暑假收心卷01（暑假测试）新八年级数学新教材人教版

**基本信息** 暑假收心卷聚焦人教版八年级上册第13~15章几何内容，通过绿化区小路设计、折叠纸片等生活情境及重心性质探究任务，分层考查轴对称、三角形全等与性质等核心知识，适配暑假复习巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称图形、三角形角度计算|第3题通过两测量方案判断考查推理意识| |填空题|5/15|平移、坐标、角平分线|第15题折叠问题体现几何直观| |解答题|8/75|等腰三角形、全等证明、重心探究|20题等边三角形综合题融合全等与角度计算，23题动态几何问题发展创新意识|

暑假收心卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 训练范围：新教材，人教版八年级上册第13~15章。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列图形中，不是轴对称图形的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，据此逐项判断即可． 【详解】解：A选项，如图，是轴对称图形，故此选项不符合题意； B选项，如图，是轴对称图形，故此选项不符合题意； D选项，如图，是轴对称图形，故此选项不符合题意； 只有C选项不是轴对称图形，故此选项符合题意． 2．将含角的直角三角板如图放置，使其三个顶点分别落在三条平行直线上，其中．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三角形外角的性质得出，再由平角定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 3．要想知道作业纸上两条相交直线，所夹的锐角的大小．发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两位同学提供了如下间接测量方案（方案1如图1，方案2如图2）： 方案1： ①作一直线，交于点； ②利用尺规作； ③测量的大小即可． 方案2： ①作一直线，交于点； ②测量和的大小； ③计算即可 对于方案1、2，说法正确的是（    ） A．1可行、2不可行 B．1不可行、2可行 C．1、2都可行 D．1，2都不可行 【答案】C 【分析】方案1可由平行线的性质进行判断，方案2可由三角形内角和定理进行判断． 【详解】解：方案1：∵， ∴， ∴由两直线平行，内错角相等可知等于直线，所夹锐角的大小； 方案2：∵，和直线，所夹的锐角是一个三角形的三个内角， ∴的大小即为直线，所夹锐角的大小； ∴1、2都可行． 4．如图，在△ABC中（），和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列结论：①若，则；②；③若，，则．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质及定义，三角形的内角和定理，掌握等腰三角形的性质，角平分线的性质及定义是解题的关键． 利用等腰三角形的三线合一可判断①正确；根据三角形的内角和定理及角平分线的性质可知②正确；根据三角形的内角和定理及角平分线可知②正确；根据角平分线的性质及三角形的面积公式可知③正确． 【详解】解：∵在中，，平分， ∴， ∴， 故①正确； ∵在中，, ∴, ∵和是和的平分线， ∴， ∵ ∴ ， 故②正确； 作于M，于N， ∵和的平分线相交于点O，， ∴， ∵， ∴ ． 故③正确． 故选：D． 5．在△ABC中，点D在边的垂直平分线上，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂直平分线的性质和外角的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先根据垂直平分线得到，然后根据等边对等角和外角的知识，即可求解； 【详解】解：∵在中，点D在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴∠2=∠B+∠1=35°+35°=70°， 故选：D； 6．如图，△ABC是等边三角形，点P在边的延长线上，交的延长线于点，点在边上，，连接交于点D，结论①，②，③，④，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． 过P作交延长线于F，证明是等边三角形，则，再证明得到，，，进而逐项判断即可得到结论． 【详解】解：过P作交延长线于F，则，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴是等边三角形，则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， 故选项②错误，不符合题意； 过Q作交于G， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故选项③正确，符合题意； ∵， ∴， 故选项①正确，符合题意； ∵不一定是直角， ∴不一定是直角， 故选项④错误，不符合题意， 故选：B． 7．如图，在△ABC和中，点，，在同一条直线上，，，若，，则的长为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，根据三角形内角和定理，证明，由即可求出结果． 【详解】解：，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ． 故选：C． 8．计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭O，使其到小路，的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理．角平分线上的点到角两边的距离相等，由此即可判断． 【详解】解：甲方案：O在的垂直平分线上，O到A、B的距离相等，O不一定到和的距离相等， 乙方案：平分，由角平分线的性质定理得到O到小路，的距离相等． ∴甲、乙两个方案，只有乙对． 故选：B． 9．如图，在△ABC中，已知点，，分别是边，的中点，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的中线，根据三角形的中线平分面积，推出，即可． 【详解】解：∵点D，E分别为边，上的中点， ∴分别为的中线， ∴，， ∴； 故选：C． 10．如图，、分别是△ABC的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且，有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理、大角对大边等知识点，熟练掌握以上知识点，找出图形中的全等三角形并证明是解题的关键．根据是的高，得到，结合是的角平分线，平分，得到，判断①正确；利用全等三角形判定推出，得到，再利用全等三角形判定推出，判断②正确；利用全等三角形的性质可得，，结合，等量代换可得，判断③正确；延长交于点，通过证明得到，得到，再说明得出，判断④错误，即可得出结论． 【详解】解：是的高， ， ， 是的角平分线，平分， ，， ， ∴，故①正确； 是的高，， ， 又， ， 又， ， 又，， ， ， 又，， ，故②正确； ，， ， ，故③正确； 延长交于点， 在和中，， ， ， ， ， ， ，故④错误； 综上所述，正确的结论是①②③． 故选：A． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，在△ABC中，，，将△ABC沿方向向右平移，得到，交于M，则____________． 【答案】3 【分析】根据题意可得是等边三角形，继而利用平移性质得到，易证是等边三角形，继而得到，即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形，， ∵将沿方向向右平移，得到， ∴是等边三角形，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 12．在△ABC中，，点D为中点，如果，，则______ 【答案】20 【分析】先推导出，，进而求出，则，即可解答． 【详解】解：在中，D为中点，，，， ，， ∴， 又， ， ． 13．如图，在△ABC中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是___________． 【答案】 【分析】如图，过点作轴于点，过点作轴于点，证明，然后即可得到，，然后再根据点的坐标为，点的坐标为，即可得到点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 14．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则___________． 【答案】 【分析】因为是的平分线，且，所以可求出的度数．因为是的平分线，且，所以可求出的度数，进而得到的度数和的度数，即可计算． 【详解】解：∵是的平分线，， ∴，． ∵是的平分线，， ∴，． 对，， ∴． 对，， ∴． ∴ ． 15．已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为______    【答案】/72度 【分析】本题主要考查了折叠的性质以及等腰三角形的性质．设，由折叠的性质得到，根据三角形外角的性质得到，再利用内角和定理即可求出，便可求出答案． 【详解】解：设， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本题共8道题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（8分）在△ABC中，已知，，． (1)求m的取值范围； (2)若△ABC是等腰三角形，求的周长及m的值． 【答案】(1) (2)周长30，或周长36， 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形两边之差小于第三边即可解题． （1）根据三角形的三边关系列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可； （2）分，两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵， 且，，， ∴， ∴， ∴，（3分） （2）当时， ∴， ∴ ∵ ∴△ABC是等腰三角形成立， ∴△ABC的周长为：．（5分） 当时， ∴， ∴ ∵ ∴△ABC是等腰三角形成立， ∴△ABC的周长为：．（8分） 17．（8分）如图，在△ABC中，是的平分线，，交于点． (1)请判断的形状，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理，角平分线的定义． （1）根据角平分线的定义可得出，由可得出，进而可得出，再利用等角对等边即可证出，从而得证； （2）由已知可得出，进而可得出，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形；（4分） （2）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴．（8分） 18．（8分）如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．如图，A、B、C均为格点，用无刻度直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线． (1)在图中，画出△ABC的中线； (2)在图中，画△ABC的高； (3)在图中，在上找一点G，使得； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，三角形的角平分线，中线和高，解题的关键是理解题意，正确画出图形． （1）由于点和点竖直方向距离固定4格，连接与正中间水平网格线交点即为中点，此时得到； （2）根据点向右移动1格再向上移动2格又回到线段上，把点向左移动2格再向上移动1格到达格点，连接，则，得到，证明，即，延长交于点，线段即为所求； （3）根据点向右移动2格再向上移动4格到达点，把点向右移动4格再向下移动2格到达格点，则得到，，得到，即是等腰直角三角形，连接交于点，，点即为所求． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2分） （2）解：如图，线段即为所求； （5分） （3）解：如图，点即为所求． （8分） 19．（8分）综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究 【课本重现】三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细绳从重心处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】探究图1中，的值是多少？ 吴老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下3个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题． 【解决问题】 (1)任务1：如图1，若△ABC的面积为6，则的面积为______． (2)任务2：如图1，若的面积为，求的面积． (3)任务3：如图1，在任务2的条件下，求的值． 【拓展应用】 (4)如图2，在△ABC中，点是的重心．连接，并延长分别交，于点D，E．若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心计算即可． 【详解】（1）解：点为的重心， 点是边的中点， 的面积为6， ；（2分） （2）解：点为的重心， 分别是边上的中点， ， ， ；（4分） （3）解：点为的重心， 是边上的中点， ， 由（2）知， ， ；（6分） （4）解：由（3）得， ， ， ， ，， 点是的重心， 点是边的中点， ， ．（8分） 20．（10分）如图，都是等边三角形，，交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质详解； （2）利用，得到，进而得到； （3）在上截取，连接，通过证明，则，，再证是等边三角形即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵和都是等边三角形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴；（3分） （2）解：令、交于点，、交于点，如下图所示： 由（1）知，， ∴， ∴， ∴；（6分） （3）证明：在上截取，连接， 由（1）知：， ∴， 在和中， ， ∴，（8分） ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴．（10分） 21．（10分）平面直角坐标系中，点，，且a，b满足：，点A，C关于y轴对称，点F为x轴上的一个动点． (1)求点A，B两点的坐标； (2)如图1，若，，且，连接交x轴于点M，求证：； (3)如图2，若，且，直线上存在某点，使为等腰直角三角形（点D，F，G按逆时针方向的顺序排列），请直接写出点F的坐标． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)或或 【分析】（1）由非负数的性质列出方程求出a、b的值即可； （2）作，交x轴于点N，先证明，再证明，即可证明； （3）过点D作轴于点L，先证明为等腰直角三角形，再证明，则，，再按点F与点C重合，且，且三种情况，分别求出相应的m的值，然后确定点F的坐标即可． 【详解】（1）解：∵，，， ，， 解得，， ，；（2分） （2）证明：如图3，作，交x轴于点N，则， ，， ，（3分） 点A、C关于y轴对称， 点，y轴是线段的垂直平分线， ， ， ， ；（5分） ，，且， ， ， ， ， ， ， ；（7分） （3）解：如图4， ， ， ， 为等腰直角三角形， 当点F与点C重合、点G与点B重合时，则为等腰直角三角形， ， 过点D作轴于点L，则， ，， ， ，， ， ，， 如图5，若，， 过点G作轴交y轴于点K，作于点R，于点Q， 则， ， ， ∵， ， ， 由可得，， 解得，， ，， ， ， ； 如图6，若，，作轴，作轴于点P，交于点H， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，点F的坐标为或或．（3分） 22．（11分）已知，△ABC中，，，点M为的中点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点D在线段的延长线上，连接，过点A作，且．求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，过点C作，垂足为点H，交于点N，当时，若的面积为3，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，，从而得出，最后根据等腰三角形的判定得出答案即可； （2）证明，得出，从而得出，即可得出答案； （3）过点A作于点F，过点D作于点G，证明，得出，证明，得出，证明，得出，从而证明，设，则，根据，得出，求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵中，， ∴， 又∵， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∴， ∴；（3分） （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴；（6分） （3）解：过点A作于点F，过点D作于点G，如图所示： 则， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴， 同理：在和中，，，， ∴， ∴， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴， ∴，（9分） 又∵， ∴， 即， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴，负值舍去， ∴， ∴．（11分） 23．（12分）如图，直线交于点O，点E是平分线上的一点，点M，N分别是射线上的点，且． 求证： (1)求证：； (2)点F在线段上，点G在线段延长线上，连接，若，依题意补全图形，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)补全图形见解析；之间的数量关系为：；证明见解析 【分析】（1）过点E分别作，垂足分别为点F、G，则由角平分线性质定理得，从而可证明，得，再由三角形内角和定理即可求证； （2）依题补全图形即可；在线段上截取，先证明，得；再证明，得，再由即可证明． 【详解】（1）证明：如图，过点E分别作，垂足分别为点F、G， ∵点E是平分线上的一点， ∴， ∵， ∴， ∴， 设交于点G， ∵， ∴； （5分） （2）解：补全图形如下： 之间的数量关系为：． 证明如下： 如图，在线段上截取， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 即，（8分） ∵，， ∴， ∴，； ∵， ∴，， ∴，（10分） 由（1）知， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵．（12分） 2 / 27 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假收心卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 训练范围：新教材，人教版八年级上册第13~15章。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列图形中，不是轴对称图形的是（   ）． A． B． C． D． 2．将含角的直角三角板如图放置，使其三个顶点分别落在三条平行直线上，其中．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．要想知道作业纸上两条相交直线，所夹的锐角的大小．发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两位同学提供了如下间接测量方案（方案1如图1，方案2如图2）： 方案1： ①作一直线，交于点； ②利用尺规作； ③测量的大小即可． 方案2： ①作一直线，交于点； ②测量和的大小； ③计算即可 对于方案1、2，说法正确的是（    ） A．1可行、2不可行 B．1不可行、2可行 C．1、2都可行 D．1，2都不可行 4．如图，在△ABC中（），和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列结论：①若，则；②；③若，，则．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．在△ABC中，点D在边的垂直平分线上，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，△ABC是等边三角形，点P在边的延长线上，交的延长线于点，点在边上，，连接交于点D，结论①，②，③，④，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，在△ABC和中，点，，在同一条直线上，，，若，，则的长为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 8．计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭O，使其到小路，的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 9．如图，在△ABC中，已知点，，分别是边，的中点，且，则等于（   ） A． B． C． D． 10．如图，、分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且，有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，在△ABC中，，，将△ABC沿方向向右平移，得到，交于M，则____________． 12．在△ABC中，，点D为中点，如果，，则______ 13．如图，在△ABC中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是___________． 14．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则___________． 15．已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为______    三、解答题（本题共8道题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（8分）在△ABC中，已知，，． (1)求m的取值范围； (2)若△ABC是等腰三角形，求的周长及m的值． 17．（8分）如图，在△ABC中，是的平分线，，交于点． (1)请判断的形状，并说明理由； (2)若，求的度数． 18．（8分）如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．如图，A、B、C均为格点，用无刻度直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线． (1)在图中，画出△ABC的中线； (2)在图中，画△ABC的高； (3)在图中，在上找一点G，使得； 19．（8分）综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究 【课本重现】三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细绳从重心处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】探究图1中，的值是多少？ 吴老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下3个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题． 【解决问题】 (1)任务1：如图1，若△ABC的面积为6，则的面积为______． (2)任务2：如图1，若的面积为，求的面积． (3)任务3：如图1，在任务2的条件下，求的值． 【拓展应用】 (4)如图2，在中，点是的重心．连接，并延长分别交，于点D，E．若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 20．（10分）如图，都是等边三角形，，交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：． 21．（10分）平面直角坐标系中，点，，且a，b满足：，点A，C关于y轴对称，点F为x轴上的一个动点． (1)求点A，B两点的坐标； (2)如图1，若，，且，连接交x轴于点M，求证：； (3)如图2，若，且，直线上存在某点，使为等腰直角三角形（点D，F，G按逆时针方向的顺序排列），请直接写出点F的坐标． 22．（10分）已知，△ABC中，，，点M为的中点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点D在线段的延长线上，连接，过点A作，且．求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，过点C作，垂足为点H，交于点N，当时，若的面积为3，求的长． 23．（13分）如图，直线交于点O，点E是平分线上的一点，点M，N分别是射线上的点，且． 求证： (1)求证：； (2)点F在线段上，点G在线段延长线上，连接，若，依题意补全图形，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $