湖南省长沙市岳麓区2025-2026学年高一下学期期末考试数学自编试卷（人教A版）

**基本信息** 立足高一下学期数学核心内容，通过复数、向量、解三角形等基础题型与外卖骑手统计、立体几何证明等综合题，考查数学眼光观察现实、数学思维推理及数学语言表达能力，层次分明且贴近生活。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|复数运算、向量平行、解三角形、球表面积|基础巩固，覆盖核心概念| |选择题（多选）|3/18|复数性质、三角形多解问题|能力区分，考查逻辑辨析| |填空题|3/15|概率计算、圆台外接球、三角函数平移|创新应用，结合空间想象| |解答题|5/77|统计图表分析、立体几何证明、向量计算、解三角形面积、三棱锥体积与重心|综合实践，外卖骑手单量统计体现数据意识，几何证明培养推理能力|

湖南省长沙市岳麓区2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知，是复数，若，，则（     ） A． B． C． D． 2．已知向量，，若，则实数（     ） A． B． C． D． 3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B．或 C． D．或 4．已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．下列区间是函数单调递增区间的是（    ） A． B． C． D． 6．已知，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，一个底面半径为2dm，母线长为的圆锥形封闭透明容器内部装有一种液体，当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的，则当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于水平桌面时，液面的高度为（   ） A． B．2dm C．3dm D． 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9．已知复数，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，且该三角形有两解，则 C．若，则为等腰三角形 D．若，则为锐角三角形 11．△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列与△ABC有关的结论中正确的是（   ） A．若，，，则满足条件的三角形有2个 B．若，则△ABC是等腰三角形 C．若△ABC是锐角三角形，则 D．若，，分别表示△AOC，△ABC的面积，则 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．从编号的三张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为__________. 13．已知上、下底面半径分别为1，2的圆台的体积为，则该圆台外接球的体积为______． 14．将函数的图象向左平移个单位.得到偶函数的图象.则的最小值是__________. 4、 解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．某调研小组调查了某市1000名外卖骑手平均每天完成的任务量（简称“单量”），得到如下的频数分布表： 单量/单 人数 100 120 130 180 220 150 60 30 10 (1)补全该市1000名外卖骑手每天单量的频率分布直方图； (2)根据图表数据，试求样本数据的中位数（精确到0.1）； (3)根据外卖骑手的每天单量，参考某平台的类别将外卖骑手分成三类，调查获知不同类别的外卖骑手开展工作所投入的装备成本不尽相同，如下表： 日单量/单 类别 普通骑手 精英骑手 王牌骑手 装备价格/元 2500 4000 4800 根据以上数据，估计该市外卖骑手购买装备的平均成本. 16．如图，四棱锥P-ABCD，平面，，，，，E是PC的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面 17．已知平面向量与的夹角为45°，且，． (1)求 (2)求； (3)若与垂直，求的值． 18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. (1)求角A； (2)若角A的平分线交BC边于D且，求的面积的最小值. 19．已知三棱锥的体积为，在中，，Q是内一点，，记. (1)若，，，到平面的距离为，求； (2)若Q是的重心，且对任意，均有. （i）求的最大值； （ii）当最大时，5个分别由24个实数组成的24元数组满足对任意，均有，且对任意，均有，若，求的值. （参考公式：，，） 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市岳麓区2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷 数学试题（解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A A C D C D ACD ABD 题号 11 答案 ACD 1．A 【分析】根据复数的减法运算求解. 【详解】由题意. 2．D 【详解】因为向量，，且，则，解得. 3．A 【分析】利用正弦定理，结合三角形内角和定理可得. 【详解】因为，，， 由正弦定理可得，即， 因为，所以或， 当时，，不满足， 所以. 故选：A 4．A 【分析】由已知可得等边的外接圆半径，进而求出其边长，得出的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论. 【详解】设圆半径为，球的半径为，依题意， 得，为等边三角形， 由正弦定理可得， ，根据球的截面性质平面， ， 球的表面积. 故选：A    【点睛】 本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 5．C 【分析】利用整体代入法可得函数单调区间. 【详解】由已知， 令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，， 令，则， 由， 故选：C. 6．D 【分析】根据余弦的二倍角公式，求出结果. 【详解】由二倍角公式得. 故选：D. 7．C 【分析】根据两角和的正弦公式及二倍角的正切公式化简即可得解. 【详解】由可得， 即， 所以. 故选：C 8．D 【分析】结合圆锥体积公式，利用液体的体积相等可求答案. 【详解】因为圆锥的底面半径为2dm，母线长为，所以高为， 当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的， 所以液面的半径为1，此时液体的体积为， 当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于桌面时，此时液体的形状是倒立的圆锥， 设圆锥的底面半径为，高为，则有，即， .此时液体的体积为， 由，得，所以. 故选：D. 9．ACD 【分析】根据共轭复数的概念判断A，根据特例可判断B，根据复数的除法及共轭复数概念判断C，根据复数模的性质判断D. 【详解】对A，设，由知，，故A正确； 对B，设，则满足，此时，故B错误； 对C，，，， 所以，， 所以，故C正确； 对D,因为，所以，所以，故D正确. 故选：ACD 10．ABD 【分析】根据大边对大角及正弦定理判断A，根据图形数形结合可判断B，由正弦定理及三角恒等变换判断C，由两角和的正切公式变形可判断D. 【详解】因为，所以，由正弦定理，可知，故A正确； 如图，   ，，且该三角形有两解，所以，即， 故B正确； 由正弦定理可得，，即，所以，因为，所以或， 即或，所以三角形为等腰或直角三角形，故C错误； 因为 ，且， 所以，即为锐角，所以为锐角三角形，故D正确. 故选：ABD 11．ACD 【分析】根据，可得结论判断A；根据正弦定理化简得，进而计算可判断B；根据题意得，结合在为单调递减函数，可判断C，设的中点为，的中点为，根据向量的运算，得到，结合三角形的面积公式，可判断D. 【详解】对于A，若，，，则， 所以满足条件的三角形有2个，故A正确； 对于B，因为，由正弦定理得，即， 因为，，可得或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，故B不正确； 对于C中，由是锐角三角形，可得， 所以，又因为在为单调递减函数， 所以，所以C正确； 对于D中，如图所示， 设的中点为，的中点为， 因为，即， 可得，即，所以点是上靠近的三等分点， 所以点到的距离等于到的距离的， 又由到的距离为点到的距离的倍， 所以到的距离等于点到距离的， 由三角形的面积公式，可得，即，故D正确. 故选：ACD. 12． 【分析】先求出所有可能的抽取情况，再求出满足题意的情况，最后根据古典概型的概率公式计算概率. 【详解】第一次抽取时，有3种可能的结果；因为是放回式抽取，所以第二次抽取时也有3种可能的结果. 所以共有9种情况. 满足第二次抽得的数字能被第一次抽得的数字整除的情况有5种： 第一次：1，第二次：1； 第一次：2，第二次：2； 第一次：3，第二次：3； 第一次：1，第二次：2； 第一次：1，第二次：3. 根据古典概型的概率计算满足题意的概率为： . 故答案为：. 13． 【分析】先由圆台的体积公式求出圆台的高，再利用球的截面圆性质求出圆台外接球的半径，最后利用球的体积公式即可得解． 【详解】设圆台的高为，圆台外接球的半径为， 由题知，， 解得．易知圆台的外接球球心在圆台的上、下底面圆心所在的直线上， 若球心位于圆台内部，则，得； 若球心位于圆台外部，则，无解． 该圆台外接球的体积为． 故答案为： 【点睛】求解与几何体的外接球有关的问题的难点在于确定球心的位置和球半径，求解时经常会用到球心与截面圆圆心的连线垂直于该截面圆，球心与球面上任意一点连线的线段都是球半径等性质． 14．. 【分析】求出平移后的函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性可得出关于的等式，即可解得的最小正值. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度， 得到函数的图象，且该函数为偶函数， 则，解得， 因为，则当时，取最小值. 故答案为：. 15．(1)频率分布直方图： (2)29.2 (3)估计该市外卖骑手购买装备的平均成本为3750元 【分析】（1）计算出第二组和第四组的频率，得出对应小矩形的高，在图中标出即可； （2）根据已知，分别求出样本数据分布在以及之间的频率，得出中位数，进而列出方程，求解即可得出答案； （3）根据已知得出不同类别骑手的人数，计算平均数即可得出答案. 【详解】（1）由第二组的频数得频率为，从而第二组矩形的高为， 由第四组的频数得频率为，从而第二组矩形的高为， 补全该市1000名外卖骑手周单量的频率分布直方图，如下： （2）由已知可得，样本数据分布在之间的频率为； 样本数据分布在之间的频率为. 设样本数据的中位数为，则， 且有， 解得，即样本数据的中位数约为29.2. （3）依题意可知，被调查的1000人中，普通骑手共有（人）， 精英骑手共有（人），王牌骑手共有（人）， 所以，这1000名外卖骑手购买装备的平均成本为（元）， 所以估计该市外卖骑手购买装备的平均成本为3750元. 16．(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】（1）取的中点，连接，证明∥，根据线面平行的判定即可证得∥平面PAD； （2）由平面，根据线面垂直的性质及判定得到.结合及是的中点，得到，再根据，∥，可得到,，证得平面，从而平面平面PCD得证. 【详解】（1）取的中点，连接，∵E是PC的中点， ∴,∥， ∵，， ∴∥，，∴四边形是平行四边形. ∴∥, 又平面，平面， 平面PAD. （2）∵平面，平面，∴. ∵，，平面，∴平面， ∵平面，∴. ∵，∴. ∵，是的中点，∴ 由（1）知∥，∴,， 又平面，∴平面. ∵平面， ∴平面平面. 17．(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据数量积公式，即可求解； （2）利用向量数量积运算律，结合模长公式即可求解； （3）根据向量垂直，则，再结合向量数量积的运算律和公式，即可求解. 【详解】（1）； （2）； （3）由题意可知， 即，解得： 18．(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理，结合三角变换公式和三角形内角和公式，可求，进而确定角的值. （2）根据余弦定理探索边满足的条件，再结合基本不等式和三角形的面积公式求面积的最小值. 【详解】（1），由正弦定理可得 所以 所以 ， 因为，所以 所以， ， . （2）如图：    由 得 由 得 （当时等号成立） 故的面积的最小值为. 19．(1) (2)（i）；（ii）120 【分析】（1）利用正弦定理，以及勾股定理解三角形，求得三棱锥的底面积，再由体积公式，求出三棱锥的体积之和. （2）（i）由三角形的重心关系，化简式子得出三棱锥的高，由余弦定理和基本不等式求出三角形的面积的最大值，从而解出体积的最大值. （ii）由（i）得，根据题目所给条件进行化简即可. 【详解】（1） 由题意，，，， 故在中，， 由正弦定理，，则， 在的中，，故； 设三棱锥的顶点到底面的距离为, 则，由到平面的距离为， 故， 故. （2）（i）因为为的重心，则有， ，，， 则， 则，故点到底面的距离， ； 在的中，由余弦定理, ，故， ，, 则，当时，等号成立. 故最大值为. （ii）由（i）可知时，最大， ，则， 而，; 又，，， 故. 学科网（北京）股份有限公司 $