精品解析：重庆市永川区2025-2026学年下学期期末教学质量监测七年级数学

永川区2025—2026学年下期期末教学质量监测 七年级数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，时间120分钟）） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个数中属于无理数的是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 要了解全校学生每周课余用于体育锻炼的时间，下列选取调查对象的方式中最合适的是（ ）． A. 随机选取一个班的学生 B. 随机选取一个体育队的学生 C. 在全校女生中随机选取人 D. 在全校学生中随机选取人 3. 如图，能准确描述图书馆P相对于校门O的位置的是（ ） A. 南偏东，800米处 B. 距离800米处 C. 北偏东，800米处 D. 南偏东方向 4. 若是二元一次方程的一个解，则m的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 如图，根据下列条件，能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出八，盈十八，人数，羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱：若每人出8钱，还多18钱，问合伙人数，羊价各是多少？设人数为人，羊价为钱，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题正确的是（ ） A. 同位角相等 B. 互补的角是邻补角 C. 实数与数轴上的点是一一对应的 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 8. “二十四节气”是中国传统历法中指导农事和生活的特定节令．如图是某地部分节气对应的白昼时长关系图，下列节气中白昼时长未超过12个小时的是（ ） A. 惊蛰 B. 小满 C. 秋分 D. 冬至 9. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按箭头的方向依次移动，每次移动1个单位长度，得到点，，，，……那么点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. “铺地锦”是《算法统宗》记载的一种乘法计算方法，因计算过程形如铺地锦而得名．如图1，计算，计算步骤为：（1）数位分解：将乘数326和53按数位拆分，分别写在网格的上方和右方；（2）逐位相乘：将326的每位数字乘以53的每位数字，每一步乘积结果的十位和个位分别记入小正方形相应的格子中．乘积结果小于10时，十位数字记为0；（3）分区域累加：从右往左沿斜线方向对乘积结果进行累加，累加结果逢十进一，并将结果分别写在网格的下方和左侧；（4）组合结果：沿网格左侧和下方按从上往下，再从左往右依次写出各个数字，结果即为17278．如图2，用“铺地锦”的方法计算，下列说法：①b的值小于3；②a的值为偶数；③；④．其中正确的个数是（ ） 图1 图2 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 在平面直角坐标系中，点在第_____象限． 12. 如图，直线相交于点，垂足为，则________． 13. 已知、为两个连续的整数，且，则_____ 14. 某公司今年1月份拓展了一项新业务，根据该业务1-6月的销售额（单位：万元）绘制的趋势图如图所示，根据趋势图预测7月份的销售额为________万元（保留整数）． 15. 已知是二元一次方程组的解，则2m-n的算术平方根为________． 16. 如果一个四位自然数，各个数位上的数均不为0，且满足，那么称m为M的“同心数”；将M十位与百位数字调换得到N，记N的“同心数”为n令．例如，满足，则为的“同心数”，将十位与百位数字调换得到，满足，则的“同心数”为，此时．若，则其“同心数”m为______；当，且为整数时，M最大值与最小值的差为______． 三、解答题：（本大题9个小题，第17题和第18题每小题8分，其余各小题，每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解不等式组：． 19. 解方程组： （1）； （2）． 20. 如图，平分，在上，在上，连接、，与相交于点，，试说明．（填空完善下列推理过程） 解：（已知）， （① ）， ② （等式的基本事实）， ∴③ （同旁内角互补，两直线平行）， （④ ）． 平分， ∴⑤ （角平分线的定义）， （等式的基本事实）． 21. 体育课上，老师对八（3）班50名同学测试了1分钟单摇跳绳的个数，体育委员将统计结果绘制成了如下的频数分布表与频数分布直方图： 频数分布表 分组 数量范围 频数 1 3 2 3 15 4 5 2 试回答下列问题： （1）表中______，______； （2）补全频数分布直方图； （3）若1分钟跳绳数量低于120则视为不合格，由此估计，八年级全体600名学生中，不合格的同学有多少人？ 22. 已知关于，的方程组． （1）若方程组的解满足，求的值； （2）若方程组的解满足，求满足条件的的最小整数值． 23. 如图，在平面直角坐标系中，将点，点沿水平方向向右分别平移4个和8个单位长度，点和点的对应点分别是点和点．顺次连接，，，得到四边形． （1）直接写出点和点的坐标； （2）若将四边形沿竖直方向向下平移2个单位得到四边形，图中阴影部分的面积是，求与轴的交点的坐标； 24. 习近平总书记指出：“扶贫先扶志，扶贫必扶智”．某企业扶贫小组准备在端午节前夕慰问贫困户，为贫困户送去温暖，该扶贫小组购买了一批慰问物资并安排两种货车运送．据调查得知，1辆大货车与5辆小货车一次可以满载运输650件；2辆大货车与3辆小货车一次可以满载运输600件． （1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？ （2）计划租用两种货车共10辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用500元，每辆小货车一次需费用300元．若运输物资不少于1300件，且总费用不超过4600元．请你计算该扶贫小组共有几种运输方案？并计算哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？ 25. 如图，，点E，点F分别为上一点，，平分，平分交的反向延长线于点N． （1）求证：； （2）若比大，求的度数； （3）若平分，平分，过点B作，用等式直接写出与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永川区2025—2026学年下期期末教学质量监测 七年级数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，时间120分钟）） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个数中属于无理数的是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】解：是整数，属于有理数，故A错误； 是分数，属于有理数，故B错误； 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，故C正确； ，是分数，属于有理数，故D错误． 2. 要了解全校学生每周课余用于体育锻炼的时间，下列选取调查对象的方式中最合适的是（ ）． A. 随机选取一个班的学生 B. 随机选取一个体育队的学生 C. 在全校女生中随机选取人 D. 在全校学生中随机选取人 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了抽样调查的知识．注意选取的样本需要有代表性和广泛性．因为抽样时要注意样本的代表性和广泛性，根据样本的代表性即可作出判断． 【详解】解：随机抽样是最简单和最基本的抽样方法，抽样时要注意样本的代表性和广泛性，在全校学生中随机选取人，这些对象具有代表性和广泛性． 故选：． 3. 如图，能准确描述图书馆P相对于校门O的位置的是（ ） A. 南偏东，800米处 B. 距离800米处 C. 北偏东，800米处 D. 南偏东方向 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用方向角和距离确定物体的位置，采用数形结合的思想是此题的关键，结合图形即可得解． 【详解】解：由图知，能准确表示学校图书馆相对于校门的位置的是南偏东且距离校门， 故选：A． 4. 若是二元一次方程的一个解，则m的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解．把方程的解代入二元一次方程，再解方程即可． 【详解】解：把代入，得： 解得． 故选：D． 5. 如图，根据下列条件，能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定．熟练掌握平行线的判定方法是解答本题的关键．平行线的判定方法：①同位角相等，两直线平行； ②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行． 根据平行线的判定方法逐项分析即可． 【详解】A. ，能判定； B. ，能判定； C. ，不能判定； D. ，能判定． 故选：B． 6. 《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出八，盈十八，人数，羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱：若每人出8钱，还多18钱，问合伙人数，羊价各是多少？设人数为人，羊价为钱，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程的实际问题，正确理解题意是解题关键． 7. 下列命题正确的是（ ） A. 同位角相等 B. 互补的角是邻补角 C. 实数与数轴上的点是一一对应的 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【解析】 【分析】根据初中所学的几何与实数基本概念，逐一判断各命题真假即可． 【详解】解：只有两直线平行时同位角才相等，缺少条件时同位角不一定相等，故A错误； 互补只要求两个角度数和为，邻补角还要求两角位置相邻，互补的角不一定是邻补角，故B错误； 根据实数的基本性质，实数与数轴上的点是一一对应的，故C正确； 只有过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，点在已知直线上时无法作出平行线，缺少条件，故D错误． 8. “二十四节气”是中国传统历法中指导农事和生活的特定节令．如图是某地部分节气对应的白昼时长关系图，下列节气中白昼时长未超过12个小时的是（ ） A. 惊蛰 B. 小满 C. 秋分 D. 冬至 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数图象，从函数图象获取信息，进行判断即可． 【详解】解：由图象可知，惊蛰，小满，秋分的白昼时长均超过12小时，冬至的白昼时长小于12小时； 故选D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按箭头的方向依次移动，每次移动1个单位长度，得到点，，，，……那么点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察图形中点的坐标变化规律，发现下标是3的倍数的点都在轴上，且横坐标等于下标除以3，据此规律即可求解.  【详解】解：由图可得：，，，，， 点的坐标为， ， 点的坐标为. 10. “铺地锦”是《算法统宗》记载的一种乘法计算方法，因计算过程形如铺地锦而得名．如图1，计算，计算步骤为：（1）数位分解：将乘数326和53按数位拆分，分别写在网格的上方和右方；（2）逐位相乘：将326的每位数字乘以53的每位数字，每一步乘积结果的十位和个位分别记入小正方形相应的格子中．乘积结果小于10时，十位数字记为0；（3）分区域累加：从右往左沿斜线方向对乘积结果进行累加，累加结果逢十进一，并将结果分别写在网格的下方和左侧；（4）组合结果：沿网格左侧和下方按从上往下，再从左往右依次写出各个数字，结果即为17278．如图2，用“铺地锦”的方法计算，下列说法：①b的值小于3；②a的值为偶数；③；④．其中正确的个数是（ ） 图1 图2 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，二元一次方程的解的含义，由题意可得：，，其中，，都为整数，可得，，再进一步求解即可. 【详解】解：如图， 由题意可得：，，其中，，都为整数， ∴，， 其中，，，不符合题意， 如图， ∴，，， ∴①b的值小于3；②a的值为偶数；③；④， ∴①②③④都正确； 故选：D 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 在平面直角坐标系中，点在第_____象限． 【答案】四 【解析】 【分析】本题考查了判断点所在的象限．横坐标为正，纵坐标为负的点在第四象限，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴在第四象限， 故答案为：四． 12. 如图，直线相交于点，垂足为，则________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了几何中角度的计算，理解图示，掌握垂直的定义，角的和差计算是关键，根据对顶角相等得到，再根据垂直的定义即可求解． 【详解】解：根据题意得到，， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 13. 已知、为两个连续的整数，且，则_____ 【答案】7 【解析】 【详解】∵， ∴3＜＜4， ∵a＜＜b， ∴a=3，b=4， ∴a+b=3+4=7． 故答案为：7． 14. 某公司今年1月份拓展了一项新业务，根据该业务1-6月的销售额（单位：万元）绘制的趋势图如图所示，根据趋势图预测7月份的销售额为________万元（保留整数）． 【答案】47（或48） 【解析】 【分析】本题考查了统计图的运用，根据图示分析即可求解． 【详解】解：（万元），即竖直方向上一格表示万， ∴根据趋势图预测7月份的销售额为（或）万元， 故答案为：（或） ． 15. 已知是二元一次方程组的解，则2m-n的算术平方根为________． 【答案】2 【解析】 【分析】将代入方程组求出方程组中m、n的值，即可计算根据算术平方根的定义求出答案. 【详解】将代入二元一次方程组， 得， 解得：， ∴2m-n=4，而4的算术平方根为2． 故2m-n的算术平方根为2． 故答案为：2． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，算术平方根的定义，正确将方程组的解代入得到新的方程组并求出解是解题的关键. 16. 如果一个四位自然数，各个数位上的数均不为0，且满足，那么称m为M的“同心数”；将M十位与百位数字调换得到N，记N的“同心数”为n令．例如，满足，则为的“同心数”，将十位与百位数字调换得到，满足，则的“同心数”为，此时．若，则其“同心数”m为______；当，且为整数时，M最大值与最小值的差为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，二元一次方程的解，数字问题(二元一次方程组的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用定义可以求得当时m的值；根据为整数，可得出可取，，，，再分这8种情况，分别求出M最大值与最小值，最后求出它们的差即可． 【详解】解：，满足，其“同心数”m为， 当时，设， ∵， ∴， ∵将M十位与百位数字调换得到N，记N的“同心数”为n， ∴， ∴， ∵为整数， ∴可取，，，， 当时，，解得：， ∵一个四位自然数，各个数位上的数均不为0， ∴不可能取到与，这种情况不符合； 当时，，解得：， ∵一个四位自然数，各个数位上的数均不为0， ∴不可能取到与，这种情况不符合； 当时，，解得：， ∵一个四位自然数，各个数位上的数均不为0， ∴，，，，，，，， 显然，此时当时，最大；当时，最小； 当时，，解得：， ∵一个四位自然数，各个数位上的数均不为0， ∴，，…，， 当时，最大；当时，最小； 当时，，解得：， ∵一个四位自然数，各个数位上的数均不为0， ∴不可能取到与，这种情况不符合； 当时，，解得：， ∵一个四位自然数，各个数位上的数均不为0， ∴不可能取到与，这种情况不符合； 当时，，解得：， ∵一个四位自然数，各个数位上的数均不为0， ∴不可能取到，这种情况不符合； 当时，，解得：， ∵一个四位自然数，各个数位上的数均不为0， ∴不可能取到，这种情况不符合， 综上所述，最大为，最小为， ∴M最大值与最小值的差为， 故答案为：，． 三、解答题：（本大题9个小题，第17题和第18题每小题8分，其余各小题，每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查算术平方根，立方根的计算，实数的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）分别算出乘方，算术平方根，立方根的值，再算加减即可； （2）先去括号，绝对值，再算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解不等式组：． 【答案】x≤1． 【解析】 【分析】先解不等式组中的每一个不等式，再求出它们的公共解即可． 【详解】解：． 由①得x≤1； 由②得x＜4； 所以原不等式组的解集为：x≤1． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组． 19. 解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解：将①代入②，得， 解得 将代入①，得 ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解：整理方程组，得 ，得，解得 将代入②，得 ∴原方程组的解为． 20. 如图，平分，在上，在上，连接、，与相交于点，，试说明．（填空完善下列推理过程） 解：（已知）， （① ）， ② （等式的基本事实）， ∴③ （同旁内角互补，两直线平行）， （④ ）． 平分， ∴⑤ （角平分线的定义）， （等式的基本事实）． 【答案】①对顶角相等；②；③；④两直线平行，同位角相等；⑤ 【解析】 【分析】先得出，则可得，再得出，由此即可得． 【详解】解：略． 21. 体育课上，老师对八（3）班50名同学测试了1分钟单摇跳绳的个数，体育委员将统计结果绘制成了如下的频数分布表与频数分布直方图： 频数分布表 分组 数量范围 频数 1 3 2 3 15 4 5 2 试回答下列问题： （1）表中______，______； （2）补全频数分布直方图； （3）若1分钟跳绳数量低于120则视为不合格，由此估计，八年级全体600名学生中，不合格的同学有多少人？ 【答案】（1）10；20； （2）见解析； （3）估计八年级1分钟跳绳不合格的同学有156人． 【解析】 【分析】（1）由频数分布直方图可得a的值，用50分别减去其它组的频数可得b的值； （2）根据b的值补全频数分布直方图即可； （3）利用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：由频数分布直方图可得a＝10， 则b＝50−3−10−15−2＝20， 故答案为：10；20； 【小问2详解】 补全频数分布直方图如下： 【小问3详解】 600×＝156（人）， 答：估计八年级1分钟跳绳不合格的同学有156人． 【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．此外还利用了样本估计总体的思想． 22. 已知关于，的方程组． （1）若方程组的解满足，求的值； （2）若方程组的解满足，求满足条件的的最小整数值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用加减消元法解方程组，然后将解代入②中求解即可； （2）运用二元一次方程组的特殊解法求得，进而解不等式计算即可． 【小问1详解】 解：∵方程组的解满足， ∴解方程组 ，得，解得 将代入①，得，解得 将，代入②中，得 解得； 【小问2详解】 解： 解：，得， 则， ∵ ∴，则 解得， ∴的最小整数值是． 23. 如图，在平面直角坐标系中，将点，点沿水平方向向右分别平移4个和8个单位长度，点和点的对应点分别是点和点．顺次连接，，，得到四边形． （1）直接写出点和点的坐标； （2）若将四边形沿竖直方向向下平移2个单位得到四边形，图中阴影部分的面积是，求与轴的交点的坐标； 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据点坐标的平移规律解答即可； （2）设点的坐标为，先求出四边形的面积，进而可得四边形的面积，再求出，，的长，则可得四边形的面积，据此建立方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：∵将点，点沿水平方向向右分别平移4个和8个单位长度，点和点的对应点分别是点和点， ∴，， 即，． 【小问2详解】 解：设点的坐标为， ∵，，，， ∴，，，，，， ∴四边形是直角梯形，其面积为， ∵图中阴影部分的面积是， ∴四边形的面积为， ∵将四边形沿竖直方向向下平移2个单位得到四边形， ∴，，， ∴，四边形是直角梯形， ∴四边形的面积为， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 24. 习近平总书记指出：“扶贫先扶志，扶贫必扶智”．某企业扶贫小组准备在端午节前夕慰问贫困户，为贫困户送去温暖，该扶贫小组购买了一批慰问物资并安排两种货车运送．据调查得知，1辆大货车与5辆小货车一次可以满载运输650件；2辆大货车与3辆小货车一次可以满载运输600件． （1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？ （2）计划租用两种货车共10辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用500元，每辆小货车一次需费用300元．若运输物资不少于1300件，且总费用不超过4600元．请你计算该扶贫小组共有几种运输方案？并计算哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？ 【答案】（1）1辆大货车一次满载运输150件物资，1辆小货车一次满载运输100件物资 （2）一共有3种租车方案，租用大货车6辆，小货车4辆，所需费用最少，最少费用是4200元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数的应用． （1）假设出1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输的件数，列出二元一次方程组即可； （2）先根据运输物资和费用求出大小货车的辆数，再求出费用比较即可． 【小问1详解】 设1辆大货车一次满载运输件物资，1辆小货车一次满载运输件物资， 根据题意得 解得 1辆大货车一次满载运输150件物资，1辆小货车一次满载运输100件物资； 【小问2详解】 设租用大货车辆，租车费用为元，则租用小货车辆， 运输物资不少于1300件，且总费用不超过4600元 解得 为整数 可取6，7，8 一共有3种租车方案 根据题意得 随的增大而增大 当时，取最小值 此时． 租用大货车6辆，小货车4辆，所需费用最少，最少费用是4200元． 25. 如图，，点E，点F分别为上一点，，平分，平分交的反向延长线于点N． （1）求证：； （2）若比大，求的度数； （3）若平分，平分，过点B作，用等式直接写出与的数量关系． 【答案】（1）见解析； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质，证明即可得证； （2）过G作，得，证明． 设，的交点为P， ，，，根据题意列式解答即可． （3）分类解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图，过G作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵平分，平分， ∴， 设，的交点为P， ， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 解得， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：或． 理由如下： 根据（1）的结论，得， 设，， ∴， ∵， ∴ 解得， 同理可证，， 延长交于点H， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 同理可证，当点E在店B的右侧时，， 综上所述，关系为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $