第8章 第9节 圆锥曲线中的最值、范围问题课件——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦圆锥曲线中的最值与范围问题，依据高考评价体系梳理了基本不等式法、函数法等核心解题方法，通过近五年高考及模拟真题分析，明确最值问题占比55%、范围问题占45%的考点分布，归纳出四边形面积、三角形面积等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题解析+方法提炼+素养落地”，如以2025年黑龙江二模为例，用基本不等式法推导四边形面积最小值，培养数学思维；通过函数法解决椭圆切线三角形面积问题，强化数学语言表达。含易错点警示和答题模板，助力学生掌握解题技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第10章 直线与圆、圆锥曲线 第9节 圆锥曲线中的最值与范围问题 2027节高考一轮复习 数学 1 考点1 圆锥曲线中的最值问题 角度1.基本不等式法 例1　(2025·黑龙江哈尔滨·二模)已知圆心在x轴上移动的圆经过点A(-4，0)，且与x轴、y轴分别交于B(x，0)，C(0，y)两个动点(B，C可以重合). (1)求点M(x，y)的轨迹E的方程; (2)过点D(1，0)的两条直线l1，l2相互垂直，直线l1与E交于G，H两点，直线l2与E交于J，K两点，求四边形GJHK面积的最小值. 名师导学第一总复习 高三数学 2 (1)求点M(x，y)的轨迹E的方程; [解析] (1)根据题意，圆心坐标为. 又因为该圆经过点A(-4，0)和C(0，y)， 所以=， 化简得y2=4x， 所以点M(x，y)的轨迹E的方程为y2=4x. 名师导学第一总复习 高三数学 3 (2)过点D(1，0)的两条直线l1，l2相互垂直，直线l1与E交于G，H两点，直线l2与E交于J，K两点，求四边形GJHK面积的最小值. [解析] (2)由题意知直线l1，l2的斜率一定存在且不为0， 故设l1的方程为y=k(x-1)， l2的方程为y=-(x-1)， G(x1，y1)，H(x2，y2)，J(x3，y3)，K(x4，y4). 联立消x得ky2-4y-4k=0， 则Δ=16(k2+1)>0，y1+y2=，y1y2=-4. 名师导学第一总复习 高三数学 4 所以|GH|=·|y1-y2| =· =·=4， 同理|JK|=4(k2+1)， 所以S四边形GJHK=|GH|·|JK|=8（k2++2）≥8=32， 当且仅当k=±1时，四边形GJHK的面积最小，最小值为32. 名师导学第一总复习 高三数学 5 [小结]根据题目的条件和结论将所求最值用最少的、最简的变量表示处理，结合基本不等式求解. 名师导学第一总复习 高三数学 6 1.(2025·浙江金华·二模)如图，双曲线E:-=1(a>0，b>0)的虚轴长为2，离心率为，斜率为k的直线l过x轴上一点A(t，0). (1)求双曲线E的标准方程; (2)若双曲线E上存在关于直线l对称的不同两点B，C，直线BC与直线l及y轴的交点分别为P，Q，当t=-3时，求S△APQ的最小值. 巩固训练 名师导学第一总复习 高三数学 7 (1)求双曲线E的标准方程; [解析] (1)由题知解得 双曲线E的标准方程为-y2=1. 名师导学第一总复习 高三数学 8 (2)若双曲线E上存在关于直线l对称的不同两点B，C，直线BC与直线l及y轴的交点分别为P，Q，当t=-3时，求S△APQ的最小值. [解析] (2)令P(x0，y0)，设直线BC的方程为:y=- x+m，与-y2=1联立得 (k2-4)x2+8mkx-4m2k2-4k2=0，Δ=16k2(m2k2+k2-4)， 当Δ>0时，设B(x1，y1)，C(x2，y2)， 由韦达定理及题意可得x0= = ，y0= = ， 当t=-3时，A(-3，0)，设Q(0，m)， 因为k= = ⇒-4km+3k2-12=mk，所以m= ⇒= ， 名师导学第一总复习 高三数学 9 又x0+3=，y0= ， 则PA==|y0|== ， PQ==， 又 = ⇒= ，x0= = - ， 则PQ= = ， 名师导学第一总复习 高三数学 10 则S△APQ=PA·PQ=· = ·≥·2 = ， 当k=±1取等，此时m2== ⇒Δ=16×>0满足题意. 综上，S△APQ的最小值为. 名师导学第一总复习 高三数学 11 角度2.函数法 例2　(2025·黑龙江哈尔滨·二模)椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l交C于P，Q两点(点P位于x轴上方)，O为坐标原点. (1)若+3=λ，求λ的值; (2)已知二次曲线Ax2+By2=C(ABC≠0)在点H(x0，y0)处的切线方程为Ax0x+By0y=C，现过P，Q两点作C的两条切线相交于点T，求△TPQ面积的最小值. 名师导学第一总复习 高三数学 12 (1)若+3=λ，求λ的值; [解析] (1)由椭圆的对称性可知=-，则+3=λ=-λ， 即=--，又P，Q，F2三点共线，则--=1，解得λ=-4. 名师导学第一总复习 高三数学 13 (2)已知二次曲线Ax2+By2=C(ABC≠0)在点H(x0，y0)处的切线方程为Ax0x+By0y=C，现过P，Q两点作C的两条切线相交于点T，求△TPQ面积的最小值. [解析] (2)如图所示，易知直线PQ斜率不为0，且点F2(1，0)， 设直线PQ方程为x=my+1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立整理可得(m2+2)y2+2my-1=0， 则Δ=(2m)2-4(m2+2)·(-1)=8m2+8>0，且y1+y2=-，y1y2=-， 名师导学第一总复习 高三数学 14 则|PQ|=|y1-y2|=·=， 由已知可得直线PT:x1x+y1y=1，QT:x2x+y2y=1， 设点T(x3，y3)，联立直线PT与QT得x3= ，y3=， 则点T到直线PQ的距离d= = = = = ， 名师导学第一总复习 高三数学 15 则S△TPQ= |PQ|·d= ··= ， 设m2+1=t≥1，则S△TPQ= = ， 设f(t)= ，t≥1，则f'(t)= = >0恒成立， 所以f(t)=在[1，+∞)上单调递增，所以f(t)= 的最小值为f(1)= ， 即△TPQ面积的最小值为. 名师导学第一总复习 高三数学 16 [小结]若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有导数法、配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等. 名师导学第一总复习 高三数学 17 2.(2025·浙江台州·二模)过点Q(m，1)(m<0)作抛物线Γ:y2=4x的两条切线，分别交l:2x-y-4=0于C，D两点，求△QCD面积的最小值. [解析] 设抛物线的切线方程为x-m=t(y-1)， 联立得y2-4ty+4t-4m=0， 由Δ=0，可得t2-t+m=0，则 设QC的方程为x-m=t1(y-1)，QD的方程为x-m=t2(y-1)， 巩固训练 名师导学第一总复习 高三数学 18 联立得xC=，同理xD=， |CD|=|xC-xD|===， Q点到直线l的距离d=， 所以S△QCD=|CD|·d=， 令h(m)=， 得h'(m)=， 名师导学第一总复习 高三数学 19 因为1-4m>0，则m<， 令h'(m)=0，得m=-， 当m<-时，h'(m)<0，h(m)单调递减，当-<m<时，h'(m)>0，h(m)单调递增， 所以h(m)min=h=12，此时S△QCD=6. 名师导学第一总复习 高三数学 20 考点2 范围问题 例3　(2025·黑龙江大庆·二模)已知双曲线E:-=1(a>0，b>0)的离心率为2，且其焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线E的方程; (2)直线l过双曲线右焦点且与两渐近线分别交于点M，N，与双曲线E交于两点P，Q，且P，Q位于y轴右侧，求的取值范围. 名师导学第一总复习 高三数学 21 (1)求双曲线E的方程; [解析] (1)焦点到渐近线的距离为=b=，又离心率e==2，c2=a2+b2，联立解得a=1，c=2，故双曲线E的方程为x2-=1. 名师导学第一总复习 高三数学 22 (2)直线l过双曲线右焦点且与两渐近线分别交于点M，N，与双曲线E交于两点P，Q，且P，Q位于y轴右侧，求的取值范围. [解析] (2)如图: 双曲线x2-=1的渐近线为y=±x，显然直线l过右焦点F1且斜率不为0， 故可设其方程为x=my+2，联立整理得(3m2-1)y2+12my+9=0. 名师导学第一总复习 高三数学 23 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 所以|y1-y2|== = . 于是|PQ|=·|y1-y2|= . 又由⇒ 名师导学第一总复习 高三数学 24 即N（，- ）; 同理可得M（- ，- ）， 所以|MN|= = .所以 = = ， 因为直线l与双曲线E的右支交于两点P，Q，所以y1y2= <0， 所以m2<，所以∈. 名师导学第一总复习 高三数学 25 [小结]圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围. (2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系. (3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围. (4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围. (5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围. 名师导学第一总复习 高三数学 26 3.已知椭圆Γ:+=1(a>b>0)经过点(，0)，且右焦点为F. (1)求椭圆Γ的方程. (2)已知直线l:y=kx+m与椭圆Γ交于A，B两点，以AB为直径 的圆过原点. (ⅰ)证明:m2=k2+1; (ⅱ)若过原点的直线与椭圆Γ交于C，D两点，且=t(+)， 求四边形ACBD面积的范围. 巩固训练 名师导学第一总复习 高三数学 27 (1)求椭圆Γ的方程. [解析] (1)依题意，a=，c=，则b2=a2-c2=， 所以椭圆Γ的方程为+=1. 名师导学第一总复习 高三数学 28 (2)已知直线l:y=kx+m与椭圆Γ交于A，B两点，以AB为直径的圆过原点. (ⅰ)证明:m2=k2+1; [解析](2)(ⅰ)由(1)知，椭圆Γ:+=1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由消去y得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-3=0， 则Δ=16k2m2-4(2k2+1)(2m2-3)=4(6k2-2m2+3)>0，x1+x2=-，x1x2=， 由以AB为直径的圆过原点，得·=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0， 名师导学第一总复习 高三数学 29 整理得(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0， 则(k2+1)·-+m2=0， 即(k2+1)(2m2-3)-4k2m2+m2(2k2+1)=0， 则m2=k2+1，此时Δ>0成立，所以m2=k2+1. 名师导学第一总复习 高三数学 30 (ⅱ)若过原点的直线与椭圆Γ交于C，D两点，且=t(+)，求四边形ACBD面积的范围. [解析](ⅱ)设线段AB的中点为M，则=t(+)=2t， 结合图可知t>0，S四边形ACBD=2S四边形OACB=4tS△OAB， 又S△OAB=···|x1-x2|=|m||x1-x2| =|m|·=|m|·， 由=t(+)，得C点坐标为(t(x1+x2)，t(y1+y2))， 名师导学第一总复习 高三数学 31 又 于是+2=3，化简得=3，即t=， 则S四边形ACBD=4·|m|·=·=·∈， 所以四边形ACBD面积的取值范围为. 名师导学第一总复习 高三数学 32 走进高考 1.(2025年高考全国Ⅰ卷)设椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，|AB|=. (1)求椭圆C的标准方程; (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足|AR|·|AP|=3. (ⅰ)设P(m，n)，求点R的坐标(用m，n表示); (ⅱ)设O为坐标原点，Q是椭圆上的动点，直线OR的斜率为直线OP的斜率的3倍，求|PQ|的最大值. 名师导学第一总复习 高三数学 33 (1)求椭圆C的标准方程; [解析] (1)由题可知，A(0，-b)，B(a，0)， 所以 解得a2=9，b2=1，c2=8， 故椭圆C的标准方程为+y2=1. 名师导学第一总复习 高三数学 34 (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足|AR|·|AP|=3. (ⅰ)设P(m，n)，求点R的坐标(用m，n表示); [解析] (2)(ⅰ)设R(x0，y0)，易知m≠0， 法一:所以kAP=，故=，且mx0>0. 因为A(0，-1)，·=3，所以×=3， 即x0m=3，解得x0= ，所以y0= ， 所以点R的坐标为(). 名师导学第一总复习 高三数学 35 法二:设=λ，λ>0，则=3⇒λ[m2+(n+1)2]=3， 所以λ==λ=λ(m，n+1)=， 故点R的坐标为. 名师导学第一总复习 高三数学 36 (ⅱ)设O为坐标原点，Q是椭圆上的动点，直线OR的斜率为直线OP的斜率的3倍，求|PQ|的最大值. [解析] (ⅱ)因为kOR= = ，kOP=， 由kOR=3kOP，可得= ，化简得m2+n2+8n-2=0，即m2+(n+4)2=18(m≠0)， 所以点P在以N(0，-4)为圆心，3为半径的圆上(除去两个点)， |PQ|max为Q到圆心N的距离加上半径， 名师导学第一总复习 高三数学 37 法一:设Q(3cos θ，sin θ)， 所以|QN|2=(3cos θ)2+(sin θ+4)2 =9cos2θ+sin2θ+8sin θ+16 =8cos2θ+1+8sin θ+16 =8(1-sin2θ)+8sin θ+17 =-8sin2θ+8sin θ+25 =-8+27≤27， 当且仅当sin θ=时取等号， 所以|PQ|max=+3=3. 名师导学第一总复习 高三数学 38 法二:设Q(xQ，yQ)，则+=1， |QN|2=+(yQ+4)2=9-9++8yQ+16=-8+8yQ+25=-8+27≤27， 当且仅当yQ= 时取等号， 故|PQ|max=+3=3(+). 名师导学第一总复习 高三数学 39 $