湖南衡阳市衡阳县2025-2026学年高一创新实验班下学期6月期末质量检测数学试题

2026年上学期高一创新实验班期末质量检测 数学答案 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.【答案】B 2.【答案】A 3.【答案】B 4.【答案】D 5.【答案】B 6.【答案】D 7.【答案】C 8.【答案】A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.【答案】BD 10.【答案】ACD 11.【答案】ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.【答案】-m 13.【答案】 02】 14.【答案】√6-1 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15.(13分)某市举行“高一年级π节数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情 况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照[50,60)， 「60,70)，「70,80)，[80,90)，[90,100]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图. 频率组距 0.035 0.030---- 0.010 0.005 05060708090100成绩/分 (1)求频率分布直方图中a的 值，并估计高一年级初赛成绩的 众数和平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替） (2)按照分层抽样从[60,70)和[70,80)两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽 取2名，求有1名或2名学生的成绩在[60,70)内的概率. 【详解】(1)由频率分布直方图得，10×(0.005+a+0.030+0.035+0.010)=1,解得a=0.020. 初赛成绩的众数为85， 估计初赛成绩的平均数为：x=55×0.05+65×0.2+75×0.3+85×0.35+95×0.1=77.5. 所以a=0.020,众数为85，平均成绩为77.5. 高一数学答案第1页（共7页） (2)由(1)知，成绩在[60,70)，[70,80)的频率之比为0.2：0.3=2：3， 则在60,70)中随机抽取了5×2=2人，记为a,b, 5 在[70,80)中随机抽取了5×三=3人，记为c,d,e, 5 从5人中随机抽取2人的样本空间为：2={ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de},共l0个样本点， 设事件D=“有1名或2名学生的成绩在[60,70)内”，则D={ab,ac,ad,ae,bc,bd,be},有7个样 本点， 因此P心D)=记，所以有1名或2名学生的成演在[60,0)内的凝率为 10 16.(I5分)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是菱形，平面PAB⊥平面ABCD, PA=PB=2AB,∠ABC=60,M为4AD中点. (1)证明：PM⊥AC; (2)求直线AB与平面PMC所成角的正弦值. D B 【详解】(1)取AB中点为N,连接MN,PN,BD, 因为M为AD中点，所以MNI/BD, 因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD, 所以AC⊥MN, 由PA=PB得PN⊥AB, 因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,PNC平面PAB, 所以PN⊥平面ABCD, 又ACc平面ABCD,所以AC⊥PN, 因为MN∩PN=N,MNc平面PMW,PNc平面PMN, 所以AC⊥平面PMN, 又PMc平面PMN,所以PM⊥AC; (2)以A为坐标原点，平行于MC的方向为x轴正方向，AD的方向为y轴正方向，平行于NP的 方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系Axz, 高一数学答案第2页（共7页) 不妨设AB=2,则AP=3,PN=√AP2-AN2=√9-1=2√2， 则4@ao,ai-1o0 w(.c45o5-小放r兽-a 于类-5.10w-5am-(5 记平面PMC的一个法向量为=(x,y,z), C0,即0 则 n-Mp=0’月 V3x-3y+4W22=0'可取 A 万=(0,4W2,3), 记直线AB与平面PMC所成角为0， n·B 4√2 则sin0= -2V82 AB V3+1V32+941’ 即直线AB与平面PMC所成角的正弦值为282 41 17.(15分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sinB+sinC=2sinA, 3 bsin C=4 csin A,点D在射线AC上，满足cos∠ABD=2cosB. (1)求∠ABD; （2)设∠MBD的角平分线与直线4C交于点E,求证：- BA BD BE 【详解】(1)因为sinB+sinC=2sinA,由正弦定理得b+c=2a, 因为3动sinC=4 csin A,由正弦定理得3c=4ca,即a,则c=20-b 2 9b2,b2 由余弦定理得cosB=a+c2-_16+4b 1 2ac 2× 4 42 则c0s∠ABD=2cosB=),因为∠ABD∈0，元)，所以∠ABD=2g 3 (2)如图，∠ABE=∠DBE= 3, BE AB AB 1 sin A 在△ABE中，sinA sin∠AEB π ABBE·sin∠AEB D 高一数学答案第3页（共7页） BE BD BD 1 sinD 在△BDE中，sinD sin∠BED sin D+3) 则BD BE.sin∠BED' '∠AEB+∠BED=π，∴.sin∠AEB=sin∠BED, 所以1+1=sinA sin D 1 sin A+sin D AB+BD BEsin.∠AEB BE·sin∠AEB BE sin∠AEB' 如如0=血4：a号血4m4ow写 所以。+L=1,simA+sinD1sinA+ 3 1 AB+BD=BE'Sin∠AEB BE sin4+ π） BE 3 18.(17分)已知圆O:x2+y2=1与x轴的正半轴交于点P,直线1：kc-y-k+3=0与圆0交于 不同的两点A,B· (1)求实数k的取值范围： (2)设直线PA，PB的斜率分别是k,k2,试问k1+k2是否为定值？若是定值，求出该定值；若 不是定值，请说明理由； (3)设AB的中点为N.求点N到直线x+3y-10=0的距离的最大值. 【详解】~圆O:x2+y2=1与x轴的正半轴交于点P, 圆心O(0,0),半径r=1,P(1,0) (1)直线1：-y-k+3=0与圆O交于不同的两点A,B, A调心0到直线1的距商d=:<1,即k-<V中1，解餐k Vk2+1 3 (2)设A(x1,y),，B(x2,y2) c-y-k+3=0 联立 x+2-1，可得0+k)x2-(2k2-6k)x+2-6k+8=0, 2k2-6k 1+k2’5= k2-6k+8 六X1+x2= 1+k2 高一数学答案第4页（共7页) k+6=上+2=-0+3+5=D)+3=2k+3 3 x-1x2-1x-12-1 x-1x2-1 =2k+35+3-2）=2k+ 3[2k2-6k-21+k2)] x2-(x+x2)+1 k2-6k+8-(2k2-6k)+1+K2 =2k+-18张-6-2为定值.：k+k,是定值，定值为-名 9 3 3 (3)AB的中点为N, “xw=+龙=2-3k 记点N到直线x+3y-10=0的距离为d, k-3k9-3k 10 2(3k-4) 则d 1+k21+k2 92+6k+1=1厂 9+ V10 0(1+k2) V101+k2 令m=3k-4,则m>0 18m） 9+ 18 18 m2+8m+250 9+ .25 m+- +8 V10 .25 m 2m×+8 m 点N到直线x+3y-10=0的距离的最大值为10. 19.(17分)设函数f(x)在非空数集M上的取值集合为N,即N={f(x)x∈M},若NsM,则 称f(x)为M上的“集中函数”. (1分别判断f(x)=√，g(x)=x2是否为[0,4]上的“集中函数”，并说明理由： (2)若存在实数b,使得f(x)=(x-a}+b为[0,1上的“集中函数”，求实数a的取值范围： a诺e)=e(-]为a上的“集中画数求证：a+62 【详解】(1)因为f(x)=√x是[0,4上的增函数， 所以有f(0)≤f(x)≤f(4)→0≤f(x)≤2→f(x)∈[0,2]， 高一数学答案第5页（共7页） 因为[0,2]=[0,4]，所以f(x)=V是[0,4]上的“集中函数”. 因为g(x)=x2是[0,4]上的增函数， 所以有g(0)≤g(x)≤g(4)→0≤g(x)≤16→g(x)∈[0,16]， 因为[0,16]不是[0,4]子集，所以g(x)=x2不是[0,4]上的“集中函数”. (2)因为f(x)在[0，上的值域Ns[0,1], 又因f(x)=(x-a)2+b是开口向上的二次函数，对称轴为x=a,则分3种情况讨论： ①当a≤0时，f(x)在[0，上单调递增，值域N=[f(0),f()]H[a2+b,(1-a)2+b], a2+b≥0 a2+b≥0 由Nc[0,1刂，需满足： 1-a)2+b≤1-1-a)2-b≥-1 两个不等式相加消去b得：a2-(1-a2≥-1→a≥0，结合a≤0，得a=0. ②当0<a<1,f(x)在[0，a]递减、[a,1]递增， 设max{m,n}表示m,n中最大的数， N=[f(a),max{f(O),f(1)]=[b,maxfa2+b,(1-a)2+b}]. b≥0 由Nc[0,,需满足： max{a2+b,(1-a)2+b}≤1 因为0<a<1,0<1-a<1,所以max{a2,(1-a)2}<1, 故存在be[0,1-max{a2,(1-a)]满足条件，因此0<a<1均成立， ③当a≥1，此时f(x)在[0,1上单调递减，值域N=[f(),f(0)]H1-a)2+b,a2+b] 由Nc[0,,需满足： 1-a)2+b≥01-a)2+b≥0 → a2+b≤1 -a2-b≥-1’ 两个不等式相加消去b得：1-a)2-a2≥-1，解得a≤1. 结合a≥1，得a=1. 综上所述，实数a的取值范围是[0，]. (8)国-=(-小户-1>0<3，所以该函数的定义城为(-)， 高一数学答案第6页（共7页) 设x,x2是(-∞，3)内任意两个实数，且x<2,则有x<x2<3, f(e)-g(,2t)-s气42- 品品小离 9(25-24) 因为x<x2<3, 所以2-22>0.2--小07品-s →l6s(2小e(2所以)) 所以f(x)在[a,b]上单调递减，且a<b<3, 所以)=ns(品2-直装v-[Uao 由“集中函数"定义可得Nc[a,b],得： f(b)≥a→log2 8-2） 1+25 8-222( 1+25 os6g自，6器sp 对(*)变形：8-2≥2+22→8≥2+2+2+b, 对(*)变形：8-2”≤2°+22→8≤2+2°+2+b, 所以2+2+2+b=8,令m=2,n=2°， 因为a<b<3,所以0<m<n<8, 则式子变为：8=m+n+mn,因为0<m<n<8, 所以m+n>2√mn→8-mn>2Wmn→mn+2Wmn-8<0 →(mn-2(mn+4<0→-4<vmn<2,而mm>0, 所以0<√mn<2→0<mn<4→2.2<4→2a+<22→a+b<2. 高一数学答案第7页（共7页） 衡阳县2026年上学期高一创新实验班期末质量检测试题 数学 考生注意： 1．本试卷共四大题，19小题，满分150分，考试时量120分钟． 2．试卷分为试题卷和答题卡两个部分；答题前，考生务必把自己的姓名、考号、学校填写在答题卡上． 3．将答案写在答题卡上．写在试题卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡上交． 第Ⅰ卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．台源乌莲是衡阳县特产之一，种植历史悠久，明清时期被列为贡品．2026年种植面积逾2万亩，预计产值突破10亿元．如图所示，某种植户有一片弓形水域，弦长为120米，劣弧所对圆心角为．欲在劣弧上任取点构建水域种植乌莲．则可种植最大面积为（ ）亩．（1亩平方米） A．2.6 B．3.1 C．3.6 D．9.4 4．在某人工智能推荐系统中，用户偏好与商品特征会被编码为特征向量，即，其中代表用户偏好向量，代表商品特征向量．越小，商品越符合用户喜好，已知某用户偏好向量，某件商品的特征向量，当该商品最符合该用户喜好时，的值是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知圆：关于直线对称，圆：，则圆与圆的公切线条数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知正三棱锥的高为，，是线段上一点，过点且与平面平行的平面分别与，，交于点，，，若三棱台的体积为，则（ ） A． B． C． D． 7．若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（ ）． A． B． C． D． 8．已知正实数，满足和，则的值是（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知，，下列说法正确的是（ ） A．若，，则． B．设，，则． C．若，则的最小值为． D．若，则的最大值为2． 10．正四棱锥的所有棱长为2，用垂直于侧棱的平面截该四棱锥，则（ ） A．截面可以是三角形 B．与底面所成的角为 C．与底面所成的角为 D．当平面经过侧棱中点时，截面分四棱锥得到的上下两部分几何体体积之比为 11．已知函数，则下列关于判断正确的是（ ） A．是以为周期的周期函数 B．的图象关于原点对称 C．的值域为 D．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度获得 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知，，则________（用表示）． 13．已知函数，若在上存在最小值，则实数的取值范围为________． 14．在一个棱长为的正四面体容器（容器壁的厚度忽略不计）内放置四个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤） 15．（13分）某市举行“高一年级节数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值，并估计高一年级初赛成绩的众数和平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）． （2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求有1名或2名学生的成绩在内的概率． 16．（15分）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，平面平面，，，为中点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17．（15分）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，点在射线上，满足． （1）求； （2）设的角平分线与直线交于点，求证：． 18．（17分）已知圆：与轴的正半轴交于点，直线：与圆交于不同的两点，． （1）求实数的取值范围； （2）设直线，的斜率分别是，，试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由； （3）设的中点为．求点到直线的距离的最大值． 19．（17分）设函数在非空数集上的取值集合为，即，若，则称为上的“集中函数”． （1）分别判断，是否为上的“集中函数”，并说明理由； （2）若存在实数，使得为上的“集中函数”，求实数的取值范围； （3）若为上的“集中函数”，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $