根据几何关系可得 联立解得 （3）由于 说明小球已经离开水平面，设轻绳与转轴的夹角为，根据牛顿第二定律 根据几何关系可得 解得 16．（23-24高一下·山东临沂·期中）“疯狂大转盘”在游乐场中是很常见的娱乐设施。现在简化模型平面图如图所示，大转盘的最大半径为R，大转盘转动的角速度ω从0开始缓慢的增加。大转盘上有两位游客A和B，分别位于距转盘中心和R处。为保证安全，两游客之间系上了一根轻质不可伸长的安全绳。游客和转盘之间的最大静摩擦力为游客自身重力的k倍，两游客的质量均为m，且可视为质点，重力加速度为g。求： （1）当绳子开始出现张力时，转盘的角速度ω0； （2）当转盘的角速度增加到时，游客A受到转盘的静摩擦力大小； （3）游客A、B相对转盘保持静止，安全绳上的最大张力。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）由题可知，A、B具有相同的角速度，根据向心力公式 可知角速度相同时，圆周运动半径越大，向心力越大；B的圆周半径较大，当B达到最大静摩擦力时，绳子即将产生拉力，此时对B有 解得 （2）由于，所以此时绳子有张力，设绳子张力为，则对B 对A，根据牛顿第二定律 解得 （3）设安全绳上的最大张力为，此时加速度为，则与（2）同理分析AB，可得 解得 17．（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）如图甲，半径为3r的水平圆形转盘可绕竖直轴转动，，圆盘上放有小物体A、B、C，质量分别为m、2m、12m，物块A叠放在B上，B、C到转盘中心O的距离分别为3r、2r，已知C与圆盘间的动摩擦因数为，B与圆盘间的动摩擦因数为2μ，A、B间动摩擦因数为3μ．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为．A、B、C均可视为质点，现让圆盘从静止开始逐渐缓慢加速，求： （1）C相对于圆盘恰好滑动时，圆盘的角速度为多少？ （2）B相对于圆盘恰好滑动，圆盘的角速度为多少？ （3）若B、C间用一轻质细线相连如图乙所示，圆盘静止时，细线刚好伸直无拉力，当ω增加到某一数值时，B、C哪个物体不受圆盘的摩擦力？求此时圆盘角速度大小（物体仍在圆盘上且圆盘角速度不为零）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）C随圆盘转动，其摩擦力达到最大时，由牛顿第二定律可知 解得C的角速度 （2）AB一起随圆盘转动，圆盘对B摩擦力最大时，由牛顿第二定律 解得AB的角速度 B对A的摩擦力最大时，对A，由牛顿第二定律 解得A的角速度 由于 则C所受的摩擦力达到最大时，A与B间均相对静止，故B相对于圆盘恰好滑动，圆盘的角速度 （3）随着角速度增加，C、AB整体所需的向心力增加，则C所受的摩擦力方向一定指向圆心且为最大值不变，可见B可以不受摩擦力作用，此时，对C，由牛顿第二定律 对AB整体，由牛顿第二定律 联立解得圆盘的角速度大小 18．（22-23高一下·湖南长沙·阶段练习）如图所示，一水平放置的内表面光滑对称“V”型二面体AB－CD－EF，可绕其竖直中心轴在水平面内匀速转动，置于AB中点P的小物体（视为质点）恰好在ABCD面上没有相对滑动。二面体的二面角为120°。面ABCD和面CDEF的长和宽均为L＝20cm，CD距水平地面的高度为h＝1.1m，取重力加速度。 （1）求“V”型二面体匀速转动的角速度的大小； （2）若“V”型二面体突然停止转动，求小物体从二面体上离开的位置距A点的距离。 【答案】（1）；（2）y＝0.025m 【详解】（1）设小物体受到的支持力为F，受力如图所示。 根据牛顿第二定律得 ， 解得 （2）“V”型二面体突然停止转动，设小物体在二面体上运动的时间为t，运动的初速度大小为，加速度大小为a，沿AD方向向下运动的距离为y，则 ， 小物体沿BA方向的速度为 小物体沿BA方向的位移为 小物体沿AD方向的位移为 代入数据联立解得 y＝0.025m 03 体验高考 1．（2024·江苏·高考真题）陶瓷是以粘土为主要原料以及各种天然矿物经过粉碎混炼、成型和煅烧制得的材料以及各种制品。如图所示是生产陶磁的简化工作台，当陶磁匀速转动时，台面面上掉有陶屑，陶屑与桌面间的动摩因数处处相同（台面够大），则（   ） A．离轴OO´越远的陶屑质量越大 B．  离轴OO´越近的陶屑质量越小 C． 只有平台边缘有陶屑 D．离轴最远的陶屑距离不会超过某一值 【答案】D 【详解】ABC．与台面相对静止的陶屑做匀速圆周运动，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力为最大静摩擦力时，根据牛顿第二定律可得 解得 因与台面相对静止的这些陶屑的角速度相同，由此可知能与台面相对静止的陶屑离轴OO′的距离与陶屑质量无关，只要在台面上不发生相对滑动的位置都有陶屑。故ABC错误； D．离轴最远的陶屑其受到的静摩擦力为最大静摩擦力，由前述分析可知最大的运动半径为 μ与ω均一定，故R为定值，即离轴最远的陶屑距离不超过某一值R。故D正确。 故选D。 2．（多选）（2024·江苏·高考真题）如图所示，细绳穿过竖直的管子拴住一个小球，让小球在A高度处作水平面内的匀速圆周运动，现用力将细绳缓慢下拉，使小球在B高度处作水平面内的匀速圆周运动，不计一切摩擦，则（   ） A．线速度vA > vB B．角速度ωA < ωB C．向心加速度aA < aB D．向心力FA > FB 【答案】BC 【详解】设绳子与竖直方向夹角为θ，绳子长度为l，小球所在平面距离顶点的竖直高度为h，对小球分析有 整理有 ，，a = gtanθ A．由于 小球从A处到达B处，l减小，θ增大，则无法判断vA、vB的关系，故A错误； B．由于 其中 联立有 由题意可知，小球从A处到达B处，h减小，则ωA < ωB，故B正确； CD．由于 F向 = mgtanθ = ma 整理有 a = gtanθ 由题意可知，其角度θ变大，所以小球所受向心力变大，即FA < FB，向心加速度大小也变大，即aA < aB，故C正确、D错误。 故选BC。 3．（2023·福建·高考真题）一种离心测速器的简化工作原理如图所示。细杆的一端固定在竖直转轴上的O点，并可随轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧，弹簧一端固定于O点，另一端与套在杆上的圆环相连。当测速器稳定工作时，圆环将相对细杆静止，通过圆环的位置可以确定细杆匀速转动的角速度。已知细杆长度，杆与竖直转轴的夹角a始终为，弹簧原长，弹簧劲度系数，圆环质量；弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取，摩擦力可忽略不计 （1）若细杆和圆环处于静止状态，求圆环到O点的距离； （2）求弹簧处于原长时，细杆匀速转动的角速度大小； （3）求圆环处于细杆末端P时，细杆匀速转动的角速度大小。 【答案】（1）0.05m；（2）；（3） 【详解】（1）当细杆和圆环处于平衡状态，对圆环受力分析得 根据胡克定律得 弹簧弹力沿杆向上，故弹簧处于压缩状态，弹簧此时的长度即为圆环到O点的距离 （2）若弹簧处于原长，则圆环仅受重力和支持力，其合力使得圆环沿水平方向做匀速圆周运动。根据牛顿第二定律得 由几何关系得圆环此时转动的半径为 联立解得 （3）圆环处于细杆末端P时，圆环受力分析重力，弹簧伸长，弹力沿杆向下。根据胡克定律得 对圆环受力分析并正交分解，竖直方向受力平衡，水平方向合力提供向心力，则有 ， 由几何关系得 联立解得 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$