湖南岳阳市平江县2025-2026学年下学期期末教学质量监测高一数学试题

平江县2026年上学期教学质量监测 高一数学参考答案与解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A D B D D B B 二．多选题（共3小题） 题号 9 10 11 答案 AC BC BCD 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） 1．已知集合A＝{x|x+1＞0}，集合B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（　　） A．{0，1，2} B．{﹣1，0，1，2} C．{1，2} D．{2} 【解答】解：集合A＝{x|x+1＞0}＝{x|x＞﹣1}，集合B＝{﹣1，0，1，2}，故A∩B＝{0，1，2}．故选：A． 【点评】本题主要考查交集的运算，属于基础题． 2．（必修二教材162页原题）若空间中四条不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2∥l3，l1∥l4，则下面结论正确的是（　　） A．l3⊥l4 B．l3∥l4 C．l3，l4既不垂直也不平行 D．l3，l4的位置关系不确定 【解答】解：因为l1⊥l2，l2∥l3，所以l1⊥l3，又l1∥l4，所以l3⊥l4．故选：A． 【点评】本题考查空间中线线关系，属基础题． 3．（必修一教材126页原题）使式子log（2x﹣1）（2﹣x）有意义的x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x＜2 C．＜x＜2 D．＜x＜2，且x≠1 【解答】解：要使式子log（2x﹣1）（2﹣x）有意义，则，解得＜x＜2且x≠1． ∴x的取值范围是{x|＜x＜2，且x≠1}．故选：D． 【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查对数式的性质，是基础题． 4．（必修一教材220页原题）已知，β是第三象限角，则的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为＝sin（﹣β），所以sinβ＝﹣，因为β是第三象限角，所以cosβ＝﹣，则＝﹣（sinβ+cosβ）＝﹣×（﹣）＝．故选：B． 【点评】本题主要考查了和差角公式及同角基本关系，属于基础题． 5．（比修二教材61页13题（5）改编）等边三角形ABC的边长为1，如果，，，那么等于（　　） A． B．﹣ C． D．﹣ 【解答】解：在正三角形内，∵，，，∴+＝，即+＝﹣， 即＝﹣（+），则＝（﹣）•+•＝﹣（﹣）•（+）+•＝﹣（2﹣2）+•＝﹣（1﹣1）+1×1×（﹣）＝﹣，故选：D． 【点评】本题主要考查向量数量积的计算，根据向量数量积的定义是解决本题的关键．注意向量夹角的计算． 6．（必修二19页练习第1题改编）一个圆锥的高是，侧面积是2π，则该圆锥轴截面的周长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：设圆锥的母线长为l，因为圆锥的高是，则底面半径为， 侧面积，解得l＝2，则，故圆锥轴截面的周长为2l+2r＝6．故选：D． 【点评】本题考查圆锥侧面积的有关计算，属于基础题． 7．（必修二216页第11题改编）某单位职工进行了体检，其中体重（单位：kg）体检结果统计如下表格： 男性 女性 单位职工 人数 30 18 48 平均数 64 56 n 方差 151 m 169 则m＝（　　） A．157 B．159 C．162 D．165 【解答】解：计算单位职工体重的平均数n：， 已知单位职工体重方差为169，根据分层方差的合并公式可得： ，化简得：m＝159． 故选：B． 【点评】本题考查了分层方差的合并公式，属于基础题． 8.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，2a+b＝4，若M是AC的中点，则BM的最小值为（　　） A． B．1 C． D．2 【解答】解：在三角形中，显然sinC＝sin（A+B），sin＝cos， 由sinA+sinB+sinC＝+ ＝2（+cos）＝2×2coscos＝2， 又coscos＞0，所以，又，所以，所以， 又M是AC的中点，所以， 由余弦定理有：， 又2a+b＝4，所以， 当a＝1时，BM2＝1，即BM＝1．故选：B． 【点评】本题考查三角恒等变换以及解三角形的知识与方法，属于中档题． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．设复数z＝a+2i（i为虚数单位，a∈R），则下列结论正确的是（　　） A．当a＝0时，z为纯虚数 B．z2一定是实数 C．|z|的最小值为2 D．z在复平面内对应点的轨迹是圆 【解答】解：复数z＝a+2i，当a＝0时，z＝2i为纯虚数，故A正确；当a＝1时，z2＝（1+2i）2＝﹣3+4i，不是实数，故B错误；，所以|z|的最小值为2，故C正确；设z在复平面内对应点为（a，2），所以z在复平面内对应点的轨迹是直线y＝2，故D错误．故选：AC． 【点评】本题考查的基本概念，考查复数模的求法，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 10．（比修二教材36页9，10题综合改编）已知向量，，满足，，，则（　　） A． B．当时，4m+n＝1 C．当时，m+2n＝2 D．在上的投影向量的坐标为 【解答】解：足，，， ，故A错误．选项B：当 时，存在实数 k 使得 2m＝﹣k 且n﹣1＝2k，得 k＝﹣2m，代入得：n﹣1＝2（﹣2m），4m+n＝1，故选项B正确．选项C：当与垂直时，．＝1•2m+4•（n﹣1）＝0，化简得2m+4n﹣4＝0，即m+2n＝2，故项C正确．选项D：足，，则，，投影向量为，与选项中的（ ）不符，故D错误．故选：BC． 【点评】本题主要考查平面向量的坐标运算，属于基础题． 11．（必修二160页例题10改编）在体积为的正四棱锥P﹣ABCD中，异面直线PC与AB所成角的余弦值为，则（　　） A． B．二面角P﹣CD﹣A的余弦值为 C．正四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积为9π D．直线BC与平面PCD所成角的正切值为2 【解答】解：取CD的中点E，设O为正方形ABCD的中心，连接OE，PE，则PE⊥CD， 因为AB∥CD，所以异面直线PC与AB所成的角即∠PCE， 则， 设CE＝a，则CD＝2a，，， 则＝2a， 所以正四棱锥P﹣ABCD的体积为， 解得a＝1，所以，A错误． 易证OE⊥CD，则∠PEO为二面角P﹣CD﹣A的平面角， 所以，B正确． 设正四棱锥P﹣AB﹣CD的外接球的球心为M，且OM＝h， 由PM＝CM，得， 即h2+2＝（2﹣h）2， 即2h＝1， 解得， 所以正四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积为4π×|2﹣h|2＝9π，C正确． 因为OE∥BC，所以直线BC与平面PCD所成的角即直线OE与平面PCD所成的角． 过点O作OH⊥PE，垂足为H．易证OH⊥平面PCD， 则∠OEH为直线BC与平面PCD所成的角， 则，D正确． 故选：BCD． 【点评】本题考查立体几何综合问题，属于中档题． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．（比修二教材202页例2改编）一组数据如下：10，12，15，11，15，20，17，18，13，21，则该组数据的第80百分位数是 　19　 ． 【解答】解：将数据10，12，15，11，15，20，17，18，13，21，从小到大排列： 10，11，12，13，15，15，17，18，20，21，又10×80%＝8，则该组数据的第80百分位数是．故答案为：19． 【点评】本题考查百分位数相关定义，属于基础题． 13．（必修一教材48页第5题原题）已知x＞0，则的最大值为 　 ． 【解答】解：∵x＞0，∴，当且仅当即时，等号成立， ∴，所以，x＞0，则的最大值为．故答案为：． 【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题． 14．（2023年全国甲卷理13题）若y＝（x﹣1）2+ax+sin（x+）为偶函数，则a＝　2　 ． 【解答】解：根据题意，设f（x）＝（x﹣1）2+ax+sin（x+）＝x2﹣2x+ax+1+cosx， 其定义域为R，若f（x）为偶函数，则f（﹣x）＝x2+2x﹣ax+1+cosx＝x2﹣2x+ax+1+cosx＝f（x）， 变形可得（a﹣2）x＝0，必有a＝2．故答案为：2． 【点评】本题考查函数奇偶性的性质，涉及函数奇偶性的定义，属于基础题． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（必修二27页第3题改编）在△ABC中，，设． （1）用表示； （2）若AB＝3，AC＝2，∠CAB＝60°，则当CD⊥EF时，求λ的值． 【解答】解：（1）因为， 设． 则，．..........6分 （2）当CD⊥EF时，， 即， 因为， 所以， 故．...................................................................................................................13分 【点评】本题主要考查了向量的线性运算及向量数量积的性质的应用，属于中档题． 16．（必修2教材197页第1题改编）中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段．为了解中国AI大模型用户的年龄分布，A公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在[15，65]内），按照[15，25），[25，35），[35，45），[45，55），[55，65]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求m的值； （2）求这500名中国AI大模型用户的年龄在[35，65]内的人数； （3）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）． 【解答】解：（1）10×（0.01+0.03+0.04+m+0.005）＝1⇒m＝0.015；.........................3分 （2）根据题意可知，这500名中国AI大模型用户的年龄在[35，65]内的人数为500×10×（0.04+0.015+0.005）＝300人；......................................................................................9分 （3）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数为 10×（0.01×20+0.03×30+0.04×40+0.015×50+0.005×60）＝37.5．.................................15分 【点评】本题考查了频率分布直方图，属于中档题． 17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PBD为正三角形，，BC∥AD， AB⊥AD，M为线段PD的中点． （1）在平面PCD内，过点M作平面PAB的平行线MN，并证明； （2）若，证明：平面PAB⊥平面PBC； 【解答】解：（1）如图，连接MC，直线MC即为直线MN， 证明：取PA的中点E，连接ME，则， 因为， 所以BC∥ME，BC＝ME， 所以四边形BCME为平行四边形， 所以BE∥MC，又因为BE⊂平面PAB，MC⊄平面PAB， 所以MC∥平面PAB．............................................................................................7分 （2）证明：由AB⊥AD，且，得BD＝4， 又△PBD为正三角形，则PB＝PD＝BD＝4， 又， 因为PA2＝AB2+PB2，所以AB⊥PB， 而AB⊥AD，BC∥AD，所以AB⊥BC，又因为PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC， 所以直线AB⊥平面PBC，又因为AB⊂平面PAB， 所以平面PAB⊥平面PBC．.................................................................................15分 【点评】本题考查立体几何综合问题，属于中档题． 18．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，sin2B+sin2C＝sin2A+． （1）求A； （2）若△ABC外接圆的面积为2π，求△ABC面积的最大值． 【解答】解：（1）利用正弦定理化简已知等式可得， 由余弦定理可得， 且0＜A＜π， 所以；....................................................................................................7分 （2）设△ABC的外接圆半径为R，由题意πR2＝2π，解得， 由正弦定理得， 则， 由（1）可得：，即， 当且仅当时，等号成立， 故△ABC面积的最大值Smax＝．......................17分 【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式以及基本不等式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题． 19．（必修一教材160页第6题改编）已知函数f（x）＝ex﹣k•e﹣x是偶函数． （1）求k的值； （2）设函数g（x）＝a[f（x）﹣2e﹣x]﹣f（2x）﹣8，若不等式g（x）＜0对任意的x∈（1，+∞）恒成立．求实数a的取值范围； （3）设h（x）＝log2f（x），当m为何值时，关于x的方程[h（x）﹣1+m]•[h（x）﹣1﹣4m]+2m2+m＝0有实根？ 【解答】解：（1）由函数f（x）是定义域在R上的偶函数， 则对于x∈R，都有f（﹣x）＝f（x），即e﹣x﹣k•ex＝ex﹣k•e﹣x， 即对于x∈R，都有（k+1）•ex＝（k+1）•e﹣x， ∴k+1＝0，解得k＝﹣1；............................................................................5分 （2）结合（1）可得f（x）＝ex+e﹣x， 则g（x）＝a（ex+e﹣x﹣2e﹣x）﹣e2x﹣e﹣2x﹣8＝a（ex﹣e﹣x）﹣（e2x+e﹣2x）﹣8， 令t＝ex﹣e﹣x， ∵y＝ex在R上单调递增，y＝e﹣x在R上单调递减， ∴t＝ex﹣e﹣x在x∈（1，+∞）上单调递增，所以t＞e1﹣e﹣1，即， 则不等式g（x）＜0对任意的x∈（1，+∞）恒成立⇔在x∈（1，+∞）上恒成立， ∴， 又∵， 又∵t+≥2＝2，当且仅当t＝，即时，等号成立， ∴的最小值为2，即， ∴实数a的取值范围为；............................................................11分 （3）令ex＝u，u＞0，由对勾函数的性质可得当u＝1时，取得最小值2， ∴f（x）＝ex+e﹣x≥2，则h（x）＝log2f（x）≥1， 令p＝h（x）﹣1，则p≥0， 则原问题转化为关于p的方程（p+m）（p﹣4m）+2m2+m＝p2﹣3mp﹣2m2+m＝0的根的个数， 对于p≥0有解， 令F（p）＝p2﹣3mp﹣2m2+m，则F（p）表示开口向上的抛物线， Δ＝（﹣3m）2﹣4（﹣2m2+m）＝17m2﹣4m， a）当Δ＝17m2﹣4m＝0时，即或m＝0，此时对称轴， 函数F（p）在[0，+∞）有唯一零点； b）当Δ≠0且F（p）在[0，+∞）有唯一零点时， F（0）＝﹣2m2+m＜0，可得m＜0或； c）当F（p）在[0，+∞）有两个不相等零点时， 解得． 综上，当m∈（﹣∞，0]∪[，+∞）时，关于x的方程[h（x）﹣1+m]•[h（x）﹣1﹣4m]+2m2+m＝0有实根．........................................................................................................................17分 【点评】本题考查了指数函数、对数函数、对勾函数的性质，考查了转化思想及函数的零点，属于难题． 学科网（北京）股份有限公司 $平江县2026年上学期教学质量监测 高一数学 考生注意：所有答案请务必填写在答题卡上，时量120分钟，满分150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。每小题给出的四个选项 中，只有一个选项是符合题目要求的) 1.已知集合A={xx+1>0},集合B={1,01,2},则A∩B=() A.{0,1,2} B.{1,01,2} C.1,2} D.{2} 2.若空间中四条不同的直线1，l2,13,14满足11⊥12,12∥13,11∥14，则下面结论正确 的是() A.13⊥14 B.3∥14 C.13,14既不垂直也不平行 D.13,4的位置关系不确定 3.使式子log(2x-)(2-)有意义的x的取值范围是() A.x>2 B.x<2 ,5<x<2 D. 5<x<2且x≠1 4已知a-P)cosa-os(B-四ma=号B是第三象限角，则in(B+5的值 4 为() A.5 B. 7V2 c.② D.、7 10 10 10 10 5.等边三角形ABC的边长为1，如果BC=a,C=b,AB=c,那么 a.b-b.c+c.a= ) B.- 2 c. 2 D.、 6.一个圆锥的高是√5，侧面积是2元，则该圆锥轴截面的周长为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 7.某单位职工进行了体检，其中体重（单位：g)体检结果统计如下表格： 男性 女性 单位职工 人数 30 18 48 平均数 64 56 n 方差 151 m 169 则m=( A.157 B.159 C.162 D.165 高一数学第1页（共4页) 8.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知 A sin A+sin B+sin C=2v3 cos co8及，2a+h=4,若M是AC的中点，则BM的最 cos- 小值为() A.3 B.1 C.5 D.2 2 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.设复数==+2i(i为虚数单位，a∈R),则下列结论正确的是() A.当a=0时，二为纯虚数 B.=2一定是实数 C.的最小值为2 D.二在复平面内对应点的轨迹是圆 10.已知向量a,6,c满足a=(1,1),6=(-1,2),c=(2,n-D,则() A.反-=5 B.当b/∥c时，4+n=1 C.当(2a+b)⊥c时，+2n=2 D.方在a上的投影向量的坐标为(2,2) 55 山.在体积为丹的驷凌锥P·4BCD中，异面直线PC与AB所成角的余弦值为6 6 则( A.PC=5 B.二面角P-CD-A的余弦值为5 C.正四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为9π D.直线BC与平面PCD所成角的正切值为2 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.一组数据如下：10,12,15,11,15,20,17,18,13,21，则该组数据的第80 百分位数是 13.已知>0，则3-2x-4的最大值为 14.若y=(x-1)2+ax+$i(x+)为偶函数，则a= 高一数学第2页（共4页) 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(13分)在△4BC中，AD=2AB,A正=1AC,C示=CB,元e(0,),设AB=a, AC=b. (1)用a,b表示CD,EF: (2)若AB=3,AC=2,∠CAB=60°，则当CD⊥EF时， 求的值. 16.(15分)中国A1大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发 展阶段.为了解中国AI大模型用户的年龄分布，A公司调查了500名中国AI大模型用 户，统计他们的年龄（都在[15,65]内），按照[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45， 55),[55,65]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求m的值： (2)求这500名中国AI大模型用户的年龄在[35,65]内的人数： (3)估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点 值作代表). 频率 个组距 0.040 0.030 0.010 0.005 0152535455565年龄1岁 17.(15分)如图，四棱锥P-ABCD中，△PBD为正三角形，AB=AD=2BC=2√2， BC∥AD,AB⊥AD,M为线段PD的中点 (1)在平面PCD内，找到过M点与平面PAB平行的 直线并证明； (2)若PA=2W6,证明：平面PAB⊥平面PBC: 高一数学第3页（共4页） 18.(17分)在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c, sin'B+sinC=sin2A+3sin Bsin C. (1)求A: (2)若△ABC外接圆的面积为2π，求△ABC面积的最大值. 19.(17分)已知函数f(x)=ex-kex是偶函数. (1)求k的值： (2)设函数g(x)=af(x)-2ex]-f(-2x)-8,若不等式g(x)<0对任意的 x∈1，+o)恒成立.求实数a的取值范围： (3)设h(x)=log2f(x),当m为何值时，关于x的方程 [h(x)-1+m]·[h(x)-1-4m]+2m2+m=0有实根？ 高一数学第4页（共4页)平江县2026年上学期教学质量监测 高一数学答题卡 学校： 姓名： 班级： 第 考室 座位号： 注意事项 正确 1答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场填写清楚。 填涂 2.选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框。 条形码粘贴区 3.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写。 正面朝上，请勿贴出实线框外 4答题请勿超出限定区域。请勿折叠，保持卡面清洁。 ☐此方框为缺考考生标记，由监考员用2B铅笔填涂 选择题（每小题5分，共40分） 选择题（每小题6分，共18分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] T[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 13. 14. 四、解答题（共77分） 15.(13分) 高一数学答题卡第1页（共4页） 16.(15分) 17.(15分) 高一数学答题卡第2页（共4页） 18.(17分) 高一数学答题卡第3页（共4页） 19.(17分) 高一数学答题卡第4页（共4页）