精品解析：河南省鹤壁市2025-2026学年七年级下学期6月期末数学试题

2025-2026学年下期教学质量调研测试 七年级数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，满分120分，考试时间100分钟． 2．考生作答时，将答案涂、写在答题卡上，在本试卷上答题无效． 3．考试结束，交卷时只交答题卡． 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，一元一次方程有（ ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程），逐一判断各式是否符合． 【详解】解①中没有等号，不是含有未知数的等式，不是方程， ①不是一元一次方程； ②是只含一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程，符合定义，②是一元一次方程； ③中含有两个未知数，③不是一元一次方程； ④中未知数最高次数为，④不是一元一次方程； ⑤ 是只含一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程，符合定义，⑤是一元一次方程； ⑥ 是分式方程，不是整式方程，⑥不是一元一次方程． 综上所述，只有②和⑤是一元一次方程，共2个． 故选：A． 2. 2026年6月5日是第55个世界环境日，我国的主题是“全面绿色转型，共建美丽中国”．鹤壁市生态环境局在公共场所设置展板、咨询台，向市民普及垃圾分类、环境污染、生态保护等知识．下列环保标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．不是中心对称图形，不符合题意； C．是中心对称图形，符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 3. 中，，，，下列数轴中表示的a的取值范围，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形三边关系求出的取值范围，即可得出答案． 【详解】∵在中，，，， ∴， ∴． 在数轴上表示为： ． 4. 已知关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的基本性质，解题思路是根据不等号方向的变化判断系数的正负，进而求解的取值范围． 【详解】解：由题意可知原不等式为 ， ∵ 不等式 的解集为 ，不等号方向发生改变， ∴ 根据不等式的性质，不等式两边除以负数时不等号方向改变，可得 ， 解得 ． 5. 下列叙述正确的个数为（　　）． ①三角形的中线、角平分线都是射线； ②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形； ③三角形的三条高交于一点； ④三角形的三条角平分线交于一点． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形的面积、角平分线、中线和高分别对各个结论进行判断即可． 【详解】解：①三角形的中线、角平分线都是线段，故①不正确； ②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形，故②正确； ③三角形的三条高是线段，不一定交于一点，故③不正确； ④三角形的三条角平分线交于一点，故④正确． 6. 若方程组的解是，则方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程组的形式列式求解即可． 【详解】解：方程组的解是， ∴， 解得，， 故选：D ． 7. 学校对美术教室进行改造升级，为了让教室地面更有特色，在选择地砖时选中了一款正八边形地砖．我们在学完“平面图形的镶嵌”后，知道正八边形不能密铺地面，请你再选择一款地砖进行搭配，使其能密铺地面，则可以选择（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平面镶嵌，平面镶嵌的条件是每个顶点处的各多边形内角之和为.正八边形的每个内角为，需找到另一正多边形，其内角能与正八边形内角组合成的整数倍. 【详解】解：正八边形的每个内角为 ； ∵正三角形的内角为，需满足 ，解得 （非整数，不满足）； 正方形的一个内角为，若每个顶点处安排2个正八边形和1个正方形，则内角和为 ，满足条件； 正五边形的一个内角为 ；需满足 ，解得 （非整数，不满足）； 正六边形的一个内角为为 ；需满足 ，解得 （非整数，不满足）； ∴只有正方形能与正八边形组合密铺； 故选B. 8. 《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何”题目大意：“几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱．问合伙人数、物品的价格分别是多少？则以下做法正确的是（ ） ①设合伙人有x人，依题意得： ②设物品的价格为y钱，依题意得： ③设合伙人有x人，物品的价格为y钱，依题意得： A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，对于①根据两段话分别表示出物价，进而可得方程；对于②根据两段对话分别表示出人数，进而可得方程；对于③根据两段话分别建立物价与人数之间的二元一次方程，进而建立方程组即可． 【详解】解：设合伙人有x人，根据每人出8钱，则会多出3钱可知物价为钱，根据每人出7钱，则还少4钱可知物价为钱， ∴，故①正确； 设物品的价格为y钱，根据每人出8钱，则会多出3钱可知有人，根据每人出7钱，则还少4钱可知有人 ∴，故②正确； 设合伙人x有人，物品的价格为y钱，根据每人出8钱，则会多出3钱可得方程，根据每人出7钱，则还少4钱可得方程， ∴，故③正确； 故选：D． 9. 如图，四边形中，点M、N分别在、上，将沿翻折得，若，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行线的性质得出，，再利用翻折变换的性质得出，，进而求出的度数以及得出的度数． 【详解】解：∵，，，， ，， ∵将沿翻折得， ，， ， ． 10. 如图，在中，，现将沿方向平移得到，与交于点，以下说法正确的是（ ） ①当时，点到的距离为线段的长； ②当，时，则； ③四边形与四边形的周长差为； ④四边形与四边形的面积相等． A. ②③④ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据平移的性质逐项判断即可． 【详解】解：由平移可知， ， ， ， 点到的距离为线段的长， 故①错误； 由平移可知，， ， ， ， ， ， ， 故②正确； 由平移可知，，， ，，， 四边形的周长是，四边形的周长是， 四边形的周长是， 四边形的周长是， 四边形与四边形的周长差为， 故③正确； 由平移可知， ， ，， ， 故④正确； 综上所述，说法正确的是②③④． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 根据“x的3倍减去5不大于2”，可列不等式：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：x的3倍为，不大于为， ∴根据“x的3倍减去5不大于2”，可列不等式：． 12. 在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，解得，乙看错了方程组中的，解得，计算________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意列方程求出的值，代入代数式计算即可． 【详解】解：在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，解得，则的解为， ，解得； 在解方程组时，由于粗心，乙看错了方程组中的，解得，则的解为， ，解得； ． 13. 一个正多边形的每一个外角度数为，那么由该正多边形的一个顶点可以引出的对角线的条数为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据任意多边形的外角和为，结合已知外角度数求出正多边形的边数，再根据边形一个顶点引出对角线条数的规律计算即可． 【详解】解：任意多边形的外角和为，该正多边形每个外角为， 该正多边形的边数为， 从边形的一个顶点出发，除去自身及其两个相邻顶点，剩余顶点均可连接得到对角线， 可引出的对角线条数为． 14. 如图，______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、四边形的内角和，连接，令、交于点，由三角形内角和定理得出，再由四边形内角和为即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：连接，令、交于点， ， 由三角形内角和定理可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：． 15. 如图，在直角三角形中，，，，，动点在线段上运动（不与端点重合），点关于边，的对称点分别为、，连接，点在上，则在点的运动过程中，线段长度的最小值是________________． 【答案】 【解析】 【分析】如图：连接，由轴对称的性质可得，即得，可知当时，的值最小，此时的长度也最小，利用三角形的面积求出的最小值即可求解． 【详解】解：如图：连接， ∵点关于边，的对称点分别为，，连接，点在上， ∴，， ∴， ∴， 当时，的值最小，此时的长度最小， 当时，， ∴，解得：， ∴， 即线段长度的最小值是． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 解方程（组）： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得 系数化为1，得； 【小问2详解】 解：整理得：， 由 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 17. 解不等式组：，在数轴上表示它的解集，并求出它的所有整数解的和． 【答案】解集为，所有整数解的和为，数轴表示如图所示： 【解析】 【分析】按照解一元一次不等式组的一般步骤求出不等式组的解集，然后把解集表示在数轴上，并求出不等式组的整数解的和即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：， 数轴表示略， 所有整数解为、、、、， ∴所有整数解的和为：． 18. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别为、，且点在线段的延长线上． （1）求证：； （2）若，求的大小． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得到，再根据平角的性质，最后等量代换即可证明； （2）根据旋转的性质得到，再根据三角形的内角和求出，最后通过等量代换即可求解． 【小问1详解】 证明：∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵点，，在同一直线上， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵的内角和为，， ∴， ∴． 19. 如图，已知点为四边形中边上一点，请用直尺和圆规作出满足下列条件的直线：（保留作图痕迹，不写作法） （1）作一条直线，使得点关于的对称点为； （2）作一条过点的直线，使得线段关于的对称线段落在上． 【答案】（1）如图，直线即为所求； （2）如图，直线即为所求． 【解析】 【分析】（1）连接，作出的垂直平分线即为直线； （2）作出的平分线即为直线． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“自由数”，将一个“自由数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数，新两位数与原两位数的和为，和与的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题： （1）填空：①下列两位数：中，“自由数”为________；②计算：________． （2）如果一个“自由数”的十位数字是，个位数字是，且，请你求出“自由数”． （3）如果一个“自由数”的十位数字是，个位数字是，另一个“自由数”的十位数字是，个位数字是，且满足，请直接写出所有满足条件的的值． 【答案】（1）①；② （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由“自由数”定义及计算方法求解即可； （2）由“自由数”定义及计算方法求解，结合题意列方程求解即可； （3）由“自由数”定义及计算方法求出，结合题意列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：①对调的个位数字与十位数字得到新数不是两位数，故不是“自由数”； 的个位数字与十位数字相同，故不是“自由数”； 对调的个位数字与十位数字得到新两位数，则，和与的商为，所以，故是“自由数”； ②对调的个位数字与十位数字得到新两位数，则，和与的商为，所以； 【小问2详解】 解：由“自由数”定义可得新两位数与原两位数的和为， 和与的商为，则， ， ，解得， 则的十位数字是，个位数字是， “自由数”； 【小问3详解】 解：对于“自由数”，由“自由数”定义可得新两位数与原两位数的和为， 和与的商为，则； 对于“自由数”，由“自由数”定义可得新两位数与原两位数的和为， 和与的商为，则； ， ，解得， ，且， ， 综上所述，， “自由数”的十位数字是， 为正整数， ， ， 则所有满足条件的的值为或． 21. 如图，四边形的内角的平分线与外角的平分线相交于点． （1）若，，求的度数； （2）已知四边形中，，，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平角的定义和角平分线的定义求出的度数，再由平行线的性质可得答案； （2）根据四边形内角和为360度推出，由平角的定义和角平分线的性质得到，再根据三角形外角的性质可得答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形中，，， ∴， ∴， ∴； ∵四边形的内角的平分线与外角的平分线相交于点， ∴， ∵， ∴． 22. 下面是某数学兴趣小组探究用不同方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题． 如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 中招体育考试足球是非常重要的一个项目，某中学为此专门开设了“足球大课间活动”，学校现决定购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，共花费元，已知，求，两种品牌足球的单价各多少元？ 【情境引入】 小明通过查看例题的解析发现：“设种品牌足球的单价为元，则列出一元一次方程：”． （1）根据题意，例题中被覆盖的条件是________（填序号）； ①种品牌足球的单价比种品牌足球的单价低元； ②种品牌足球的单价比种品牌足球的单价高元； （2）小军看了解析后对比发现，二元一次方程组能够更直接地表示出等量之间的关系，从而解决该问题，请你列出方程组并求，两种品牌足球的单价； （3）老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进，两种品牌的足球个，恰逢体育用品商店搞“优惠促销”活动，种品牌的足球单价打折，种品牌的足球单价优惠元．若此次学校购买，两种品牌足球的总费用不超过元，且购买种品牌的足球不少于个，请通过计算，设计一种符合购买要求且节约资金的购买方案． 【答案】（1）② （2）种品牌足球的单价为元．种品牌足球的单价为元 （3）应选择方案：购买种品牌的足球个，种品牌的足球个 【解析】 【分析】（1）根据小明所列的一元一次方程，分析与的含义，结合选项判断被覆盖的条件． （2）设、两种品牌足球的单价分别为元、元，根据“品牌单价比品牌高元”和“购买个、个共花费元”列二元一次方程组，求解方程组得到单价． （3）设购买品牌足球个，则购买品牌足球个，根据“总费用不超过元”和“品牌数量不少于个”列一元一次不等式组，求解得到的取值范围，结合为正整数确定所有购买方案，再分别计算各方案费用，选出费用最低的方案． 【小问1详解】 解：设种品牌足球的单价为元， 方程中，表示种品牌足球的单价， 种品牌足球的单价比种品牌足球的单价高元， 故被覆盖的条件为②． 【小问2详解】 解：设种品牌足球的单价为元，种品牌足球的单价为元， 根据题意，得， 解得， 答：种品牌足球的单价为元．种品牌足球的单价为元； 【小问3详解】 解：设购买种品牌的足球个，则购买种品牌的足球个， 依题意，得， 解得， 又∵为正整数， ∴可以为，，， ∴共有种购买方案， 方案：购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，所需总费用为（元）； 方案：购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，所需总费用为（元）； 方案：购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，所需总费用为（元）； ∵， ∴为了节约资金，学校应选择方案：购买种品牌的足球个，种品牌的足球个． 23. 在综合与实践课上，老师和同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． 【问题情境】在中，于点D． （1）如图①，在中，若，，平分，则_________； 【操作探究】 （2）如图①，若线段沿着翻折，正好落在上，，，试计算的度数，并说明理由； 【拓展探究】 （3）如图②，点M、N分别在线段、上，将折叠，点B落在点F处，点C落在点G处，折痕分别为和，点G、F都在射线上；若，试计算的度数，并直接写出结果． 【答案】（1）5 （2）的度数为，理由如下： ∵线段沿着翻折，正好落在上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）的度数为 【解析】 【分析】（1）由、，根据直角三角形两锐角互余，得．由三角形内角和得，因平分，故，进而可求出的度数； （2）由折叠可知平分，即．由、，得，结合，可得，则； （3）由折叠得，，故．根据三角形外角性质，，，两式相加得．由，代入得． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵，，且平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， 由折叠可得，，， ∴， 由图可得，，， ∵ ， 又∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下期教学质量调研测试 七年级数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，满分120分，考试时间100分钟． 2．考生作答时，将答案涂、写在答题卡上，在本试卷上答题无效． 3．考试结束，交卷时只交答题卡． 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，一元一次方程有（ ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 2026年6月5日是第55个世界环境日，我国的主题是“全面绿色转型，共建美丽中国”．鹤壁市生态环境局在公共场所设置展板、咨询台，向市民普及垃圾分类、环境污染、生态保护等知识．下列环保标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 中，，，，下列数轴中表示的a的取值范围，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 下列叙述正确的个数为（　　）． ①三角形的中线、角平分线都是射线； ②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形； ③三角形的三条高交于一点； ④三角形的三条角平分线交于一点． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 若方程组的解是，则方程组的解是（ ） A. B. C. D. 7. 学校对美术教室进行改造升级，为了让教室地面更有特色，在选择地砖时选中了一款正八边形地砖．我们在学完“平面图形的镶嵌”后，知道正八边形不能密铺地面，请你再选择一款地砖进行搭配，使其能密铺地面，则可以选择（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 8. 《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何”题目大意：“几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱．问合伙人数、物品的价格分别是多少？则以下做法正确的是（ ） ①设合伙人有x人，依题意得： ②设物品的价格为y钱，依题意得： ③设合伙人有x人，物品的价格为y钱，依题意得： A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 9. 如图，四边形中，点M、N分别在、上，将沿翻折得，若，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，现将沿方向平移得到，与交于点，以下说法正确的是（ ） ①当时，点到的距离为线段的长； ②当，时，则； ③四边形与四边形的周长差为； ④四边形与四边形的面积相等． A. ②③④ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 根据“x的3倍减去5不大于2”，可列不等式：________． 12. 在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，解得，乙看错了方程组中的，解得，计算________． 13. 一个正多边形的每一个外角度数为，那么由该正多边形的一个顶点可以引出的对角线的条数为________． 14. 如图，______度． 15. 如图，在直角三角形中，，，，，动点在线段上运动（不与端点重合），点关于边，的对称点分别为、，连接，点在上，则在点的运动过程中，线段长度的最小值是________________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 解方程（组）： （1）； （2）． 17. 解不等式组：，在数轴上表示它的解集，并求出它的所有整数解的和． 18. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别为、，且点在线段的延长线上． （1）求证：； （2）若，求的大小． 19. 如图，已知点为四边形中边上一点，请用直尺和圆规作出满足下列条件的直线：（保留作图痕迹，不写作法） （1）作一条直线，使得点关于的对称点为； （2）作一条过点的直线，使得线段关于的对称线段落在上． 20. 定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“自由数”，将一个“自由数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数，新两位数与原两位数的和为，和与的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题： （1）填空：①下列两位数：中，“自由数”为________；②计算：________． （2）如果一个“自由数”的十位数字是，个位数字是，且，请你求出“自由数”． （3）如果一个“自由数”的十位数字是，个位数字是，另一个“自由数”的十位数字是，个位数字是，且满足，请直接写出所有满足条件的的值． 21. 如图，四边形的内角的平分线与外角的平分线相交于点． （1）若，，求的度数； （2）已知四边形中，，，求的度数． 22. 下面是某数学兴趣小组探究用不同方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题． 如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 中招体育考试足球是非常重要的一个项目，某中学为此专门开设了“足球大课间活动”，学校现决定购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，共花费元，已知，求，两种品牌足球的单价各多少元？ 【情境引入】 小明通过查看例题的解析发现：“设种品牌足球的单价为元，则列出一元一次方程：”． （1）根据题意，例题中被覆盖的条件是________（填序号）； ①种品牌足球的单价比种品牌足球的单价低元； ②种品牌足球的单价比种品牌足球的单价高元； （2）小军看了解析后对比发现，二元一次方程组能够更直接地表示出等量之间的关系，从而解决该问题，请你列出方程组并求，两种品牌足球的单价； （3）老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进，两种品牌的足球个，恰逢体育用品商店搞“优惠促销”活动，种品牌的足球单价打折，种品牌的足球单价优惠元．若此次学校购买，两种品牌足球的总费用不超过元，且购买种品牌的足球不少于个，请通过计算，设计一种符合购买要求且节约资金的购买方案． 23. 在综合与实践课上，老师和同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． 【问题情境】在中，于点D． （1）如图①，在中，若，，平分，则_________； 【操作探究】 （2）如图①，若线段沿着翻折，正好落在上，，，试计算的度数，并说明理由； 【拓展探究】 （3）如图②，点M、N分别在线段、上，将折叠，点B落在点F处，点C落在点G处，折痕分别为和，点G、F都在射线上；若，试计算的度数，并直接写出结果． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $