第十二章 全等三角形全章自学检测卷-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（人教版2024）

第十二章 全等三角形全章自学检测卷 【人教版2024】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 2．（3分）如图，已知，添加下列条件还不能判定的是（   ） A． B． C． D． 3．（3分）如图，，垂足为，是上一点，且，连接、，．若，，则的长为（    ） A．5.5 B．2.5 C．3 D．2 4．（3分）在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（   ） A． B． C． D． 5．（3分）测量锥形瓶底面内径的方案：如图，用螺丝钉将两根小棒的中点固定，只要测得之间的距离，就可知道锥形瓶底面内径的长度．此方案中，判定的依据是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）已知，点P为上一点，用尺规作图，过点P作的平行线．下列作图痕迹不正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（3分）据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，、、．则不一定能得到以下哪个结论（   ） A． B． C． D． 8．（3分）在中，为的中点，，，则长度可以是（   ） A． B． C． D． 9．（3分）如图，是的角平分线，，垂足为，点E、G分别在上且，和的面积分别为50和40，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 10．（3分）如图，Rt中，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题（共18分） 11．（3分）如图，平分，点P在上，于D，，点E是射线上的动点，则的最小值为 ． 12．（3分）如图，点B，C，D在同一直线上．若，且，则 ． 13．（3分）如图，四边形中，，，，，则四边形的面积是 14．（3分）如图，已知，平分，且于点，则 ． 15．（3分）如图，已知，小明想证明，但发现还缺少一个条件．现从下列条件中选择一个条件添加：①，②，③，④，⑤；添加后能证明的条件有 （要求写出所有符合的条件的对应编号）． 16．（3分）如图，在中，，直线经过点且与边相交，动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动，点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束，在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为，则与全等时，的值为 ． 三、解答题（共72分） 17．（8分）如图，已知四边形，，利用尺规作图法在边上求作一点E，连接、，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 18．（8分）如图，于点D，于，交于，,求证： 19．（8分）如图，平分，于点，．求证：． 20．（8分）如图，在中，已知，平分，， (1)若的面积是，求的面积； (2)求证：． 21．（10分）如图，在四边形中，∥BC，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)猜想线段、、的数量关系，并说明理由． 22．（10分）为测量某一水池两端，之间的距离，小涵，小宇两位同学分别设计出如下两种方案： 课题 测量水池两端、之间的距离 测量示意图 步骤说明 在平地上取一点，分别连接，并延长到，两点，使得，，测量的距离即可． 在平地上取一点，连接，，在的延长线上取一点，使得，测量的距离即可． 数学老师看过后指出其中一种测量方案不可行，请你回答下面的问题： (1)以上两位同学方案可行的是________的方案； (2)请你选择可行的方案，并说明它可行的理由． 23．（10分）已知，在四边形中，，，分别是边上的点．且．探究线段的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明________；再证明_________；即可得出线段之间的数量关系是______________________． (2)如图②，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，，分别是所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系． 24．（10分）综合与实践 (1)观察理解：如图，中，，，直线过点，点、在直线同侧，，，垂足分别为、，由此可得：，所以，又因为，所以；所以，又因为，所以（    ）；（请填写全等判定的方法） (2)理解应用：如图，且，且，利用（）中结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积　 　； (3)类比探究：如图，中，，，将斜边绕点逆时针旋转至，连接，求的面积； (4)拓展提升：如图，点，在的边，上，点、在内部的射线上，、分别是、的外角，已知，，求证：. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十二章 全等三角形全章自学检测卷 【人教版2024】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（本题3分）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形的三边关系，根据全等三角形的判定定理及三角形的三边关系逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：A、已知一角和一边，不能判定三角形全等，故该选项不能画出唯一，不合题意； B、已知两边及一边的对角相等，不能判定三角形全等，故该选项不能画出唯一，不合题意； C、因为，所以三条线段不能构成三角形，故该选项不能画出唯一，不合题意； D、已知两角及夹边相等，由能判定三角形全等，故该选项能画出唯一，符合题意； 故选：D． 2．（本题3分）如图，已知，添加下列条件还不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键． 利用，加上公共边，然后利用全等三角形的判定方法对各选项进行判断即可； 【详解】解：， 当添加时，可根据“”证明，故A选项符合题意； 当添加时， ∵，，∴， ∴，， ∴，即， 进而可用“” 证明，故B选项不符合题意； 当添加时，不能证明，故C选项符合题意； 当添加时，可根据“” 证明，故D选项不符合题意； 故选：C． 3．（本题3分）如图，，垂足为，是上一点，且，连接、，．若，，则的长为（    ） A．5.5 B．2.5 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．证明，得到，，即可求解． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 故选：A． 4．（本题3分）在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形外角的性质，A、B两个选项都可以利用证明全等，C选项中，先证明，再利用即可证明两个三角形全等，D选项中，根据现有条件不能证明两个三角形全等． 【详解】解：A、如图所示，∵， ∴，故A不符合题意； B、如图所示，∵， ∴，故B不符合题意； C、如图所示，∵，， ∴， 又∵， ∴，故C不符合题意； D、如图所示，同理可得，但是不是对应边，故不能证明两个三角形全等，故D符合题意； 故选：D． 5．（本题3分）测量锥形瓶底面内径的方案：如图，用螺丝钉将两根小棒的中点固定，只要测得之间的距离，就可知道锥形瓶底面内径的长度．此方案中，判定的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的应用，根据题意，利用“”证明即可． 【详解】解：由题意，，，又， ∴， 故选：B． 6．（本题3分）已知，点P为上一点，用尺规作图，过点P作的平行线．下列作图痕迹不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作图-复杂作图．作一个角等于已知角，作一个角的平分线，平分线的判定，菱形的判定和性质，据此判断即可． 【详解】解：A、由作图知，是的平分线，且， ∴，， ∴， ∴，故本选项不符合题意； B、由作图知，是的平分线，且， ∴，，不能说明与相等， ∴与不平行，故本选项符合题意； C、由作图知，， ∴四边形是菱形， ∴，故本选项不符合题意； D、由作图知，， ∴，故本选项不符合题意； 故选：B． 7．（本题3分）据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，、、．则不一定能得到以下哪个结论（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据图形分析利用手拉手模型解决是解题的关键． 根据已知条件，分析和，易得，证明A，得出，再由全等三角形的判定和性质即可证明B、C． 【详解】解：在和中， ， ，故选项A不符合题意； ∴， ∴，即， ∵、， ∴，故选项B不符合题意； ∴， ∴，即，故选项C不符合题意； 无法证明，故选项D符合题意； 故选：D 8．（本题3分）在中，为的中点，，，则长度可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，延长至，使得，即得，可证，得到，再根据三角形三边关系求出的取值范围即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长至，使得， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴长度可以是， 故选：． 9．（本题3分）如图，是的角平分线，，垂足为，点E、G分别在上且，和的面积分别为50和40，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，直角三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质． 过点作交于点，得到和，然后利用三角形面积的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于点， ∵是的角平分线，， 又∵， ∴ ． 故选：B． 10．（本题3分）如图，Rt中，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线定义可判断①；由结合①的结论可得，利用角平分线和公共边可证得，可得，，，可判断②；由，结合平分，可知，可证得，可得，由可判断④；由全等三角形的性质可得，，进而可判断③． 【详解】解：∵在中，、分别平分、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，，，故②正确； ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴，故④正确； 连接，，如图所示： ，， ，，， ， ， ， ， ，故③错误， 综上，正确的有①②④， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，角平分线与三角形内角和定理，平行线的判定与性质．根据三角形内角和定理以及角平分线定义，再由此证明，，是解决问题的关键． 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）如图，平分，点P在上，于D，，点E是射线上的动点，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解． 【详解】解：过点作于，如图，   平分，，， ， 点是射线上的动点， 的最小值为． 故答案为：3． 12．（本题3分）如图，点B，C，D在同一直线上．若，且，则 ． 【答案】/48度 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 根据全等三角形的性质可得，由三角形外角的性质可得，最后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（本题3分）如图，四边形中，，，，，则四边形的面积是 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，过D作于E，证明，得出，然后根据求解即可． 【详解】解∶过D作于E，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：6． 14．（本题3分）如图，已知，平分，且于点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线求面积，得出点是的中点是解题关键．延长交于点，证明出，得到，从而得出，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， 平分，， ，， 又， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：4． 15．（本题3分）如图，已知，小明想证明，但发现还缺少一个条件．现从下列条件中选择一个条件添加：①，②，③，④，⑤；添加后能证明的条件有 （要求写出所有符合的条件的对应编号）． 【答案】②③/③② 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据即可判断出正确选项． 【详解】解：①与是对顶角，本身就相等，现有条件不足以证明，故①不符合题意； ②当，而，， ∴，故②符合题意； ③当，而，， ∴，故③符合题意； ④当，而，，边边角不能证明全等，故④不符合题意， ∴符合题意的有②③， 故答案为：②③． 16．（本题3分）如图，在中，，直线经过点且与边相交，动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动，点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束，在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为，则与全等时，的值为 ． 【答案】2或或6 【分析】本题考查全等三角形的性质，分，且点在上、点在上运动，，且点与点重合，当，且点在上、点在上运动三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴与全等分三种情况讨论： ①如图①，当，且点在上、点在上运动时， ． 此时， ∴， 解得； ②如图②，当，且点与点重合时， ． 此时， ∴， 解得； ③当，且点在上、点在上运动时，． 此时． 当点未到达终点时， ， 解得， 不符合题意，舍去． 当点到达终点时，继续运动，如图③， 此时点与点重合，， ∴， 解得． 综上所述，当的值为2或或6时，与全等． 故答案为：2或或6 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）如图，已知四边形，，利用尺规作图法在边上求作一点E，连接、，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】图见解析 【分析】本题考查了作图——角平分线，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．作的角平分线，交于点于点，则点E即为所求． 【详解】解：如图，点E即为所求． 方法：作的角平分线，交于点于点．连接，． 证明：∵是的角平分线， ∴， ∵，，， ∴． 18．（本题8分）如图，于点D，于，交于，,求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查了垂直的定义、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 先根据三角形全等的判定定理证出，再根据全等三角形的判定得出，即可证明 【详解】证明：于，于， ， ∵， ， ， ， ， ． 19．（本题8分）如图，平分，于点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，首先过点作，交的延长线于点，可证，根据可证，所以可得，等量代换可证结论成立． 【详解】证明：如图所示，过点作，交的延长线于点． 平分，， ， ，， ． 在和中， ， ， 在和中， ， ， ， ． 20．（本题8分）如图，在中，已知，平分，， (1)若的面积是，求的面积； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（）延长交于点，可证，可得，进而由中线性质可得，，即得，即可求解； （）过点作于，过点作的延长线于，可证，可得，又由（）得，即可得，即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：过点作于，过点作的延长线于，则， ∵，平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴． 21．（本题10分）如图，在四边形中，∥BC，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)猜想线段、、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证； （2）由（1）得，得，那么． （3）由（2）可知，得出，由（1）可知，根据即可证明． 【详解】（1）证明：， ， 又∵E为的中点， ， 在和中 ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ， ， 又， ， 平分． （3）结论： 证明：由（2）可知， ， 由（1）可知， ， 即． 22．（本题10分）为测量某一水池两端，之间的距离，小涵，小宇两位同学分别设计出如下两种方案： 课题 测量水池两端、之间的距离 测量示意图 步骤说明 在平地上取一点，分别连接，并延长到，两点，使得，，测量的距离即可． 在平地上取一点，连接，，在的延长线上取一点，使得，测量的距离即可． 数学老师看过后指出其中一种测量方案不可行，请你回答下面的问题： (1)以上两位同学方案可行的是________的方案； (2)请你选择可行的方案，并说明它可行的理由． 【答案】(1)小涵 (2)见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的实际应用，熟练掌握全等三角形判定方法是解本题的关键． （1）根据已知条件分析即可得可行方案； （2）根据全等三角形的判定与性质可得小涵同学的方案可行． 【详解】（1）解：∵小涵的方案可以证明，即，而小宇的方案无法证明，也就不能证明， ∴小涵同学方案可行． （2）解：小涵同学方案可行，理由如下： 在和中， ， ∴， ∴， 故小涵同学方案可行． 23．（本题10分）已知，在四边形中，，，分别是边上的点．且．探究线段的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明________；再证明_________；即可得出线段之间的数量关系是______________________． (2)如图②，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，，分别是所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)或或； 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）依据题意，补全小宁的解题思路即可； （2）延长 到点G，使 ，连接 ，先证明，再证明，即可得出线段之间的数量关系； （3）分三种情况讨论，分别采用截长补短，先利用证明三角形全等，再进行线段的和差计算即可． 【详解】（1）解：补全小宁的解题思路如下： 先证明；再证明；即可得出线段之间的数量关系是， 故答案为： ，，； （2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图②，延长 到点G，使 ，连接， ∵， ∴， 在 与 中， ， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， 在 与 中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：或或，理由如下： ①，如图：在 上截取，使 ，连接 ， ∵ ∴ 在 与 中， ∴ ∴， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， 在 与 中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②，如图，在上截取， 同第一种情况，先证得，再证得， ∴ ； ③由（1）、（2）可知，； ④如图，点 在 延长线上，点 在延长线上，此时线段之间并无直接数量关系； 综上，线段之间的数量关系为或或． 24．（本题10分）综合与实践 (1)观察理解：如图，中，，，直线过点，点、在直线同侧，，，垂足分别为、，由此可得：，所以，又因为，所以；所以，又因为，所以（    ）；（请填写全等判定的方法） (2)理解应用：如图，且，且，利用（）中结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积　 　； (3)类比探究：如图，中，，，将斜边绕点逆时针旋转至，连接，求的面积； (4)拓展提升：如图，点，在的边，上，点、在内部的射线上，、分别是、的外角，已知，，求证：． 【答案】(1)； (2)． (3)； (4)见解析 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识，解题的关键是构造全等三角形解决问题． （1）根据证明即可； （2）利用（1）中的结论，，利用面积差求的值； （3）如图3，过作于，构造全等三角形即可求解； （4）根据证明三角形全等，即可解答； 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∵， 在和中， ， 故答案为∶； （2）解：过点、、分别作，，垂足为、、， 由（）得∶ 故答案为：． （3）解：如图，过作于， 由旋转得∶， 由（）可知， ； （4）解：如图， 在和中， ， 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$