2025-2026高一下数学期末模拟卷3（范围：人教A版必修2）

**基本信息** 本卷覆盖人教A版必修二核心知识，通过复数、立体几何、解三角形、统计概率等模块，以动态几何（如折叠问题）、实际竞赛统计等情境，分层考查数学抽象、空间观念与数据意识，适配高一期末综合能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|复数虚部、线面关系、解三角形、向量共线、百分位数|基础概念辨析，如第2题充要条件判断，培养推理能力| |多选题|3题|复数性质、向量运算、正方体动态问题|第11题结合动点探究线面平行与外接球，发展空间观念| |填空题|3题|独立事件概率、圆台体积、四边形面积最值|第14题平面四边形面积最值，体现数学眼光观察几何关系| |解答题|5题|解三角形（向量应用）、统计直方图、立体几何证明与线面角、动态几何体积最值|第16题竞赛成绩统计分析，强化数据意识；第19题折叠问题探究体积最值，培养创新思维与数学语言表达|

2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷3 测试范围：人教A版必修第二册 适合地区：全国 一、单选题 1．（25-26高一下·云南红河·期末）已知，，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算 【详解】因为，， 所以，故虚部为． 2．（25-26高一下·河南·期末）已知平面，直线l，则“”是“l与平面有公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.88 【知识点】判断命题的充分不必要条件、线面关系有关命题的判断 【分析】结合直线与平面的位置关系，分别判断命题的充分性和必要性即可得出结论. 【详解】当时，由直线在平面内的定义，知直线与平面有无数个公共点； 而若与平面有公共点，则有，或与平面相交，无法推得. 故“”是“与平面有公共点”的充分不必要条件. 3．（25-26高一下·湖北武汉·期末）在中，若，，，则的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【难度】0.95 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】先根据正弦定理求出的值，再结合三角形大边对大角的性质，判断出正确选项. 【详解】在中，由正弦定理得，， 所以， 由于，所以，又，所以. 4．（25-26高一下·江苏南京·期末）已知，向量，，，若，则的值为（   ） A． B．1 C．0 D．0或 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】数量积的运算律、数量积的坐标表示、向量垂直的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】由条件，结合向量垂直的坐标表示列方程求结论. 【详解】因为，，所以， 由可得 ，又， 所以， 化简可得，故， 解得或， 由题设，因此不符合要求，舍去，故. 5．（25-26高一下·江苏南京·期末）已知一组数据：4，6，a，10，12，14的平均数为9，则这组数据的第70百分位数为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】根据平均数求参数、总体百分位数的估计 【分析】根据平均数可先求出未知数a的值，根据第70百分位数的求法计算结果即可． 【详解】因为平均数为9，故，解得， 由可得，第70百分位数为第5个数，即12． 6．（25-26高一下·浙江宁波·期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件“第一次摸到红球”，事件“第二次摸到绿球”，事件“两次都摸到红球”，事件“两个球颜色不同”，则（   ） A．与是相等事件 B．与是相互独立事件 C．与是互斥事件 D．与是互为对立事件 【答案】C 【难度】0.68 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、确定所给事件的对立关系、计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【详解】用形如表示摸出的两球，其中表示第次摸出球的标号，表示第次摸出球的标号， 则样本空间为； 事件包含； 事件包含；事件包含； 事件包含； 故A选项错误；C选项正确；D选项错误； 因为，故B错误. 7．（25-26高一下·云南红河·期末）已知点是边长为的等边边上一动点，为的重心，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.62 【知识点】平面向量数量积的几何意义、用定义求向量的数量积 【详解】设与的夹角为， 在边长为的等边中， 连接并延长交于点，则垂直平分， 所以， 又因为点为的重心，则， 所以， 为在上的投影， 其最小值为，最大值为. 所以， 所以． 8．（25-26高一下·江苏扬州·期末）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，该圆锥的底面半径为2，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则球的半径等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.56 【知识点】正弦定理求外接圆半径、圆锥的结构特征辨析、球的结构特征辨析、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据给定条件，求出圆锥母线及轴截面等腰三角形底角正弦，再利用圆锥及其外接球的关系，结合正弦定理求解. 【详解】由圆锥的底面半径为2，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，得该圆锥母线长为， 令该圆锥轴截面等腰三角形底角为，则，， 由圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，得该圆锥轴截面等腰三角形外接圆为球的大圆， 由正弦定理，球的半径等于. 二、多选题 9．（25-26高一下·湖北武汉·期末）下列说法正确的是（     ） A．复数（为虚数单位）的共轭复数 B．复数（为虚数单位）是纯虚数，则 C．一组样本数据为，，，，，，，若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数不可能相等 D．若样本，，…，的平均数和方差分别为2和3，则，，，的平均数和方差分别为和 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】计算几个数的平均数、各数据同时乘除同一数对方差的影响、已知复数的类型求参数、共轭复数的概念及计算 【详解】对于A，由，则，故A正确； 对于B，由（为虚数单位）是纯虚数， 则，解得，故B错误； 对于C，因样本数据7，12，13， 17，18，20，32的平均数为， 若去掉这个数据，则新的一组数据的平均数也是17，故C错误； 对于D，因样本的平均数和方差分别为2和3， 则的平均数为，方差为，故D正确. 10．（25-26高三上·安徽合肥·期中）已知向量，满足，，且，则（    ） A．，的夹角为 B． C．在上的投影向量为 D．的最小值为 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】求投影向量、向量夹角的计算、数量积的运算律 【分析】利用平面向量的运算依次判断选项即可. 【详解】对于A，，所以，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，在上的投影向量为，故C错误； 对于D，，所以当时，取得最小值，为，故D正确. 故选：ABD 11．（24-25高一下·贵州安顺·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，G是棱上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．当G为棱中点时，直线平面 B．三棱锥外接球的表面积为 C．若H是棱上的动点，则的最小值为 D．若M为棱的中点，平面MEF截正方体所得截面图形的周长为 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】证明线面平行、多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算、判断正方体的截面形状 【分析】A选项，作出辅助线，得到平面，平面，得到面面平行，进而得到线面平行；B选项，三棱锥外接球为以三边为长宽高的长方体的外接球，从而求出外接球半径和表面积；C选项，将两平面展开到同一平面内，利用勾股定理求出最小值；D选项，作出平面MEF截正方体所得截面图形，求出周长. 【详解】A选项，取的中点，又G为棱中点，E，F分别是棱，的中点， 故，， 因为平面，平面，所以平面， 同理可得平面， 因为，平面， 所以平面平面， 因为直线平面，所以平面，A正确； B选项，显然两两垂直， 故三棱锥外接球为以三边为长宽高的长方体的外接球， 设外接球半径为，则， 故外接球表面积为，B错误； C选项，将正方形和矩形沿着棱展开，如图， 连接与相交于点，的最小值即为的长度， 其中，， 由勾股定理得，C正确； D选项，取的中点，的中点，的中点， 连接，可证得，六点共面， 平面MEF截正方体所得截面图形即为正六边形，边长为， 故周长为，D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．（25-26高一下·江苏淮安·期末）甲、乙、丙三人各进行一次射击，已知甲、乙、丙三人击中目标的概率分别为，，，则恰有两人击中目标的概率为______． 【答案】 【难度】0.72 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】先确定恰有两人击中的三类互斥情况，结合独立事件概率乘法公式分别计算各类情况的概率，再由互斥事件概率加法公式求和 【详解】设事件A、B、C分别表示甲、乙、丙击中目标， 由题意知A、B、C相互独立，且 则 恰有两人击中目标包含三个两两互斥的事件：、、， 由独立事件概率乘法公式，得 由互斥事件概率加法公式，得所求概率为： . 13．（25-26高一下·浙江宁波·期中）已知圆台的体积为，上底面半径为1，高与母线的比值为，则该圆台的下底面半径为_________． 【答案】2 【难度】0.73 【知识点】圆台的结构特征辨析、台体体积的有关计算 【分析】先由高和母线比设参数，结合勾股定理得高与半径差的关系，再代入体积公式列方程即可得结果. 【详解】设圆台的高为，母线长为，下底面半径为， 则，设，则， 所以，即，所以， 又因为， 整理得：，所以. 14．（25-26高一下·湖北武汉·期末）如图，在平面四边形中，，为等边三角形，则面积的最大值为__________． 【答案】/ 【难度】0.55 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、辅助角公式、三角形面积公式及其应用 【分析】设，根据条件，利用倍角公式及三角变换得到，再由正弦函数的性质，即可求解. 【详解】设，因为，则， 又为等边三角形，则， 所以 ， 因为，则，所以当，即时，， 故面积的最大值为. 四、解答题 15．（25-26高一下·江西南昌·期中）已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，且. (1)求角； (2)若，，求的面积； (3)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.66 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理解三角形 【分析】（1）根据向量的共线结合正弦定理可得角的三角函数值，进而可得角的值； （2）先由余弦定理求得，再由面积公式可得； （3）先由余弦定理得，再由基本不等式可得最大值. 【详解】（1）因为向量，，且， 所以. 又由正弦定理得， 因为，所以 又因为，所以. （2）因为中，，，由（1）知， 由余弦定理， 即，所以， 解得或（舍去）. 所以的面积. （3）由（1）知，且，由余弦定理， 得， 即，，当且仅当时等号成立. 所以的最大值为8. 又 的周长取值范围为 16．（25-26高一下·江苏宿迁·期末）某校高一年级举行“体育文化节”趣味竞赛活动，竞赛分为初赛和决赛两个环节．现从该校高一年级学生中随机抽取50名，记录他们的初赛成绩，将成绩数据按照，，，，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的60百分位数；（结果保留1位小数） (2)在这50名学生成绩的样本中，随机取出样本容量为10的样本，其中男生5名，计算得到男生成绩的样本均值为，方差为；女生成绩的样本均值为，方差为．求这10名学生成绩的标准差； (3)通过初赛，确定2名水平相当的优秀选手进行决赛，决赛采取7局4胜制，胜者获得全部奖金，决赛期间前四局打成时因故终止．有人提出按分配奖金，你认为这样分配合理吗？为什么？ 【答案】(1)，81.4 (2)8 (3)不合理，理由如下： 设两位选手分别为甲、乙，每场比赛的两人获胜的概率为． 前4局，不妨设甲赢了3局，乙赢了1局． 若甲最终赢了比赛，可能是或或． 当时，甲赢得的概率为； 当时，甲赢得的概率是； 当时，甲赢得的概率是， 打成后，甲获得胜利的概率为，乙获得胜利的概率为． 所以应该按照的比例分配奖金更合理，而不是． 【难度】0.68 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、计算几个数据的极差、方差、标准差、互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式、总体百分位数的估计 【分析】（1）由面积和为求出，利用百分位数的定义计算； （2）利用分层抽样的方差公式计算； （3）前4局，不妨设甲赢了3局，乙赢了1局，利用独立事件和互斥事件的概率公式计算甲、乙获胜的概率即可. 【详解】（1）由频率分布直方图得，，解得. 前个矩形面积和为，前个矩形面积和为， 所以60百分位数在区间内，为. （2）由题意得， 所以 ． 所以标准差为． （3）略 17．（25-26高一下·江苏南京·期末）如图，四棱锥中，平面，，，E为的中点，点F在棱上，直线和直线相交． (1)求证： (2)若，，． （i）证明：平面； （ⅱ）求直线与平面所成的角． 【答案】(1)证明：直线和直线相交，故A，B，F，E四点共面， 四棱锥中，，平面， 平面，故平面， 因为平面平面，平面， 故． (2)（i）证明：，，故， 故， 所以，故， 因为平面，平面， 故，且，，平面， 故平面． （ⅱ） 【难度】0.57 【知识点】证明线面垂直、求线面角、线面平行的性质 【分析】（1）证明线线平行可转化为线面平行，根据线面平行的性质进行证明，过一个平面的平行线的平面与这个平面的交线与这条直线平行，由此进行证明即可； （2）（i）根据题干中所给的线面垂直和线段长度，可利用线面垂直的性质以及勾股定理找到两条相交直线与垂直，根据线面垂直的判定定理证明即可； （ⅱ）先证明平面，可得是直线与平面所成的角，进而可得结论. 【详解】（1）略 （2）（i）略 （ⅱ）因为，E为的中点， 故F为的中点，且，故， 因为平面，平面， 故，且，，平面， 故平面， 故是直线与平面所成的角， 因为，， 所以，， 所以，即， 故直线与平面所成的角为． 18．（25-26高一下·湖北武汉·期末）如图，在中，，，是的角平分线，且． (1)求； (2)若，是线段上的动点（包括端点），且，记为， （i）用表示； （ii）求面积的最小值． 【答案】(1) (2)（i），；（ii） 【难度】0.44 【知识点】积化和差公式、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据条件，利用余弦定理，即可求解； （2）（i）根据条件，利用正弦定理得，再由正弦的差角公式及商数关系，即可求解；（ii）根据条件，利用正弦定理求出，再由面积公式得，即可求解. 【详解】（1）在中，，，， 由余弦定理， 得到，故. （2）（i）因为，得， 又是的角平分线，故，， 在中，，，故， 又，在中，，则， 在中，由正弦定理得， 又，所以， 由在线段上，且，，则， 所以，. （ii）因为，， 在中，由正弦定理，即， 在中，由正弦定理，得到， 又的面积， 所以， 又， 所以， 所以，又，则，所以 则，此时. 19．（25-26高一下·江苏连云港·期末）如图，在矩形中，，，是线段上的动点（端点除外），将沿着折起，使点到达点的位置，满足点平面，且点在平面内的射影落在线段上．    (1)是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由； (2)若直线与平面所成的角为，求二面角的大小； (3)求三棱锥体积的最大值． 【答案】(1)不存在，理由如下： 如图１，连接，因为点在平面内的射影落在线段上，所以平面， 因为平面，所以， 若存在点，使得平面，因为平面，所以， 因为，所以平面， 因为平面，所以，这与已知条件中矛盾，所以不存在点，使得平面． (2)； (3). 【难度】0.3 【知识点】锥体体积的有关计算、判断线面是否垂直、求二面角、由线面角的大小求值 【分析】（1）采用反证法，假设存在满足条件的点M，由线面垂直的性质推出矛盾，因此不存在； （2）先通过作平行线将线面角转化为已知角，利用面积比和等体积法建立方程求出，再构造二面角的平面角，在直角三角形中计算正弦值，得到二面角； （3）用等体积法将三棱锥体积表示为的函数，通过换元转化为分式函数，利用基本不等式求出最大值. 【详解】（1）略. （2）作，作平面，连接，， 所以直线与平面所成的角即直线与平面所成的角，也即， 设，所以， 因为，，， 所以四边形是矩形，所以，， 因为，所以， 因为，， 所以， 因为，所以， ，， 所以，因为，所以， 所以， 连接，所以， 在中，， 所以，解得， 如图3，作，连接， 因为平面，所以，， 所以平面，因为平面，所以， 所以是二面角的平面角， 在中，，所以， 所以，即，解得， 所以，所以， 所以二面角的平面角为.      （3）， 如图2，设，由（2）得，，， 在中，， 所以，解得， 所以 ， 所以 化简得 令，因为，所以或， 因为是线段上的动点（端点除外），所以， 所以，所以， 所以所以 令，则，其中，且，所以，即， 所以 因为所以 当且仅当，即等号成立，此时，即， 因此 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷3 测试范围：人教A版必修第二册 适合地区：全国 一、单选题 1．（25-26高一下·云南红河·期末）已知，，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·河南·期末）已知平面，直线l，则“”是“l与平面有公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一下·湖北武汉·期末）在中，若，，，则的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（25-26高一下·江苏南京·期末）已知，向量，，，若，则的值为（   ） A． B．1 C．0 D．0或 5．（25-26高一下·江苏南京·期末）已知一组数据：4，6，a，10，12，14的平均数为9，则这组数据的第70百分位数为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 6．（25-26高一下·浙江宁波·期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件“第一次摸到红球”，事件“第二次摸到绿球”，事件“两次都摸到红球”，事件“两个球颜色不同”，则（   ） A．与是相等事件 B．与是相互独立事件 C．与是互斥事件 D．与是互为对立事件 7．（25-26高一下·云南红河·期末）已知点是边长为的等边边上一动点，为的重心，则的范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·江苏扬州·期末）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，该圆锥的底面半径为2，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则球的半径等于（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一下·湖北武汉·期末）下列说法正确的是（     ） A．复数（为虚数单位）的共轭复数 B．复数（为虚数单位）是纯虚数，则 C．一组样本数据为，，，，，，，若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数不可能相等 D．若样本，，…，的平均数和方差分别为2和3，则，，，的平均数和方差分别为和 10．（25-26高三上·安徽合肥·期中）已知向量，满足，，且，则（    ） A．，的夹角为 B． C．在上的投影向量为 D．的最小值为 11．（24-25高一下·贵州安顺·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，G是棱上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．当G为棱中点时，直线平面 B．三棱锥外接球的表面积为 C．若H是棱上的动点，则的最小值为 D．若M为棱的中点，平面MEF截正方体所得截面图形的周长为 三、填空题 12．（25-26高一下·江苏淮安·期末）甲、乙、丙三人各进行一次射击，已知甲、乙、丙三人击中目标的概率分别为，，，则恰有两人击中目标的概率为______． 13．（25-26高一下·浙江宁波·期中）已知圆台的体积为，上底面半径为1，高与母线的比值为，则该圆台的下底面半径为_________． 14．（25-26高一下·湖北武汉·期末）如图，在平面四边形中，，为等边三角形，则面积的最大值为__________． 四、解答题 15．（25-26高一下·江西南昌·期中）已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，且. (1)求角； (2)若，，求的面积； (3)若，求周长的取值范围. 16．（25-26高一下·江苏宿迁·期末）某校高一年级举行“体育文化节”趣味竞赛活动，竞赛分为初赛和决赛两个环节．现从该校高一年级学生中随机抽取50名，记录他们的初赛成绩，将成绩数据按照，，，，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的60百分位数；（结果保留1位小数） (2)在这50名学生成绩的样本中，随机取出样本容量为10的样本，其中男生5名，计算得到男生成绩的样本均值为，方差为；女生成绩的样本均值为，方差为．求这10名学生成绩的标准差； (3)通过初赛，确定2名水平相当的优秀选手进行决赛，决赛采取7局4胜制，胜者获得全部奖金，决赛期间前四局打成时因故终止．有人提出按分配奖金，你认为这样分配合理吗？为什么？ 17．（25-26高一下·江苏南京·期末）如图，四棱锥中，平面，，，E为的中点，点F在棱上，直线和直线相交． (1)求证： (2)若，，． （i）证明：平面； （ⅱ）求直线与平面所成的角． 18．（25-26高一下·湖北武汉·期末）如图，在中，，，是的角平分线，且． (1)求； (2)若，是线段上的动点（包括端点），且，记为， （i）用表示； （ii）求面积的最小值． 19．（25-26高一下·江苏连云港·期末）如图，在矩形中，，，是线段上的动点（端点除外），将沿着折起，使点到达点的位置，满足点平面，且点在平面内的射影落在线段上． (1)是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由； (2)若直线与平面所成的角为，求二面角的大小； (3)求三棱锥体积的最大值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $