2025～2026学年高一数学下学期期末试卷

**基本信息** 高一数学期末卷覆盖复数、概率、立体几何等核心知识，解答题结合强基计划面试统计等现实情境，通过分层抽样、动态几何问题考查数学眼光观察、数学思维推理与数学语言表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数运算、古典概型、线面关系|基础概念辨析，如第2题骰子试验考查样本空间| |多选|3/18|分层抽样、立体几何动态问题|第9题结合抽样方法考数据意识，第11题动点轨迹考空间观念| |填空|3/15|复数虚部、概率计算、三棱锥体积|第14题异面直线成角结合体积计算，需几何直观| |解答|5/77|解三角形、向量函数、统计概率|第18题强基计划面试成绩分析考数据处理，第19题函数与三角形结合考模型意识|

2025~2026学年高一数学下学期期末试卷 （时长：120分种 满分：150分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则. 2．一次试验抛掷两枚颜色不同的骰子，则这个试验的样本空间的基本事件数是（　　） A．12 B．30 C．36 D．15 【答案】C 【详解】每枚骰子都有6种可能，所以全部的基本事件数为种． 3．已知a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】由线面的位置关系逐一判断即可. 【详解】对于A，若，则β与γ可能相交，所以选项A错误; 对于B和C，若，则b与c可能平行，也可能是异面直线，也可能是相交直线，所以选项B，C都错误; 对于D，若，由平行于同一平面的两平面平行，可得，所以选项D正确. 4．已知向量，，满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量共线坐标化表示即可得到方程，解出即可. 【详解】因为，，， 所以， 所以. 5．如图，在正四棱柱中，已知，则四面体的体积是（    ） A．12 B．15 C．18 D．21 【答案】A 【分析】根据已知正四棱柱的几何特征，根据柱体体积与四个三棱锥的体积做差求解即可. 【详解】 . 故选：A. 6．若事件与相互独立，，则（    ） A．0.9 B．0.85 C．0.7 D．0.6 【答案】C 【分析】先由对立事件和独立事件的概率公式依次求出、和，再由任意两个事件的和事件的概率公式即可计算求解. 【详解】由题， 因为事件与相互独立，所以事件与相互独立， 所以， 故，， 所以. 故选：C. 7．在△中，，则△一定是（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】利用两角和与差的余弦公式即可求解. 【详解】由已知得, , , ， ， ∵, ∴, 即， 故选：. 8．若x为锐角，且.则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得或，又因为x为锐角， 则， 即或， 解第一个不等式组得，则， 解第二个不等式组得，无解； 综上，x的取值范围是. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9．某高中学校高一年级、高二年级、高三年级的学生分别有400、500、300人．现用比例分配的分层随机抽样的方法，按年级从这些学生中抽取n人开展“教师作业批改情况”问卷调查，若高二年级抽到学生15人，则下列说法正确的是（   ） A．从高二年级学生500人中抽取15人可采用简单随机抽样的方法 B．高一年级抽到学生12人 C．样本容量 D．三个年级中高三年级每个学生被抽取到的概率最小 【答案】AB 【分析】根据分层随机抽样的概念与性质进行求解判断即可. 【详解】对于，从高二年级学生500人中抽取15人，由于总体数量比较少，可采用简单随机抽样方法，故正确； 对于，根据题意知抽样比为，所以高一年级应抽取人，高三年级应抽取人，故样本容量，故正确，错误； 对于，在分层随机抽样中，每个个体被抽到的概率是相等的，故错误. 故选：AB. 10．如图，在正三棱柱中，为棱的中点，，则下列结论正确的是（  ） A． B．直线与面所成角为 C．线段 D．直线面 【答案】ABD 【分析】对于A，利用线面垂直的判定定理与性质定理即可得证；对于B，利用线面角的定义即可得解；对于C，正中求解即可；对于D，利用线面平行的判定理证得即可. 【详解】对于A，因为在正三棱柱中，面，而面，所以， 因为底面是正三角形，为棱的中点，所以， 又面，所以面， 因为面，所以，故A正确； 对于B，因为在正三棱柱中，面，所以为直线与面所成角， 因为面，所以，又， 所以，则，故B正确； 对于C，在正中，，则， 所以，故C错误； 对于D，记的中点为，连接，如图， 因为是的中点，又易知四边形是平行四边形，所以， 因为，所以，所以四边形是平行四边形，则， 又面，面，所以直线面，故D正确. 故选：ABD. 11．图，在中，为边上的动点，为边上的动点，线段、相交于点．则下面说法正确的是（     ） A．若、分别为与中点，则 B．若，，则 C．若点是平面内任意一点，且满足，，则点的轨迹一定过三角形的内心 D．若，，为中点，则的最大值为 【答案】ACD 【分析】对于A，由题意可得为的重心，根据重心的性质求解后即可判断；对于B，由题意可得点在的平分线上，即可判断；对于C，由向量的线性运算，即可判断；对于D，由向量的线性运算、余弦定理及基本不等式，即可判断. 【详解】对于A，因为、为中点，所以为的重心， 所以， 同理可得，， 所以，A正确. 对于B，因为，，所以，， ，B错误. 对于C，，是，的方向向量，则沿的角平分线， ，所以在角平分线上，故的轨迹一定过三角形的内心，C正确. 对于D，由向量中线公式， 所以， 由余弦定理得，， 设，则， 又，当且仅当时取等号， 所以，解得. 所以 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．复数z满足，其中为虚数单位，则复数的虚部为__________. 【答案】 【详解】由，得， 得， 得，得复数的虚部为. 13．盒子里装有大小与质地相同的红球与白球，从中任取个球.设事件表示“个球中有个红球、个白球”，事件表示“个球中有个红球、个白球”.已知，.则“个球中既有红球又有白球”的概率是__________. 【答案】 【分析】记事件为“个球中既有红球又有白球”，则它包含事件和事件，而且事件是互斥的，根据互斥事件的概率加法公式即可求解. 【详解】由题可知事件是互斥的，记事件为“个球中既有红球又有白球”， 所以， 代入已知​，，​ 得. 14．如图，在三棱锥中，，，BC=4，异面直线AD与BC所成角的正弦值为，则三棱锥的体积为______． 【答案】 【分析】作出图形，根据长度得到，，，然后得到平面ACM，计算得到，判断为正三角形，然后根据计算即可. 【详解】如图，分别过点C和点D作BD，BC的平行线交于点M，连接AM， ∵BC=4，BD=3，DC=5，所以 ∴，，， 同理，则，，平面， ∴平面，又平面， ∴， 因为，所以异面直线AD与BC所成角为， 由已知，所以， ∵，为直角三角形， ∴，， ∴，即为正三角形， 故的面积， ∵， ∴． 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分） 在锐角中，内角所对的边分别为，已知. （1）求证：； （2）若，求的面积. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】（1）利用正弦定理边化角可得，再利用两角和的正弦公式以及三角形的性质即可求解. （2）利用同角三角函数的基本关系可得，再利用余弦定理结合（1）即可得出，再由三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）证明：由正弦定理有 得， 有 得，由，可得， 由正弦定理得 （2）由题意有 由余弦定理有，得，代入， 解得： 故的面积为 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式，需熟记定理与公式，属于基础题. 16．（本小题满分15分） 已知向量，，. (1)若，求； (2)设，，求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用向量平行的坐标条件求出，代入求解即可 (2)将转化为关于的二次根式，再配方求解最值即可 【详解】（1），且 ， 所以， ，解得 ，，，； （2）    的值域为. 17．（本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，，点到平面的距离为3． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理得证； （2）根据棱锥体积之间的关系及体积公式求解. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为，且，所以． 又因为，则，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）因为DE＝2EP，所以， 所以． 所以． 18．（本小题满分17分） 2020年1月15日教育部制定出台了“强基计划”，2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划，强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试，进入面试环节 .现随机抽取了100名同学的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同． (1)求a，b的值； (2)估计这100名同学面试成绩的众数和分位数（百分位数精确到0.1）； (3)在第四、第五两组中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自不同组的概率． 【答案】(1)， (2)估计众数为70，分位数为 (3) 【分析】（1）由第三、四、五组的频率之和为0.7，各组频率之和为，建立方程组求解； （2）由频率分布直方图可知最高的矩形组为第三组，取中点可得众数，求前两组与前三组频率之和，确定第分位数所在组，再由比例关系求解； （3）由抽样比可得两组选取人数，列举法得，，再由古典概型概率公式可求. 【详解】（1）由题意可知：，， 解得，； （2）由频率分布直方图估计众数为， 前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75， 则估计第分位数为； （3）根据分层抽样，和的频率比为 故在和中分别选取4人和1人，分别设为和 则在这5人中随机抽取两个的样本空间包含的样本点有 共10个， 即，记事件“两人来自不同组”， 则事件包含的样本点有 共4个，即， 所以. 19．（本小题满分17分） 已知函数，在中，内角，，所对的边分别为，，． (1)求的值，并求函数的对称中心坐标； (2)将的图象向右平移个单位得到函数，若对任意，都有恒成立，且为的内角，求角； (3)在（2）的条件下，，设为的内心，且满足，求的面积． 【答案】(1)，对称中心坐标为 (2) (3) 【分析】（1）直接代值即可求解，根据余弦函数的对称性求解对称中心； （2）先根据函数的平移得到，分析可得为在上的最大值，进而求解即可； （3）由可得，设的内切圆半径为，过点作，垂足为，分析可得，再利用等面积法得到，结合余弦定理可得，求出，再根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）由，得， 令，得， 则函数的对称中心坐标为. （2）由题意，， 当时，， 对任意，都有恒成立， 则为在上的最大值，所以，则. （3）由，得， 设的内切圆半径为，过点作，垂足为， 由于为的内心，则， 而为的角平分线，则， 所以， 由，得，即， 由余弦定理得，，则， 即，则，解得或（舍去）， 则. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年高一数学下学期期末试卷 （时长：120分种 满分：150分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数，则（     ） A． B． C． D． 2．一次试验抛掷两枚颜色不同的骰子，则这个试验的样本空间的基本事件数是（　　） A．12 B．30 C．36 D．15 3．已知a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．已知向量，，满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在正四棱柱中，已知，则四面体的体积是（    ） A．12 B．15 C．18 D．21 6．若事件与相互独立，，则（    ） A．0.9 B．0.85 C．0.7 D．0.6 7．在△中，，则△一定是（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 8．若x为锐角，且.则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9．某高中学校高一年级、高二年级、高三年级的学生分别有400、500、300人．现用比例分配的分层随机抽样的方法，按年级从这些学生中抽取n人开展“教师作业批改情况”问卷调查，若高二年级抽到学生15人，则下列说法正确的是（   ） A．从高二年级学生500人中抽取15人可采用简单随机抽样的方法 B．高一年级抽到学生12人 C．样本容量 D．三个年级中高三年级每个学生被抽取到的概率最小 10．如图，在正三棱柱中，为棱的中点，，则下列结论正确的是（  ） A． B．直线与面所成角为 C．线段 D．直线面 11．图，在中，为边上的动点，为边上的动点，线段、相交于点．则下面说法正确的是（     ） A．若、分别为与中点，则 B．若，，则 C．若点是平面内任意一点，且满足，，则点的轨迹一定过三角形的内心 D．若，，为中点，则的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．复数z满足，其中为虚数单位，则复数的虚部为__________. 13．盒子里装有大小与质地相同的红球与白球，从中任取个球.设事件表示“个球中有个红球、个白球”，事件表示“个球中有个红球、个白球”.已知，.则“个球中既有红球又有白球”的概率是__________. 14．如图，在三棱锥中，，，BC=4，异面直线AD与BC所成角的正弦值为，则三棱锥的体积为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分） 在锐角中，内角所对的边分别为，已知. （1）求证：； （2）若，求的面积. 16．（本小题满分15分） 已知向量，，. (1)若，求； (2)设，，求函数的值域. 17．（本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，，点到平面的距离为3． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 18．（本小题满分17分） 2020年1月15日教育部制定出台了“强基计划”，2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划，强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试，进入面试环节 .现随机抽取了100名同学的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同． (1)求a，b的值； (2)估计这100名同学面试成绩的众数和分位数（百分位数精确到0.1）； (3)在第四、第五两组中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自不同组的概率． 19．（本小题满分17分） 已知函数，在中，内角，，所对的边分别为，，． (1)求的值，并求函数的对称中心坐标； (2)将的图象向右平移个单位得到函数，若对任意，都有恒成立，且为的内角，求角； (3)在（2）的条件下，，设为的内心，且满足，求的面积． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $