1.4.2 角平分线 导学案-2026--2027学年苏科版数学八年级上册

该初中数学导学案聚焦角平分线，涵盖定义、性质定理、判定定理及三角形内心等核心知识点。课堂导入通过回顾线段垂直平分线，以问题链引导学生思考角平分线上点到两边距离的关系，搭建新旧知识联系的学习支架。 导学案设计预习导学、课堂探究、典例精讲（含变式训练）及分层巩固练习的完整流程。通过对比辨析性质与判定定理，结合变式训练提升推理能力，分层练习兼顾学生差异，答案解析详细，助力学生几何直观与应用意识的培养，便于教师教学与评估。

1.4.2 角平分线导学案 一、学习目标 1、理解角平分线的定义，掌握其性质定理和判定定理，理解定理的几何意义，能运用定理解决相关的几何问题。 2、能区分性质定理和判定定理的区别，掌握它们的运用场景，能解决求长度、求面积、证明等问题。 3、能处理三角形的角平分线的交点问题，提升几何推理能力。 二、学习重难点 学习重点：掌握角平分线的性质定理和判定定理，能运用它们解决基础的几何问题。 学习难点：综合运用两个定理解决复杂的综合问题，比如三角形的角平分线的交点问题，还有角平分线的性质的综合应用。 三、预习导学・问题引入 我们之前学习了线段的垂直平分线，今天我们来学习另一个新的知识点：角平分线。 我们来想一个问题：如果有一条射线，它平分一个角，那么这条射线上的点，到这个角的两边的距离有什么关系？反过来，如果一个点到一个角的两边的距离相等，那么这个点是不是在这个角的平分线上？ 这就是我们今天要学习的两个核心定理，它们是我们解决很多几何问题的关键，不用再每次都证明全等，我们可以直接用这两个定理来快速解决问题。 四、课堂探究・知识点梳理 1. 角平分线的定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 它的核心是，它是一条射线，不是直线也不是线段，从顶点出发，把角分成两个相等的角。 2. 性质定理：线上点到两边等距 角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等。 这是我们解决很多求长度问题的核心，比如，如果一个点在角平分线上，那么我们直接可以得到它到角两边的垂线段的长度相等，不用再证明全等了。 符号语言： ∵ AD是∠BAC 的平分线，DC⊥CA，DB⊥AB， ∴ CD = BE。 3. 判定定理：到两边等距的点在直线上 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 这个是性质定理的逆定理，我们可以用它来判断一个点是不是在角平分线上，也可以用来证明一条射线是角平分线 —— 只要有一个点到角两边的距离相等，那么这个点就在角平分线上。 符号语言： ∵ DC⊥CA，DB⊥AB， CD = BE， ∴ OC 是∠AOB 的平分线。 4. 三角形的角平分线的性质 三角形的三条角平分线会交于一点，这个点叫做三角形的内心，它到三角形的三边的距离都相等，这是我们经常用到的一个结论。 五、典例精讲・变式训练 典例 1：基础应用 —— 利用角平分线的性质求长度 原题：如图，在中，AD 平分，于点 E，于点 F，若，则 DF 的长为多少？ 解析： 根据角平分线的性质，AD 是的平分线，点 D 在 AD 上，所以点 D 到 AB 的距离 DE，和到 AC 的距离 DF 相等，所以。 变式训练 1 如图，OC 平分，点 P 在 OC 上，于点 D，于点 E，若，则 PE 的长为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式训练 2 如图，在中，，AD 平分，交 BC 于点 D，若，则点 D 到 AB 的距离为多少？ 变式训练 3 如图，BD 平分，于点 E，于点 F，若，，的面积为 12，求的面积。 典例 2：综合应用 —— 利用角平分线的判定证明 原题：如图，点 P 在的内部，于点 C，于点 D，且，求证：OP 平分。 解析： 根据判定定理，因为，，且， 所以点 P 在的平分线上， 所以 OP 平分。 变式训练 1 如图，在中，于点 E，于点 F，且，求证：AD 平分。 变式训练 2 如图，在四边形 ABCD 中，，E 是 BC 上的一点，且，，求证：AE 平分。 变式训练 3 如图，在中，点 O 是和的平分线的交点，求证：O 在的平分线上。 六、巩固练习・分层训练 基础过关 1、下列说法中，正确的是（ ） A．角平分线上的点到角的两边的距离相等 B．到角的两边的距离相等的点，一定在角的平分线上 C．角平分线是一条线段 D．角平分线把角分成两个相等的线段 2、如图，AD 平分，，，若，则 DF 的长为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 3、如图，在中，，AD 平分，交 BC 于点 D，若，，则点 D 到 AB 的距离为多少？ 4、如图，在中，AD 平分，，，求证：。 5、如图，在中，，AD 平分，若，，求点 D 到 AB 的距离。 能力提升 6、如图，在中，∠C=90°，O 是三条角平分线的交点，若，，，则点 O 到三边的距离为多少？ 7、如图，在中，，AD 平分，交 BC 于点 D，若，，求和的面积之比。 8、如图，在中，的外角平分线和的外角平分线交于点 P，求证：P 在的平分线上。 七、答案与解析 变式训练答案 典例 1 变式 1、答案：B 解析：OC 是的平分线，所以。 2、答案：2 解析：AD 是的平分线，所以点 D 到 AB 的距离等于 CD 的长度，也就是 2。 3、答案：9 解析：BD 是的平分线，所以，的面积是，所以，所以，的面积是。 典例 2 变式 1、证明： ∵，，且， ∴点 D 在的平分线上， ∴AD 平分。 2、证明： ∵，， ∴，， ∴， 然后证明，得，所以， 然后过 E 作于 F，于 G，于 H， 可以得到，所以 E 在的平分线上，所以 AE 平分。 3、证明： 过 O 作于 D，于 E，于 F， ∵AO 平分，∴， ∵BO 平分，∴， ∴， ∴O 在的平分线上。 巩固练习答案 基础过关 1、答案：A 解析：B 选项，没有说在角的内部，不对；C 选项，角平分线是射线，不对；D 选项，把角分成两个相等的角，不是线段，所以 A 正确。 2、答案：C 解析：AD 是角平分线，所以。 3、答案：4 解析：，所以点 D 到 AB 的距离等于 CD 的长度，也就是 4。 4、证明： ∵AD 平分，，， ∴， 然后证明， 得。 5、 答案：2.4 解析：设点 D 到 AB 的距离为 h，那么的面积是， 也等于，解得。 能力提升 6、答案：2 解析：O 是内心，到三边的距离相等，设为 h，那么的面积是，也等于，解得。 7、答案：3:2 解析：过 D 作，，那么， 所以面积比是。 8、证明： 过 P 作于 M，于 N，于 Q， ∵BP 是外角平分线，∴， ∵CP 是外角平分线，∴， ∴， ∴P 在的平分线上。 学科网（北京）股份有限公司 $