专题9.4 用样本估计总体（举一反三专项训练）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

专题9.4 用样本估计总体（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 百分位数的求解】 1 【题型2 平均数、众数、中位数的求解】 2 【题型3 频率分布直方图中的平均数、众数、中位数、百分位数】 4 【题型4 方差的求解】 7 【题型5 分层抽样中的方差问题】 10 【题型6 其他统计图表中反映的集中趋势与离散程度】 11 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 C组 真题·实战演练 【题型1 百分位数的求解】 1．（2026·青海·模拟预测）若一组数据按照从小到大的顺序排列为5，5，7，9，9，11，则该组数据的第55百分位数为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】C 【解题思路】根据百分位数的定义计算即得. 【解答过程】因为， 所以该组数据的第55百分位数为按从小到大的顺序排列的第4个数，即9． 故选：C. 2．（2026·广东·模拟预测）已知一组数据的分位数为3，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】根据的情况，分类讨论，利用百分位数的定义即可求解. 【解答过程】若，则其分位数为； 若，则分位数为；若，则分位数为3； 若，则分位数为； 若，则分位数为， 综上，. 故选：C. 3．（2026·甘肃武威·模拟预测）某汽车零件质检员对一批汽油机电火花零件进行质检，记录的数据（单位：毫米）为3.56，3.58，3.59，3.95，4.03，则这5个数据的第60百分位数为（   ） A．3.58 B．3.59 C．3.76 D．3.77 【答案】D 【解题思路】根据题意结合百分位数的定义计算求解. 【解答过程】因为，所以这5个数据的第60百分位数为. 故选：D. 4．（2026·安徽合肥·模拟预测）某数学学习兴趣小组8名同学，在一次数学素质拓展测试中的得分如下：.这8名同学成绩得分的第60百分位数是（    ） A．131 B．132 C．133 D．134 【答案】C 【解题思路】根据百分位数的定义易得答案. 【解答过程】因，则这8名同学成绩得分的第60百分位数是从小到大第5个数，即133. 故选：C. 【题型2 平均数、众数、中位数的求解】 5．（2026·江西新余·模拟预测）芳芳高考前5次数学模拟成绩分别为：126，135，142，132，145，则其平均数为（    ） A．132 B．134 C．136 D．138 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用平均数公式计算得解. 【解答过程】126，135，142，132，145的平均数为. 故选：C. 6．（2026·河北张家口·一模）数据2，3，8，5，4，2的中位数和平均数分别为（   ） A．3.5和2 B．3和4 C．4和2 D．3.5和4 【答案】D 【解题思路】利用中位数和平均数的计算公式即可求解. 【解答过程】将数据2，3，8，5，4，2按照从小到大的顺序排列为：2，2，3，4，5，8， 所以中位数为； 平均数为. 故选：D. 7．（2026·福建·三模）已知样本数据7，8，9，10，a的平均数为8，则该样本的中位数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解题思路】根据样本数据的平均数得出，再用中位数的定义计算求解. 【解答过程】样本数据7，8，9，10，a的平均数为8， 则，所以， 则样本数据从小到大排列， 则该样本的中位数为. 故选：B. 8．（2026·辽宁·二模）某同学测得连续天的最低气温（均为整数）分别为，，，，，，（单位：），若这组数据的平均数与中位数相等，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出平均数，对的取值进行分类讨论，求出这组数据的中位数，根据题意可得出关于的等式，解之即可. 【解答过程】这组数据的平均数为， 除外，将剩余的个数据由小到大排列依次为，，，，，， 若，则这组数据的中位数为， 若，同理可知，这组数据的中位数也为， 因为这组数据的中位数和平均数相等，故，解得. 故选：B. 【题型3 频率分布直方图中的平均数、众数、中位数、百分位数】 9．（2026·山东威海·三模）某校从高二年级随机抽取部分学生参加交通安全知识测试，所得成绩的频率分布直方图如图所示，则可估计该校高二年级学生的交通安全知识测试成绩的中位数为（    ） A．87.5 B．85 C．82.5 D．80 【答案】C 【解题思路】由中位数的定义，列出方程计算可得到结果. 【解答过程】成绩落在的频率为， 成绩落在的频率为， 成绩落在的频率为， 因为，， 所以中位数落在内， 设中位数为，则，解得， 故选：C. 10．（2026·甘肃·模拟预测）杜老师随机抽取了本校参加市一模的100名学生的数学成绩（单位：分），并将成绩整理成如图的频率分布直方图，估计这100名学生市一模的数学成绩的第65百分位数约为（   ） A．120.5 B．121.7 C．123.3 D．125 【答案】B 【解题思路】由频率分布直方图中所有矩形面积和为1求得a的值，则可写出各区间的频率。由频率判断第65百分位数所在的区间，然后设其为值为x，利用x以左的所有面积和为0.65解得x的值即可。 【解答过程】，解得：， ∴，， 各组的频率为 ， ， ， . ∵，， ∴第65百分位数在区间内， 设第65百分位数为x，则， ∴， 故第65百分位数约为121.67. 故选：B. 11．（2026·湖北武汉·二模）某批产品检验后的评分，由统计结果制成如图所示的频率分布直方图， 下列说法中正确的是（    ） A． B．评分的众数估值为70 C．评分的第25百分位数估值为67.5 D．评分的平均数估值为76 【答案】C 【解题思路】根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，求出，再根据平均数、百分位数及众数的计算规则计算可得. 【解答过程】由题意：， 解得，A错误， 所以平均数为，故D错误； 众数为，故B错误； 因为，第百分位数估计为，故C正确； 故选：C. 12．（2026·陕西西安·一模）某校组织1000名学生参加“新中国成立75周年”知识竞赛，经统计这1000名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，根据图中数据，下列结论正确的是（   ） A．1000名学生成绩的平均数是77 B．成绩不低于80分的学生所占比例为40% C．用分层抽样从该校学生中抽取容量为100的样本，则应在内抽取30人 D．这1000名学生成绩的第50百分位数是80 【答案】D 【解题思路】利用频率分布直方图估计平均数判断A；计算不低于80分的频率和判断B；利用分层抽样的特点计算判断C；求出第50百分位数判断D. 【解答过程】对于A，由频率分布直方图，得1000名学生成绩的平均数是 ，A错误； 对于B，成绩不低于80分的学生频率为，成绩不低于80分的学生所占比例为，B错误； 对于C，由分层抽样特点得，则应在内抽取人 ，C错误； 对于D， 1000名学生成绩的第50百分位数即中位数为80，D正确. 故选：D. 【题型4 方差的求解】 13．（2026·云南·模拟预测）数据的方差为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求出平均数，代入方差公式，即可得答案. 【解答过程】由题意， 则 故选：B. 14．（2026·陕西安康·模拟预测）已知一组数据的平均数为，方差为，则数据的（   ） A．平均数为 B．平均数为 C．方差为 D．方差为 【答案】D 【解题思路】根据线性变换后的均值与方差的变化规律，计算后逐项判断可解. 【解答过程】由题知，则，故AB均错误； ，则，故C错误，D正确. 故选：D. 15．（2026·湖北十堰·模拟预测）若一组数据的平均值，方差，若删去一个数之后，平均值没有改变，方差变为40，则这组数据的个数（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【解题思路】由题意得到删除的数为5，再利用方差公式求解. 【解答过程】由题意得到删去一个数之后，平均值没有改变，所以删除的数为5， 由题意 ，得， 删除一个数后的方差为：， 得 ，即． 故选：A. 16．（2026·湖北黄冈·二模）四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数5的是（    ） A．平均数为4，中位数为3 B．中位数为4，众数为3 C．中位数为4，方差为2 D．平均数为3，方差为3 【答案】D 【解题思路】根据平均数、中位数、众数、方差的定义和性质，逐一分析每个选项，判断是否一定没有出现点数. 【解答过程】对应选项，平均数为，中位数为.设这次掷骰子的点数从小到大排列为. 根据平均数的计算公式，可得. 当，，，时满足条件，所以有可能出现点数，A选项错误. 对应B选项，中位数为，众数为. 设这次掷骰子的点数从小到大排列为.因为众数为，所以至少出现次，若，，时满足条件，所以有可能出现点数，B选项错误. 对于C选项,中位数为，方差为. 设这次掷骰子的点数从小到大排列为. 若，，，时，平均数. 方差 ，满足条件，所以有可能出现点数，C选项错误. 对于D选项,平均数为，方差为. 设这次掷骰子的点数分别为. 根据平均数公式可得，即. 根据方差公式，则. 若假设出现点数，不妨设，则 . 则.则. 展开变形，得到， 即，解得， 因为，所以中不能有. 由，不妨令， 则所有可能取值为： ， 因为； ； ； ； ； ； 综上，不存在，使得且. 故假设错误，不会出现点数.D选项正确. 故选：D. 【题型5 分层抽样中的方差问题】 17．（2026·甘肃白银·模拟预测）某单位举办了一次学习强国知识竞赛（满分：100分），参加竞赛的职工共有30人，竞赛得分的总平均值和方差分别是90和5.7，其中男职工得分的平均值和方差分别是88和2，女职工得分的平均值为92，则女职工得分的方差为（    ） A．1.2 B．1.4 C．1.6 D．2 【答案】B 【解题思路】首先求出男女职工的人数，继而根据方差公式，即可求出答案. 【解答过程】设男职工人数为m，女职工人数为n，则， 又总平均数为90，故，解得； 设为总平均数，则，设女职工得分的方差为， 根据方差性质有， 即得， 解得， 故选：B. 18．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期末）建设“书香校园”成为越来越多学校的办学追求.在对某高中1000名高一年级学生的图书馆借阅量的调查中，已知这1000名高一年级学生中男生有600人，采用分层随机抽样的方法抽取100人，抽取的样本中男生借阅量的平均数和方差分别为5和6，女生借阅量的平均数和方差分别为10和6，则估计该校学生借阅量的总体方差是（   ） A．7 B．8 C．12 D．13 【答案】C 【解题思路】先根据分层抽样计算出抽取人中男生、女生的比例，然后根据总体方差的计算公式求得正确答案. 【解答过程】名高一学生，男生人，则女生人， 所以抽取的人中，男生人，女生人， 总体平均数为， 所以总体方差为. 故选：C. 19．（2026·吉林长春·一模）为了解小学生每天的户外运动时间，某校对小学生进行平均每天户外运动时间（单位：小时）的调查，采用样本量按比例分配的分层随机抽样.如果不知道样本数据，只知道抽取了三年级及以下学生40人，其平均数和方差分别为2.5和1.65，抽取了四年级及以上学生60人，其平均数和方差分别为1.5和3.5，则估计该校学生平均每天户外运动时间的总体方差为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【解题思路】根据平均数和方差的公式计算. 【解答过程】抽取了三年级及以下学生40人，其平均数和方差分别为，， 抽取了四年级及以上学生60人，其平均数和方差分别为，， 设抽取的总体样本的平均数为和方差为， 则， . 故选：C. 20．（2026·辽宁葫芦岛·二模）某地为了了解学生的睡眠时间，根据初中和高中学生的人数比例采用分层抽样，抽取了40名初中生和20名高中生，调查发现初中生每天的平均睡眠时间为8小时，方差为2，高中生每天的平均睡眠时间为7小时，方差为1.根据调查数据，估计该地区中学生睡眠时间的总体方差约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，求出该地区中学生每天睡眠时间的平均数，再利用分层抽样方差的计算方法求得结果. 【解答过程】该地区中学生每天睡眠时间的平均数为：（小时）， 该地区中学生每天睡眠时间的方差为：. 故选：D. 【题型6 其他统计图表中反映的集中趋势与离散程度】 21．（2026·山东·模拟预测）据国家统计局统计，我国2018-2022年服务业增加值及其增长速度的数据如图所示，则下列说法错误的是（   ） A．这5年我国的服务业增加值逐年增加 B．这5年我国的服务业增加值的增长速度的极差为6.6% C．2021年我国比上一年增加的服务业增加值比2019，2020这两年比上一年增加的服务业增加值的和小 D．这5年我国的服务业增加值的增长速度的40%分位数为4.75% 【答案】C 【解题思路】A. 由统计图直接判断；B.利用极差的定义判断；C.由统计图，计算增加值比较判断；D.百分位数定义求解判断. 【解答过程】由统计图可知这5年我国的服务业增加值逐年增加，故A正确； 这5年我国的服务业增加值的增长速度的极差为8.5%-1.9%=6.6%，故B正确； 2019年我国比上一年增加的服务业增加值为（亿元）， 2020年我国比上一年增加的服务业增加值为（亿元）， 2021年我国比上一年增加的服务业增加值为（亿元）， 因为（亿元），故C错误； 将这5年我国的服务业增加值的增长速度从小到大排序为， 因为， 所以这5年我国的服务业增加值的增长速度的分位数为，故D正确． 故选：C. 22．（2026·上海普陀·模拟预测）某机构对2014年至2023年的中国新能源汽车的年销售量进行了统计，结果如图所示（单位：万辆），则下列结论中正确的是（    ） A．这十年中国新能源汽车年销售量的中位数为123 B．这十年中国新能源汽车年销售量的极差为721 C．这十年中国新能源汽车年销售量的第70百分位数为136.6 D．这十年中的前五年的年销售量的方差小于后五年的年销售量的方差 【答案】D 【解题思路】由图表提取数据并按照由小到大排列，根据中位数、极差与百分位数定义，结合方差的性质，可得答案. 【解答过程】由图可得数据为：， 对于A，这十年中国新能源汽车年销售量的中位数为，故A错误； 对于B，这十年中国新能源汽车年销售量的极差为，故B错误； 对于C，由，则这十年中国新能源汽车年销售量的第70百分位数为，故C错误； 对于D，由图表易知前五年的数据比后五年的数据稳定，则前五年的方差小于后五年的方差，故D正确. 故选：D. 23．（2026·福建泉州·三模）甲、乙两个跑步爱好者利用微信运动记录了去年下半年每个月的跑步里程（单位：公里），现将两人的数据绘制成如图所示的折线图，则下列结论中正确的是（   ） A．乙跑步里程的极差等于31 B．甲跑步里程的中位数是245 C．分别记甲乙下半年每月跑步里程的标准差为，，则 D．分别记甲、乙下半年每月跑步里程的平均数为，，则 【答案】C 【解题思路】根据极差，中位数以及平均数的计算公式即可求解ABD，根据方差的性质即可求解C. 【解答过程】对于A，乙跑步里程的极差为，故A错误； 对于B，甲跑步里程的中位数为，故B错误； 对于D，甲跑步里程的平均数为， 乙跑步里程的平均数为， ，故D错误； 根据折线图可知，甲的波动大，乙的波动小，，故C正确． 故选：C． 24．（2026·四川达州·二模）下图是某地区2016-2023年旅游收入(单位:亿元)的条形图，则下列说法错误的是（    ）    A．该地区2016-2019年旅游收入逐年递增 B．该地区2016-2023年旅游收入的中位数是4.30 C．经历了疫情之后，该地区2023年旅游收入恢复到接近2018年水平 D．该地区2016-2023年旅游收入的极差是3.69 【答案】B 【解题思路】根据中位数、极差的定义即可判断BD；结合图形，分析数据即可判断AC. 【解答过程】A：由图可知该地区2016-2019年旅游收入逐年递增，故A正确； B：由图可知，2016-2023年旅游收入的中位数为亿元，故B错误； C：从图表可知2023年旅游收入为4.91亿元，接近2018年的5.13亿元，故C正确； D：2016-2023年旅游收入的极差是亿元，故D正确. 故选：B. 一、单选题 1．（2026·全国·模拟预测）一个数学小组的数学成绩为，则这组数据的下四分位数为（    ） A．90 B．90.5 C．94.5 D．94 【答案】B 【解题思路】本题考查下四分位数的计算．下四分位数也称为第25百分位数，计算时先将数据从小到大排序，然后根据数据个数计算位置，若为整数，则下四分位数是第项与第项数据的平均值；若不是整数，将向上取整，下四分位数是该位置的数据． 【解答过程】将数据从小到大排序：，数据个数． 下四分位数的位置， 由于是整数，下四分位数是第项与第项数据的平均值，即第2项和第3项数据的平均值：． 故选：B． 2．（2026·河北沧州·模拟预测）已知2025年月全国房地产开发景气指数依次为，则这7个数据的中位数是（    ） A．93.92 B．93.87 C．93.82 D．93.70 【答案】D 【解题思路】将所给的数据按照从小到大顺序排列，按照中位数的定义即可判断. 【解答过程】这7个数据按照从小到大排列依次为，中位数是第4个数93.70. 故选：D. 3．（2026·江苏南通·模拟预测）一组从小到大排列的数据：1，2，3，4，6，8，x，18，22，23．若它们的70百分位数是中位数的两倍，则x的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．14 【答案】A 【解题思路】根据数据个数确定中位数和70百分位数的位置，再结合他们之间的关系求解的值. 【解答过程】该组数中位数为，70百分位数为，所以，故. 故选：A. 4．（2026·广东江门·模拟预测）2025年1~8月份广东省工业机器人、服务机器人、民用无人机、风力发电机组、太阳能电池、新能源汽车产品产量分别增长，则该组数的分位数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】应用百分位数的求法求数据的分位数. 【解答过程】由题设，而数据从小到大为， 所以该组数的分位数为其中第5个数据，即. 故选：B. 5．（2026·广东广州·模拟预测）某学校高三学生共有900人，其中男生500人，为获取该校高三学生的身高信息，现采用按性别比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为90的样本.计算得男生样本的身高均值为170，方差为19，女生样本的身高均值为161，方差为19，则下列说法正确的是（    ） A．抽取男生的样本量为40 B．估计该校高三学生身高的均值为165 C．抽样时女生甲被抽到的概率为 D．估计该校高三学生身高的方差为19 【答案】C 【解题思路】应用分层抽样判断A，应用分层抽样的均值及方差计算判断B，D，再应用分层抽样的概率计算判断C. 【解答过程】某学校高三学生共有900人，其中男生500人，采用按性别比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为90的样本. 则抽取男生的样本量为，A选项错误； 男生样本的身高均值为170，方差为19，女生样本的身高均值为161，方差为19， 则估计该校高三学生身高的均值为，B选项错误； 抽样时女生甲被抽到的概率为，C选项正确； 估计该校高三学生身高的方差为，D选项错误； 故选：C. 6．（2026·四川成都·模拟预测）棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标.在一批棉花中随机抽测了400根棉花纤维的长度（单位：），整理得到下表数据： 纤维长度（） 频数 30 40 60 120 100 50 根据表中数据，关于对样本数据的分析，下列结论中正确的是（   ） A．棉花纤维的长度的极差估计值大于 B．棉花纤维中，其长度低于的棉花纤维数占三分之一 C．棉花纤维的长度的中位数估计值介于至之间 D．棉花纤维的长度的平均值估计值介于至之间 【答案】C 【解题思路】通过题目数据计算频数、极差、中位数、平均值，逐项分析即可. 【解答过程】根据表中数据，这400根棉花纤维的长度的极差估计值不超过，选项A错误； 纤维长度低于的棉花纤维数占比为，选项B错误； 由于纤维长度小于200的纤维数量为130，纤维长度不低于250的纤维数量为150， 可知这400根棉花纤维的长度的中位数估计值介于至之间，选项C正确； 400根棉花纤维的长度的平均值估计值为 ， 选项D错误. 故选：C. 7．（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）给定一组数据：，，，…，．下列说法正确的是（    ）． A．这组数据的极差为 B．这组数据的中位数小于 C．这组数据的平均数 D．这组数据的方差为 【答案】D 【解题思路】通过举反例易于排除A，B，C项，对于D，利用方差计算公式进行和式展开再重组合并即得. 【解答过程】对于A，因这组数据间的大小关系不清楚，故无法确定极差，故A错误； 对于B，若这组数据，，，…，是从大到小排列，则这组数据的中位数必不小于故B错误； 对于C，若这组数据为，则这组数据的平均数为， 而，此时有，故C错误； 对于D，这组数据的方差为 ，故D正确. 故选：D. 8．（2026·湖南长沙·二模）国际学生评估项目测试是世界经济合作与发展组织对各国中学生阅读、数学、科学能力评价测试．从年开始，每年进行一次测试评估．在评估研究时将测试成绩按一定规则转换成等级赋分，赋分范围是至分，如图是年的某地中学生参加阅读测试后用赋分数据绘制成的不完整频率分布直方图．根据图中数据，下面说法正确的是（   ） A．该地学生成绩的中位数一定大于 B．该地学生成绩的平均数一定小于 C．该地学生成绩的极差介于至之间 D．该地学生成绩没有超过分的学生所占比例为 【答案】C 【解题思路】利用中位数的定义可判断A选项；利用平均数公式可判断B选项；利用极差的定义可判断C选项；利用频率分布直方图可判断D选项. 【解答过程】对于选项A，分数在的频率为，分数在的频率为， 分数在的频率为，分数在的频率为，分数在的频率为， 由图知，，所以分数在的频率为， 且，， 所以中位数在之间，但不一定大于，所以选项A错误； 对于选项B，由题意可知，分数在的频率为， 所以该地学生成绩的平均数为 ， 由图可知，所以，所以选项B错误； 对于选项C，设学生成绩的最低分为，最高分为，则，， 由不等式的基本性质可得，故学生成绩的极差介于至之间，所以选项C正确； 对于选项D，由选项A知，学生成绩没有超过分的学生所占比例为，所以选项D错误． 故选：C. 二、填空题 9．（2025·甘肃·模拟预测）已知一组数据的平均数为6，则的值是__________. 【答案】6 【解题思路】根据平均数公式列式求解即可. 【解答过程】因为数据的平均数为6， 所以，即. 所以的值是 故答案为：6. 10．（2026·四川眉山·模拟预测）某电商平台统计了10款同类型耳机的月销量（单位：件），按从小到大排序后为180，200，230，250，280，300，320，350，380，400，则这组数据的第70百分位数是__________. 【答案】335 【解题思路】根据百分位数的定义计算即可. 【解答过程】因为，所以这组数据的第70百分位数是. 故答案为：335. 11．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知一组数据按从小到大的顺序排列为，若该组数据的第60百分位数与这组数据的中位数相等，则实数的值为__________. 【答案】6 【解题思路】计算出这组数据的第60百分位数和中位数，根据题意可得答案. 【解答过程】因为，所以这组数据的第60百分位数是， 又这组数据的中位数为，所以，得. 所以实数的值为6. 故答案为：6. 12．（2026·四川泸州·模拟预测）已知数据的平均数是4，数据的平均数是20，则，的方差为__________. 【答案】16 【解题思路】先求出数据的方差后再利用方差的性质可得新数据的方差. 【解答过程】数据的方差， 所以数据的方差为. 故答案为：. 一、单选题 1．（2026·江西·三模）某产品的标准质量是100克/袋，抽取该产品8袋，称出各袋的质量（单位：克）如下： 这8袋产品中，质量在以平均数为中心，1倍标准差范围内的有（    ） A．4袋 B．6袋 C．7袋 D．8袋 【答案】B 【解题思路】首先根据已知条件求出这8袋产品质量的平均数、方差和标准差，然后确定以平均数为中心、1倍标准差的范围，最后确定在其范围内的产品数量. 【解答过程】根据题意，这8袋产品的平均质量为克， 方差为， 则标准差为. 那么质量在以平均数为中心，1倍标准差范围内， 即在内的有6袋. 故选：B. 2．（2026·黑龙江辽宁·模拟预测）为了了解某小区居民月用电情况，供电部门从该小区随机抽取100户居民进行月用电量调查，统计他们的月用电量（单位：kW·h），将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图（每组为左闭右开的区间）. 用样本估计总体，则下列说法中正确的个数是（    ） ①本小区居民月用电量的分位数不小于200kW·h；②本小区居民月用电量的平均数位于中；③本小区居民月用电量的众数为225kW·h；④本小区居民月用电量的极差位于中. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】通过计算各区间频率，利用频率和判断分位数范围，以组中值与对应频率乘积之和算平均数，根据最高矩形底边中点求众数，用第一组和最后一组区间端点来估计极差的范围，从而对各说法正误进行判断. 【解答过程】由题意各区间的频率分别为：. 计算前四个区间频率和为， 前三个区间频率和为， 则分位数在，即本小区居民月用电量的分位数不小于200kW·h，故①正确； kW·h，故②正确； 由图可知，本小区居民月用电量的众数为kW·h，故③错误； 由，可知，本小区居民月用电量的极差位于中，故④正确； 故选：C. 3．（2026·江西·二模）甲、乙、丙、丁四位同学分别记录了5个正整数数据，根据下面四名同学的统计结果，可以判断出所有数据一定都不小于20的同学人数是（   ） 甲同学：中位数为22，众数为20 乙同学：中位数为25，平均数为22 丙同学：第40百分位数为22，极差为2 丁同学：有一个数据为30，平均数为24，方差为10.8 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】利用中位数、众数、平均数百分位数及方差的意义逐项分析判断. 【解答过程】甲同学的5个数据的中位数为22，众数为20，则数据中必有20，20，22，余下两个数据都大于22， 且不相等，所有数据一定都不小于20； 乙同学的5个数据的中位数为25，平均数为22，当5个数据为17，18，25，25，25时， 符合题意，而有小于20的数，不满足所有数据一定都不小于20； 丙同学的5个数据的第40百分位数为22，极差为2，则5个数据由小到大排列后第二和第三个 数只可能是22，22或21，23，由极差为2知，所有数据一定都不小于20； 丁同学的5个数据中有一个数据为30，平均数为24，设其余4个数据依次为， 则方差 ，若中有小于20的数， ，不符合题意，因此均不小于20，5个数21，21，24，24，30可满足条件， 所以可以判断所有数据一定都不小于20的同学为甲、丙、丁三位同学. 故选：C. 4．（2026·四川成都·一模）三次产业增加值占国内生产总值的比重是衡量一个国家或地区经济发展阶段、产业结构优化程度以及未来经济发展潜力的重要指标、其中第一产业包括农业、林业、渔业等；第二产业涵盖制造业、建筑业等；第三产业则包括服务业、金融业、信息技术等.如图为我国2020-2024年三次产业增加值占国内生产总值比重的等高堆积条形图，则（    ） A．2020-2024年第一产业增加值占国内生产总值比重逐年递增 B．2020-2024年第二产业增加值占国内生产总值比重的中位数为36.9% C．2020-2024年第三产业增加值占国内生产总值比重的平均数为55.1% D．2020-2024年三次产业中增加值占国内生产总值比重极差最大的是第二产业 【答案】B 【解题思路】选项A，依据表中数据求出2020-2024年第一产业增加值占国内生产总值比重，通过数据判断选项A错误；选项B，利用中位数的定义得到结论；选项C，求出平均数得解；选项D，分别求出每个产业的极差，从而得解. 【解答过程】选项A，年第一产业增加值占国内生产总值比重为， 年第一产业增加值占国内生产总值比重为， 年第一产业增加值占国内生产总值比重为， 年第一产业增加值占国内生产总值比重为， 年第一产业增加值占国内生产总值比重为， 从数据上看，2020-2021年第一产业增加值占国内生产总值比重递减，2021-2022年第一产业增加值占国内生产总值比重持平，2022-2024年第一产业增加值占国内生产总值比重递减， 故选项A错误； 选项B，2020-2024年第二产业增加值占国内生产总值比重依次为， 将这个数从小到大排列为，则这个数的中位数为， 故2020-2024年第二产业增加值占国内生产总值比重的中位数为36.9%，故答案B正确； 选项C，2020-2024年第三产业增加值占国内生产总值比重依次为， 则这个数的平均数为， 2020-2024年第三产业增加值占国内生产总值比重的平均数为，故答案C错误； 选项D，2020-2024年第一产业增加值占国内生产总值比重依次为， 这个数中的最小值为，最大值为，故极差为， 2020-2024年第二产业增加值占国内生产总值比重依次为， 这个数中的最小值为，最大值为，故极差为， 2020-2024年第三产业增加值占国内生产总值比重依次为，这个数中的最小值为，最大值为，故极差为， 故2020-2024年三次产业中增加值占国内生产总值比重极差最大的是第三产业， 故选项D不正确. 故选：B. 二、解答题 5．（2026·上海徐汇·一模）某校高三年级学生参加了一次时政知识竞赛，为了了解本次竞赛的成绩情况，从所有答卷中随机抽取份作为样本进行统计，将样本的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：、、、得到如图所示的频率分布直方图． (1)求实数的值；若年级准备选取分及以上的学生进入下一轮竞赛，已知该校高三年级有名学生，估计该校高三年级参加下一轮竞赛的人数； (2)王老师抽取了名参加竞赛的学生，他们的分数为：、、、、．已知这个分数的平均数，标准差，若剔除其中的和这个分数，求剩余个分数的平均数与方差． 【答案】(1)；人 (2)平均数为，方差为 【解题思路】（1）在频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为，可求得的值；结合频率分布直方图可计算得出该校高三年级参加下一轮竞赛的人数； （2）利用平均数和方差公式可求得剩余个分数的平均数与方差. 【解答过程】（1）在频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为， 即，解得， 分及以上的学生所占的比例为， 故估计该校高三年级参加下一轮竞赛的人数为人. （2）不妨设，，根据题意可得， 故剩余个分数的平均数为， 因为原数据的方差为， 所以， 故剩余个分数的方差为. 6．（2026·云南·模拟预测）某物流公司为评估派送时效，从全部订单中随机抽取200单作为样本，得到订单从入库到送达的时长（单位：小时），并整理得下表： 从入库到送达的时长/小时 频率 0.04 0.24 0.20 0.18 0.12 0.06 (1)求表中的值并估计样本时长的中位数. (2)公司拟在从入库到送达的时长位于，，的这三组订单中，采用按比例分配的分层随机抽样的方法共抽取24单，求分别从这三组订单中各抽取多少单. (3)已知落在的样本从入库到送达的平均时长为7.2小时，方差为0.49；落在的样本从入库到送达的平均时长为8.7小时，方差为0.64.求这两组样本从入库到送达的时长的总平均数与总体方差. 参考公式：，其中为总样本平均数. 【答案】(1)，中位数为 (2)从样本订单的时长位于，，的订单中分别抽取的单数为12，8，4 (3)总平均数（小时），总方差 【解题思路】（1）由各频率之和为1，可得，再根据频率表求中位数即可； （2）根据分层抽样的方式计算各组订单数即可； （3）由分层抽样的方差计算公式求解． 【解答过程】（1）由题得，解得. 设样本时长的中位数为，，解得； （2）由数据知，样本订单从入库到送达的时长位于的订单数为， 样本订单从入库到送达的时长位于的订单数为， 样本订单从入库到送达的时长位于的订单数为， 所以采用按比例分配的分层抽样方法从样本订单的时长位于，， 的订单中分别抽取的单数为12，8，4； （3）由表中数据知，从入库到送达的时长位于的订单数为， 从入库到送达的时长位于的订单数为， 所以总平均数（小时）， 总方差． 7．（2026·上海杨浦·一模）为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取名学生参加考核，将考核的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中的值； (2)在考核成绩为，，的三组学生中，用分层抽样的方法抽取人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人? (3)若落在学生的平均成绩是，方差是，落在学生的平均成绩为，方差是，求这两组学生成绩的平均数和方差.（结果精确到） 【答案】(1) (2) (3)平均数为，方差为 【解题思路】（1）利用频率之和为结合频率分布直方图列式求出； （2）利用频率分布直方图求出成绩为，，的学生人数，再根据分层抽样的概念求解即可； （3）先利用频率分布直方图求出和的学生人数，再根据平均数和方差公式计算求解即可. 【解答过程】（1）由频率分布直方图可得， 解得. （2）由频率分布直方图知，样本考核成绩在，，的三组学生有（人）， 其中样本考核成绩在的市民人数为， 用分层抽样的方法应从考核成绩在的市民中抽取（人）． （3）由频率分布直方图知，成绩在的学生人数为， 成绩在的市民人数为， 所以总平均数， 总方差. 8．（2026·湖南株洲·模拟预测）某校在“普及环保知识节”后，为了进一步增强环保意识，从本校学生中随机抽取了一批学生参加环保基础知识测试．经统计，这批学生测试的分数全部介于75至100之间．将数据分成以下5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值； (2)现采用分层抽样的方法，从第2，3，4组中随机抽取17名学生座谈，求每组抽取的学生人数； (3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计随机抽取学生所得测试分数的平均值． 【答案】(1)； (2)从第，，组应依次抽取人，人，人； (3). 【解题思路】（1）利用频率分布直方图各小长方形面积和为1列式求解. （2）由分层抽样的抽样比求解. （3）由频率分布直方图计算出随机抽取学生所得测试分数的平均值. 【解答过程】（1）由频率分布直方图中各小矩形面积和为1，得， 所以. （2）由频率分布直方图知，第2，3，4组的学生人数之比为， 所以每组抽取的人数分别为：第2组抽人；第3组抽人；第4组抽人. （3）抽取学生测试分数的平均值为. 一、单选题 1．（2026·全国一卷·高考真题）样本数据的中位数为（     ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【解题思路】结合中位数定义可得. 【解答过程】将已知数据从小到大排序为，则中位数为. 故选：B. 2．（2025·全国二卷·高考真题）样本数据2，8，14，16，20的平均数为（   ） A．8 B．9 C．12 D．18 【答案】C 【解题思路】由平均数的计算公式即可求解. 【解答过程】样本数据的平均数为. 故选：C. 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（    ） A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 【答案】C 【解题思路】计算出前三段频数即可判断A；计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断B；根据极差计算方法即可判断C；根据平均值计算公式即可判断D. 【解答过程】对于 A, 根据频数分布表可知, , 所以亩产量的中位数不小于 , 故 A 错误； 对于B，亩产量不低于的频数为， 所以低于的稻田占比为，故B错误； 对于C，稻田亩产量的极差最大为，最小为，故C正确； 对于D，由频数分布表可得，平均值为，故D错误. 故选；C. 二、解答题 4．（2026·全国二卷·高考真题）从某厂生产的某种电子产品中随机抽取了若干件进行试验，测试它们首次出现故障的时间（单位：天），由试验结果得到如下频率分布直方图： (1)估计这种电子产品首次出现故障的时间的第一四分位数及中位数（假设数据在组内均匀分布）； (2)设为1件这种电子产品首次出现故障的时间小于365天的概率估计值． （ⅰ）求； （ⅱ）该厂向某用户销售100件这种电子产品，记X为这100件电子产品中首次出现故障的时间小于365天的件数，假设，求，． 【答案】(1)第一四分位数为 ，中位数为 ； (2)（ⅰ）；（ⅱ），． 【解题思路】（1）根据百分位数的定义，先确定其大致位置，然后列方程求解； （2）根据直方图，先求出小于365天的频率，作为概率的估计值，然后利用二项分布的期望和方差求解. 【解答过程】（1）由直方图可知，的频率为， 的频率为， 故第一四分位数在上，设为，则，解得； 的频率为， 的频率为， 故中位数在上，设为，则，解得. 故第一四分位数为370，中位数为381； （2）由直方图可知，小于365天的频率为，故， 根据二项分布的期望和方差公式， ，. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.4 用样本估计总体（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 百分位数的求解】 1 【题型2 平均数、众数、中位数的求解】 2 【题型3 频率分布直方图中的平均数、众数、中位数、百分位数】 2 【题型4 方差的求解】 3 【题型5 分层抽样中的方差问题】 4 【题型6 其他统计图表中反映的集中趋势与离散程度】 5 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 C组 真题·实战演练 【题型1 百分位数的求解】 1．（2026·青海·模拟预测）若一组数据按照从小到大的顺序排列为5，5，7，9，9，11，则该组数据的第55百分位数为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 2．（2026·广东·模拟预测）已知一组数据的分位数为3，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2026·甘肃武威·模拟预测）某汽车零件质检员对一批汽油机电火花零件进行质检，记录的数据（单位：毫米）为3.56，3.58，3.59，3.95，4.03，则这5个数据的第60百分位数为（   ） A．3.58 B．3.59 C．3.76 D．3.77 4．（2026·安徽合肥·模拟预测）某数学学习兴趣小组8名同学，在一次数学素质拓展测试中的得分如下：.这8名同学成绩得分的第60百分位数是（    ） A．131 B．132 C．133 D．134 【题型2 平均数、众数、中位数的求解】 5．（2026·江西新余·模拟预测）芳芳高考前5次数学模拟成绩分别为：126，135，142，132，145，则其平均数为（    ） A．132 B．134 C．136 D．138 6．（2026·河北张家口·一模）数据2，3，8，5，4，2的中位数和平均数分别为（   ） A．3.5和2 B．3和4 C．4和2 D．3.5和4 7．（2026·福建·三模）已知样本数据7，8，9，10，a的平均数为8，则该样本的中位数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 8．（2026·辽宁·二模）某同学测得连续天的最低气温（均为整数）分别为，，，，，，（单位：），若这组数据的平均数与中位数相等，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 频率分布直方图中的平均数、众数、中位数、百分位数】 9．（2026·山东威海·三模）某校从高二年级随机抽取部分学生参加交通安全知识测试，所得成绩的频率分布直方图如图所示，则可估计该校高二年级学生的交通安全知识测试成绩的中位数为（    ） A．87.5 B．85 C．82.5 D．80 10．（2026·甘肃·模拟预测）杜老师随机抽取了本校参加市一模的100名学生的数学成绩（单位：分），并将成绩整理成如图的频率分布直方图，估计这100名学生市一模的数学成绩的第65百分位数约为（   ） A．120.5 B．121.7 C．123.3 D．125 11．（2026·湖北武汉·二模）某批产品检验后的评分，由统计结果制成如图所示的频率分布直方图， 下列说法中正确的是（    ） A． B．评分的众数估值为70 C．评分的第25百分位数估值为67.5 D．评分的平均数估值为76 12．（2026·陕西西安·一模）某校组织1000名学生参加“新中国成立75周年”知识竞赛，经统计这1000名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，根据图中数据，下列结论正确的是（   ） A．1000名学生成绩的平均数是77 B．成绩不低于80分的学生所占比例为40% C．用分层抽样从该校学生中抽取容量为100的样本，则应在内抽取30人 D．这1000名学生成绩的第50百分位数是80 【题型4 方差的求解】 13．（2026·云南·模拟预测）数据的方差为（    ） A． B． C． D． 14．（2026·陕西安康·模拟预测）已知一组数据的平均数为，方差为，则数据的（   ） A．平均数为 B．平均数为 C．方差为 D．方差为 15．（2026·湖北十堰·模拟预测）若一组数据的平均值，方差，若删去一个数之后，平均值没有改变，方差变为40，则这组数据的个数（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 16．（2026·湖北黄冈·二模）四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数5的是（    ） A．平均数为4，中位数为3 B．中位数为4，众数为3 C．中位数为4，方差为2 D．平均数为3，方差为3 【题型5 分层抽样中的方差问题】 17．（2026·甘肃白银·模拟预测）某单位举办了一次学习强国知识竞赛（满分：100分），参加竞赛的职工共有30人，竞赛得分的总平均值和方差分别是90和5.7，其中男职工得分的平均值和方差分别是88和2，女职工得分的平均值为92，则女职工得分的方差为（    ） A．1.2 B．1.4 C．1.6 D．2 18．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期末）建设“书香校园”成为越来越多学校的办学追求.在对某高中1000名高一年级学生的图书馆借阅量的调查中，已知这1000名高一年级学生中男生有600人，采用分层随机抽样的方法抽取100人，抽取的样本中男生借阅量的平均数和方差分别为5和6，女生借阅量的平均数和方差分别为10和6，则估计该校学生借阅量的总体方差是（   ） A．7 B．8 C．12 D．13 19．（2026·吉林长春·一模）为了解小学生每天的户外运动时间，某校对小学生进行平均每天户外运动时间（单位：小时）的调查，采用样本量按比例分配的分层随机抽样.如果不知道样本数据，只知道抽取了三年级及以下学生40人，其平均数和方差分别为2.5和1.65，抽取了四年级及以上学生60人，其平均数和方差分别为1.5和3.5，则估计该校学生平均每天户外运动时间的总体方差为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 20．（2026·辽宁葫芦岛·二模）某地为了了解学生的睡眠时间，根据初中和高中学生的人数比例采用分层抽样，抽取了40名初中生和20名高中生，调查发现初中生每天的平均睡眠时间为8小时，方差为2，高中生每天的平均睡眠时间为7小时，方差为1.根据调查数据，估计该地区中学生睡眠时间的总体方差约为（    ） A． B． C． D． 【题型6 其他统计图表中反映的集中趋势与离散程度】 21．（2026·山东·模拟预测）据国家统计局统计，我国2018-2022年服务业增加值及其增长速度的数据如图所示，则下列说法错误的是（   ） A．这5年我国的服务业增加值逐年增加 B．这5年我国的服务业增加值的增长速度的极差为6.6% C．2021年我国比上一年增加的服务业增加值比2019，2020这两年比上一年增加的服务业增加值的和小 D．这5年我国的服务业增加值的增长速度的40%分位数为4.75% 22．（2026·上海普陀·模拟预测）某机构对2014年至2023年的中国新能源汽车的年销售量进行了统计，结果如图所示（单位：万辆），则下列结论中正确的是（    ） A．这十年中国新能源汽车年销售量的中位数为123 B．这十年中国新能源汽车年销售量的极差为721 C．这十年中国新能源汽车年销售量的第70百分位数为136.6 D．这十年中的前五年的年销售量的方差小于后五年的年销售量的方差 23．（2026·福建泉州·三模）甲、乙两个跑步爱好者利用微信运动记录了去年下半年每个月的跑步里程（单位：公里），现将两人的数据绘制成如图所示的折线图，则下列结论中正确的是（   ） A．乙跑步里程的极差等于31 B．甲跑步里程的中位数是245 C．分别记甲乙下半年每月跑步里程的标准差为，，则 D．分别记甲、乙下半年每月跑步里程的平均数为，，则 24．（2026·四川达州·二模）下图是某地区2016-2023年旅游收入(单位:亿元)的条形图，则下列说法错误的是（    ）    A．该地区2016-2019年旅游收入逐年递增 B．该地区2016-2023年旅游收入的中位数是4.30 C．经历了疫情之后，该地区2023年旅游收入恢复到接近2018年水平 D．该地区2016-2023年旅游收入的极差是3.69 一、单选题 1．（2026·全国·模拟预测）一个数学小组的数学成绩为，则这组数据的下四分位数为（    ） A．90 B．90.5 C．94.5 D．94 2．（2026·河北沧州·模拟预测）已知2025年月全国房地产开发景气指数依次为，则这7个数据的中位数是（    ） A．93.92 B．93.87 C．93.82 D．93.70 3．（2026·江苏南通·模拟预测）一组从小到大排列的数据：1，2，3，4，6，8，x，18，22，23．若它们的70百分位数是中位数的两倍，则x的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．14 4．（2026·广东江门·模拟预测）2025年1~8月份广东省工业机器人、服务机器人、民用无人机、风力发电机组、太阳能电池、新能源汽车产品产量分别增长，则该组数的分位数为（　　） A． B． C． D． 5．（2026·广东广州·模拟预测）某学校高三学生共有900人，其中男生500人，为获取该校高三学生的身高信息，现采用按性别比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为90的样本.计算得男生样本的身高均值为170，方差为19，女生样本的身高均值为161，方差为19，则下列说法正确的是（    ） A．抽取男生的样本量为40 B．估计该校高三学生身高的均值为165 C．抽样时女生甲被抽到的概率为 D．估计该校高三学生身高的方差为19 6．（2026·四川成都·模拟预测）棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标.在一批棉花中随机抽测了400根棉花纤维的长度（单位：），整理得到下表数据： 纤维长度（） 频数 30 40 60 120 100 50 根据表中数据，关于对样本数据的分析，下列结论中正确的是（   ） A．棉花纤维的长度的极差估计值大于 B．棉花纤维中，其长度低于的棉花纤维数占三分之一 C．棉花纤维的长度的中位数估计值介于至之间 D．棉花纤维的长度的平均值估计值介于至之间 7．（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）给定一组数据：，，，…，．下列说法正确的是（    ）． A．这组数据的极差为 B．这组数据的中位数小于 C．这组数据的平均数 D．这组数据的方差为 8．（2026·湖南长沙·二模）国际学生评估项目测试是世界经济合作与发展组织对各国中学生阅读、数学、科学能力评价测试．从年开始，每年进行一次测试评估．在评估研究时将测试成绩按一定规则转换成等级赋分，赋分范围是至分，如图是年的某地中学生参加阅读测试后用赋分数据绘制成的不完整频率分布直方图．根据图中数据，下面说法正确的是（   ） A．该地学生成绩的中位数一定大于 B．该地学生成绩的平均数一定小于 C．该地学生成绩的极差介于至之间 D．该地学生成绩没有超过分的学生所占比例为 二、填空题 9．（2025·甘肃·模拟预测）已知一组数据的平均数为6，则的值是__________. 10．（2026·四川眉山·模拟预测）某电商平台统计了10款同类型耳机的月销量（单位：件），按从小到大排序后为180，200，230，250，280，300，320，350，380，400，则这组数据的第70百分位数是__________. 11．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知一组数据按从小到大的顺序排列为，若该组数据的第60百分位数与这组数据的中位数相等，则实数的值为__________. 12．（2026·四川泸州·模拟预测）已知数据的平均数是4，数据的平均数是20，则，的方差为__________. 一、单选题 1．（2026·江西·三模）某产品的标准质量是100克/袋，抽取该产品8袋，称出各袋的质量（单位：克）如下： 这8袋产品中，质量在以平均数为中心，1倍标准差范围内的有（    ） A．4袋 B．6袋 C．7袋 D．8袋 2．（2026·黑龙江辽宁·模拟预测）为了了解某小区居民月用电情况，供电部门从该小区随机抽取100户居民进行月用电量调查，统计他们的月用电量（单位：kW·h），将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图（每组为左闭右开的区间）. 用样本估计总体，则下列说法中正确的个数是（    ） ①本小区居民月用电量的分位数不小于200kW·h；②本小区居民月用电量的平均数位于中；③本小区居民月用电量的众数为225kW·h；④本小区居民月用电量的极差位于中. A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2026·江西·二模）甲、乙、丙、丁四位同学分别记录了5个正整数数据，根据下面四名同学的统计结果，可以判断出所有数据一定都不小于20的同学人数是（   ） 甲同学：中位数为22，众数为20 乙同学：中位数为25，平均数为22 丙同学：第40百分位数为22，极差为2 丁同学：有一个数据为30，平均数为24，方差为10.8 A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2026·四川成都·一模）三次产业增加值占国内生产总值的比重是衡量一个国家或地区经济发展阶段、产业结构优化程度以及未来经济发展潜力的重要指标、其中第一产业包括农业、林业、渔业等；第二产业涵盖制造业、建筑业等；第三产业则包括服务业、金融业、信息技术等.如图为我国2020-2024年三次产业增加值占国内生产总值比重的等高堆积条形图，则（    ） A．2020-2024年第一产业增加值占国内生产总值比重逐年递增 B．2020-2024年第二产业增加值占国内生产总值比重的中位数为36.9% C．2020-2024年第三产业增加值占国内生产总值比重的平均数为55.1% D．2020-2024年三次产业中增加值占国内生产总值比重极差最大的是第二产业 二、解答题 5．（2026·上海徐汇·一模）某校高三年级学生参加了一次时政知识竞赛，为了了解本次竞赛的成绩情况，从所有答卷中随机抽取份作为样本进行统计，将样本的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：、、、得到如图所示的频率分布直方图． (1)求实数的值；若年级准备选取分及以上的学生进入下一轮竞赛，已知该校高三年级有名学生，估计该校高三年级参加下一轮竞赛的人数； (2)王老师抽取了名参加竞赛的学生，他们的分数为：、、、、．已知这个分数的平均数，标准差，若剔除其中的和这个分数，求剩余个分数的平均数与方差． 6．（2026·云南·模拟预测）某物流公司为评估派送时效，从全部订单中随机抽取200单作为样本，得到订单从入库到送达的时长（单位：小时），并整理得下表： 从入库到送达的时长/小时 频率 0.04 0.24 0.20 0.18 0.12 0.06 (1)求表中的值并估计样本时长的中位数. (2)公司拟在从入库到送达的时长位于，，的这三组订单中，采用按比例分配的分层随机抽样的方法共抽取24单，求分别从这三组订单中各抽取多少单. (3)已知落在的样本从入库到送达的平均时长为7.2小时，方差为0.49；落在的样本从入库到送达的平均时长为8.7小时，方差为0.64.求这两组样本从入库到送达的时长的总平均数与总体方差. 参考公式：，其中为总样本平均数. 7．（2026·上海杨浦·一模）为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取名学生参加考核，将考核的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中的值； (2)在考核成绩为，，的三组学生中，用分层抽样的方法抽取人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人? (3)若落在学生的平均成绩是，方差是，落在学生的平均成绩为，方差是，求这两组学生成绩的平均数和方差.（结果精确到） 8．（2026·湖南株洲·模拟预测）某校在“普及环保知识节”后，为了进一步增强环保意识，从本校学生中随机抽取了一批学生参加环保基础知识测试．经统计，这批学生测试的分数全部介于75至100之间．将数据分成以下5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值； (2)现采用分层抽样的方法，从第2，3，4组中随机抽取17名学生座谈，求每组抽取的学生人数； (3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计随机抽取学生所得测试分数的平均值． 一、单选题 1．（2026·全国一卷·高考真题）样本数据的中位数为（     ） A．5 B．6 C．8 D．9 2．（2025·全国二卷·高考真题）样本数据2，8，14，16，20的平均数为（   ） A．8 B．9 C．12 D．18 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（    ） A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 二、解答题 4．（2026·全国二卷·高考真题）从某厂生产的某种电子产品中随机抽取了若干件进行试验，测试它们首次出现故障的时间（单位：天），由试验结果得到如下频率分布直方图： (1)估计这种电子产品首次出现故障的时间的第一四分位数及中位数（假设数据在组内均匀分布）； (2)设为1件这种电子产品首次出现故障的时间小于365天的概率估计值． （ⅰ）求； （ⅱ）该厂向某用户销售100件这种电子产品，记X为这100件电子产品中首次出现故障的时间小于365天的件数，假设，求，． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $