第十三章 轴对称全章自学检测卷-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（人教版2024）

第十三章 轴对称全章自学检测卷 【人教版2024】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）下列人工智能助手图标中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（3分）如图，这是的正方形网格，选择一空白小正方形，其与阴影部分组成的图形是轴对称图形的情况有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 3．（3分）在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则的值为（   ） A．8 B． C．0 D． 4．（3分）下列命题的逆命题的表述正确的有（　　） ①“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角” ②“等边对等角”的逆命题是“如果有两条边相等，那么这两条所对的角也相等”； ③“全等三角形的对应边相等”的逆命题是“一组对应边相等的两个三角形是全等三角形”； ④ “等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“如果一个三角形的两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”． A．0个 B．1个 C．2个 D．3 个 5．（3分）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（   ）    A．21 B．14 C．13 D．9 6．（3分）如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（　　） A．直线、的交点不一定在上 B．是等腰三角形 C．与面积相等 D．垂直平分 7．（3分）如图，四边形中，，，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 8．（3分）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 9．（3分）如图，在中，，，，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．（3分）如图，为线段上一动点（不与、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，则有以下五个结论：①；②；③；④；⑤其中正确的有（   ） A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 二、填空题（共18分） 11．（3分）将一张正方形纸片沿图中虚线剪开后，能拼成下列四个图形，则其中不能看成是轴对称变换得到的是 ．（填序号） 12．（3分）若等腰三角形的一个角等于，则它的另外两个角的度数为 ． 13．（3分）如图，在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，，，则的长为 ． 14．（3分）如图，若，，在上，，在上，且，，则 ． 15．（3分）如图，在中，，平分，交于点，点分别为上的动点，若，的面积为，则的最小值为 ． 16．（3分）在中，，，是直线上的一点，且满足，则的度数为 ． 三、解答题（共72分） 17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知A，B，C三点的坐标分别是，，．    (1)求的面积： (2)我们把所有横坐标为的点构成的直线叫作直线，画出关于直线对称的（并标注顶点字母）； (3)若在y轴上取点D，使为等腰三角形，则这样的点D共有______个． 18．（8分）（1）如图，为三个住宅小区，为方便这三个小区居民购买日常生活用品，计划建一个超市，使到三个小区的距离相等，请你用尺规作图在下图中作出点．    （2）已知点，点和直线，在直线上求作一点，使最小．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）    19．（8分）如图，在四边形中，，E为中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)已知，．当为何值时，点E在的平分线上？请说明理由． 20．（8分）如图，在中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于. (1)求证：. (2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想； (3)若，，则________. 21．（8分）如图，在中，， (1)求证：； (2)以为边，作等边三角形，且点在的左侧，连接，，．求的面积． 22．（10分）如图，在中，，，M是内的一点，且，以为直角边作等腰直角，使，交线段于点，连接． (1)求证：． (2)求的度数． (3)当为多少度时，是等腰三角形？ 23．（10分）已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．    【特例证明】 （1）如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：__________（填“>”、“<”或“=”）． 【类比探究】 （2）如图2，当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由． 解：__________（填“>”、“<”或“=”），理由如下： 过点作，交于点．（请你完成以下解答过程）． 【拓展运用】 （3）点在直线上运动，当时，若，请直接写出的长． 24．（12分）【推理】（1）如图1，已知在中，，，直线m经过点A，于点D，于点E，求证：． 【拓展】（2）如图2，将【推理】中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上，且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【应用】（3）如图3，D，E是直线m上的两个动点（D，A，E三点互不重合），且和均为等边三角形，连接，，，，若，的周长为60，直接写出的值． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十三章 轴对称全章自学检测卷 【人教版2024】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（本题3分）下列人工智能助手图标中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义即可求解． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、该图形是轴对称图形，故本选项符合题意； D、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（本题3分）如图，这是的正方形网格，选择一空白小正方形，其与阴影部分组成的图形是轴对称图形的情况有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的变换，正确把握轴对称图形的性质是解答本题的关键． 在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的定义求解即可． 【详解】如图所示，有四种情况使之成为轴对称图形∶ ①②③④ 故选：D． 3．（本题3分）在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则的值为（   ） A．8 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的特征，根据关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出答案． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴ ∴ ∴ 故选：A． 4．（本题3分）下列命题的逆命题的表述正确的有（　　） ①“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角” ②“等边对等角”的逆命题是“如果有两条边相等，那么这两条所对的角也相等”； ③“全等三角形的对应边相等”的逆命题是“一组对应边相等的两个三角形是全等三角形”； ④ “等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“如果一个三角形的两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”． A．0个 B．1个 C．2个 D．3 个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一个命题的逆命题，把原命题的条件与结论互换即可得到原命题的逆命题，据此可得答案． 【详解】解：①“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，原说法正确； ②“等边对等角”的逆命题是“如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”，原说法错误； ③“全等三角形的对应边相等”的逆命题是“三组对应边相等的两个三角形是全等三角形”，原说法错误； ④ “等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“如果一个三角形的两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”，原说法正确． 故选：C． 5．（本题3分）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（   ）    A．21 B．14 C．13 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，据此根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∴的周长， 故选：C． 6．（本题3分）如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（　　） A．直线、的交点不一定在上 B．是等腰三角形 C．与面积相等 D．垂直平分 【答案】A 【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握图形轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的性质是解题的关键． 由轴对称的性质可知，即可求解． 【详解】解：∵与关于直线对称， ， ∵由轴对称的性质，可知直线的交点一定在上， ∴A选项符合题意； P为上任一点， ， ∴是等腰三角形， ∴B选项不符合题意； ， ∴与面积相等， ∴C选项不符合题意； ， ∴垂直平分， ∴D选项不符合题意； 故选：A． 7．（本题3分）如图，四边形中，，，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定，含角的直角三角形的性质等知识，延长，交于点，利用等角对等边得，再利用含角的直角三角形的性质和线段和差可得答案，作辅助线构造特殊的三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，延长，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8．（本题3分）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、格点问题等知识点，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键． 根据等腰三角形的定义画出符合题意的等腰三角形，然后统计即可解答． 【详解】解：如图:根据等腰三角形的定义画出符合题意的等腰三角形如下： 以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为8个． 故选C． 9．（本题3分）如图，在中，，，，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及角的和差运算．解题关键是利用等腰三角形性质求出相关角的度数． 根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出；再由得出，进而求出；接着依据等腰三角形求出；最后通过与的差求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 10．（本题3分）如图，为线段上一动点（不与、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，则有以下五个结论：①；②；③；④；⑤其中正确的有（   ） A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知；由得，加之，，得到，再根据 推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知正确；根据 中，可知③正确；根据可知，可知错误；由，得到，由，得到，同理可得出，进而得出，故正确．熟记相关几何性质与判定，灵活运用是解决问题的关键． 【详解】解： 和是等边三角形，， ，即， 在和中， ， ，故正确； ， ， 又， ，即， 又， ， ， 又，可知为等边三角形， ， ，故正确； ， ，故③正确； ，， ，即， ，， ，则，故错误； ， ， ， ， 同理可得出， ，故正确； 故选：C． 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）将一张正方形纸片沿图中虚线剪开后，能拼成下列四个图形，则其中不能看成是轴对称变换得到的是 ．（填序号） 【答案】② 【分析】本题主要考查了利用轴对称设计图案，熟记轴对称图形的定义是解题的关键． 依据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】解：①③④都可以沿一条竖直线翻折，使左右重合，所以都可以看出轴对称变换， 而②不是轴对称变换， 故答案为：②． 12．（本题3分）若等腰三角形的一个角等于，则它的另外两个角的度数为 ． 【答案】， 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟知等腰三角形的两个底角相等是解答的关键．先判断出已知角为等腰三角形的顶角，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个角等于， ∴是等腰三角形的顶角， ∴另外两个角相等，且度数为， 故答案为：，． 13．（本题3分）如图，在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】根据平行线的性质得到，，由角平分线的定义得到 ，，于是得到，，代入数据即可得到结论． 本题考查等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明，属于基础题． 【详解】解：∵， ∴，， ∵∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，，， ∴，即， ∴， 故答案为：2． 14．（本题3分）如图，若，，在上，，在上，且，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的一个外角和的性质等知识点，正确运用三角形外角的性质成为解题的关键． 根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质可得、，进而得到，最后根据平角的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（本题3分）如图，在中，，平分，交于点，点分别为上的动点，若，的面积为，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，根据等腰三角形的性质可知，垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，由此可得，又由“两点之间线段最短”和“垂线段最短”可得当三点共线且时最短，根据三角形的面积公式可求出的长，即的最小值，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，平分， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 如图，当三点共线且时， ，此时最小，即的值最小， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值为， 故答案为：． 16．（本题3分）在中，，，是直线上的一点，且满足，则的度数为 ． 【答案】或/或 【分析】此题考查了含度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，分两种情况考虑：当点在线段上和点在延长线上，分别画出图形解答即可，利用分类讨论的思想解答是解题的关键． 【详解】解：当点在线段上时，如图所示， 在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 当点在延长线上时，如图所示， 同理可得， ∴ ∵，， ∴； 综上，或， 故答案为：或． 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，已知A，B，C三点的坐标分别是，，．    (1)求的面积： (2)我们把所有横坐标为的点构成的直线叫作直线，画出关于直线对称的（并标注顶点字母）； (3)若在y轴上取点D，使为等腰三角形，则这样的点D共有______个． 【答案】(1) (2)见解析 (3)4 【分析】（1）用矩形的面积减去周边三个三角形的面积即可； （2）分别作出三个顶点关于直线的对称点，再首尾顺次连接即可； （3）根据等腰三角形的概念求解即可． 【详解】（1）解：的面积为； （2）如图所示，    （3）如图所示：    观察图形，点与A、B不构成， 在y轴上这样的点共有4个， 故答案为：4． 18．（本题8分）（1）如图，为三个住宅小区，为方便这三个小区居民购买日常生活用品，计划建一个超市，使到三个小区的距离相等，请你用尺规作图在下图中作出点．    （2）已知点，点和直线，在直线上求作一点，使最小．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）    【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查作图－应用与设计作图，轴对称求最短距离． （1）由题意可得，作出线段的垂直平分线、的交点D，即可求解； （2）作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，连接，则点即为所求． 【详解】解：如图，点D即为所求，   ； （2）点P即为所求，   ； 19．（本题8分）如图，在四边形中，，E为中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)已知，．当为何值时，点E在的平分线上？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)8，见解析 【分析】（1）由平行线的性质推出，，由判定，推出； （2）由，推出，由等腰三角形的性质推出平分，得到点E在的平分线上． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵E为中点， ∴， ∴， ∴； （2）解：当时，点E在的平分线上，理由如下： 连接， 由（1）知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵）， ∴， ∴平分， ∴点E在的平分线上． 20．（本题8分）如图，在中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于. (1)求证：. (2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想； (3)若，，则________. 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)2 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质． （1）连接、，先根据线段垂直平分线的性质的性质得，再根据角平分线的性质得，然后根据证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）证明得，再结合（1）的结论，得； （3）根据（2）的结论得，再根据可得答案. 【详解】（1）证明：如图，连接、， ∵，D为中点， ∴， ∵，，且平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 在和中， ， ∴， ∴， 由（1）知， ∴． 即； （3）解：由（2）知， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 21．（本题8分）如图，在中，， (1)求证：； (2)以为边，作等边三角形，且点在的左侧，连接，，．求的面积． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键； （1）利用等腰三角形的性质可得，然后利用三角形内角和定理求出，即可解答； （2）过点D作，交的延长线于点，由等边三角形的性质得，，再利用所对直角边是斜边的一半得出，最后由三角形面积公式即可求解； 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）解：过点作，交的延长线于点， 是等边三角形， ，， ， ， 的面积， 的面积为； 22．（本题10分）如图，在中，，，M是内的一点，且，以为直角边作等腰直角，使，交线段于点，连接． (1)求证：． (2)求的度数． (3)当为多少度时，是等腰三角形？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或 【分析】本题考查了等腰三角形性质和判定，全等三角形性质和判定，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题． （1）利用等腰三角形性质证明，结合全等三角形性质求解，即可解题； （2）利用全等三角形性质得到，进而求出，再结合四边形内角和得到进行求解，即可解题； （3）设时，是等腰三角形，结合全等三角形性质得到，进而得到，再根据是等腰三角形，分三种情况①当时，②当时，③当时，结合等腰三角形性质讨论求解，即可解题． 【详解】（1）证明： ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ； （2）解： ， ， ， ， ， ； （3）解：设时，是等腰三角形， ， ， ， ①当时，有， ， 解得，即； ②当时，有， ， 解得，即； ③当时，有， ， ， 解得，即； 综上所述， 或或，是等腰三角形． 23．（本题10分）已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．    【特例证明】 （1）如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：__________（填“>”、“<”或“=”）． 【类比探究】 （2）如图2，当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由． 解：__________（填“>”、“<”或“=”），理由如下： 过点作，交于点．（请你完成以下解答过程）． 【拓展运用】 （3）点在直线上运动，当时，若，请直接写出的长． 【答案】（1） （2），过程见解析 （3）的长为3或6 【分析】（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出，求出，求出即可； （2）过作交于，求出等边三角形，证和全等，求出即可； （3）点在延长线上时，如图所示，同理可得，由求出的长即可． 【详解】解：∵点是等边的边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 过点作，交于点， ∵为等边三角形， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 则； 故答案为：； （3）解：分两种情况： ①如图3，点在上时，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图4，点在的延长线上时，      ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 24．（本题12分）【推理】（1）如图1，已知在中，，，直线m经过点A，于点D，于点E，求证：． 【拓展】（2）如图2，将【推理】中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上，且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【应用】（3）如图3，D，E是直线m上的两个动点（D，A，E三点互不重合），且和均为等边三角形，连接，，，，若，的周长为60，直接写出的值． 【答案】（1）见解析； （2）结论成立，证明见解析； （3）20． 【分析】本题主要考查全等三角形的判断和性质，等边三角形的盘点过以及性质，掌握全等三角形的判定方法，性质，等边三角形的性质是解题的关键． （1）证明，可得，，，由此即可求解； （2）证明，可知，，由此即可求证； （3）和都是等边三角形，，再证明为等边三角形，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴，， ∴． （2）解：结论成立． 证明如下： ∵， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴，， ∴． （3）解：20．提示： 与（2）同理，可得， ∴，． ∵和均为等边三角形， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形． ∵的周长为60， ∴D． 由（2）可知，． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$