第06讲 二次函数的实际应用（暑假预习讲义）新九年级数学新教材沪教版五四制

第06讲 二次函数的实际应用 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型一、图形问题(实际问题与二次函数) 题型二、图形运动问题(实际问题与二次函数) 题型三、拱桥问题(实际问题与二次函数) 题型四、销售问题(实际问题与二次函数) 题型五、投球问题(实际问题与二次函数) 题型六、喷水问题(实际问题与二次函数) 题型七、增长率问题(实际问题与二次函数) 题型八、其他问题(实际问题与二次函数) 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 二次函数实际应用、待定系数法、二次函数最值、销售利润模型、抛物线实物建模、几何面积最值、增长率问题、函数定义域、数形结合 1. 能结合不同实际场景的等量关系列写二次函数关系式，掌握用待定系数法求解实际问题中抛物线解析式的方法。 2. 能运用二次函数的图象与性质，解决生活中的最值类问题（面积最值、利润最值、高度最值等），明确自变量的实际取值范围。 3. 经历将实际问题转化为二次函数模型的过程，提升数学建模与数形结合的能力，体会数学的实际应用价值。 学习重点：1. 根据实际问题中的数量关系建立二次函数模型，列写函数解析式。 2. 利用二次函数的顶点性质求解实际问题中的最值，掌握利润、面积、高度三类经典最值题型的解法。 3. 用待定系数法求解抛物线形实物（拱桥、喷泉、球类轨迹）的解析式，解决对应实际测量、通行判断问题。 学习难点：1. 复杂实际场景中等量关系的提取，准确完成实际问题到二次函数的建模转化。 2. 结合自变量的实际定义域求解二次函数最值，避免忽略限制条件直接套用顶点公式出错。 3. 动态几何、多条件综合类实际问题中的分类讨论与数形结合分析。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 知识点02 二次函数的应用 1. 利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． 2. 几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． 3. 构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 题型一、图形问题(实际问题与二次函数) 【典例1】（25-26九年级上•青浦区期末）等边三角形的周长为，面积为，则面积关于周长的函数解析式为　　 ． 【分析】直接利用等边三角形的性质得出的长，再利用三角形面积求法得出答案． 【详解】解：如图所示：过点作于点， 等边三角形的周长为， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及三角形面积求法，正确表示出三角形的高是解题关键． 【典例2】（25-26九年级上•上海月考）学校要建一个矩形花圃（如图），其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42米，篱笆长80米．设垂直于墙的边长为米，围成的矩形花圃面积为平方米． （1）求与的函数关系式，写出函数的定义域； （2）围成的矩形花圃面积何时最大？求出此时的值与面积的最大值． 【答案】（1）； （2）围成的矩形花圃面积存在最大值，最大值为800平方米，此时的值为20． 【分析】（1）依据题意，，从而，再由，且，可得的范围； （2）由（1）的结论，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）依据题意，， ． ，且， ， ； （2）由（1）得，， 又，且， 当时，取最大值为800． 答：最大值为800平方米，此时的值为20． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，解题时要熟知等量关系是关键． 题型方法总结 此类题型结合几何图形性质，以边长为自变量构建面积的二次函数. 解题核心是找准等量关系，明确自变量实际定义域，利用配方法或顶点公式求最值. 易错点为忽略取值范围，直接套用顶点公式导致错解. 【变式1-1】（25-26九年级上•松江区期末）如图，左侧是一把撑开的雨伞，右侧是其直截面示意图，伞面的轮廓可以看作是一条抛物线，在图示的坐标系中，其表达式为，点、在抛物线上，且关于轴对称．若顶点到的距离是1.08分米，那么、两点之间的距离是　 　 分米． 【答案】6． 【分析】先根据题意求出、纵坐标，再把纵坐标代入解析式解方程求出的值即可． 【详解】解：， 顶点的坐标为， ， 顶点到的距离是1.08， 点，的纵坐标为， 把代入得：， 解得，， ，， 、两点之间的距离为（分米）， 故答案为：6． 【点评】本题考查二次函数的应用，关键是求出、坐标． 【变式1-2】（25-26九年级上•上海一模）如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽，碗深，则当满碗汤面的竖直高度下降时，碗中汤面的水平宽度为　 　 ． 【答案】16． 【分析】根据题意得抛物线过点，设抛物线解析式为，代入得，求出，得到抛物线的解析式为，令，求出的值，即可得到答案． 【详解】解：设抛物线解析式为， 由条件可得， ， 抛物线的解析式为， ， 令， 解得， 碗中汤面的水平宽度为， 故答案为：16． 【点评】本题考查了二次函数的应用，求出二次函数解析式是解题的关键． 【变式1-3】（24-25九年级上•闵行区月考）阅读材料： 配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些最值问题，比如：因为，所以就有个最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值1． 请解决下列问题： （1）当　 　 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； （2）当　 　 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； （3）矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度，求：当花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【分析】（1）根据阅读材料即可求解； （2）根据阅读材料即可求解； （3）根据矩形面积公式列出二次函数解析式，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：（1）当时，代数式有最小值为； 故答案为2、小、． （2）代数式 当时，代数式有最大值为5． 故答案为、大、5． （3）设花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为 ，花园的面积为 ．根据题意，得 ，当时，有最大值为32， 答：花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为时，花园的面积最大，最大面积是． 【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是理解最值． 【变式1-4】（24-25九年级上•浦东新区期末）云栖小小的经营者要把如图所示的区域分隔成三个面积相同的商铺出租．已知铺面两面靠墙，墙长分别为8米和30米，三间商铺都在沿街开一个1米宽的门．经营者共用去板材45米（不计损耗）． （1）若三间商铺总面积为，求每间商铺的长和宽分别是多少？ （2）小王作为个体经商户，希望同时租下三间铺面开设不同的商铺，但要求在不增加板材的基础上，使这三间商铺的总面积达到最大．已知商铺的租金为每月每平方米200元，请问小王每月需要付给经营者多少租金？ 【答案】（1）每间商铺的长为10米，宽为6米； （2）小王每月需要付给经营者38400元租金． 【分析】（1）设垂直于墙的一边长米，可得米，根据三间商铺总面积为列出方程，求得合适的解即可； （2）设三间商铺的总面积为平方米，用表示出，根据二次函数的性质可得的最大值，进而可得租金为多少． 【详解】解：（1）设垂直于墙的一边长米，则米， ， 整理得：， 解得：，， 由题意得：， 解得：， ， ． 答：每间商铺的长为10米，宽为6米； （2）设三间商铺的总面积为平方米， ， 抛物线的开口向下，对称轴为：直线， ， 时，最大，最大， （元． 答：小王每月需要付给经营者38400元租金． 【点评】本题考查二次函数的应用．用代数式表示出每个小矩形的长是解决本题的易错点；用含的代数式表示出矩形的总面积是解决本题的关键． 题型二、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【典例1】如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿向点A以的速度移动，动点Q从点C出发，沿向点B以的速度移动．若P、Q两点分别从B、C两点同时出发，当其中一点到达时两点同时停止运动，则的面积S与出发时间t的函数图像大致是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图像，正确得出函数关系式是解题关键．根据题意表示出的面积S与t的关系式，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得， 的面积S随出发时间t的函数关系图像大致是二次函数图像，且开口向下． 故选C． 【典例2】如图1,在长方形中，，，点从点开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别从同时出发，请问： (1)经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)经过几秒时，五边形的面积最小?最小值是多少？ 【答案】(1)2或4 (2) 【分析】本题考查二次函数的应用，根据已知条件列出解析式是解题的关键． （1）设运动时间为秒，则,，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可； （2）由（1）知，，该函数图象开口向下，有最大值，根据顶点坐标公式求出顶点坐标，五边形的面积最小值等于矩形面积减去的面积的最大值，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：设运动时间为秒，则, 则， 即， 解得或 答：经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米； （2）解：设运动时间为秒，则, 则， 当时，有最大值，最大值为， 则五边形的面积最小值为：， 答：经过3秒时,五边形的面积最小，最小值是． 此类题型结合图形平移、对称变换与动点运动，以运动参数为自变量构建函数. 需熟练掌握抛物线变换的坐标规律，动点问题需找准运动边界. 易错点为对称变换时顶点坐标符号计算出错. 【变式1-1】为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：），为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点． 请回答下列问题： （1）________； （2）当时，则的长度为______． 【答案】 13 【分析】（1）如图1，作，在上取点H，使，连接，，，当时，动点Q运动到点H的位置，得到，当点Q运动到点G的时候，最小为81，，再由勾股定理求出m的值； （2）求抛物线的解析式，将代入即可解答． 【详解】解：（1）如图1，过点P作于G，在上取点H，使，连接，，， ∵， ∵当时，动点Q运动到点H的位置， 则由题意和图象可知， 当点Q运动到点G的时候，最小，即：，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ； （2）由（1）得：， ∴，， ， 当时，点Q运动到点B，则， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴抛物线的对称轴是直线， ∴顶点坐标为， 当，即点Q在A点时， ∴， ∴点C的纵坐标为250， 设抛物线的解析式为：， 把代入得：， ， ∴抛物线的解析式为：， 当时，， ∴， ∴（负值舍去）． 【变式1-2】如图，在平行四边形中，，，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿B→A方向运动，动点Q以每秒2个单位长度的速度从点B出发，沿B→C方向运动，动点M以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿C→D→A方向运动．点P、Q、M三点同时出发，当点P到达点A时，点P，Q和M均停止运动，设动点P运动的时间为x秒，的面积为，点M与点D之间的距离为 (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围．(近似值保留小数点后一位，误差不超过0.3) 【答案】(1)， (2)函数图象如图所示： 函数的性质：当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大（答案不唯一） (3)或 【分析】（1）过点P作于点N，根据题意可得，则，结合30度直角三角形的性质表示出，然后利用三角形面积公式即可表示出，进而分点M在上和在上时，分别表示出即可； （2）根据（1）中所求表达式，利用描点法作图即可； （3）根据图象找出的图象在的图象下方时，x的取值范围即可． 【详解】（1）解：如图，过点P作于点N， ∵在平行四边形中，，，， ∴，， 根据题意可得，，则， ∵在中，， ∴， ∴； 当点M在上时，即时，， 当点M在上时，即时，； ∴综上可知：； （2）解：描点如下： x 1 2 3 4 5 6 7 3.5 6 7.5 8 7.5 6 3.5 6 4 2 0 2 4 6 所作函数图象（略）；性质略（答案不唯一）； （3）解：由函数图象，当时，x的取值范围是或． 【变式1-3】如图，中，，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从出发沿边向点以的速度移动，两点同时出发，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为． (1)若两点的距离为时，求的值？ (2)当为何值时，的面积最大？并求出最大面积． 【答案】(1)或2 (2)当为时，的面积最大，最大面积为 【分析】本题主要考查了勾股定理，二次函数的实际应用，一元二次方程的应用： （1）分别用t的代数式表示出线段的长度，利用勾股定理列出方程即可求解； （2）设的面积为，利用（1）中的方法，利用三角形的面积公式列出函数关系式，再利用二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：依题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵两点的距离为， ∴， 解得：或2； （2）解：设的面积为，根据题意得： ， ∴当时，S取得最大值，最大值为9， 即当为时，的面积最大，最大面积为． 题型三、拱桥问题(实际问题与二次函数) 【典例1】（24-25九年级上•静安区期中）有一座拱桥的截面图是抛物线形状，在正常水位时，桥下水面宽20米，拱桥的最高点距离水面为3米，如图建立直角坐标平面，那么此抛物线的表达式为 　 　． 【答案】． 【分析】由函数图象可设该抛物线的解析式是，再结合图象，只需把代入求出的值即可． 【详解】解：该抛物线的解析式是， 由图象知，点在函数图象上，代入得： ， ． 该抛物线的解析式是； 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，能够熟练运用待定系数法求得二次函数的解析式是此题的考查点． 【典例2】（2026•长宁区二模）某地一商场为减少能源消耗，计划为商场外墙与屋顶加建隔热层，加建成本（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式．加建后该商场预计每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式如果设该商场加建隔热层的成本与未来5年的能源消耗费用之和为（万元）． （1）求与的关系式； （2）已知该商场未来5年的相关计划费用（万元）满足，那么当时，求隔热层厚度（厘米）的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据题意可得：，把，代入即可得到与的关系式； （2）把代入，可得，根据，可得关于的不等式组，解不等式组即可求出的取值范围． 【详解】解：（1）根据题意可得：， ，， ， 整理可得：； （2）， ， ， ， 解得：． 【点评】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的应用是解题的关键． 此类题型以抛物线模拟拱桥、隧道截面，解题关键是建立合适的平面直角坐标系，代入已知点求解解析式. 需注意水面宽度对应x的对称取值，结合实际场景验证解的合理性. 【变式1-1】[易错题·水位变化分析]（25-26九年级上•杨浦区期末）已知抛物线形拱桥的横截面示意图，当拱顶离水面4米时，水面宽8米．如图建立平面直角坐标系，如果水面上升3米，那么水面宽度减少　 　 米． 【答案】4． 【分析】依据题意，从图象看，抛物线的顶点为，设抛物线的表达式为，将点的坐标代入上式，可得解析式，然后根据当水面上升3米时，令，求出的值即可判断得解． 【详解】解：由题意，从图象看，抛物线的顶点为， 设抛物线的表达式为， 抛物线过原点，故当时，， ， ． 当水面上升时，令，则． 或． 此时水面宽为（米， 水面宽度减少（米． 故答案为：4． 【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，根据题意确定关键点坐标求出函数表达式，是解题的关键． 【变式1-2】（24-25九年级上•闵行区月考）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系．轴是抛物线的对称轴，顶点到坐标原点的距离为． （1）求抛物线的解析式； （2）如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论． 【分析】（1）根据抛物线在坐标系中的特殊位置，可以设抛物线的一般式，顶点式，求抛物线的解析式． （2）抛物线的实际应用问题中，可以取自变量的值，求函数值． 【详解】解：（1）设抛物线的解析式为， 由对称轴是轴得， ， ， 矩形的长为，宽为，以所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系 ， 又抛物线经过点， ， 解得． 所求抛物线的解析式为：． （2）取，代入（1）所求得的解析式中，得 ， 解得：． 故这辆货运卡车能通过隧道． 【点评】求抛物线解析式有几种方法，因题而异，灵活处理．会找抛物线上几个关键点的坐标，确定抛物线解析式． 【变式1-3】【项目式学习·工程设计】（2026•宝山区二模）【问题背景】 图1是一个矿洞，为了使矿洞更牢固，某工程队想要搭建矩形支撑架． 【数据测量】 图2是矿洞横截面的示意图，截面是轴对称图形，外轮廓线由上方抛物线和下方的矩形组成，矩形的边，，是抛物线的顶点，且点到的距离为，矩形的边、、为支撑架的架骨，点、在边上，点、在抛物线上． 【问题解决】 如图3，工程队以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求顶点的坐标及抛物线的函数表达式； （2）当支撑架为正方形时，求架骨的长； （3）为满足宽为，高为的矿车能够在支撑架内通行（矿车距离上方、两侧支撑架分别需预留的安全距离），求此时的取值范围． 【答案】（1），为； （2）； （3）． 【分析】（1）依据题意得，顶点为，则可设抛物线为，又图象过，进而计算可以得解； （2）由四边形为正方形，则，又设，则，，故，结合在抛物线的图象上，可得，求出后即可得解； （3）依据题意，设，则，故，结合，，从而计算可以得解． 【详解】解：（1）由题意得，顶点为， 可设抛物线为， 又图象过， ． ． 抛物线的表达式为； （2）四边形为正方形， ． 设，则，， ． 又在抛物线的图象上， ． ，（不合题意，舍去）． ； （3）设，则， ． ，， ，即． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用、轴对称图形，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 题型四、销售问题(实际问题与二次函数) 【典例1】（25-26九年级上•浦东新区期中）某商品进价9元，售价10元时可售100件，每涨价1元销量减少10件，设涨价元，利润元，函数关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】先确定涨价后的每件售价、每件利润，再确定涨价后的销售量，最后根据“利润每件利润销售量”列出函数式． 【详解】解：商品原售价为10元，涨价元后，新售价为元， 由题意得利润每件利润销售量， ， 故选：． 【点评】本题考查实际问题与二次函数的应用，解题的关键是明确“利润每件利润销售量”的数量关系． 【典例2】（24-25九年级上•杨浦区期末）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出200件．如每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖5件．设每件商品的售价上涨元，每个月销售利润为元． （1）求与的函数关系式； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）每件商品的售价定在什么范围时，每个月的利润不低于3000元？ 【分析】（1）根据题意可以求得与的函数关系式； （2）根据（1）中函数解析式，将其化为顶点式即可解答本题； （3）根据题意可以得到关于的不等式，从而可以解答本题． 【详解】解：（1）由题意可得， ， 即与的函数关系式是； （2）， 当时，取得最大值，此时，， 答：每件商品售价定为65元时，每个月获得最大利润，最大的月利润是3125元； （3）由题意可得， ， 解得，， 售价定为的范围时，每个月的利润不低于3000元． 【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和方程的思想解答． 此类题型围绕“总利润=单件利润×销售量”构建二次函数. 需理清价格变动与销量的对应关系，准确列写代数式，结合自变量取值范围求最值. 易错点为销量变化的数量关系分析错误. 【变式1-1】（25-26九年级上•浦东新区期中）某商店销售一种商品，进价为每件20元，售价为每件30元时，每天可售出100件．若售价每上涨1元，每天销量减少5件． （1）求利润与售价的函数关系式； （2）售价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）； （2）售价定为35元时利润最大，最大利润1125元． 【分析】（1）根据题意，可得，整理即可获得答案； （2）将二次函数解析式转化为顶点式，根据二次函数的图象与性质，并结合题意，即可获得答案． 【详解】解：（1）； （2） ， ， 当时，取得最大值1125， 答：售价定为35元时利润最大，最大利润1125元． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用——营销利润问题，熟练掌握利润与售价和数量的关系列函数解析式，是解题关键． 【变式1-2】（25-26九年级上•闵行区月考）某商店如果将进货价为每件10元的商品按每件12元出售，每天可销售200件，这种商品如果每涨价一元，其销售量就减少10件． （1）将售价定为每件多少元时，能使这天所获利润达到1200元？ （2）将售价定为每件多少元时，能使这天所获利润最大？最大的利润是多少？ 【答案】（1）把售价定为每件20元或22元能使每天利润达到1200元； （2）将售价定位每件21元时，能使这天可获的利润最大，最大利润是1210元． 【分析】（1）设每件商品的售价定为元，根据总利润单价利润销售量列出关于的方程，进而求出未知数的值； （2）设这天的利润为元，根据总利润单价利润销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值． 【详解】解：（1）设每件商品的售价定为元， 依题意，得：， 整理得：， 解得：，， 把售价定为每件20元或22元能使每天利润达到1200元； （2）设这天的利润为元， 则， ， 当时，有最大值，最大值为1210， 答：将售价定位每件21元时，能使这天可获的利润最大，最大利润是1210元． 【点评】此题考查的是二次函数和一元二次方程在实际生活中的应用．此题难度不大，解题的关键是理解题意，找到等量关系，求得二次函数解析式． 【变式1-3】（24-25九年级上•静安区期中）垃圾分类作为一个公共管理的综合系统工程，需要社会各个层面共同发力，洛阳市某超市计划定制一款家用分类垃圾桶，独家经销．生产厂家给出如下定制方案：不收设计费，定制不超过200套时，每套费用60元；超过200套后，超出的部分8折优惠．已知该超市定制这款垃圾桶的平均费用为56元1套． （1）该超市定制了这款垃圾桶多少套？ （2）超市经过市场调研发现：当此款垃圾桶售价定为80元套时，平均每天可售出20套；售价每降低1元，平均每天可多售出2套．当售价下降多少元时，可使该超市平均每天销售此款垃圾桶的利润最大？ 【答案】（1）该超市定制这款垃圾桶300套．（2）售价下降7元时，平均每天销售此款垃圾桶的利润最大． 【分析】（1）设该超市定制了这款垃圾桶套，根据定制不超过200套时，每套费用60元；超过200套后，超出的部分8折优惠，且已知该超市定制这款垃圾桶的平均费用为56元1套，可得的范围，从而可得关于的方程，求解即可． （2）设售价下降元，平均每天销售此款垃圾桶的利润为元，根据题意得关于的二次函数，将其写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案． 【详解】解：（1）设该超市定制了这款垃圾桶套， ， ． 根据题意，得， 解得． 答：该超市定制这款垃圾桶300套． （2）设售价下降元，平均每天销售此款垃圾桶的利润为元， 根据题意，得， 整理，得 ． ，且， 当时，有最大值． 答：售价下降7元时，平均每天销售此款垃圾桶的利润最大． 【点评】本题主要考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式1-4】服装店购进一批秋衣，价格为每件30元．物价部门规定其销售单价不高于每件70元，经市场调查发现：日销售量（件是销售单价（元的一次函数，且当时，；时，．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元． （1）求出与的函数关系式． （2）求该服装店要想销售这批秋衣日获利750元，售价应定多少元？ （3）请销售单价为多少元时，该服装店日获利最大？最大获利是多少元？ 【分析】（1）根据与成一次函数解析式，设为，把与的两对值代入求出与的值，即可确定出与的解析式，并求出的范围即可； （2）根据利润单价销售量其它费用列出关于的一元二次方程，解之即可； （3）利用二次函数的性质求出的最大值，以及此时的值即可． 【详解】解：（1）设，根据题意得： ， 解得：，， ； （2）； 解得：，， 物价不超过每件70元， 舍去； 答：销售单价为40元时，获利750元． （3）设日获利为， 则， 时，有最大值为2000元 当销售单价为65元时，该服装店日获利最大，为2000元． 【点评】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键． 题型五、投球问题(实际问题与二次函数) 【典例1】（25-26九年级上•徐汇区月考）如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度（米关于水平距离（米的函数解析式，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 　 　米． 【分析】直接利用公式法求出函数的最值即可得出最高点离地面的距离． 【详解】解：函数解析式为：， ． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确记忆最值公式是解题关键． 【典例2】（25-26九年级上•杨浦区期末）在一场篮球赛中，运动员小杨在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线呈抛物线形，当球运行的水平距离为2.5米时，到达最高点，此时球离地面的距离是3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米． （1）如图1建立平面直角坐标系． ①求此抛物线的表达式； ②如果小杨的身高是1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米，那么球出手时，他跳离地面的高度是多少米？ （2）如图2，在这场篮球赛中，另一位运动员小浦跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最高点，此时球离地面的距离是4米，设篮球运行的路线也呈抛物线形，问此球能否投中这个篮圈？ 【答案】（1）①． ②球出手时，他跳离地面的高度为； （2）此球不能投中这个篮圈． 【分析】（1）①依据题意，设抛物线的表达式为．依题意可知图象经过的坐标，由此可得的值； ②设球出手时，他跳离地面的高度为，则可得； （2）依据题意，利用待定系数法求此时球运行抛物线形，然后令，求出与3.05米比较即可得解． 【详解】解：（1）①当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为． 由图知图象过点：． ， ， 抛物线的表达式为． ②设球出手时，他跳离地面的高度为， （1）中求得， 球出手时，球的高度为， ， ． 答：球出手时，他跳离地面的高度为； （2）由题意得，此时顶点为， 可设． 又图象过， ． ． ． 令，则． 此球不能投中这个篮圈． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 此类题型以抛物线模拟球类运动轨迹，已知顶点时优先用顶点式求解. 需结合场景理解水平距离与竖直高度的坐标对应关系，注意落地点隐含的条件. 【变式1-1】（24-25九年级上•青浦区期中）在校运动会上，小华在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为4米时，达到最大高度3米的处，小华此次投掷的成绩是　 　 米． 【答案】10． 【分析】根据题意可知点的坐标为，顶点为，设抛物线的表达式为，将点和点的坐标代入即可求出该抛物线的表达式，最后令，求出此时的值即可． 【详解】解：由题意得：点的坐标为，顶点为． 设抛物线的表达式为，将点的坐标代入得： ， 解得， 抛物线的表达式为， 令，则， 解得或（不合题意，舍去）． 答：小华此次投掷的成绩是10米． 故答案为：10． 【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，解答本题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式． 【变式1-2】如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为，则　 　． 【答案】． 【分析】设抛物线为，把点，代入即可求出解析式；当时，求得的值，即为实心球被推出的水平距离． 【详解】解：设抛物线解析式为：， 把点代入得：， ， ； 当时，， 解得，（舍去），， 即此次实心球被推出的水平距离为． 故答案为：． 【点评】本题考查的是二次函数的实际应用，正确进行计算是解题关键． 【变式1-3】（2025•宝山区二模）投掷实心球是一项重要的体育项目，一般情况下，实心球在空中运动的曲线符合抛物线的一部分．某学生在实心球投掷过程中，监测到球在头部上方出手的瞬间高度是1.8米，水平距离3米时达到最大高度，最大高度为3.2米． （1）如图，以该学生所在直线为轴，球落地的水平距离所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，求该实心球运动时符合的抛物线解析式（不必写出取值范围）； （2）若实心球落地后距离投掷点8.4米以上为满分，通过计算说明这名同学实心球成绩是否达到满分． 【答案】（1）； （2）这名同学实心球成绩不能得满分，计算见解析． 【分析】（1）设抛物线的表达式为，将代入解得即可； （2）令，解得，与8.4比较即可． 【详解】解：（1）由题意，可设抛物线的表达式为， 将代入，得， 解得． 该实心球运动时符合的抛物线解析式为； （2）令， 解得（负值已舍去）， 实心球出手点与着陆点的水平距离为7.5． 这名同学实心球成绩不能得满分． 【点评】本题考查二次函数的应用以及待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式1-4】（25-26九年级上•闵行区月考）甲、乙两人分别站在相距6米的、两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的处发出一球，乙在离地面1.5米的处成功击球，球飞行过程中的最高点与甲的水平距离为4米，现以为原点，直线为轴，建立平面直角坐标系（如图所示）．求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度． 【分析】首先利用函数对称轴以及图象上点的坐标，进而求出解析式，进而得出答案． 【详解】解：由题意得：，，抛物线的对称轴为直线， 设抛物线的表达式为：， 则据题意得：， 解得：， 羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式为：， ， 飞行的最高高度为：米． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【变式1-5】（24-25九年级上•长宁区期中）如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的处射门，已知球门为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式并判断能否射进球门（忽略其他因素）； （2）若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向后方移动 　 　 米射门，才能让足球经过点正上方处． 【答案】（1）抛物线的解析式为：，不能射进球门； （2）1． 【分析】（1）判断出抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，把点的坐标代入可得的值，进而取，求得对应的的值，与2.44比较，即可判断能否射进球门； （2）移动后的抛物线的解析式为：，把代入求得合适的的值即可． 【详解】解：（1）由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为：， 经过点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，， 不能射进球门； （2）设向后方移动，则移动后的抛物线的解析式为：， 经过点， ， ， 或， 解得：，（不合题意，舍去）， 故答案为：1． 【点评】本题考查二次函数的应用．用顶点式表示出二次函数的解析式是解决本题的关键；用到的知识点为：二次函数左右平移，不改变二次项的系数，只改变自变量的值，左加右减． 题型六、喷水问题(实际问题与二次函数) 【典例1】（24-25九年级上•闵行区月考）广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度（米关于水珠和喷头的水平距离（米的函数解析式是，那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（　　） A．1米 B．2米 C．5米 D．6米 【答案】 【分析】根据二次函数的顶点式即可求解． 【详解】解：， 时，取最大值6， 即水珠的高度达到最大6米时，水珠与喷头的水平距离是2米， 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握把二次函数的解析式化为顶点式． 【典例2】（25-26九年级上•浦东新区期末）广场上音乐喷泉中的喷头与地面齐平，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度（米关于水珠与喷头的水平距离（米的函数解析式是．那么水珠从喷出到落地时的水平距离为　 　 米． 【答案】6． 【分析】由题意可知水珠落地时高度，代入二次函数解析式并求解，即可获得答案． 【详解】解：对于函数，令，得， 整理可得， 解得，， 对应喷头位置，可知水珠落地时水平距离为6米． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 此类题型以抛物线模拟喷泉水柱轨迹，多已知喷水口、最高点坐标，优先用顶点式列写解析式. 水柱落地对应，需结合自变量实际范围对求解结果进行合理取舍. 【变式1-1】某学校有一喷水池，如果以喷水口（点所在的铅垂线为轴，相应的地面水平线为轴，1米为单位长度建立直角坐标系，喷出的抛物线形水柱在最高处（点距离轴1米，水柱落地处（点距离轴4米，喷水口距离地面为2米，求抛物线形水柱的最高处距离地面的高度． 【答案】米． 【分析】直接利用待定系数法求出二次函数解析式，化为顶点式即可得出答案． 【详解】解：由已知得点的坐标是，点的坐标是，抛物线对称轴为直线， 设抛物线表达式为：， 则， 解得：， 抛物线的表达式为， 当时，有最大值为， 水抛物线形水柱的最高处距离地面的高度为米． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键． 【变式1-2】（24-25九年级上•奉贤区期中）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度． （1）求抛物线的表达式． （2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头水平距离．身高的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离． 【答案】（1）； （2）或． 【分析】（1）由抛物线顶点，设抛物线的表达式为，用待定系数法可得抛物线的表达式为； （2）当时，，解得或，即得她与爸爸的水平距离为或． 【详解】解：（1）由题意知，抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为，将代入得： ， 解得， ， 答：抛物线的表达式为； （2）当时，， 解得或， 她与爸爸的水平距离为或， 答：当她的头顶恰好接触到水柱时，与爸爸的水平距离是或． 【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题． 题型七、增长率问题(实际问题与二次函数) 【典例1】（25-26九年级上•徐汇区月考）某农机厂四月份生产零件60万个，设该厂第二季度平均每月的增长率为，如果第二季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】设该厂第二季度平均每月的增长率为，则五月份生产零件万个，六月份生产零件万个，根据第二季度共生产零件万个，即可找出与之间的函数关系式． 【详解】解：设该厂第二季度平均每月的增长率为，则五月份生产零件万个，六月份生产零件万个， 依题意得：． 故选：． 【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出与之间的函数关系式是解题的关键． 【典例2】某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为，如果设12月份比10月份多印了万册，那么关于的函数解析式是 　 　 （不写定义域） 【答案】． 【分析】根据10月份的印数表示出12月份的印数即可表示出答案． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了平均增长率的问题，需注意第12月的印数量是在第10个月的印数量的基础上增加的，可以用公式来解题． 复利增长模型，核心公式为“增长后量=基础量×”. 需区分单月量、累计总量、增量的不同表达，累计总量需逐月相加. 易错点为混淆累计量与单期量. 【变式1-1】（24-25九年级上•青浦区期末）某公司10月份产值是120万元，设第四季度每个月产值的增长率相同，均为，如果12月份的产值为万元，那么关于的函数解析式为 　 　 ． 【答案】． 【分析】根据某公司10月份的产值是120万元，如果该公司第四季度每个月产值的增长率相同，都为，12月份的产值为万元，可以得到与的函数关系式，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， ， 故答案为：． 【点评】本题考查根据实际问题列出二次函数关系式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，这是一道典型的增长率问题． 【变式1-2】某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键； 根据连续两次降价，每次降价的百分率为，则两次降价后的价格等于原价乘以的平方． 【详解】解：∵每次降价的百分率都是， ∴第一次降价后价格为， 第二次降价后价格为， ∴， 故选：B． 【变式1-3】某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元． (1)求与的关系式； (2)当时，求今年的总产值为多少万元？ 【答案】(1) (2)当时，今年的总产值为万元． 【分析】（1）利用增长率公式即可找出y关于x的函数关系式； （2）代入，求出y值即可得出结论． 【详解】（1）依题意得：； （2）当时，， 答：当时，今年的总产值为万元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，掌握增长率问题的公式是解题的关键，若起始值为a，经过n年后值为b，设增长率为x，则有． 题型八、其他问题(实际问题与二次函数) 【典例1】航天飞机从某个时间秒开始，其飞行高度为（单位：英尺），对人而言不低于31000英尺时会感觉到失重，则整个过程中能体会到失重感觉的时间为 　秒． 【分析】代入可求出值，两个值做差后即可得出结论． 【详解】解：依题意，得：， 解得：，， 整个过程中能体会到失重感觉的时间为（秒． 故答案为：30． 【点评】本题考查了二次函数的应用，代入求出两个值是解题的关键． 【典例2】 “道路千万条，安全第一条” 刹车系统是车辆行驶安全重要保障，某学习小组研究了刹车距离的影响因素 材料一 反应距离：驾驶员从开始意识危险到踩下刹车的这段时间内，机动车所行驶的距离． 制动距离：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止的这段时间内，机动车所行驶的距离． 材料二 汽车急刹车的停车距为反应距离与制动距离之和，即，而反应距离、制动距离均与汽车行驶的速度 有关，如图是学习小组利用电脑软件模拟出的相关实验数据． 速度 反应距离 制动距离 10 7.5 8 15 10.5 16.2 20 15 32 25 17.5 52 30 22.9 78.1 35 27.1 108.5 40 29.2 123 材料三 经学习小组信息收集得知，汽车的急刹车距离还与汽车本身刹车系数有关，且满足，其中、、意义同材料二，并且不同类型汽车的刹车系数满足． 任务一 ①利用材料二判断最适合描述、分别与的函数关系的是 　 　； ．、 ．、 ．、 ②请你利用当，时的两组数据，计算、分别与的函数关系式． 任务二在某条限速为的道路上，一辆轿车为避险采取急刹车，通过交警判断该车此次急刹车过程的制动距离为，请你利用任务一中的函数关系式，判断该车是否超速？ 任务三某条新建道路要求所有类型的汽车在急刹车时的停车距离至多，试问汽车在该条道路的行驶速度应该限速多少？（精确到 【答案】【任务一】①； ②；； 【任务二】超速，理由见解析； 【任务三】限速． 【分析】（1）①根据材料二分析可选； ②，将，代入可求，，将，代入可求； （2），代入与34作比即可； （3）如果想所有类型的车停车距离均小于，则制动距离应取相同速度下的最高值，故刹车系数取，列式得，计算即可． 【详解】解：（1）①根据材料二发现，随着速度的增大，有减少趋势，越来越大，且非线性变化，选项合适； ②设，将，代入得：， 解得：， ， 设，将，代入得， 解得：， 故； （2）超速，理由： ， 当时， ， 超速； （3）要求所有类型汽车急刹车停车距离至多，取最大刹车系数为， ， 列式得， 解得， 故应限速． 【点评】本题考查一次函数与二次函数求解，判断是否超速可根据最高速度对应的制动距离与实际制动距离进行比较． 此类题型融合物理运动、工程测算等多元场景，以二次函数描述位移、高度等量的变化规律. 解题核心是提取场景关键数据，准确对应变量的实际意义，结合条件求解特定值或范围. 【变式1-1】（25-26九年级上•奉贤区期末）某汽车的紧急刹车距离（米与车速（千米小时）的关系是．如果前方25米处发生了事故，司机驾驶该车紧急刹车避免了碰撞，那么可以推测该车车速不超过　 　 千米小时． 【答案】50． 【分析】求出时的自变量的值即可得出结果． 【详解】解：， 当时，解得（负值舍去）； 故答案为：50． 【点评】本题考查二次函数的实际应用，正确进行计算是解题关键． 【变式1-2】（2025•徐汇区一模）“2022年北京冬奥会”的召开，冰雪运动在中国大地蓬勃发展、滑雪爱好者小楠从山坡滑下，为了得出滑行距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）之间的关系式，测得一些数据（如表） 滑行时间（秒 0 1 2 3 4 滑行距离（米 0 4.5 14 28.5 48 为观察与的之间的关系，以为横轴，为纵轴建立坐标系，描出与上表中数据对应的5个点，并用平滑的曲线连接它们（如图所示），小楠观察发现这条曲线近似抛物线的一部分． （1）由上述信息，设这条曲线的表达式为，求与的函数关系式； （2）若将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移20个单位，求平移后所得抛物线的表达式． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）依据题意，由图象过，，，从而，可得，进而可以判断得解； （2）依据题意，根据（1），从而可得，再结合“左加右减，上加下减”的平移规律，即可判断得解． 【详解】解：（1）由题意，图象过，，， ． ． ． （2）由题意，根据（1）， ． 又将抛物线向右平移2个单位，再向上平移20个单位， 平移后所得抛物线的表达式为，即． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【变式1-3】（2025•金山区二模）请根据以下素材，完成探究任务． 飞行汽车 背景 飞行汽车是一种结合了传统汽车和飞行器功能的交通工具，旨在实现地面行驶与空中飞行的双重模式．它被视为未来城市交通的重要解决方案之一，尤其在缓解交通拥堵和拓展三维交通空间方面具有潜力． 建模 某数学小组运用信息技术模拟飞行汽车飞行过程．如图，以飞行汽车的地面起飞点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．它在起飞后的初始飞行路径呈现抛物线形状，当飞行汽车到达抛物线最高点后下降到点．此时点距离地面0.3千米，保持这个高度以100千米时的速度水平飞行一定距离后到达点，切换到直线下降飞行模式降落至地面点．得到抛物线直线和直线． 任务 （1）若仪表监测到水平飞行时间为0.09小时，此时点距离起飞点的水平距离为10千米，求和的值； （2）若飞行汽车在最高点时，距离起飞点的水平距离为0.4千米．水平飞行了小时到达点后降落，求的取值范围． 【答案】（1），； （2）． 【分析】（1）易得的长度，进而可得点和点的坐标，分别代入二次函数和一次函数可得和的值； （2）易得抛物线的对称轴为0.4，代入二次函数解析式可得的值，取，代入二次函数求得合适的的值，即可求得点的坐标，进而可得用表示的点的坐标，代入一次函数解析式，可得用表示的的代数式，根据的取值范围可得的取值范围． 【详解】解：（1）由题意得：（千米），轴， ，， 把代入得，， 解得：， 把代入得，， 解得：； （2）飞行汽车在最高点时，距离起飞点的水平距离为0.4千米， ， 解得：， ， 当时，， 解得：（舍去），， 点的坐标为， 点的坐标为， 点在直线上， ， ， ， ． 【点评】本题考查二次函数的应用．根据题意得到不同条件下点和点的坐标是解决本题的关键． 【变式1-4】（24-25九年级上•普陀区期中）如图1是一条平直道路，道路限速，路口停车线和路口停车线之间相距，、两路口各有一个红绿灯．在停车线后面停着一辆汽车，该汽车的车头恰好与停车线平齐，已知汽车启动后开始加速，加速后汽车行驶的路程、速度与时间的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图2、3所示．某时刻路口绿灯亮起，该汽车立即启动．（车身长忽略不计） （1）求该汽车从停车线出发加速到限速所需的时间以及最快需要多少时间可以通过停车线． （2）若路口绿灯亮起后路口绿灯亮起，且路口绿灯的持续时间为．该汽车先加速行驶，然后一直匀速行驶．若该汽车在路口绿灯期间能顺利通过停车线，求该汽车匀速行驶过程中速度的取值范围． 【答案】（1）；该汽车最快需要可以通过停车线；（2）． 【分析】（1）先将限速单位化为，根据图3求得，代入求解即可；根据（1）的结论求得加速时间，根据题意求得运算时间，分别求得两段时间内的路程，进而即可求得答案； （2）设该汽车匀速行驶过程中的速度为 ，根据题意根据（1）的方法求得两段路程所用时间，结合题意中绿灯等亮起期间所用时间，分别列出方程，即可该汽车匀速行驶过程中速度的取值范围． 【详解】解：（1）由题意，限速为， 由图3可知，当时，， 设，解得， ， ． 又由图2可知，当时，，且时，， 设， ， 解得， ， 由（1）可知汽车从停车线出发加速到限速所需的时间． 则， 以行驶时间为：， ． 该汽车最快需要可以通过停车线； （2）设该汽车匀速行驶过程中的速度为 ，即求出加速到， 由（1）可得汽车加速到所用的时间为， 则汽车从停车线出发加速到 的路程为，匀速所用的时间为， 根据题意可得当路口绿灯亮起时通过，则， 解得或（舍，经检验是原方程的解， 可得当路口绿灯熄灭时候通过，则， 解得或（舍，经检验是原方程的解， 综上所述，该汽车匀速行驶过程中的速度的范围为． 【点评】本题主要考查了一次函数与二次函数综合，解分式方程，解一元二次方程，理解题意出关系式或方程是解题的关键， 1．如图，矩形中，，动点P从点A出发，以的速度沿线段向点B运动，动点Q同时从点A出发，以的速度沿折线向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是时，的面积是，则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先理解题意，算出以及点在，，线段上的时间，然后分别讨论点在上运动的情况，然后根据面积公式列式，即可求解． 【详解】解：∵矩形中，， ∴， ∵动点P从点A出发，以的速度沿线段向点B运动，动点Q同时从点A出发，以的速度沿折线向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止 ∴ ∵设点P的运动时间是时，的面积是， ∴①当点在上运动时，即： ， 这是开口方向向上的二次函数； ∴②当点在上运动时，即： ； 这是一次函数； ∴③当点在上运动时，即： ， 这是开口方向向下的二次函数； 综上分析可知，选项A中的函数图象符合题意． 2．如图，搭建一座蔬菜大棚，横截面形状为抛物线 （单位：米），施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，已知，则脚手架高为（    ）    A．7米 B．6米 C．5米 D．4米 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用问题，设出点的坐标并代入解析式是解题的关键．设，然后用表示点的坐标，将点坐标代入抛物线解析式求出，从而可得到的值． 【详解】解：，矩形脚手架在大棚正中， 设，，则， 点坐标为， 将代入， 得， 解得或（舍）， ， 故选：B． 3．如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系式为，则该男生此次实心球训练的成绩为（    ） A．5米 B．7米 C．8米 D．9米 【答案】C 【分析】此次实心球训练的成绩就是抛物线与轴交点的横坐标，即当时，求的值即可． 【详解】解：当实心球落地时，， 即， 解得，， 因为水平距离不能为负数， 所以舍去， 则此次实心球训练的成绩为米． 4．某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键； 根据连续两次降价，每次降价的百分率为，则两次降价后的价格等于原价乘以的平方． 【详解】解：∵每次降价的百分率都是， ∴第一次降价后价格为， 第二次降价后价格为， ∴， 故选：B． 5．用长为L米的铁丝围成一个矩形或正方形，则其所围成的最大面积为________平方米． 【答案】/ 【分析】设围成矩形的一边长，根据周长得到邻边长，列出面积关于边长的二次函数，利用二次函数的性质求最大值即可． 【详解】解：设围成矩形的一边长为米，则该矩形邻边长为米，其中， 因此矩形面积为， 因为二次项系数， 所以当时，S取得最大值， 所以所围成的最大面积为平方米． 6．酶是一种生物催化剂，其催化能力称为活性，活性越高，催化反应越快，研究发现酶的活性与温度有密切关系．已知某种酶在一定温度范围内，其活性（单位：U）与温度（单位：）的关系可以近似用函数表示，要使其催化反应最快，则温度应保持在__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质，函数开口向下时，顶点处取得最大值，利用顶点公式求解． 【详解】解：由函数可得，， 顶点横坐标为， 故当温度为时，活性最高，催化反应最快． 故答案为：． 7．某拱桥的主桥拱近似地看作抛物线，桥拱在水面的跨度为长，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，主桥拱所在抛物线可以表示为，则主桥拱最高点P与其在水中倒影点P＇之间的距离为___________米． 【答案】20 【分析】本题考查了二次函数的运用，根据主桥拱所在抛物线的顶点为，根据顶点坐标，对称的性质，两点之间距离的计算方法即可求解． 【详解】解：主桥拱所在抛物线可以表示为， ∴主桥拱所在抛物线的顶点为， ∴倒影点的坐标为， ∴主桥拱最高点与其在水中倒影点之间的距离为， 故答案为：． 8．如图，一辆宽为的货车要通过跨度为，拱高为的单行抛物线形隧道（从正中通过），抛物线满足表达式 ，为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离，则货车的限高应是________m． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的应用，求函数值，理解题意是解题的关键．根据题意，先将代入，求得，然后结合车顶离隧道的顶部至少要有的距离，即可求得答案． 【详解】解：由题意可知，当时，， ∵为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离， ∴货车的限高应是， 故答案为：4． 9．有一根长为的铁丝，把它弯成一个矩形框．当矩形框的长、宽各是多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】 当矩形框的长和宽均为时，矩形面积最大，最大面积是 【分析】先利用矩形周长公式，用长表示出宽，再根据面积公式得到面积关于长的二次函数，最后配方求二次函数的最大值即可，用到矩形周长、面积公式和二次函数的最值性质． 【详解】解：设矩形框的长为，矩形的面积为，已知铁丝总长为，因此矩形框的宽为，可得自变量取值范围为， 根据矩形面积公式得： 二次项系数 当时，取得最大值， 此时矩形的宽为 答：当矩形框的长、宽都为时，矩形面积最大，最大面积是． 10．综合与实践 汕尾市素有“中国青梅之乡”的美誉，青梅种植是本地特色农业产业．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校结合本土特色，计划在校园西侧利用围墙（围墙不限长）和长度为的篱笆，围成一块矩形青梅种植实践基地（如图），用于开展青梅育苗与管护实践活动．该校数学兴趣小组结合实际需求设计了以下两种规划方案（除围墙外，篱笆仅围，，三边，篱笆无浪费），请根据方案完成以下探究． (1)方案一：若限定矩形实践基地的边为，则矩形实践基地的边为______，此时矩形实践基地的面积为______． (2)方案二：若要使围成的矩形实践基地面积最大，设矩形实践基地的边为，则用含的代数式表示边的长度为______；当边为多少米时，矩形实践基地的面积最大？最大为多少？ 【答案】(1)，； (2)，当时，矩形实践基地的面积最大，最大为 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据篱笆的长度直接计算即可； （2）根据二次函数的性质进行解题． 【详解】（1）解：∵篱笆的长度为， ∴， ； 故答案为：，； （2）解：， 设矩形实践基地的面积为， 由题意，得， 当时，有最大值， 即当时，矩形实践基地的面积最大，最大为. 11．排骨藕汤，作为湖北的传统特色美食，以其独特的风味和丰富的营养深受全国人民的喜爱．某商家准备在市场上销售排骨藕汤，市场调查发现：排骨藕汤的成本为每罐45元；若每罐以60元销售，平均每天可销售40罐；价格每降低1元，平均每天多销售10罐；若设每罐降价x元（x为整数），每天的销售量为y罐． (1)直接写出每天销售量y与x之间的函数关系式 ；（不写x的取值范围） (2)若元旦当天，商家销售排骨藕汤的利润为880元，为了让消费者获得更多实惠，该店每罐排骨藕汤的定价为多少元? (3)为了促进市场良性竞争，排骨藕汤的销售单价不得高于56元，不得低于47元，求该商家平均每天销售这种排骨藕汤的最大利润． 【答案】(1) (2)53元 (3)900元 【分析】本题考查一次函数与二次函数的应用，根据已知条件列出函数表达式是解题的关键． （1）根据销售数量与销售单价之间的关系建立等式，得到y与x之间的函数关系式； （2）根据题意列出方程，解方程，从而确定当天的售价； （3）先根据单价确定的取值范围，再列出利润的二次函数表达式，根据二次函数的单调性求解最大值即可． 【详解】（1）解：设每罐降价x元，则平均每天多销售罐， 因此每天的销售量y与x之间的关系式为：， 故答案为：； （2）解：由题意得：， 解得或， 当时，每罐排骨藕汤的定价为元， 当时，每罐排骨藕汤的定价为元， 为了让消费者获得更多实惠， 则每罐排骨藕汤的定价为元； （3）解：根据题意得：， 解得， 设商店销售排骨藕汤的总利润为w元， 则， 由于， 则抛物线开口向下， 由于对称轴为直线，且x为整数， 当或时，w取最大，w的最大值为元， 则该商家平均每天销售这种排骨藕汤的最大利润为900元． 12．将科技元素与农业资源相结合，是推动农业现代化、提升农业生产效率和效益的重要途径．某农田引进了一台移动喷灌机，如图，灌溉机喷出的两条水流具有相同的抛物线形状，而且左、右两条抛物线关于y轴对称．按照图中的平面直角坐标系，左面的一条抛物线可以用表示． (1)求水流的最高点到地面的距离； (2)求左、右两条水流最高点之间的距离． 【答案】(1)水流的最高点到地面的距离为10米 (2)左、右两条水流最高点之间的距离为6米 【分析】（1）将二次函数转化为顶点式进行求解即可； （2）根据点关于轴对称的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流最高点到地面的距离为10米； （2）解：∵左、右两条抛物线关于轴对称， ∴左边抛物线的顶点为，其关于轴的对称点即为右边抛物线的顶点， ∴左、右两条水流最高点之间的距离为：米． 13．如图1，玻璃杯的杯壁轮廓线可以近似地看成某抛物线的一部分，杯口直径，杯底直径，且，以抛物线顶点为原点建立平面直角坐标系（如图2），此时点与轴的距离为，杯底杯壁厚度忽略不计． (1)求抛物线解析式； (2)当倒满水时，求水的深度（与之间的距离）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）设抛物线的解析式为，代入，即可求解． （2）依题意，的横坐标为，将代入解析式，得出的纵坐标，进而根据点与轴的距离为，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，，设抛物线的解析式为， ∴ 解得： ∴抛物线解析式为 （2）解：依题意，的横坐标为 当时， 又∵点与轴的距离为， ∴之间的距离为． ∴当倒满水时，水的深度为． 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 二次函数的实际应用 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型一、图形问题(实际问题与二次函数) 题型二、图形运动问题(实际问题与二次函数) 题型三、拱桥问题(实际问题与二次函数) 题型四、销售问题(实际问题与二次函数) 题型五、投球问题(实际问题与二次函数) 题型六、喷水问题(实际问题与二次函数) 题型七、增长率问题(实际问题与二次函数) 题型八、其他问题(实际问题与二次函数) 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 二次函数实际应用、待定系数法、二次函数最值、销售利润模型、抛物线实物建模、几何面积最值、增长率问题、函数定义域、数形结合 1. 能结合不同实际场景的等量关系列写二次函数关系式，掌握用待定系数法求解实际问题中抛物线解析式的方法。 2. 能运用二次函数的图象与性质，解决生活中的最值类问题（面积最值、利润最值、高度最值等），明确自变量的实际取值范围。 3. 经历将实际问题转化为二次函数模型的过程，提升数学建模与数形结合的能力，体会数学的实际应用价值。 学习重点：1. 根据实际问题中的数量关系建立二次函数模型，列写函数解析式。 2. 利用二次函数的顶点性质求解实际问题中的最值，掌握利润、面积、高度三类经典最值题型的解法。 3. 用待定系数法求解抛物线形实物（拱桥、喷泉、球类轨迹）的解析式，解决对应实际测量、通行判断问题。 学习难点：1. 复杂实际场景中等量关系的提取，准确完成实际问题到二次函数的建模转化。 2. 结合自变量的实际定义域求解二次函数最值，避免忽略限制条件直接套用顶点公式出错。 3. 动态几何、多条件综合类实际问题中的分类讨论与数形结合分析。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 知识点02 二次函数的应用 1. 利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． 2. 几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． 3. 构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 题型一、图形问题(实际问题与二次函数) 【典例1】（25-26九年级上•青浦区期末）等边三角形的周长为，面积为，则面积关于周长的函数解析式为　　 ． 【典例2】（25-26九年级上•上海月考）学校要建一个矩形花圃（如图），其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42米，篱笆长80米．设垂直于墙的边长为米，围成的矩形花圃面积为平方米． （1）求与的函数关系式，写出函数的定义域； （2）围成的矩形花圃面积何时最大？求出此时的值与面积的最大值． 题型方法总结 此类题型结合几何图形性质，以边长为自变量构建面积的二次函数. 解题核心是找准等量关系，明确自变量实际定义域，利用配方法或顶点公式求最值. 易错点为忽略取值范围，直接套用顶点公式导致错解. 【变式1-1】（25-26九年级上•松江区期末）如图，左侧是一把撑开的雨伞，右侧是其直截面示意图，伞面的轮廓可以看作是一条抛物线，在图示的坐标系中，其表达式为，点、在抛物线上，且关于轴对称．若顶点到的距离是1.08分米，那么、两点之间的距离是　 　 分米． 【变式1-2】（25-26九年级上•上海一模）如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽，碗深，则当满碗汤面的竖直高度下降时，碗中汤面的水平宽度为　 　 ． 【变式1-3】（24-25九年级上•闵行区月考）阅读材料： 配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些最值问题，比如：因为，所以就有个最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值1． 请解决下列问题： （1）当　 　 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； （2）当　 　 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； （3）矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度，求：当花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【变式1-4】（24-25九年级上•浦东新区期末）云栖小小的经营者要把如图所示的区域分隔成三个面积相同的商铺出租．已知铺面两面靠墙，墙长分别为8米和30米，三间商铺都在沿街开一个1米宽的门．经营者共用去板材45米（不计损耗）． （1）若三间商铺总面积为，求每间商铺的长和宽分别是多少？ （2）小王作为个体经商户，希望同时租下三间铺面开设不同的商铺，但要求在不增加板材的基础上，使这三间商铺的总面积达到最大．已知商铺的租金为每月每平方米200元，请问小王每月需要付给经营者多少租金？ 题型二、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【典例1】如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿向点A以的速度移动，动点Q从点C出发，沿向点B以的速度移动．若P、Q两点分别从B、C两点同时出发，当其中一点到达时两点同时停止运动，则的面积S与出发时间t的函数图像大致是（   ）    A．   B．   C．   D．   【典例2】如图1,在长方形中，，，点从点开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别从同时出发，请问： (1)经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)经过几秒时，五边形的面积最小?最小值是多少？ 此类题型结合图形平移、对称变换与动点运动，以运动参数为自变量构建函数. 需熟练掌握抛物线变换的坐标规律，动点问题需找准运动边界. 易错点为对称变换时顶点坐标符号计算出错. 【变式1-1】为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：），为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点． 请回答下列问题： （1）________； （2）当时，则的长度为______． 【变式1-2】如图，在平行四边形中，，，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿B→A方向运动，动点Q以每秒2个单位长度的速度从点B出发，沿B→C方向运动，动点M以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿C→D→A方向运动．点P、Q、M三点同时出发，当点P到达点A时，点P，Q和M均停止运动，设动点P运动的时间为x秒，的面积为，点M与点D之间的距离为 (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围．(近似值保留小数点后一位，误差不超过0.3) 【变式1-3】如图，中，，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从出发沿边向点以的速度移动，两点同时出发，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为． (1)若两点的距离为时，求的值？ (2)当为何值时，的面积最大？并求出最大面积． 题型三、拱桥问题(实际问题与二次函数) 【典例1】（24-25九年级上•静安区期中）有一座拱桥的截面图是抛物线形状，在正常水位时，桥下水面宽20米，拱桥的最高点距离水面为3米，如图建立直角坐标平面，那么此抛物线的表达式为 　 　． 【典例2】（2026•长宁区二模）某地一商场为减少能源消耗，计划为商场外墙与屋顶加建隔热层，加建成本（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式．加建后该商场预计每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式如果设该商场加建隔热层的成本与未来5年的能源消耗费用之和为（万元）． （1）求与的关系式； （2）已知该商场未来5年的相关计划费用（万元）满足，那么当时，求隔热层厚度（厘米）的取值范围． 此类题型以抛物线模拟拱桥、隧道截面，解题关键是建立合适的平面直角坐标系，代入已知点求解解析式. 需注意水面宽度对应x的对称取值，结合实际场景验证解的合理性. 【变式1-1】[易错题·水位变化分析]（25-26九年级上•杨浦区期末）已知抛物线形拱桥的横截面示意图，当拱顶离水面4米时，水面宽8米．如图建立平面直角坐标系，如果水面上升3米，那么水面宽度减少　 　 米． 【变式1-2】（24-25九年级上•闵行区月考）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系．轴是抛物线的对称轴，顶点到坐标原点的距离为． （1）求抛物线的解析式； （2）如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论． 【变式1-3】【项目式学习·工程设计】（2026•宝山区二模）【问题背景】 图1是一个矿洞，为了使矿洞更牢固，某工程队想要搭建矩形支撑架． 【数据测量】 图2是矿洞横截面的示意图，截面是轴对称图形，外轮廓线由上方抛物线和下方的矩形组成，矩形的边，，是抛物线的顶点，且点到的距离为，矩形的边、、为支撑架的架骨，点、在边上，点、在抛物线上． 【问题解决】 如图3，工程队以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求顶点的坐标及抛物线的函数表达式； （2）当支撑架为正方形时，求架骨的长； （3）为满足宽为，高为的矿车能够在支撑架内通行（矿车距离上方、两侧支撑架分别需预留的安全距离），求此时的取值范围． 题型四、销售问题(实际问题与二次函数) 【典例1】（25-26九年级上•浦东新区期中）某商品进价9元，售价10元时可售100件，每涨价1元销量减少10件，设涨价元，利润元，函数关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 【典例2】（24-25九年级上•杨浦区期末）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出200件．如每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖5件．设每件商品的售价上涨元，每个月销售利润为元． （1）求与的函数关系式； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）每件商品的售价定在什么范围时，每个月的利润不低于3000元？ 此类题型围绕“总利润=单件利润×销售量”构建二次函数. 需理清价格变动与销量的对应关系，准确列写代数式，结合自变量取值范围求最值. 易错点为销量变化的数量关系分析错误. 【变式1-1】（25-26九年级上•浦东新区期中）某商店销售一种商品，进价为每件20元，售价为每件30元时，每天可售出100件．若售价每上涨1元，每天销量减少5件． （1）求利润与售价的函数关系式； （2）售价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【变式1-2】（25-26九年级上•闵行区月考）某商店如果将进货价为每件10元的商品按每件12元出售，每天可销售200件，这种商品如果每涨价一元，其销售量就减少10件． （1）将售价定为每件多少元时，能使这天所获利润达到1200元？ （2）将售价定为每件多少元时，能使这天所获利润最大？最大的利润是多少？ 【变式1-3】（24-25九年级上•静安区期中）垃圾分类作为一个公共管理的综合系统工程，需要社会各个层面共同发力，洛阳市某超市计划定制一款家用分类垃圾桶，独家经销．生产厂家给出如下定制方案：不收设计费，定制不超过200套时，每套费用60元；超过200套后，超出的部分8折优惠．已知该超市定制这款垃圾桶的平均费用为56元1套． （1）该超市定制了这款垃圾桶多少套？ （2）超市经过市场调研发现：当此款垃圾桶售价定为80元套时，平均每天可售出20套；售价每降低1元，平均每天可多售出2套．当售价下降多少元时，可使该超市平均每天销售此款垃圾桶的利润最大？ 【变式1-4】服装店购进一批秋衣，价格为每件30元．物价部门规定其销售单价不高于每件70元，经市场调查发现：日销售量（件是销售单价（元的一次函数，且当时，；时，．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元． （1）求出与的函数关系式． （2）求该服装店要想销售这批秋衣日获利750元，售价应定多少元？ （3）请销售单价为多少元时，该服装店日获利最大？最大获利是多少元？ 题型五、投球问题(实际问题与二次函数) 【典例1】（25-26九年级上•徐汇区月考）如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度（米关于水平距离（米的函数解析式，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 　 　米． 【典例2】（25-26九年级上•杨浦区期末）在一场篮球赛中，运动员小杨在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线呈抛物线形，当球运行的水平距离为2.5米时，到达最高点，此时球离地面的距离是3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米． （1）如图1建立平面直角坐标系． ①求此抛物线的表达式； ②如果小杨的身高是1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米，那么球出手时，他跳离地面的高度是多少米？ （2）如图2，在这场篮球赛中，另一位运动员小浦跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最高点，此时球离地面的距离是4米，设篮球运行的路线也呈抛物线形，问此球能否投中这个篮圈？ 此类题型以抛物线模拟球类运动轨迹，已知顶点时优先用顶点式求解. 需结合场景理解水平距离与竖直高度的坐标对应关系，注意落地点隐含的条件. 【变式1-1】（24-25九年级上•青浦区期中）在校运动会上，小华在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为4米时，达到最大高度3米的处，小华此次投掷的成绩是　 　 米． 【变式1-2】如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为，则　 　． 【变式1-3】（2025•宝山区二模）投掷实心球是一项重要的体育项目，一般情况下，实心球在空中运动的曲线符合抛物线的一部分．某学生在实心球投掷过程中，监测到球在头部上方出手的瞬间高度是1.8米，水平距离3米时达到最大高度，最大高度为3.2米． （1）如图，以该学生所在直线为轴，球落地的水平距离所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，求该实心球运动时符合的抛物线解析式（不必写出取值范围）； （2）若实心球落地后距离投掷点8.4米以上为满分，通过计算说明这名同学实心球成绩是否达到满分． 【变式1-4】（25-26九年级上•闵行区月考）甲、乙两人分别站在相距6米的、两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的处发出一球，乙在离地面1.5米的处成功击球，球飞行过程中的最高点与甲的水平距离为4米，现以为原点，直线为轴，建立平面直角坐标系（如图所示）．求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度． 【变式1-5】（24-25九年级上•长宁区期中）如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的处射门，已知球门为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式并判断能否射进球门（忽略其他因素）； （2）若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向后方移动 　 　 米射门，才能让足球经过点正上方处． 题型六、喷水问题(实际问题与二次函数) 【典例1】（24-25九年级上•闵行区月考）广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度（米关于水珠和喷头的水平距离（米的函数解析式是，那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（　　） A．1米 B．2米 C．5米 D．6米 【典例2】（25-26九年级上•浦东新区期末）广场上音乐喷泉中的喷头与地面齐平，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度（米关于水珠与喷头的水平距离（米的函数解析式是．那么水珠从喷出到落地时的水平距离为　 　 米． 此类题型以抛物线模拟喷泉水柱轨迹，多已知喷水口、最高点坐标，优先用顶点式列写解析式. 水柱落地对应，需结合自变量实际范围对求解结果进行合理取舍. 【变式1-1】某学校有一喷水池，如果以喷水口（点所在的铅垂线为轴，相应的地面水平线为轴，1米为单位长度建立直角坐标系，喷出的抛物线形水柱在最高处（点距离轴1米，水柱落地处（点距离轴4米，喷水口距离地面为2米，求抛物线形水柱的最高处距离地面的高度． 【变式1-2】（24-25九年级上•奉贤区期中）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度． （1）求抛物线的表达式． （2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头水平距离．身高的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离． 题型七、增长率问题(实际问题与二次函数) 【典例1】（25-26九年级上•徐汇区月考）某农机厂四月份生产零件60万个，设该厂第二季度平均每月的增长率为，如果第二季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【典例2】某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为，如果设12月份比10月份多印了万册，那么关于的函数解析式是 　 　 （不写定义域） 复利增长模型，核心公式为“增长后量=基础量×”. 需区分单月量、累计总量、增量的不同表达，累计总量需逐月相加. 易错点为混淆累计量与单期量. 【变式1-1】（24-25九年级上•青浦区期末）某公司10月份产值是120万元，设第四季度每个月产值的增长率相同，均为，如果12月份的产值为万元，那么关于的函数解析式为 　 　 ． 【变式1-2】某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【变式1-3】某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元． (1)求与的关系式； (2)当时，求今年的总产值为多少万元？ 题型八、其他问题(实际问题与二次函数) 【典例1】航天飞机从某个时间秒开始，其飞行高度为（单位：英尺），对人而言不低于31000英尺时会感觉到失重，则整个过程中能体会到失重感觉的时间为 　秒． 【典例2】 “道路千万条，安全第一条” 刹车系统是车辆行驶安全重要保障，某学习小组研究了刹车距离的影响因素 材料一 反应距离：驾驶员从开始意识危险到踩下刹车的这段时间内，机动车所行驶的距离． 制动距离：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止的这段时间内，机动车所行驶的距离． 材料二 汽车急刹车的停车距为反应距离与制动距离之和，即，而反应距离、制动距离均与汽车行驶的速度 有关，如图是学习小组利用电脑软件模拟出的相关实验数据． 速度 反应距离 制动距离 10 7.5 8 15 10.5 16.2 20 15 32 25 17.5 52 30 22.9 78.1 35 27.1 108.5 40 29.2 123 材料三 经学习小组信息收集得知，汽车的急刹车距离还与汽车本身刹车系数有关，且满足，其中、、意义同材料二，并且不同类型汽车的刹车系数满足． 任务一 ①利用材料二判断最适合描述、分别与的函数关系的是 　 　； ．、 ．、 ．、 ②请你利用当，时的两组数据，计算、分别与的函数关系式． 任务二在某条限速为的道路上，一辆轿车为避险采取急刹车，通过交警判断该车此次急刹车过程的制动距离为，请你利用任务一中的函数关系式，判断该车是否超速？ 任务三某条新建道路要求所有类型的汽车在急刹车时的停车距离至多，试问汽车在该条道路的行驶速度应该限速多少？（精确到 此类题型融合物理运动、工程测算等多元场景，以二次函数描述位移、高度等量的变化规律. 解题核心是提取场景关键数据，准确对应变量的实际意义，结合条件求解特定值或范围. 【变式1-1】（25-26九年级上•奉贤区期末）某汽车的紧急刹车距离（米与车速（千米小时）的关系是．如果前方25米处发生了事故，司机驾驶该车紧急刹车避免了碰撞，那么可以推测该车车速不超过　 　 千米小时． 【变式1-2】（2025•徐汇区一模）“2022年北京冬奥会”的召开，冰雪运动在中国大地蓬勃发展、滑雪爱好者小楠从山坡滑下，为了得出滑行距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）之间的关系式，测得一些数据（如表） 滑行时间（秒 0 1 2 3 4 滑行距离（米 0 4.5 14 28.5 48 为观察与的之间的关系，以为横轴，为纵轴建立坐标系，描出与上表中数据对应的5个点，并用平滑的曲线连接它们（如图所示），小楠观察发现这条曲线近似抛物线的一部分． （1）由上述信息，设这条曲线的表达式为，求与的函数关系式； （2）若将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移20个单位，求平移后所得抛物线的表达式． 【变式1-3】（2025•金山区二模）请根据以下素材，完成探究任务． 飞行汽车 背景 飞行汽车是一种结合了传统汽车和飞行器功能的交通工具，旨在实现地面行驶与空中飞行的双重模式．它被视为未来城市交通的重要解决方案之一，尤其在缓解交通拥堵和拓展三维交通空间方面具有潜力． 建模 某数学小组运用信息技术模拟飞行汽车飞行过程．如图，以飞行汽车的地面起飞点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．它在起飞后的初始飞行路径呈现抛物线形状，当飞行汽车到达抛物线最高点后下降到点．此时点距离地面0.3千米，保持这个高度以100千米时的速度水平飞行一定距离后到达点，切换到直线下降飞行模式降落至地面点．得到抛物线直线和直线． 任务 （1）若仪表监测到水平飞行时间为0.09小时，此时点距离起飞点的水平距离为10千米，求和的值； （2）若飞行汽车在最高点时，距离起飞点的水平距离为0.4千米．水平飞行了小时到达点后降落，求的取值范围． 【变式1-4】（24-25九年级上•普陀区期中）如图1是一条平直道路，道路限速，路口停车线和路口停车线之间相距，、两路口各有一个红绿灯．在停车线后面停着一辆汽车，该汽车的车头恰好与停车线平齐，已知汽车启动后开始加速，加速后汽车行驶的路程、速度与时间的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图2、3所示．某时刻路口绿灯亮起，该汽车立即启动．（车身长忽略不计） （1）求该汽车从停车线出发加速到限速所需的时间以及最快需要多少时间可以通过停车线． （2）若路口绿灯亮起后路口绿灯亮起，且路口绿灯的持续时间为．该汽车先加速行驶，然后一直匀速行驶．若该汽车在路口绿灯期间能顺利通过停车线，求该汽车匀速行驶过程中速度的取值范围． 1．如图，矩形中，，动点P从点A出发，以的速度沿线段向点B运动，动点Q同时从点A出发，以的速度沿折线向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是时，的面积是，则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 2．如图，搭建一座蔬菜大棚，横截面形状为抛物线 （单位：米），施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，已知，则脚手架高为（    ）    A．7米 B．6米 C．5米 D．4米 3．如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系式为，则该男生此次实心球训练的成绩为（    ） A．5米 B．7米 C．8米 D．9米 4．某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 5．用长为L米的铁丝围成一个矩形或正方形，则其所围成的最大面积为________平方米． 6．酶是一种生物催化剂，其催化能力称为活性，活性越高，催化反应越快，研究发现酶的活性与温度有密切关系．已知某种酶在一定温度范围内，其活性（单位：U）与温度（单位：）的关系可以近似用函数表示，要使其催化反应最快，则温度应保持在__________． 7．某拱桥的主桥拱近似地看作抛物线，桥拱在水面的跨度为长，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，主桥拱所在抛物线可以表示为，则主桥拱最高点P与其在水中倒影点P＇之间的距离为___________米． 8．如图，一辆宽为的货车要通过跨度为，拱高为的单行抛物线形隧道（从正中通过），抛物线满足表达式 ，为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离，则货车的限高应是________m． 9．有一根长为的铁丝，把它弯成一个矩形框．当矩形框的长、宽各是多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？ 10．综合与实践 汕尾市素有“中国青梅之乡”的美誉，青梅种植是本地特色农业产业．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校结合本土特色，计划在校园西侧利用围墙（围墙不限长）和长度为的篱笆，围成一块矩形青梅种植实践基地（如图），用于开展青梅育苗与管护实践活动．该校数学兴趣小组结合实际需求设计了以下两种规划方案（除围墙外，篱笆仅围，，三边，篱笆无浪费），请根据方案完成以下探究． (1)方案一：若限定矩形实践基地的边为，则矩形实践基地的边为______，此时矩形实践基地的面积为______． (2)方案二：若要使围成的矩形实践基地面积最大，设矩形实践基地的边为，则用含的代数式表示边的长度为______；当边为多少米时，矩形实践基地的面积最大？最大为多少？ 11．排骨藕汤，作为湖北的传统特色美食，以其独特的风味和丰富的营养深受全国人民的喜爱．某商家准备在市场上销售排骨藕汤，市场调查发现：排骨藕汤的成本为每罐45元；若每罐以60元销售，平均每天可销售40罐；价格每降低1元，平均每天多销售10罐；若设每罐降价x元（x为整数），每天的销售量为y罐． (1)直接写出每天销售量y与x之间的函数关系式 ；（不写x的取值范围） (2)若元旦当天，商家销售排骨藕汤的利润为880元，为了让消费者获得更多实惠，该店每罐排骨藕汤的定价为多少元? (3)为了促进市场良性竞争，排骨藕汤的销售单价不得高于56元，不得低于47元，求该商家平均每天销售这种排骨藕汤的最大利润． 12．将科技元素与农业资源相结合，是推动农业现代化、提升农业生产效率和效益的重要途径．某农田引进了一台移动喷灌机，如图，灌溉机喷出的两条水流具有相同的抛物线形状，而且左、右两条抛物线关于y轴对称．按照图中的平面直角坐标系，左面的一条抛物线可以用表示． (1)求水流的最高点到地面的距离； (2)求左、右两条水流最高点之间的距离． 13．如图1，玻璃杯的杯壁轮廓线可以近似地看成某抛物线的一部分，杯口直径，杯底直径，且，以抛物线顶点为原点建立平面直角坐标系（如图2），此时点与轴的距离为，杯底杯壁厚度忽略不计． (1)求抛物线解析式； (2)当倒满水时，求水的深度（与之间的距离）． 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $