精品解析：山东青岛市北区2025-2026学年第二学期期末考试七年级数学试卷

七年级数学 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共24题．第Ⅰ卷为选择题，共8小题，24分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，96分． 所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 第Ⅰ卷（共24分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分． 1. 篆书之美，在其线条如古玉凝脂般温润匀净，结体似青铜鼎彝般庄重对称，将汉字的古朴与秩序感刻进了千年文脉里．下列四个选项中的字分别“华、夏、儿、女”四字的篆体形式，其中是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 2. 2026年科学家研制出全球最小的二维码，其面积仅为0.00000198平方毫米．数据0.00000198用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 学校新买一台智能饮水机，某天中午小俊通过观察，记录了饮水机工作时间与水温的关系表格如下： 水温（） 22 40 56 70 82 …… 时间（时：分） 12:03 12:08 12:13 12:18 12:23 …… 请你帮小俊推算水烧开（）的时间预计为（    ） A. 12:30 B. 12:33 C. 12:35 D. 12:38 5. 一个三角形的一边长是，对应边的高是，则这个三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 三角形两边长为5和11，第三边长为偶数，则第三边所有可能值之和为（ ） A. 36 B. 40 C. 44 D. 50 7. 如图，在中，，．在中，，，，，三点在一条直线上，点在上，连接，的延长线交于点．若，，则的面积为（ ） A. 27.9 B. 28.7 C. 26.9 D. 27.4 8. 如图所示，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠．折痕分别为AB、CD，点恰好落在折叠后的边上，设，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共96分） 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 如图，在长方形中，动点P从A出发，以相同的速度，沿方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y与x之间的关系如图所示，那么长方形的面积为 _____． 10. 从某油菜籽种子在相同条件下发芽试验的结果如表： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率 根据以上数据可以估计，该油菜籽种子发芽的概率为________（精确到） 11. 电影《给阿嬷的情书》火了，影片中木生给淑柔做的木单车勾起了一代人的回忆．下图是其示意图．其中，都与地面l平行，，，当为______度时，与平行． 12. 如图，平分，于点，点在上，于点，若，，，则的长为_______． 13. 如图，在中，，点，分别为，上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点落在点处，，分别交边于点，．若，则的度数为___． 14. 如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点、．若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为______． 三、作图题（本题满分4分） 15. 已知：如图，，点在边上．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．求作：，使，并满足点在的延长线上，． 四、解答题（本题满分74分，共有9道小题） 16. 计算题 （1）； （2）； （3）； （4）（用乘法公式计算）． 17. 某中学为了解七年级学生对课后延时服务项目的参与情况，随机抽取50名学生进行问卷调查，课后延时服务项目分为以下四类：A．艺术素养、B．体育锻炼、C．科技探究、D．作业辅导．现将调查结果整理成如下不完整的统计表： 项目 A B C D 人数 15 10 5 频率 0.3 0.1 （1）请补全统计表中的空缺数据（直接填写在表中）； （2）从参与调查的学生中随机抽取1人，抽到的学生恰好参与项目B是_________事件（从“随机”“必然”“不可能”选一个填入）； （3）若该校七年级共有400名学生，试估计选择项目A的学生人数． 18. 下图是生物兴趣小组的同学测得一株植物一天24h内的光合作用（曲线Ⅰ）和呼吸作用（曲线Ⅱ）强度随时间变化的曲线．观察曲线，回答下列问题： （1）曲线Ⅰ、Ⅱ中的自变量是什么？因变量是什么？ （2）该植物在哪个时间段呼吸作用逐渐增强？在哪个时间段呼吸作用逐渐减弱？植物的光合作用发生在哪个时间段内？ （3）曲线Ⅰ、Ⅱ分别在6时和18时有一个交点，它所代表的意义是什么？ 19. 如图，在和中，，点、、、在同一直线上，． （1）请你添加一个条件，使得，则这个条件可以是______；（只写一个） （2）根据你所添加的条件，求证：≌． 20. 一专卖店销售某品牌运动鞋，已知该鞋按200元/双的价格销售时，每周可销售120双，经调查，该鞋单价每下调x元，则每周会多卖出2x双． （1）下调价格后，每双鞋的单价为_____元：（用含x的代数式表示） （2）求调价后，该鞋一周的销售额；（结果用含x的多项式表示） （3）若时，求该鞋一周的销售额． 21. 如图，在中，，为边的中点，，垂足为，与相等吗？为什么？ 22. 小明在计算时，采用了如下的解法． ． 请你借鉴小明的解题思路，解决下列问题： （1）若，求的值； （2）已知满足，求的值． 23. 【提出问题】 数学课上老师提出如下问题：如图①，在中， 是 边上的中线，，，若 边的长为整数，求 边的长．小张同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 至点 ，使，连接，能得到，所以，进而利用三角形的任意两边之和大于第三边解决问题． 【思考发现】 （1）如图①，的理由是　　　　； A. B. C. D. （2）根据小明的方法思考，可得 的长可能为　　　　；（写出一个即可） 【类比迁移】 （3）如图②， 是的中线，交 于点 ，交 于点 ，． 求证：． 以下是部分证明过程： 证明：如图③，延长 至点 ，使，连结． ⋯⋯ 请完成上述证明过程． 【学以致用】 （4）如图④，在和中，， ， ，连结 、，取 的中点 ，连结．若，则　　　　． 24. 规定两数之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空：___________． （2）①若，请你尝试证明：； ②若，则___________（用含的式子表示）． 进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明：设 ， ，即． ． （3）结合①，②探索的结论，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共24题．第Ⅰ卷为选择题，共8小题，24分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，96分． 所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 第Ⅰ卷（共24分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分． 1. 篆书之美，在其线条如古玉凝脂般温润匀净，结体似青铜鼎彝般庄重对称，将汉字的古朴与秩序感刻进了千年文脉里．下列四个选项中的字分别“华、夏、儿、女”四字的篆体形式，其中是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A．是轴对称图形； B．不是轴对称图形； C．不是轴对称图形； D．不是轴对称图形． 2. 2026年科学家研制出全球最小的二维码，其面积仅为0.00000198平方毫米．数据0.00000198用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：. 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题需根据幂的乘方法则、负整数指数幂的定义、单项式乘单项式法则、单项式乘多项式法则，逐一分析每个选项的运算是否正确． 【详解】解：∵幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴，故A错误． ∵负整数指数幂的定义为（为整数）， ∴，故B正确． ∵单项式乘单项式，系数相乘，同底数幂相乘， ∴，故C错误． ∵单项式乘多项式，用单项式乘多项式的每一项再相加， ∴， 故D错误． 故选：B 4. 学校新买一台智能饮水机，某天中午小俊通过观察，记录了饮水机工作时间与水温的关系表格如下： 水温（） 22 40 56 70 82 …… 时间（时：分） 12:03 12:08 12:13 12:18 12:23 …… 请你帮小俊推算水烧开（）的时间预计为（    ） A. 12:30 B. 12:33 C. 12:35 D. 12:38 【答案】B 【解析】 【分析】先找出水温随时间的变化规律，再根据规律计算得到水烧开的时间． 【详解】由表格可得，时间每经过5分钟，水温升高量比前一个5分钟少， ∵ ，，，，符合上述规律， ∴ 到，水温升高，此时水温为， ∴ 到，水温升高，此时水温为，达到水烧开温度， ∴水烧开时间为． 5. 一个三角形的一边长是，对应边的高是，则这个三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题意得 ． 6. 三角形两边长为5和11，第三边长为偶数，则第三边所有可能值之和为（ ） A. 36 B. 40 C. 44 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形三边关系确定第三边的取值范围，结合第三边为偶数的条件找出所有符合的第三边长，求和后选出正确选项． 【详解】解：设第三边长为， 根据三角形三边关系可得，即， ∵第三边长为偶数， ∴符合条件的第三边长为，，，， ∴第三边所有可能值之和为． 7. 如图，在中，，．在中，，，，，三点在一条直线上，点在上，连接，的延长线交于点．若，，则的面积为（ ） A. 27.9 B. 28.7 C. 26.9 D. 27.4 【答案】A 【解析】 【分析】先证明，得出，，再求出，，再由三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴的面积为． 8. 如图所示，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠．折痕分别为AB、CD，点恰好落在折叠后的边上，设，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由折叠的性质可得，所以，，再根据三角形的内角和可得的值． 【详解】解：由折叠的性质可知， ∴，， 在中，， 即， 解得：． 第Ⅱ卷（共96分） 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 如图，在长方形中，动点P从A出发，以相同的速度，沿方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y与x之间的关系如图所示，那么长方形的面积为 _____． 【答案】21 【解析】 【分析】利用数形结合的思想进行求解． 【详解】解：由题意可知，当点P从点A运动到点B时，的面积不变，结合图象可知， 当点P从点B运动到点C时，的面积逐渐变小直到为0，结合图象可知， ∴长方形的面积为：． 10. 从某油菜籽种子在相同条件下发芽试验的结果如表： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率 根据以上数据可以估计，该油菜籽种子发芽的概率为________（精确到） 【答案】 【解析】 【分析】当试验次数足够大时，频率会逐渐稳定在某一数值附近，该数值可作为概率的估计值，观察表格中频率的稳定趋势即可估计概率． 【详解】解：由表格数据可知，随着每批粒数即试验次数的增加，该油菜籽发芽的频率在附近波动并趋于稳定， 故估计该油菜籽种子发芽的概率为． 11. 电影《给阿嬷的情书》火了，影片中木生给淑柔做的木单车勾起了一代人的回忆．下图是其示意图．其中，都与地面l平行，，，当为______度时，与平行． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的传递性得出，利用平行线的性质求出的度数，结合已知比例关系求出的度数，最后根据平行线的性质得出的度数． 【详解】解：设底面为直线， 因为， 所以 所以（两直线平行，同旁内角互补） 因为， 所以 因为， 设， 因为， 所以 解得 所以 若， 则（两直线平行，内错角相等） 所以  所以当为度时，与平行． 12. 如图，平分，于点，点在上，于点，若，，，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形的面积，关键是由三角形面积的不同表示方法得到等积式；过点作，则，又根据，即可求得的长． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即：， 故答案为：． 13. 如图，在中，，点，分别为，上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点落在点处，，分别交边于点，．若，则的度数为___． 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题）．先根据平角定义可得，然后利用折叠的性质可得：，，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，最后利用平角定义进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， 由折叠得：，， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点、．若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，中垂线的性质，利用轴对称解决线段和最小问题．连接，的周长为，为定值，要使的周长最小，则的值最小，的垂直平分线为，得到关于对称，得到，当三点共线时，，最小，进行求解即可． 【详解】解：∵的周长为，为定值， ∴当的值最小时，的周长最小， 连接， ∵的垂直平分线为， ∴关于对称， ∴， ∴当三点共线时，， ∵等腰，点为底边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为； 故答案为：． 三、作图题（本题满分4分） 15. 已知：如图，，点在边上．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．求作：，使，并满足点在的延长线上，． 【答案】即为所求， 【解析】 【分析】先作，再分别截取线段，使得，，则即为所求． 【详解】略． 四、解答题（本题满分74分，共有9道小题） 16. 计算题 （1）； （2）； （3）； （4）（用乘法公式计算）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】(1)分别计算负指数幂、零指数幂，然后进行加减运算． (2)先分别计算单项式的乘法和积的乘方，再合并同类项． (3)观察到两项中都有公因式，可以用乘法分配律简化计算． (4)观察数字特点，，然后将原式变形为完全平方公式的形式． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 【小问4详解】 解： ． 17. 某中学为了解七年级学生对课后延时服务项目的参与情况，随机抽取50名学生进行问卷调查，课后延时服务项目分为以下四类：A．艺术素养、B．体育锻炼、C．科技探究、D．作业辅导．现将调查结果整理成如下不完整的统计表： 项目 A B C D 人数 15 10 5 频率 0.3 0.1 （1）请补全统计表中的空缺数据（直接填写在表中）； （2）从参与调查的学生中随机抽取1人，抽到的学生恰好参与项目B是_________事件（从“随机”“必然”“不可能”选一个填入）； （3）若该校七年级共有400名学生，试估计选择项目A的学生人数． 【答案】（1）见解析 （2）随机 （3）120名 【解析】 【分析】本题考查了根据数据描述求频率、频数，样本估计总体，事件的分类，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出项目B的人数，再根据频率等于频数除以总数进行列式，分别求出项目的频率，即可作答． （2）根据随机事件的定义进行分析，即可作答． （3）运用样本估计总体进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意， 如图所示： 项目 A B C D 人数 15 20 10 5 频率 0.3 0.4 0.2 0.1 【小问2详解】解：依题意，从参与调查的学生中随机抽取1人，抽到的学生恰好参与项目B是随机事件 故答案为：随机； 【小问3详解】 解：（名） 答：估计选择项目A的学生有120名 18. 下图是生物兴趣小组的同学测得一株植物一天24h内的光合作用（曲线Ⅰ）和呼吸作用（曲线Ⅱ）强度随时间变化的曲线．观察曲线，回答下列问题： （1）曲线Ⅰ、Ⅱ中的自变量是什么？因变量是什么？ （2）该植物在哪个时间段呼吸作用逐渐增强？在哪个时间段呼吸作用逐渐减弱？植物的光合作用发生在哪个时间段内？ （3）曲线Ⅰ、Ⅱ分别在6时和18时有一个交点，它所代表的意义是什么？ 【答案】（1）曲线Ⅰ中的自变量是时间，因变量是植物的光合作用强度；曲线Ⅱ中的自变量是时间，因变量是植物的呼吸作用强度． （2）0时—12时逐渐增强，在12时—24时逐渐减弱．植物的光合作用发生在4时—20时． （3）此时光合作用（曲线Ⅰ）和呼吸作用（曲线Ⅱ）强度相同. 【解析】 【分析】本题主要考查函数图像，熟练掌握函数图像是解题的关键． （1）根据函数图像以及自变量和因变量的定义得到答案； （2）根据函数图像的起伏即可得到答案； （3）根据图像交点的意义回答. 【小问1详解】 解：曲线Ⅰ中的自变量是时间，因变量是植物的光合作用强度；曲线Ⅱ中的自变量是时间，因变量是植物的呼吸作用强度． 【小问2详解】 解：0时—12时呼吸作用逐渐增强，在12时—24时呼吸作用逐渐减弱．植物的光合作用发生在4时—20时． 【小问3详解】 解：表示此时光合作用（曲线Ⅰ）和呼吸作用（曲线Ⅱ）强度相同. 19. 如图，在和中，，点、、、在同一直线上，． （1）请你添加一个条件，使得，则这个条件可以是______；（只写一个） （2）根据你所添加的条件，求证：≌． 【答案】（1）或或 （2）证明：∵， ∴，即． 在和中， ， ∴≌． 或证明：∵， ∴，即． 在和中， ∴≌． 或证明：∵， ∴，即． 在和中， ∴≌． 【解析】 【分析】（1）根据三角形全等的判定定理添加条件即可； （2）在和中，，，由可得出，由三角形全等的判定定理知，添加条件或或，满足SAS，AAS，ASA从而得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 一专卖店销售某品牌运动鞋，已知该鞋按200元/双的价格销售时，每周可销售120双，经调查，该鞋单价每下调x元，则每周会多卖出2x双． （1）下调价格后，每双鞋的单价为_____元：（用含x的代数式表示） （2）求调价后，该鞋一周的销售额；（结果用含x的多项式表示） （3）若时，求该鞋一周的销售额． 【答案】（1） （2）调价后，该鞋一周的销售额元 （3）时，该鞋一周的销售额为28800元 【解析】 【分析】（1）用售价减去下调价格即可； （2）根据销售量乘以销售单价列式即可； （3）将代入（2）中的代数式计算可得答案 【小问1详解】 解：下调价格后，每双鞋的单价为元 故答案为：， 【小问2详解】 调价后，该鞋一周的销售额 元 【小问3详解】 当时，原式（元 ） 所以时，该鞋一周的销售额为28800元． 21. 如图，在中，，为边的中点，，垂足为，与相等吗？为什么？ 【答案】与相等，理由如下： ∵在中，，为边的中点， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点、、在同一直线上， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质可得平分，则，分别求出，，即可得证． 【详解】略 22. 小明在计算时，采用了如下的解法． ． 请你借鉴小明的解题思路，解决下列问题： （1）若，求的值； （2）已知满足，求的值． 【答案】（1）27 （2） 【解析】 【分析】（1）先将原式变形为，然后根据幂的乘方运算法则将其变形为，再根据同底数幂的乘除法运算法则求解； （2）运用同底数幂的乘法逆运算将其变形为，再往后继续求解． 【小问1详解】 解： ， ， ， 原式； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ， ∴的值为． 23. 【提出问题】 数学课上老师提出如下问题：如图①，在中， 是 边上的中线，，，若 边的长为整数，求 边的长．小张同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 至点 ，使，连接，能得到，所以，进而利用三角形的任意两边之和大于第三边解决问题． 【思考发现】 （1）如图①，的理由是　　　　； A. B. C. D. （2）根据小明的方法思考，可得 的长可能为　　　　；（写出一个即可） 【类比迁移】 （3）如图②， 是的中线，交 于点 ，交 于点 ，． 求证：． 以下是部分证明过程： 证明：如图③，延长 至点 ，使，连结． ⋯⋯ 请完成上述证明过程． 【学以致用】 （4）如图④，在和中，， ， ，连结 、，取 的中点 ，连结．若，则　　　　． 【答案】（1）B （2）2（或3，4，5，6之一） （3）证明：如图③，延长 至点 ，使，连接． 同（1），可证， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴． （4）4 【解析】 【分析】（1）由题意知，，，可得； （2）由得，在中，根据三角形三边关系可得，进而即可求解； （3）倍长 至E，连 ，同（1）可证， 得出，结合，可得，由等边对等角可得，等量代换后可得，根据等角对等边即可得出结论； （4）倍长 至G，连，同（1），可证，进而证明，可得. 【小问1详解】 解：在和中， ， ， 故选：B； 【小问2详解】 解： ， ， 在中，，，，， ∴， 即， ∵ 为整数，， ∴ 的长可以为 2，3，4，5，6 中之一. 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：如图，延长至点 ，使，连， ∴， 同（1），可证， ∴. ∵ ， ∴， ∵， ∴. 在 中，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用，中线的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握倍长中线的辅助线作法是解题的关键． 24. 规定两数之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空：___________． （2）①若，请你尝试证明：； ②若，则___________（用含的式子表示）． 进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明：设 ， ，即． ． （3）结合①，②探索的结论，求的值． 【答案】（1） （2）①见解析；②； （3） 【解析】 【分析】（1）由新定义运算法则直接求解即可得到答案； （2）①由新定义运算法则及同底数幂的乘法运算法则和幂的乘方证明即可；②按照①的证明思路求解即可得到答案； （3）按照材料中的探究过程，结合新定义运算法则求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∵， ∴，即 ∴ ②由题意可知，，，， ， ，即， 则， 故答案为：； 【小问3详解】 解： ； 设，，则， ， ， ， ， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $