第10讲 直线的点斜式方程（思维导图+2知识点+5大题型+综合通关）（暑假预习讲义）新高二数学人教A版

第10讲 直线的点斜式方程 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型01 直线的点斜式方程 题型02 直线的斜截式方程 题型03 斜截式的图像特征 题型04 点斜式与斜截式的应用 题型05 点斜式与斜截式中两直线的平行、垂直问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1.直线的点斜式方程 2.直线的斜截式方程 1. 根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式),培养直观想象与数学运算的核心素养. 学习重点：掌握直线方程的点斜式、斜截式形式 学习难点：直线方程的点斜式、斜截式方程中参数的意义与应用 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 直线的点斜式方程 1、点斜式方程的推导 如图，直线经过点，且斜率为． 设是直线上不同于点的任意一点，因为直线的斜率为， 由斜率公式得，即． 2、直线的点斜式方程 方程由直线上一个定点及该直线的斜率确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 注：（1）点斜式的前提条件：①斜率必须存在；②已知直线上一点和直线的斜率． （2）当任意实数时，方程表示恒过定点的无数条直线． 3、两种特殊的直线： 倾斜角 图象特征 斜率 直线方程 0° ，即 ，即 90° 无意义， 即不存在 ，即 4、求直线点斜式方程的一般步骤： （1）求直线点斜式的步骤为：定点定斜率写出方程 （2）点斜式方程可表示过点的所有直线，但除外． 即时即练 1．（24-25高二上·全国·课后作业）写出满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率为； (2)经过点，倾斜角是； (3)经过点且与轴垂直． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接将点的坐标和斜率代入点斜式方程即可得出结果； （2）利用倾斜角计算出直线斜率，再代入点斜式方程即可； （3）由直线与轴垂直，斜率不存在，不能使用点斜式方程. 【详解】（1）直线的点斜式方程为：. （2）由倾斜角是，则直线的斜率为， 所以直线的点斜式方程为：. （3）由于直线与轴垂直，斜率不存在， 所以该直线的方程为． 【方法总结】 求直线的点斜式方程,关键是求出直线的斜率,所以已知直线上一点的坐标及直线的斜率或直线上两点坐标,均可求出直线的方程.特别注意:当斜率不存在时,可直接写出过点(x0,y0)的直线方程为x=x0. 易错警示:容易忽视直线斜率不存在的情况. 知识点02 直线的斜截式方程 1、斜截式方程的推导 如图，如果斜率为的直线过点，这时是直线与轴的交点，代入直线的点斜式方程，得，即． 2、直线的斜截式方程 我们把直线与轴的交点为的纵坐标叫做直线在轴上的截距．这样，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，我们把方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 注：斜截式方程适用于斜率存在的直线，不能表示斜率不存在的直线，故利用斜截式设直线方程时要讨论斜率是否存在． 3、斜截式的几种特例 表示过原点的直线 ， 表示与轴平行的直线 ， 表示轴 即时即练 1．写出下列直线的斜截式方程： (1)直线斜率是，在y轴上的截距是； (2)直线倾斜角是，在y轴上的截距是； (3)直线在轴上的截距为，在y轴上的截距为. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由斜截式求解直线方程即可； （2）先根据倾斜角求直线的斜率，再根据斜截式求解直线方程即可； （3）根据直线过的两点，确定直线斜率，再根据斜截式求解直线方程即可. 【详解】（1）由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为. （2）因为直线斜率为，由直线的斜截式方程可知所求直线方程为：. （3）因为直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，所以直线过点，， 根据两点可求直线斜率，所以直线的斜截式方程为. 【方法总结】 斜截式方程的特点及应用 (1)若能求得直线的斜率,且直线在y轴上的截距已知,可选用直线的斜截式方程直接求解. (2)根据斜率和截距的几何意义判断k,b的正负时,k>0⇔直线呈上升趋势.k<0⇔直线呈下降趋势.k=0⇔直线呈水平状态.b>0⇔直线与y轴的交点在x轴上方.b<0⇔直线与y轴的交点在x轴下方.b=0⇔直线过坐标原点. 题型01 直线的点斜式方程 1．（25-26高二上·河南平顶山·期末）已知直线的点斜式方程为，则的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】A 【分析】由倾斜角与斜率的关系求倾斜角即可. 【详解】设直线的倾斜角为且， 则，故. 故选：A 2．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出直线的斜率，再利用点斜式即可求出. 【详解】直线的斜率为， 又直线过点，，即. 故选：C. 3．（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）已知直线的一个方向向量为，若过点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率，再由点斜式得到直线方程. 【详解】因直线的一个方向向量为，则直线的斜率， 又因直线过点， 故直线的方程为． 故选：C 4．（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）已知直线过点且斜率不存在，则直线方程为________________ 【答案】 【分析】根据题意可知直线与x轴垂直，且过点，即可得直线方程. 【详解】因为直线过点且斜率不存在，可知直线与x轴垂直， 所以直线方程为. 故答案为：. 5．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知平面直角坐标系中两点，则线段的垂直平分线方程为________． 【答案】 【分析】根据中点和斜率求得正确答案. 【详解】依题意，， 线段中点坐标为， 直线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即. 故答案为： 6．（25-26高二·全国·暑假作业）根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点，倾斜角为； (2)经过原点，倾斜角为； (3)经过点，倾斜角为． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为直线斜率为， 所以直线的点斜式方程为． （2）因为直线斜率为， 所以直线的点斜式方程为． （3）因为直线斜率为，所以直线的点斜式方程为． 【技巧归纳】 求直线的点斜式方程,关键是求出直线的斜率,所以已知直线上一点的坐标及直线的斜率或直线上两点坐标,均可求出直线的方程.特别注意:当斜率不存在时,可直接写出过点(x0,y0)的直线方程为x=x0. 易错警示:容易忽视直线斜率不存在的情况. 题型02 直线的斜截式方程 1．（25-26高二上·天津滨海新区·期末）已知直线的方程是，则该直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由方程可得直线的斜率，再根据倾斜角与斜率的关系计算可得. 【详解】由，可得直线的斜率，设该直线的倾斜角为，， 所以，所以. 故选：B. 2．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则此直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系求出直线斜率，结合直线的斜截式公式求解即可. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为. 由直线的斜截式公式可知，， 故选：B. 3．（25-26高二上·天津津南·阶段检测）已知直线的方向向量为，且在轴上的截距为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求得直线的斜率，再利用斜截式方程求解，化为一般式方程即可. 【详解】由直线的方向向量为得直线的斜率为， 又在轴上的截距为，所以直线的方程为，即. 故选：C 4．（25-26高二下·上海·期末）直线在轴上的截距为_____________. 【答案】 【详解】令，得，所以直线在轴上的截距为. 5．（24-25高二下·上海·期中）过点且斜率为2的直线的斜截式方程为__________. 【答案】 【详解】过点且斜率为2的直线的斜截式方程为. 6．（25-26高二上·河北衡水·阶段检测）求分别满足下列条件的直线方程，结果写成斜截式． (1)过点，斜率； (2)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线的点斜式可求得直线方程； （2）由已知求得所求直线的倾斜角和斜率，再根据直线的点斜式可求得直线方程. 【详解】（1）由直线的点斜式方程得直线方程为：，化简可得：. （2）因为直线的斜率为，所以其倾斜角为，所以所求直线倾斜角为，所以所求直线斜率为， 由直线的点斜式方程得直线方程为：，化简可得：. 【技巧归纳】 斜截式方程的特点及应用 (1)若能求得直线的斜率,且直线在y轴上的截距已知,可选用直线的斜截式方程直接求解. (2)根据斜率和截距的几何意义判断k,b的正负时,k>0⇔直线呈上升趋势.k<0⇔直线呈下降趋势.k=0⇔直线呈水平状态.b>0⇔直线与y轴的交点在x轴上方.b<0⇔直线与y轴的交点在x轴下方.b=0⇔直线过坐标原点. 题型03 斜截式的图像特征 1．（24-25高二上·全国·课后作业）下列直线中过第一、二、四象限的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线经过的象限确定斜率及轴截距判断选项即可. 【详解】若直线过第一、二、四象限，则， 选项A，B，D中直线的斜率都大于0，只有C满足． 故选：C. 2．（24-25高二上·吉林·阶段检测）若直线的方程为，则此直线必不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】由条件判断直线的斜率和纵截距的正负，结合图象分析即得. 【详解】由可得，， 即直线的斜率为负数，在轴上的截距为负数， 故直线经过第二、三、四象限，即不经过第一象限. 故选：A. 3．如图，在同一直角坐标系中，表示直线与正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由与中同号，分类讨论递增与递减，得到结果. 【详解】当时，直线过原点，且单调递增， 直线单调递增，且纵截距为正数， 没有符合的图象． 当时，直线过原点，且单调递减， 直线单调递增，且纵截距为负数， C选项符合． 故选：C 4．（25-26高二上·江苏南通·期中）若直线不经过第四象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将直线化为斜截式，结合其不经过的象限列不等式求参数范围. 【详解】由题设不经过第四象限， 则. 故选：B 5．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）直线的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】由两直线的解析式可得直线的斜率为a、纵截距为b，的斜率为，纵截距为a，再逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】选项A，由的图象可知，，，由的图象可知，，，矛盾，A错误； 选项B，由的图象可知，，，由的图象可知，，，可能成立，B正确； 选项C，由的图象可知，，，由的图象可知，，，矛盾，C错误； 选项D，由的图象可知，，，由的图象可知，，，矛盾，D错误. 题型04 点斜式与斜截式的应用 1．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）直线经过点，斜率为k，在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率k的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用直线的点斜式方程求出直线的方程，再由给定条件列式求出斜率范围. 【详解】依题意，直线的方程为，由，得， 因此，即，解得或， 所以斜率k的取值范围是或. 故选：D 2．已知两点，以下各点一定在直线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两点可求出直线的斜率，再利用点斜式写出直线的方程，最后代入即可得解. 【详解】因为，， 所以， 所以直线的方程为：， 即， 当时，， 所以点在直线上. 故选：A. 3．（25-26高二上·湖北·阶段检测）满足经过点且与两坐标轴围成的三角形的面积为的直线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题意，经过点的直线斜率一定存在，且不为，设直线的斜率为，则直线方程为，求得直线与轴和轴的交点，再结合三角形面积公式，对斜率的取值，进行分类讨论，即可求解. 【详解】根据题意，经过点的直线斜率一定存在，且不为， 设直线的斜率为，则直线方程为，即， 直线与轴交于点，与轴交于点， 所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积，即， 当时，，即，， 所以二次方程有两个不同的实数根， 即存在条直线与两坐标轴围成的三角形的面积为； 当时，，即，， 所以二次方程不存在实数根， 即不存在直线与两坐标轴围成的三角形的面积为； 综上所述，经过点且与两坐标轴围成的三角形的面积为的直线有条. 故选：B 4．（多选题）已知直线l过点，且与轴和轴围成一个内角为的直角三角形，则满足条件的直线l的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由题意，求出直线的倾斜角可以是或或或，从而可得直线斜率，利用点斜式可写出直线方程，最后检验即可得答案. 【详解】解：由题意，直线的倾斜角可以是或或或， 所以直线的斜率或或或， 所以直线的方程可以为或或 或， 由，整理得，此时直线过原点，无法与轴和轴围成直角三角形. 故选：ABC. 5．（25-26高二上·上海徐汇·阶段检测）已知点，点，直线与线段PQ相交，则k的取值范围为__________. 【答案】 【分析】先求出定点，再求出，结合图象可得. 【详解】直线恒过点， 则，， 直线为过点且与轴垂直的直线， 则直线从转到时，k的取值范围为， 直线从转到时，k的取值范围为， 则直线与线段PQ相交时k的取值范围为. 故答案为： 题型05 点斜式与斜截式中两直线的平行、垂直问题 1．（24-25高二上·新疆博尔塔拉·期末）已知直线l过点，且与直线平行，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法可求直线l的方程. 【详解】因直线l与直线平行，可设直线l的方程为， 又直线l过点，所以，解得， 所以直线l的方程为. 故选：C. 2．（多选题）设，如果直线与直线平行，那么可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，由此可解得实数的值. 【详解】由已知可得，解得或. 故选：AB. 3．（25-26高二上·北京·期中）与直线垂直，且在轴上的截距为4的直线的斜截式方程是__________. 【答案】 【分析】根据垂直关系可得所求直线的斜率，进而可得斜截式方程. 【详解】由题意可知：直线的斜率为， 因为所求直线与直线垂直，则所求直线的斜率， 且在轴上的截距为4，所以所求直线的斜截式方程是. 故答案为：. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与直线垂直，且与直线在轴上的截距相同，求的值． 【答案】 【分析】根据直线垂直及截距相同列出方程组计算即可求参. 【详解】由题意得 解得或， 所以． 1．（24-25高二上·贵州遵义·期末）过点，斜率为2的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用直线方程的点斜式求出方程即得. 【详解】依题意，所求直线方程为，即. 故选：B 2．（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）直线斜率为，在轴的截距是5的斜截式方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的斜截式方程直接下结论即可. 【详解】由题意知，该直线的斜截式方程为. 故选：B 3．（25-26高二上·北京·阶段检测）经过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据倾斜角为，求出斜率，代入直线的点斜式方程求解. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以斜率， 又直线经过点，代入点斜式方程得直线方程为. 故选：B 4．（2025高二上·江苏南通·专题练习）若，，则直线不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据所给条件，画出直线在直角坐标系中的图形即可判断. 【详解】如图所示，作出符合题意的图形， 由图可知，直线所以不经过第三象限. 故选：C. 5．（25-26高二上·广东汕头·期中）如图所示，直线与的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据直线的斜截式方程的各项系数的几何意义，逐一判断各选项即得. 【详解】对于A，由直线的图象可得，由的图象可得，产生矛盾，故A不合题意； 对于B，由直线的图象可得，由的图象可得，产生矛盾，故B不合题意； 对于C，由直线的图象可得，由的图象可得，产生矛盾，故C不合题意； 对于D，由直线的图象可得，由的图象可得，两者一致，故D符合题意. 故选：D. 6．（24-25高二上·江苏盐城·期中）直线的方程为：，若直线不经过第一象限，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线斜率与截距讨论不经过第一象限时所满足的条件，解得结果. 【详解】若直线斜率不存在，即不经过第一象限， 若直线斜率存在，即， 所以， 综上实数的取值范围为， 故选：C. 7．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点，若直线与线段相交，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题直线过定点，作图，数形结合求解即可. 【详解】因为直线恒过定点，且， 要使得直线与线段相交由图可知，则或. 所以的取值范围为. 故选：B. 8．过点且与坐标轴围成的三角形面积为1的直线l的斜截式方程是______． 【答案】或 【分析】由题意设直线l为，从而求得在坐标轴上的截距，再利用三角形面积公式得到关于的二次方程，解之即可. 【详解】由题意所求直线l的斜率必存在，且不为，设其斜率为，则直线l方程为， 令，得，令，得， 故所围三角形面积为，即， 当时，上式可化为，解得或； 当时，上式可化为，方程无解； 综上：直线的斜截式方程是或. 故答案为：或. 9．写出下列直线的方程． （1）经过点，且与直线平行； （2）经过点，且与x轴平行． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据题意求得直线的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）由题意求得与x轴平行的直线的斜率，进而求得直线的方程. 【详解】（1）由题意，直线，可得直线的斜率为， 因为过点，且与直线平行，可得所求直线方程为， 即所求直线方程为． （2）由题意，与x轴平行的直线的斜率， 所以直线的点斜式方程为，即． 10．（25-26高二上·广东潮州·阶段检测）已知直线的一个方向向量为，直线的倾斜角为直线的倾斜角的2倍． (1)求直线的斜率． (2)求过点，直线的点斜式方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用方向向量求出直线的倾斜角，进而求出直线的倾斜角及斜率. （2）由（1）的结论，利用直线的点斜式方程写出即可. 【详解】（1）由直线的一个方向向量为，得直线的斜率为，则直线的倾斜角为， 因此直线的倾斜角为，所以直线的斜率为. （2）由（1）知：直线的斜率为，而直线过点 所以直线的点斜式方程为. 11．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）直线的方向向量，直线过点 (1)若直线与直线平行，求出直线的斜截式方程，并求出直线的倾斜角的值 (2)若直线与直线垂直，求出直线的斜截式方程，并写出直线在轴上的截距. 【答案】(1)直线的斜截式方程为，倾斜角， (2)所以直线的斜截式方程为，在轴上的截距为. 【分析】（1）由直线的方向向量求直线的斜率，根据平行直线的斜率关系求直线的斜率，利用点斜式求直线的点斜式方程，化为斜截式，2由倾斜角与斜率关系求该直线的倾斜角； （2）根据垂直直线的斜率关系求直线的斜率，利用点斜式求直线的点斜式方程，化为斜截式，再确定直线在轴上的截距. 【详解】（1）因为直线的方向向量， 所以直线的斜率存在，设直线的斜率为，则， 若直线与直线平行，则直线的斜率存在， 设直线的斜率为，则， 又直线过点， 所以直线的方程为， 化为斜截式可得， 因为直线的斜率，所以，又， 所以， 所以直线的斜截式方程为，倾斜角， （2）若直线与直线垂直， 由（1）可得直线的斜率存在，且，又， 所以， 所以直线的方程为， 化为斜截式可得， 所以直线的斜截式方程为，在轴上的截距为. 12．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知的顶点为，，． (1)求出直线的斜率 (2)求过且平行于直线的直线的方程； (3)求边上的高所在直线的方程． 【答案】(1) (2)： (3)： 【分析】（1）根据已知两点坐标求斜率公式求解即可； （2）根据平行求出斜率，结合点斜式方程即可解题； （3）根据垂直求出斜率，结合点斜式方程即可解题. 【详解】（1）由题意可得，，，设直线的斜率为，所以. （2）设该直线为，由题意可得与直线平行，所以的斜率为，所以，所以：. （3）设该直线为，斜率为，由题意可得与直线垂直，所以，所以，所以，所以：. 13．已知直线和直线，问：m为何值时，直线与平行？m为何值时，直线与垂直？ 【答案】时，直线与平行；当时，直线与垂直 【分析】分类讨论，结合两直线平行与垂直的判定求解即可． 【详解】当时，直线：，直线：，直线与垂直； 当时，直线的方程可化为， ①若直线与垂直，则无解，故时，不存在直线与垂直； ②若直线与平行， 则，得， 当时，，两直线重合，不合题意舍去； 当时，，符合题意； 故当时，直线与平行； 当时，直线与垂直． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 直线的点斜式方程 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型01 直线的点斜式方程 题型02 直线的斜截式方程 题型03 斜截式的图像特征 题型04 点斜式与斜截式的应用 题型05 点斜式与斜截式中两直线的平行、垂直问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1.直线的点斜式方程 2.直线的斜截式方程 1. 根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式),培养直观想象与数学运算的核心素养. 学习重点：掌握直线方程的点斜式、斜截式形式 学习难点：直线方程的点斜式、斜截式方程中参数的意义与应用 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 直线的点斜式方程 1、点斜式方程的推导 如图，直线经过点，且斜率为． 设是直线上不同于点的任意一点，因为直线的斜率为， 由斜率公式得，即． 2、直线的点斜式方程 方程由直线上一个定点及该直线的斜率确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 注：（1）点斜式的前提条件：①斜率必须存在；②已知直线上一点和直线的斜率． （2）当任意实数时，方程表示恒过定点的无数条直线． 3、两种特殊的直线： 倾斜角 图象特征 斜率 直线方程 0° ，即 ，即 90° 无意义， 即不存在 ，即 4、求直线点斜式方程的一般步骤： （1）求直线点斜式的步骤为：定点定斜率写出方程 （2）点斜式方程可表示过点的所有直线，但除外． 即时即练 1．（24-25高二上·全国·课后作业）写出满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率为； (2)经过点，倾斜角是； (3)经过点且与轴垂直． 【方法总结】 求直线的点斜式方程,关键是求出直线的斜率,所以已知直线上一点的坐标及直线的斜率或直线上两点坐标,均可求出直线的方程.特别注意:当斜率不存在时,可直接写出过点(x0,y0)的直线方程为x=x0. 易错警示:容易忽视直线斜率不存在的情况. 知识点02 直线的斜截式方程 1、斜截式方程的推导 如图，如果斜率为的直线过点，这时是直线与轴的交点，代入直线的点斜式方程，得，即． 2、直线的斜截式方程 我们把直线与轴的交点为的纵坐标叫做直线在轴上的截距．这样，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，我们把方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 注：斜截式方程适用于斜率存在的直线，不能表示斜率不存在的直线，故利用斜截式设直线方程时要讨论斜率是否存在． 3、斜截式的几种特例 表示过原点的直线 ， 表示与轴平行的直线 ， 表示轴 即时即练 1．写出下列直线的斜截式方程： (1)直线斜率是，在y轴上的截距是； (2)直线倾斜角是，在y轴上的截距是； (3)直线在轴上的截距为，在y轴上的截距为. 【方法总结】 斜截式方程的特点及应用 (1)若能求得直线的斜率,且直线在y轴上的截距已知,可选用直线的斜截式方程直接求解. (2)根据斜率和截距的几何意义判断k,b的正负时,k>0⇔直线呈上升趋势.k<0⇔直线呈下降趋势.k=0⇔直线呈水平状态.b>0⇔直线与y轴的交点在x轴上方.b<0⇔直线与y轴的交点在x轴下方.b=0⇔直线过坐标原点. 题型01 直线的点斜式方程 1．（25-26高二上·河南平顶山·期末）已知直线的点斜式方程为，则的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 2．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）已知直线的一个方向向量为，若过点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）已知直线过点且斜率不存在，则直线方程为________________ 5．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知平面直角坐标系中两点，则线段的垂直平分线方程为________． 6．（25-26高二·全国·暑假作业）根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点，倾斜角为； (2)经过原点，倾斜角为； (3)经过点，倾斜角为． 【技巧归纳】 求直线的点斜式方程,关键是求出直线的斜率,所以已知直线上一点的坐标及直线的斜率或直线上两点坐标,均可求出直线的方程.特别注意:当斜率不存在时,可直接写出过点(x0,y0)的直线方程为x=x0. 易错警示:容易忽视直线斜率不存在的情况. 题型02 直线的斜截式方程 1．（25-26高二上·天津滨海新区·期末）已知直线的方程是，则该直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则此直线方程为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·天津津南·阶段检测）已知直线的方向向量为，且在轴上的截距为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·上海·期末）直线在轴上的截距为_____________. 5．（24-25高二下·上海·期中）过点且斜率为2的直线的斜截式方程为__________. 6．（25-26高二上·河北衡水·阶段检测）求分别满足下列条件的直线方程，结果写成斜截式． (1)过点，斜率； (2)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； 【技巧归纳】 斜截式方程的特点及应用 (1)若能求得直线的斜率,且直线在y轴上的截距已知,可选用直线的斜截式方程直接求解. (2)根据斜率和截距的几何意义判断k,b的正负时,k>0⇔直线呈上升趋势.k<0⇔直线呈下降趋势.k=0⇔直线呈水平状态.b>0⇔直线与y轴的交点在x轴上方.b<0⇔直线与y轴的交点在x轴下方.b=0⇔直线过坐标原点. 题型03 斜截式的图像特征 1．（24-25高二上·全国·课后作业）下列直线中过第一、二、四象限的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·吉林·阶段检测）若直线的方程为，则此直线必不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．如图，在同一直角坐标系中，表示直线与正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏南通·期中）若直线不经过第四象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）直线的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   题型04 点斜式与斜截式的应用 1．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）直线经过点，斜率为k，在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率k的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D．或 2．已知两点，以下各点一定在直线上的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·湖北·阶段检测）满足经过点且与两坐标轴围成的三角形的面积为的直线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（多选题）已知直线l过点，且与轴和轴围成一个内角为的直角三角形，则满足条件的直线l的方程可以是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·上海徐汇·阶段检测）已知点，点，直线与线段PQ相交，则k的取值范围为__________. 题型05 点斜式与斜截式中两直线的平行、垂直问题 1．（24-25高二上·新疆博尔塔拉·期末）已知直线l过点，且与直线平行，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）设，如果直线与直线平行，那么可以是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·北京·期中）与直线垂直，且在轴上的截距为4的直线的斜截式方程是__________. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与直线垂直，且与直线在轴上的截距相同，求的值． 1．（24-25高二上·贵州遵义·期末）过点，斜率为2的直线方程是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）直线斜率为，在轴的截距是5的斜截式方程是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·北京·阶段检测）经过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为（　　） A． B． C． D． 4．（2025高二上·江苏南通·专题练习）若，，则直线不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（25-26高二上·广东汕头·期中）如图所示，直线与的图象可能是（   ） A．  B．   C．   D．   6．（24-25高二上·江苏盐城·期中）直线的方程为：，若直线不经过第一象限，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点，若直线与线段相交，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．过点且与坐标轴围成的三角形面积为1的直线l的斜截式方程是______． 9．写出下列直线的方程． （1）经过点，且与直线平行； （2）经过点，且与x轴平行． 10．（25-26高二上·广东潮州·阶段检测）已知直线的一个方向向量为，直线的倾斜角为直线的倾斜角的2倍． (1)求直线的斜率． (2)求过点，直线的点斜式方程． 11．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）直线的方向向量，直线过点 (1)若直线与直线平行，求出直线的斜截式方程，并求出直线的倾斜角的值 (2)若直线与直线垂直，求出直线的斜截式方程，并写出直线在轴上的截距. 12．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知的顶点为，，． (1)求出直线的斜率 (2)求过且平行于直线的直线的方程； (3)求边上的高所在直线的方程． 13．已知直线和直线，问：m为何值时，直线与平行？m为何值时，直线与垂直？ 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $