解三角形中的最值、范围问题课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“解三角形中的最值、范围问题”专题，依据高考评价体系梳理了正弦定理、余弦定理、三角恒等变换等核心考点，通过近五年模拟题分析明确边的范围、面积最值、三角函数值范围等高频题型占比，构建了“定理应用—不等关系—最值求解”的完整解题体系。 课件亮点在于“真题情境+多解探究+素养落地”的备考设计，如第12题通过正余弦定理转化与基本不等式求tanA最值，培养数学思维与运算能力，第5题结合面积公式与基本不等式突破面积最值难点。特设易错点警示（如锐角三角形角的范围忽略），助力学生掌握转化技巧，教师可据此精准定位学情，提升高考冲刺效率。

数 学 构建知识体系 形成关键能力 提高学科素养 精准高效备考 高考能力梯级集训 课时突破练30　解三角形中的最值、范围问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础•满分练 1.在锐角三角形ABC中,A=60°,AB=2,则AC的取值范围是(　　) A.(0,3) B.(1,3) C.(0,4) D.(1,4) D 解析:因为在锐角三角形ABC中,则考虑极限情况,当C=90°时, AC=ABsin 30°=1, 当B=90°时,AC==4,所以AC的取值范围是(1,4). 课时突破练30　解三角形中的最值、范围问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.在△ABC中,若sin C=2sin Bcos B,且B∈(),则的取值范围为(　　) A.() B.(,2) C.(0,2) D.(,2) A 解析:因为sin C=2sin Bcos B,由正弦定理得c=2bcos B,则=2cos B,又因为B∈(),可得<cos B<,所以<2cos B<,所以的取值范围为(). 课时突破练30　解三角形中的最值、范围问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.在锐角三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=3,A=,则b的取值范围是(　　) A.(0,6) B.(0,2) C.(,2) D.(3,6) D 解析:在锐角三角形ABC中,a=3,A=,由正弦定理可得=6, 所以b=6sin B,又B+C=π-A=,所以解得<B<, 所以<sin B<1,所以b∈(3,6). 课时突破练30　解三角形中的最值、范围问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(2025·河南安阳模拟)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,记BC边上的高为h,若A为锐角,b=asin B,则的最大值为(　　) A. B. C. D. B 课时突破练30　解三角形中的最值、范围问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析:因为b=asin B,由正弦定理得sin B=sin Asin B,又sin B>0,则 sin A=,因为A为锐角,所以cos A=由余弦定理可知a2=b2+c2-2bccos A =b2+c2-bc.由等面积法可知bcsin A=ah,即bc=ah,, 则,当且仅当b=c时等号成立,则的最大值为 课时突破练30　解三角形中的最值、范围问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(2025·江苏南京模拟)在△ABC中,∠ABC=,D为边AC上一点,∠DBC=且BD=1,则△ABC面积的最小值为(　　) A. B. C.2 D. D 课时突破练30　解三角形中的最值、范围问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析: 因为∠ABC=,∠DBC=, 所以∠ABD= 又因为BD=1, 所以S△ABD=BD×AB=c,S△CBD=BD×BC×sin∠DBC=b. 根据等面积法可得S△ABC=S△ABD+S△CBD,即acsin,整理得ac=2c+a.由基本不等式可得2c+a≥2,当且仅当2c=a时等号成立, 则ac≥2,解得ac,此时当且仅当a=,c=时等号成立.故S△ABC=acsinac 课时突破练30　解三角形中的最值、范围问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)(2025·江苏南京模拟)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos 2A+cos 2B=2cos 2C,则cos C的值可以为(　 　) A. B. C. D.- ABC 解析:因为cos 2A+cos 2B=2cos 2C,所以1-2sin2A+1-2sin2B=2-4sin2C, 由正弦边角关系得a2+b2=2c2,则cos C=, 当且仅当a=b时等号成立. 课时突破练30　解三角形中的最值、范围问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.(多选)(2025·辽宁沈阳三模)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,=2,∠BAC=,M为△ABC内一动点,且S△MBC=S△ABC,则(　 　) A.bc=4 B.S△ABC= C.a的最大值为2 D.的最小值为 ABD 课时突破练30　解三角形中的最值、范围问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析:对于A,由=2可得||||cosbc=2,则bc=4,故A正确; 对于B,S△ABC=bcsin4,故B正确; 对于C,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc=4, 即a2≥4,则a≥2,当且仅当b=c时,等号成立,所以a的最小值为2,故C错误; 对于D,因为S△ABC=S△MBC+S△MAB+S△MAC,且S△MBC=S△ABC,则S△MAB+S△MAC=S△ABC=,即(S△MAB+S△MAC)=1, 课时突破练30　解三角形中的最值、范围问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以=() [(S△MAB+S△MAC)] =(2+(2+2)=,当且仅当,即S△MAB=S△MAC时,等号成立,故D正确. 课时突破练30　解三角形中的最值、范围问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.(多选)(2025·河北模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2,∠BAC=,∠BAC的平分线交BC于点D,则下列说法正确的是(　 　) A.△ABC外接圆的面积为16π B.若△BAD与△ABC的面积比为1∶3,则AC=2AB C.若BD=2DC,则△ABC为直角三角形 D.△ABC周长的最大值为6 BCD 课时突破练30　解三角形中的最值、范围问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析:对于A,设外接圆的半径为R,由正弦定理得2R==4,故R=2,故外接圆的面积为4π,故A错误; 对于B,因为△BAD与△ABC的面积比为1∶3,故△BAD与△ADC的面积比为1∶2,故2AB×ADsinAC×ADsin,即AC=2AB,故B正确; 对于C,因为BD=2DC,由角平分线性质可得AB=2AC,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB×ACcos A, 故12=5AC2-2AC2,即AC=2,故AB=4,故BC2+AC2=AB2, 故△ABC为直角三角形,故C正确; 对于D,由C的分析可得12=c2+b2-2bc=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-(b+c)2,故12(b+c)2,即b+c≤4,当且仅当b=c=2时等号成立, 故△ABC周长的最大值为6,故D正确. 课时突破练30　解三角形中的最值、范围问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.(2025·湖北武汉三模)已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=,a≥b,则的取值范围为　　　　　　. [2,) 课时突破练30　解三角形中的最值、范围问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析:在锐角三角形ABC中,由<B, 由余弦定理知a2=b2+c2-2bccos A,所以b2+c2=a2+2bccos A, 所以+2cos A=+1, 由正弦定理得, 又<B,所以sin(2B-)∈(,1],所以[1,), 所以的取值范围为[2,). 课时突破练30　解三角形中的最值、范围问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(2025·浙江宁波模拟)已知△ABC的面积为S,且A,B,C所对的边分别记为a,b,c,满足4a2=b2+c2,则的最大值为　　　　　. 课时突破练30　解三角形中的最值、范围问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析:根据余弦定理,得cos A=,即bc=,则△ABC的面积为S=bcsin A=sin A=,所以tan A.又由4a2=b2+c2≥2bc,可得bc≤2a2,当且仅当b=c时等号成立, 所以cos A=,则A为锐角,所以tan A=,所以tan A的最大值为 课时突破练30　解三角形中的最值、范围问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(15分)(2025·江苏盐城模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=bcos A. (1)求B; (2)若b=2,求△ABC的内切圆的半径的最大值. 课时突破练30　解三角形中的最值、范围问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解:(1)因为c=bcos A,由正弦定理可得sin C=sin Bcos A,又C=π-(A+B),所以sin(A+B)=sin Bcos A,即sin A·cos B+cos Asin B=sin Bcos A, 所以sin Acos B=0,又0<A<π,sin A≠0, 所以cos B=0,又0<B<π,所以B= (2)由(1)知,B=,又b=2,则a2+c2=4, 所以(a+c)2=a2+c2+2ac=4+2ac≤4+a2+c2=8,故a+c≤2,当且仅当a=c=时等号成立.设Rt△ABC的内切圆的半径为r,则r=-1,所以△ABC的内切圆的半径的最大值为-1. 课时突破练30　解三角形中的最值、范围问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 能力•高分练 12.(一题多解)(2025·福建宁德模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2a2+b2=c2,则tan A的最大值为(　　) A. B. C. D. C 课时突破练30　解三角形中的最值、范围问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析:(方法1)由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=2a2+b2,所以a=-2bcos C, 即sin A=-2sin Bcos C,又sin A=sin(B+C),代入可得sin(B+C)=-2sin Bcos C, 化简得sin Bcos C+cos Bsin C=-2sin Bcos C,解得tan C=-3tan B, 故tan A=-tan(B+C)=因为cos C=-<0,所以<C<π,所以0<B<,所以tan B∈(0,+∞),所以+3tan B≥2,当且仅当= 3tan B,即tan B=时等号成立,所以tan A=,所以tan A的最大值为 课时突破练30　解三角形中的最值、范围问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (方法2)由余弦定理得cos A=, 所以0<A,则tan A, 所以tan A的最大值为 课时突破练30　解三角形中的最值、范围问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(原创)如图,已知OPQ是半径为2,圆心角为60°的扇形,点A,B,C分别是半径OP,OQ及扇形弧上的三个动点(不同于O,P,Q三点),则△ABC周长的最小值是(　　) A. B.2 C. D.2 D 课时突破练30　解三角形中的最值、范围问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析:作点C关于线段OQ,OP的对称点C1,C2,连接CC1,CC2, 则C△ABC=C1B+BA+AC2≥C1C2, 而∠C1OC2=∠C1OQ+∠QOP+∠POC2 =2(∠QOC+∠POC)=2∠QOP=120°, ∴在△CC1C2中,由余弦定理得C1C2==2, ∴△ABC周长的最小值为2 课时突破练30　解三角形中的最值、范围问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(2025·四川模拟)已知在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c, ∠ABC=,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=,则a+c的最小值为　　　　.  4 课时突破练30　解三角形中的最值、范围问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析:如图,由题意得acsinasincsin, 可得ac=a+c, 所以a+c=ac≤()2,解得a+c≥4, 当且仅当a=c=2时等号成立,即当a=c=2时,a+c的最小值为4. 课时突破练30　解三角形中的最值、范围问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(原创)在圆内接四边形ABCD中,∠DBA=,2BD=AB,则∠ADB=　　　,若AC=4,则△BCD面积的最大值为　　　.  9 解析:在△ABD中,∠DBA=,2BD=AB, 由正弦定理得, 所以, 课时突破练30　解三角形中的最值、范围问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以sin∠ADB=2sin(+∠ADB)=cos∠ADB+sin∠ADB,所以cos∠ADB=0,所以∠ADB=,所以AB是四边形ABCD外接圆直径,∠ACB= 设∠BAC=θ,0<θ<,则BC=ACtan θ=4tan θ,在△ACD中, ∠CAD=-θ,∠ADC=π-∠ABC=+θ,由正弦定理得,即CD==2-tan θ),在△BCD中, ∠BCD=π-, 课时突破练30　解三角形中的最值、范围问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以S△BCD=BC·CDsin∠BCD=4tan θ·2-tan θ) =12tan θ-tan2θ)=12]≤9, 当且仅当tan θ=时等号成立, 所以△BCD面积的最大值为9 课时突破练30　解三角形中的最值、范围问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 素养•提升练 16.(15分)(2025·云南昭通模拟)已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a-c+2acos B=0. (1)证明:B=2A; (2)求的取值范围; (3)已知函数f(x)=2sin x-x-ln(x+1),求证:f()>0. 课时突破练30　解三角形中的最值、范围问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)证明:由正弦定理得sin A-sin C+2sin Acos B=0,又因为sin C=sin(A+B),所以sin A-sin Acos B-cos Asin B+2sin Acos B=0,即sin(B-A)=sin A. 因为A,B∈(0,π),所以B-A=A或(B-A)+A=π(舍去), 所以B=2A. 课时突破练30　解三角形中的最值、范围问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)解:因为A+B=3A∈(0,π),所以A∈(0,), 所以cos2A+ 令x=cos A∈(,1),则F(x)=x2+,x∈(,1),F'(x)=x- 令F'(x)=0,得x=, 所以F(x)在区间()上单调递减,在区间(,1)上单调递增, 所以F(x)的最小值为F()= 又因为F()=+1<F(1)=, 所以F(x)∈[). 课时突破练30　解三角形中的最值、范围问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)证明:因为f'(x)=2cos x-1-, 记h(x)=2cos x-1-, 则h'(x)=-2sin x+,易知h'(x)在(0,)上单调递减,且h'(0)=1>0,h'()=-1<0, 所以∃x0∈(0,),h'(x0)=0, 即-2sin x0+=0,所以,当x∈(0,x0)时,h'(x)>0,h(x)在(0,x0)上单调递增; 课时突破练30　解三角形中的最值、范围问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当x∈(x0,)时,h'(x)<0,h(x)在(x0,)上单调递减.因为h(0)=0,h()=-1--1->0,所以当x∈(0,)时,h(x)>0,f(x)在(0,)上单调递增,所以f(x)>f(0).又因为f(0)=0,所以f(x)>0. 由(2)知A∈(0,),所以(0,),所以f()>0. 课时突破练30　解三角形中的最值、范围问题 $