山东省济南市历城区2025-2026学年度第二学期期末质量检测八年级数学试题

2025-2026学年度第二学期期末质量检测 八年级数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1．汉服承载着中华千年服饰文化，其纹样更是蕴含着丰富的文化寓意．下列汉服纹样中，属于中心对称图形的是（ ） A．如意纹 B．凤纹 C．龙纹 D．忍冬纹 2．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A． B． C． D． 3．若分式的值为零，则x的值为（ ） A． B． C． D． 4．如图，左、右托盘中黑球的质量分别为，，白球的质量为，图中体现的数学原理可表示为（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，当点C的对应点恰好落在边上时，的度数是（ ） A． B． C． D． 7．有一张长方形桌子的桌面长90 cm，宽50 cm．有一块长方形台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相等．设台布各边垂下的长度为x（cm），则根据题意所列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 8．在中，以A为圆心，长为半径画弧交边于点E，再分别以B，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F，连接并延长交于点G，若，，过点A作交于点M，则长为（ ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，边在x轴上，顶点A，B的坐标分别为和，F为的中点，点D，E分别在，边上，将沿x轴向右平移．当点D落在上时，点E的坐标为（ ） A． B． C． D． 10．济南依山傍水，夜幕降临，山体灯光秀以光影绘山色．不同颜色的光束投影在山体表面交错重叠，绘就泉城别样夜色．如图，点A为山顶的射灯装置，射出的绿色光线形成且，射出的红色光线形成且，点B，D，C，E在同一条直线上．若，，则两片光束重叠部分即的面积为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11．分解因式：=__________． 12．如图，在正五边形内部作等边三角形，则的度数为__________． 13．如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，．若，则的长度为__________． 14．甲、乙、丙三个同学毕业后选择了不同的职业，三人中只有一个当了记者．一次有人问起他们的职业，甲说：“我是记者．”乙说：“我不是记者．”丙说：“甲说了假话．”如果他们三人的话中只有一句是真的，那么__________是记者． 15．如图，，，，，，连接，，分别取，的中点，，连接，则线段的长为__________． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（7分）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 17．（6分）先化简，然后从，，，中选一个合适的数代入求值． 18．（6分）如图，在菱形中，点E，F分别在边，上，连接，，若．求证：． 19．（10分）解方程： （1）； （2）． 20．（10分）某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，现需要采购一批劳动工具开展种植活动．据了解，市场上A型劳动工具的单价比B型劳动工具的单价低5元，用400元购买A型劳动工具的数量和用500元购买B型劳动工具的数量相同． （1）求A，B两种型号劳动工具的单价各是多少元？ （2）学校计划购买A，B两种型号的劳动工具共100把，且A型劳动工具的购买数量不超过B型劳动工具的购买数量的两倍，则如何购买花费最少？最少费用是多少？ 21．（8分）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，线段的两个端点均为格点（网格线的交点），点在线段上，且． （1）线段的长度为______________． （2）将线段绕点逆时针旋转，得到线段． ①在图中画出线段（其中为的对应点）， ②四边形的面积是______________． （3）在图中的网格内存在______________个格点，到两边所在直线的距离相等． 22．（10分）已知关于的方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根为，，求代数式的值． 23．（9分）生活中，我们常常用运动的眼光观察世界，这让我们在数学学习中有不一样的发现．当图形里的“点、线、面”活泼地“动”起来，解题思路便别有“动”天．请运用平移转化的思想观察并解决以下几个问题： 【观察思考】政府准备在一块长a米，宽b米的长方形空地上铺草地并修建小路，现有两种方案： 方案一（图1），小路为宽度1米的竖直长方形通道，贯穿整个长方形； 方案二（图2），小路为曲折形状，其中小路的左边线向右平移1米恰好与右边线重合． 分别设方案一和方案二的草地面积为，，则： （1）=________（用含a，b的代数式表示）， （2）____________（填“＞”、“＜”或“=”）． 【类比思考】①如图3，在中，，，，．涂色三角形的面积是________． ②如图4，大正方形的边长是，梯形的面积是，求涂色正方形的面积是多少平方厘米？ 24．（12分）阅读材料，并解决问题． 【文化欣赏】三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图1所示的图形，此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．所以，由此得原方程的一个正根为． 【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（________________________）=； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程________________________，解得原方程的一个正根为________________________； 【拓展应用】一般地，对于形如（，）的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，请用上面的方法求此方程的正根． 【思维提升】小明用此方法解关于的方程，其中，他以和作为矩形的两邻边构造出如图2同样的图形，已知小正方形的面积为4，则的值为_________． 25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点位于坐标原点，点在轴上，对角线，且，两条对角线交于点，动点在轴正半轴上运动，连接，把沿翻折，点的对应点为点，连接． （1）求点的坐标； （2）当点在第四象限时（如图1），求证：； （3）是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $