精品解析：福建省福州第十六中学2025-2026学年八年级下学期期末测试数学试题

2025-2026学年第二学期福州第十六中学八年级期末测试 数学 （满分：150分 完卷时间：120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分：在每小题给出的四个选项中，只有一个正确选项） 1. 下列图象中，y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中，表示是的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知矩形的对角线相交于点O，若，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 学校生物种植园中有盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近．将盆植物的株高（单位：）从小到大排序后分成两组，共有种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下： 序号 分组情况 组内离差平方和 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 则盆植物的最优分组序号是（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数解析式为，则抛物线的顶点坐标是（ ）． A. B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程有实数解，则的取值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知函数与图象都经过轴上的点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 一份摄影作品【七寸照片（长7英寸，宽5英寸）】，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的2倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 一次函数和二次函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图像，则平行四边形的面积为（　　） A. B. C. D. 36 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 一次函数y＝2x﹣1的图象与y轴的交点坐标为_________． 12. 若一组数据的方差为，则这组数据的众数为_________． 13. 把抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线解析式为______． 14. 已知是方程的一个根，则代数式的值为________． 15. 已知二次函数的对称轴是直线，若关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为__________． 16. 已知点，，均在抛物线上，其中，若，则的取值范围是__________． 三、解答题（本题共9小题，共86分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，在中，点E在上，点F在的延长线上，且，连接，．求证：． 19. 在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与直线相交于点． （1）点的坐标是__________，点的坐标是__________； （2）的面积是__________； （3）直线与直线、直线分别交于点、点，当时，直接写出的值：__________ 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 21. 【数据收集】 我校射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图1，将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成统计图． 【数据分析】 （1）小星利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，环，__________环；通过计算方差，，__________； 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 最大值 A 6 ① ② 9.5 10 B 8 8 9 ③ 10 （2）小瀚利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．①处应填__________环，②处应填__________环，③处应填__________环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手A射击成绩的中位数__________选手B射击成绩的中位数（填，或）； 【作出决策】 （3）请根据八轮射击成绩，从A、B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 22. 某网店销售某款童装，每件售价80元，每天可卖20件，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每天可多卖2件．已知该款童装每件成本价60元，设该款童装每件售价x元，每天的销售量为y件． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当每件售价定为多少元时，网店每天可盈利432元； （3）当每件售价定为多少元时，网店每天的销售利润最大． 23. 如图，矩形中，． （1）求作正方形，使得点E，G分别落在边，上，点F，H落在上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若，，求出（1）中的长． 24. 阅读材料，回答问题． 密码学是研究编制和破译密码规律的一门科学．在密码学中，明文是未经过加密处理的原始信息，密文由明文通过已知的密码规则进行加密变换后得到的信息．有一种密码，将26个英文字母分别转换为数字1～26后进行数学变换从而获得密文．现按照以下加密规则进行加密： ①选择一个“乘密钥”a和一个“加密钥” a，b均为整数）； ②对明文中的每个字母，先将其对应数字m乘a，再加上b，得到一个总和S，即 ③对每个字母得到的总和S逐个进行判断：若S在1到26之间，则S 就是该字母加密后的密文所对应的数字；若S 大于26，则不断减去26，直到结果落在1～26之间； ④将得到的对应数字转换为字母，从而获得明文中每个字母加密后的密文．例如：设a＝3，b＝4，我们可以将明文中字母L（ m＝12）转换成所对应的密文． 计算：S＝3×12＋4＝40. ∵14对应字母N，∴明文中字母L对应的密文是字母N． 请你根据以上材料，完成探究： （1）若密钥为a＝2，b＝5，则明文“HI”加密后的密文为 ； （2）在某次加密中，使用的“乘密钥”a＝3．小明发现，明文“B”被加密后，得到的密文是“M”，则这次加密使用的“加密钥”b的值为 ； （3）小华截获了一段密文“OK”，它是由明文“GC”使用上述材料中的加密规则加密而成，且由“G”加密成“O”所使用的密钥（ “乘密钥”a，“加密钥”b）与由“C”加密成“K”所使用的密钥（ “乘密钥”a，“加密钥”b）一致．求加密规则中使用的“乘密钥”a和“加密钥”b的值； （4）利用（ 3）中求得的加密规则中的密钥a和b，求密文“TN”解密获得的明文． 25. 已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． （1）求抛物线的解析式； （2）点M是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点M的坐标； （3）若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期福州第十六中学八年级期末测试 数学 （满分：150分 完卷时间：120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分：在每小题给出的四个选项中，只有一个正确选项） 1. 下列图象中，y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义：对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应. 结合图象，利用“垂直于轴的直线与图象最多只有一个交点”这一性质进行判断即可． 【详解】解：.对于的每一个值，都有唯一确定的值与其对应，故是的函数，该选项不符合题意； . 对于的每一个值，都有唯一确定的值与其对应，故是的函数，该选项不符合题意； . 存在某个的值，对应多个的值（作垂直于轴的直线与图象有多个交点），故不是的函数，该选项符合题意； . 对于的每一个值，都有唯一确定的值与其对应，故是的函数，该选项不符合题意． 2. 下列式子中，表示是的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正比例函数的定义判断，正比例函数要求形如（为常数且，自变量的次数为），逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：∵正比例函数的定义为：形如（为常数且）的函数，自变量次数为1． ∴对各选项分析如下： 选项A：，存在常数项，不符合正比例函数定义，错误； 选项B：，符合正比例函数的定义，正确； 选项C：，自变量的次数为，不符合定义，错误； 选项D：，是反比例函数，不符合正比例函数定义，错误． 3. 如图，已知矩形的对角线相交于点O，若，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形性质可知AC=BD，可得． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AC=BD=6， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质：对角线互相平分且相等，掌握这一性质是解题的关键． 4. 学校生物种植园中有盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近．将盆植物的株高（单位：）从小到大排序后分成两组，共有种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下： 序号 分组情况 组内离差平方和 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 则盆植物的最优分组序号是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了离差平方和的定义（离差平方和是各数据与它们平均数之差的平方和），根据组内离差平方和的定义（组内离差平方和是指每组数据的离差平方和），最优分组应使组内离差平方和最小，直接比较表中各序号对应值即可． 【详解】解：组内离差平方和越小表示同组株高越接近， 比较表中值，序号的组内离差平方和最小为，为最优分组， 故选：B． 5. 已知二次函数解析式为，则抛物线的顶点坐标是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，熟悉掌握顶点式的意义是解题的关键． 根据二次函数顶点式直接得出顶点坐标即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标是， 故选：A． 6. 若关于的一元二次方程有实数解，则的取值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据根的判别式进行求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数解， ， 解得 故选：A． 【点睛】本题考查根的判别式，解答的关键在于熟记根的判别式并灵活运用． 7. 如图，已知函数与图象都经过轴上的点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出点坐标，根据图像即可得到不等式的解集． 【详解】解：令函数中， ， 由于函数与图象都经过轴上的点， ， 故不等式的解集是， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，结合一次函数图像解决问题是关键． 8. 一份摄影作品【七寸照片（长7英寸，宽5英寸）】，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的2倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，则矩形衬纸的长为英寸，宽为英寸，然后根据矩形衬纸的面积为照片面积的2倍列出方程即可． 【详解】解：设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，则矩形衬纸的长为英寸，宽为英寸， 由题意得， 故选D． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系式解题的关键． 9. 一次函数和二次函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先观察每一个选项中二次函数图象得到字母系数，的正负，接下来判断一次函数的图象中的参数，的正负； 结合每一个选项按照此方法进行判断，当两个函数的，取值一致时，即为正确答案． 【详解】解：：一次函数，二次函数，可得，不符合题意； ：一次函数，；二次函数，，可得，符合题意； ：一次函数，二次函数，不符合题意； ：一次函数，二次函数，不符合题意． 10. 如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图像，则平行四边形的面积为（　　） A. B. C. D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】图1和图2中的点对应：点A对点O，点B对点M，点D对点N，根据点P运动的路程为x，线段的长为y，依次解出，即点M的横坐标，，即点N的纵坐标，解出，根据平行四边形面积公式可得结论． 【详解】解：在图1中，作，垂足为E， 在图2中，取， 当点P从点A到点B时，对应图2中线段，得， 当点P从B到D时，对应图2中曲线，得，解得， 当点P到点D时，对应图2中到达点N，得， 在中，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图像，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等等，正确读懂函数图像是解题的关键． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 一次函数y＝2x﹣1的图象与y轴的交点坐标为_________． 【答案】(0，﹣1) 【解析】 【分析】根据 y轴上点的坐标特点，将x=0代入求解即可；y轴上点的坐标特点为横坐标为0． 【详解】解：当x＝0，则y＝﹣1， 故一次函数y＝2x﹣1的图象与y轴的交点坐标为：（0，﹣1）． 故答案为：（0，﹣1）． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点的问题，平面直角坐标系中y轴上点的坐标特点，理解y轴上点的坐标特点为横坐标为0是解题的关键． 12. 若一组数据的方差为，则这组数据的众数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方差、众数，熟练掌握方差公式是解题的关键．根据方差公式中的系数，确定每个数据出现的次数，从而得到原数据为：，，，，，，，再根据众数的定义即可解答． 【详解】解：由方差可知， 数据点出现次，出现次，出现次，出现次， 因此原数据为：，，，，，，， 其中出现次，次数最多，则众数为， 故答案为：． 13. 把抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握二次函数的图象的平移是解题的关键； 直接根据二次函数图象平移的法则“上加下减，左加右减”即可得出结论． 【详解】解：向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线解析式为； 故答案为： 14. 已知是方程的一个根，则代数式的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根满足方程得到，进而整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴． 15. 已知二次函数的对称轴是直线，若关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，以及抛物线的对称性，明确抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称是解题的关键． 根据抛物线的对称性，可知的图象与x轴的两个交点关于直线对称，两交点的横坐标即为方程的两根，根据对称性建立关系式即可求解． 【详解】解：设方程的另一根为， ∵二次函数的对称轴是直线，关于的一元二次方程的一个根为 ∴， 解得， ∴另一根为， 故答案为：． 16. 已知点，，均在抛物线上，其中，若，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据可得，即抛物线的顶点坐标是，然后分三种情况结合抛物线的性质讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即抛物线的顶点坐标是， ∵， ∴抛物线的开口向下，， 若P、Q在对称轴的左侧， ∵y随着x的增大而增大， ∴，此时，满足题意； 当点M在P、Q之间，即，则离对称轴越近，函数值越大， ∵， ∴，解得； 若P、Q在对称轴的右侧， ∵y随着x的增大而减小，且， ∴此时不满足题意； 特别地，当M与Q重合时，也满足； 综上，m的取值范围是． 三、解答题（本题共9小题，共86分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）运用配方法进行解方程，即可作答． （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 则， ∴， ∴或， 解得，. 18. 如图，在中，点E在上，点F在的延长线上，且，连接，．求证：． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】先利用平行四边形的性质得到，，则，再证明，利用全等三角形的对应边相等可证得结论． 【详解】略 19. 在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与直线相交于点． （1）点的坐标是__________，点的坐标是__________； （2）的面积是__________； （3）直线与直线、直线分别交于点、点，当时，直接写出的值：__________ 【答案】（1）； （2）3 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点和两个一次函数的交点坐标求法，即可求解； （2）先求得点的坐标，再结合（1）的点的坐标，即可求解； （3）由题意可得，，再由，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线与轴交于点， ∴当时，， ∴， ∴； ∵直线与直线相交于点， 联立，得， 解得， ∴． 【小问2详解】 解：∵直线与轴交于点， ∴当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵直线与直线、直线分别交于点、点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 整理得，或， 解得或， ∴的值为或． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】（1） 证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 21. 【数据收集】 我校射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图1，将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成统计图． 【数据分析】 （1）小星利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，环，__________环；通过计算方差，，__________； 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 最大值 A 6 ① ② 9.5 10 B 8 8 9 ③ 10 （2）小瀚利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．①处应填__________环，②处应填__________环，③处应填__________环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手A射击成绩的中位数__________选手B射击成绩的中位数（填，或）； 【作出决策】 （3）请根据八轮射击成绩，从A、B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 【答案】（1）9，0.75 （2）7.5，9，10， （3）选择B选手参加青少年射击比赛，理由如下： 根据八轮射击成绩，从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，因为A，B两名选手的中位数相等，但B选手的方差更小，则成绩更加稳定，且平均数更高，能力更强，故选择B选手参加青少年射击比赛． 【解析】 【分析】（1）根据平均数计算公式求解，再根据方差的公式计算即可； （2）先把选手A、B的数据从小到大排列，再根据四分位数的定义求解即可； （3）根据中位数、平均数和方差进行决策即可． 【小问1详解】 解：由图可得： （环）， ； 【小问2详解】 解法一：将选手A的数据从小到大排列为6，7，8，9，9，9，10，10，共有8个数据， 则第一四分位数是上半部分的中位数，第二四分位数是中位数； 将选手B的数据从小到大排列为8，8，8，9，9，10，10，10，共有8个数据， 则第三四分位数是后半部分的中位数； 解法二：将选手A的数据从小到大排列为6，7，8，9，9，9，10，10，共有8个数据， 由，知，第一四分位数为第2和第3个数据的平均值，即为，第二四分位数为第4和第5个数据的平均值，即为， 将选手B的数据从小到大排列为8，8，8，9，9，10，10，10，共有8个数据， 由知，第三四分位数为第6和第7个数据的平均值，即为； 基于四分位数或箱线图，可以发现选手A射击成绩的中位数选手B射击成绩的中位数； 【小问3详解】 略 22. 某网店销售某款童装，每件售价80元，每天可卖20件，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每天可多卖2件．已知该款童装每件成本价60元，设该款童装每件售价x元，每天的销售量为y件． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当每件售价定为多少元时，网店每天可盈利432元； （3）当每件售价定为多少元时，网店每天的销售利润最大． 【答案】（1） （2）72元或78元 （3）当每件售价定为75元时，网店每天的销售最大． 【解析】 【分析】（1）根据销售量=原销售量+增加的销售量，列出解析式即可； （2）设每天盈利为w元，根据总盈利=每件利润×销售量，列出函数关系式，再把代入函数关系式求解即可． （3）根据（2）函数关系式，利用二次函数最值求法求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， 【小问2详解】 解：每天盈利为w元，则 当时，则， 化简整理，得 解得：，， 答：当每件售价定为72元或78元时，网店每天可盈利432元 【小问3详解】 解：由（2）知， ∵ ∴当时，w值最大． 答：当每件售价定为75元时，网店每天的销售最大． 【点睛】本题考查二次函数的应用，求一次函数关系，一元二次方程的应用，解题的关键是列出盈利与定价的二次函数关系式． 23. 如图，矩形中，． （1）求作正方形，使得点E，G分别落在边，上，点F，H落在上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若，，求出（1）中的长． 【答案】（1）如图，四边形即为所求作的正方形， （2） 【解析】 【分析】（1）作的中垂线交于点，交于点，以为直径画圆，交于点，即可得到正方形； （2）连接，由（1）知垂直平分，则，在中，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：由作图可知，，， ∵矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由作图可知，，即， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形； 【小问2详解】 解：连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴， 在中，，， 由勾股定理得， 解得． 24. 阅读材料，回答问题． 密码学是研究编制和破译密码规律的一门科学．在密码学中，明文是未经过加密处理的原始信息，密文由明文通过已知的密码规则进行加密变换后得到的信息．有一种密码，将26个英文字母分别转换为数字1～26后进行数学变换从而获得密文．现按照以下加密规则进行加密： ①选择一个“乘密钥”a和一个“加密钥” a，b均为整数）； ②对明文中的每个字母，先将其对应数字m乘a，再加上b，得到一个总和S，即 ③对每个字母得到的总和S逐个进行判断：若S在1到26之间，则S 就是该字母加密后的密文所对应的数字；若S 大于26，则不断减去26，直到结果落在1～26之间； ④将得到的对应数字转换为字母，从而获得明文中每个字母加密后的密文．例如：设a＝3，b＝4，我们可以将明文中字母L（ m＝12）转换成所对应的密文． 计算：S＝3×12＋4＝40. ∵14对应字母N，∴明文中字母L对应的密文是字母N． 请你根据以上材料，完成探究： （1）若密钥为a＝2，b＝5，则明文“HI”加密后的密文为 ； （2）在某次加密中，使用的“乘密钥”a＝3．小明发现，明文“B”被加密后，得到的密文是“M”，则这次加密使用的“加密钥”b的值为 ； （3）小华截获了一段密文“OK”，它是由明文“GC”使用上述材料中的加密规则加密而成，且由“G”加密成“O”所使用的密钥（ “乘密钥”a，“加密钥”b）与由“C”加密成“K”所使用的密钥（ “乘密钥”a，“加密钥”b）一致．求加密规则中使用的“乘密钥”a和“加密钥”b的值； （4）利用（ 3）中求得的加密规则中的密钥a和b，求密文“TN”解密获得的明文． 【答案】（1） （2）7 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据将明文转换为密文的方法计算得出对应的S，即可得出答案； （2）先确定M对应的数，再结合计算方法求出b即可； （3）根据要求列出方程组，求出符合题意的解； （4）根据（3）中两个密钥，再根据计算要求解答． 【小问1详解】 解：∵，，将明文中字母H（）转换成所对应的密文， 则， ∵， ∴21对应的字母是U， ∴明文中字母H对应的密文是字母U； 同理，明文中字母I对应的密文是字母W； ∴“”加密后的密文是“”； 【小问2详解】 解：根据题意可知， ∵M对应的数是， ∴， 解得； 【小问3详解】 根据题意，得， 解得； 根据题意，得， 解得，不是整数，不符合题意， 根据题意，得， 解得，不符合题意； 【小问4详解】 解：∵T和N对应的数是20，14，且，，设明文对应的数是x，y， ∴，， 解得，， ∵12对应的字母是L，6对应的字母是F， ∴密文“”解密获得的明文为“”． 25. 已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． （1）求抛物线的解析式； （2）点M是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点M的坐标； （3）若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合运用，二次函数的图象和性质、面积的计算、点的对称性，会利用待定系数法求函数解析式，能根据对称性求最短路径是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，则此时的值最小，即可求解； （3）把分解为，转化为二次函数求最值． 【小问1详解】 解；点的坐标为， 则点, 由题意得，解得；, 则抛物线的表达式为；; 【小问2详解】 点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，则此时的值最小， 理由；为最小， ∵抛物线的对称轴为直线，点B的坐标为， ∴点， 设过点的直线为， ，解得， 直线的表达式为， 当时，， 即点； 【小问3详解】 如图2所示；过点作轴，交于点， ， ， ， 由（2）知，直线的解析式为， 设，则， ， 当时，有最大值，最大值为， 的最大面积， 四边形的面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $