暑假收心卷02（暑假测试）新八年级数学新教材人教版

**基本信息** 暑假收心卷聚焦人教版八年级上册13~15章，以90分钟120分题量，通过车牌号镜像（轴对称）、等腰三角形周长计算等基础题，结合数学游戏判定全等、动点运动全等问题等创新情境，强化几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|10/30|轴对称、等腰三角形、全等判定|第5题以数学游戏考全等判定条件，体现推理意识| |填空题|5/15|重心性质、折叠变换、最短路径|第15题等边三角形中动点最值，培养空间观念| |解答题|8/75|尺规作图、全等证明、几何综合|第21题等边三角形多问证明，第23题等腰三角形动态探究，提升创新应用能力|

暑假收心卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 训练范围：新教材，人教版八年级上册第13~15章。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．一个车牌号在平面镜中的图象是，则实际车牌号为（    ） A．JM—G9329 B．JM—G6356 C．JM—C6326 D．JM—G6326 【答案】D 【分析】本题考查了镜面反射的性质，解决本题的关键是得到对称轴，进而得到相应数字和字母．根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称性质得出实际车牌号为JM—G6326， 故选：D． 2．等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个等腰三角形的周长为（    ） A．17 B．13 C．17或22 D．22 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系，解题时需分类讨论，并验证是否满足三边关系． 等腰三角形的两边长分别为4和9，需分两种情况讨论：当腰为4底为9时，当腰为9底为4时． 根据三角形三边关系，只有腰为9时能构成三角形，周长为22． 【详解】解：当腰为4底为9时，三边为4，4，9． ∵，不满足三角形三边关系， ∴ 不能构成三角形． 当腰为9底为4时． ∵，， 满足三角形三边关系， ∴ 能构成三角形，周长． ∴ 这个等腰三角形的周长为22． 故选D． 3．如图，在中，点在上，连接；过点作交于点D，交于点，且，在上取一点，使，则下列三个结论：①；②；③，其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质及等腰三角形的性质，熟练掌握判定定理是解题关键．利用证明，根据全等三角形的性质可得，，可判定①正确，根据等腰三角形的性质可得，即可得出，根据平行线的判定定理可判定②正确；只有，两个条件，无法判定，可判定③错误；综上即可得答案． 【详解】解：和中，， ∴， ∴，，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； 在和中，只有，两个条件， ∴无法判定，故③错误； 综上所述：正确的结论为①②， 故选：B． 4．如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形、等边三角形的判定和性质和垂直平分线的性质，牢固掌握其性质是解题的关键，连接，由垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得，再根据，证得是等边三角形，通过边角关系进行计算求解即可． 【详解】解：连接， ∵的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 5．嘉嘉和琪琪进行一种数学游戏．游戏规则是：两人轮流给及对应的边或角添加等量条件（点，，分别是点A，B，C的对应点），某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜．针对上述游戏有以下两种说法，则判断正确的是（    ） 轮次 行动者 添加条件 1 嘉嘉 2 琪琪 3 嘉嘉 …… ①若第3轮嘉嘉添加，则琪琪获胜；②若嘉嘉想获胜，第3轮可以添加条件 A．①②都对 B．①②都错 C．①对②错 D．①错②对 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定规则，理解题意是解决本题的关键． 根据游戏规则，添加条件后若能判定全等则添加者失败．说法①中添加三边相等可判定全等，故正确；说法②中添加两边及一边对角相等（）不能判定全等，故嘉嘉获胜，正确． 【详解】解：∵已有条件：，， ①若嘉嘉添加， ∴， ∴， ∴嘉嘉失败，琪琪获胜，故①正确； ②若嘉嘉添加， ∴条件为， ∵不能判定全等， ∴不能判定， ∴嘉嘉获胜，故②正确． 故选A． 6．如图，已知线段米，于点，米，线段上有一点，射线于点，点从向运动，每秒走米，点从向运动，每秒走米，、同时从出发，当出发秒后，使以点、、为顶点的与全等，则的值为(   ) A．6或10 B．10 C．5或10 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．分和两种情况，分别根据全等三角形的性质确定出时间即可． 【详解】解：设出发时间为x秒，由题意得：， 当时，，即，解得：； 当时，米， 此时所用时间为10秒，，不合题意，舍去； 综上，出发5秒后，在线段上有一点C，使与全等． 故选：D． 7．如图，在中，点在延长线上，，分别平分，，，垂足为．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线性质、三角形外角定理和三角形内角和定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 由题意得，，利用三角形外角定理得求得，即可求得答案． 【详解】解：，分别平分，， ，． ， ． ． ， ． 故选：B． 8．如图，在中，是边上的中线，是的中点，连接，．若的面积为18，则阴影部分的面积为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中线的性质及等底等高的三角形面积相等，关键是熟练应用三角形中线的性质． 由中线平分三角形的面积可计算出答案． 【详解】解：由中线性质可得：， ， ， ． 故选：B． 9．如图，C是线段上的一点，和都是等边三角形，交于M，交于N，交于O．则①；②；③；④；⑤是等边三角形；⑥是的平分线．其中，正确的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 证明≌，可得①正确；即可求得，可得③正确；再证明≌，可得②④正确和，即可证明⑤正确；结合全等三角形的判断与性质及角平分线的判定定理即可求出⑥正确． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴，，， 故①正确，符合题意； ∵， ∴， 故③正确，符合题意； 在和中， ， ∴≌， ∴，，， 故②④正确，符合题意； ∵， ∴是等边三角形， 故⑤正确，符合题意； 作于，于，如图所示： 则， 在和中， ， ∴≌， ∴， 又∵于，于， ∴是的平分线， 故⑥正确，符合题意； 正确的有6个． 故选：D． 10．如图，中，，下列说法不正确的是（   ） A．是的中线 B．若，则 C．若，则互相重合 D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形的角平分线、中线和高， 根据三角形的角平分线、中线和高的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴是的中线， ∴，不一定是的中线； 故A选项错误，D选项正确． ∵，， ∴点C到的距离为5， ∴． 故B正确； ∵，， ∴是的角平分线， 是的中线， ∵，是的中线， ∴是的角平分线；则互相重合， ∴互相重合， 即互相重合． 故C正确． 综上所述，只有A错误． 故选：A． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．点和点关于轴对称，则______． 【答案】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，得出的值是解题的关键．根据关于轴对称的点的坐标特征，横坐标相等，纵坐标互为相反数得出的值，进而代入代数式即可求解． 【详解】解：∵点和点关于x轴对称， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 12．如图，O是的重心，若的面积是12，则阴影部分的面积和是______． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形重心，三角形中线平分面积的知识．三角形的重心：是三角形三条中线的交点，由此得到是的中线，根据三角形中线平分三角形面积得到，由此即可求解． 【详解】解：∵O是的重心， ∴是的中线，即点分别是的中点， ∴是的中线， ∴， ∵， ∴ ， 故答案为：6． 13．如图，将纸片先沿DE折叠，再沿FG折叠，若，则______．    【答案】 【分析】根据邻角的性质得，，再利用三角形的内角和定理得，最后利用内角和的性质求解即可． 【详解】如图，设与相交于点M，与相交于点M，    ∵，， ∴， ， ∵将纸片先沿折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 14．如图，中，，，，分别为边，，上的点，，．若，则______． 【答案】70 【分析】根据全等三角形的性质及平角的定义推出是解题的关键．由，，可得，根据已知条件可推出，从而可知，再根据平角的定义及三角形内角和推出，即可得解． 【详解】解：， ， ，， ， ， ． 15．如图，是等边三角形，是边上的高，点是边的中点，是上的一个动点，连接、，当的值最小时，则的度数为________． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，然后连接，交于点，连接，由轴对称的性质及两点之间线段最短可得即为的最小值，进而由等边三角形的性质可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，然后连接，交于点，连接， 是等边三角形， ，， ， 平分，， 点是的中点，垂直平分， 点是的中点， ，平分， ， 当点与点重合时，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可得此时为最小值，即为的长， ， 垂直平分， ， ， 即． 三、解答题（本题共8道题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（8分）在中，，． (1)若是整数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为17，求的周长． 【答案】(1) (2)17 【分析】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系解答即可； （2）根据三角形的中线的定义得到，根据三角形的周长公式即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵，， ∴， ∵是整数， ；（4分） （2）解：∵是的中线， ∴， ∵的周长为17， ∴的周长：． （8分） 17．（8分）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请写出关于x轴对称的的各顶点坐标； (2)请画出关于y轴对称的； (3)在x轴上求作一点P，使点P到A、B两点的距离和最小，请标出P点，并直接写出点P的坐标 ． 【答案】(1)，，； (2)见解析 (3)图见解析， 【分析】本题考查作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）关于x轴对称的点，纵坐标互为相反数，横坐标不变，由此可得答案． （2）根据轴对称的性质作图即可． （3）连接，与x轴交于点P，连接，此时点P到A、B两点的距离和最小，即可得出点P的坐标． 【详解】（1）解：如图， 即为所求， ，，；（2分） （2）解：如图， 即为所求； （5分） （3）解：如图，点P即为所求，． （8分） 18．（8分）问题的解决策略：反思 【课本再现】 如图1，在北师大版八年级下册第一章《三角形的证明》中，通过将两个完全相同的含角的三角尺拼成一个等边三角形，发现“角的对边等于三角尺斜边的一半”，并对此猜想进行了证明． 【方法探究】 针对这一定理，小明尝试运用多种方法进行证明．以下是小明的证明思路，请你根据他的思路继续完成证明． 已知：如图2，是直角三角形，，． 求证：． 证明：以点B为圆心，以为半径作弧交于点E，连接． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，先求出，再根据判定是等边三角形，进而得，，再求出得，由此得，据此即可得出结论． 【详解】证明：以点B为圆心，以为半径作弧交于点E，连接，如图所示： （2分） ∴， 在△ABC中，，， ∴， 在中，，， ∴是等边三角形，（4分） ∴， ∴， ∴，（6分） ∴， ∴， ∴， ∴．（8分） 19．（8分）如图，，，点在边上，，和相交于点． (1)试说明∶； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据全等三角形的判定即可判断； （2）由（1）可知：，，根据等腰三角形的性质即可知的度数，从而可求出的度数 【详解】（1）证明：和相交于点， ． 在和中，， ． 又， ， ．（2分） 在和中， ， ．（4分） （2）解：∵， ， ， ， ， ∵ ．（8分） 20．（10分）如图，在中，． (1)尺规作图：在上找一点E，使得（保留作图痕迹，不写作法）； (2)（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点E，连接，点E即为所求； （2）设，根据等腰三角形性质和三角形外角性质，，，，，，根据三角形内角和定理构建方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，点E即为所求； （4分） （2）设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，（8分） ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴∠ABD=25°．（10分） 21．（10分）已知：在中，，点，点分别在，上，连接，，交于点，，． (1)如图1，证明为等边三角形； (2)如图2，过点作于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作交延长线于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先证，再证，进而为等边三角形； （2）先证，再证，进而； （3）在上取一点，使，求得，再证为等边三角形，再证，进而. 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形；（2分） （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴；（5分） （3）解：在上取一点，使， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，（8分） ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴．（10分） 22．（10分）如图，在中，，平分，为线段上的任意一点，交直线于点． (1)若，，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟知三角形内角和定理和三角形外角的性质是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理可求出的度数，由角平分线的定义可得的度数，然后根据三角形外角的性质可求出的度数，最后根据垂线的定义和三角形内角和定理可得答案； （2）根据角平分线的定义可得，然后根据三角形外角的性质和内角和定理可证，最后根据垂线的定义和三角形内角和定理可证明结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；（4分） （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴ ，（8分） ∵， ∴ ∴ （10分） 23．（13分）如图，和均为等腰三角形，点，，在同一直线上，连接． (1)如图1，若． ①求证：； ②求的度数； (2)如图2，若，则与的位置关系是 (直接填空)． 【答案】(1)①见解析；② (2)垂直 【分析】（1）①先证，再结合等腰三角形两边相等，根据证，进而得；②由全等得对应角相等，结合对顶角相等，可证； （2）先证明，得对应角相等，结合对顶角相等，可证，得． 【详解】（1）①证明：， ， ，， ， 和均为等腰三角形， ，，（3分） 在和中， ， ， ．（5分） ②解： 如图，与交于点， ， ， ， ， ， ．（8分） （2）解：垂直，证明如下： 如图，与交于点， ， ，， ， 和均为等腰三角形， ，，（10分） 在和中， ， ， ，（12分） ， ， ， ． ．（13分） 14 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假收心卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 训练范围：新教材，人教版八年级上册第13~15章。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．一个车牌号在平面镜中的图象是，则实际车牌号为（    ） A．JM—G9329 B．JM—G6356 C．JM—C6326 D．JM—G6326 2．等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个等腰三角形的周长为（    ） A．17 B．13 C．17或22 D．22 3．如图，在中，点在上，连接；过点作交于点D，交于点，且，在上取一点，使，则下列三个结论：①；②；③，其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 4．如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．嘉嘉和琪琪进行一种数学游戏．游戏规则是：两人轮流给及对应的边或角添加等量条件（点，，分别是点A，B，C的对应点），某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜．针对上述游戏有以下两种说法，则判断正确的是（    ） 轮次 行动者 添加条件 1 嘉嘉 2 琪琪 3 嘉嘉 …… ①若第3轮嘉嘉添加，则琪琪获胜；②若嘉嘉想获胜，第3轮可以添加条件 A．①②都对 B．①②都错 C．①对②错 D．①错②对 6．如图，已知线段米，于点，米，线段上有一点，射线于点，点从向运动，每秒走米，点从向运动，每秒走米，、同时从出发，当出发秒后，使以点、、为顶点的与全等，则的值为(   ) A．6或10 B．10 C．5或10 D．5 7．如图，在中，点在延长线上，，分别平分，，，垂足为．若，则（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，是边上的中线，是的中点，连接，．若的面积为18，则阴影部分的面积为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 9．如图，C是线段上的一点，和都是等边三角形，交于M，交于N，交于O．则①；②；③；④；⑤是等边三角形；⑥是的平分线．其中，正确的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 10．如图，中，，下列说法不正确的是（   ） A．是的中线 B．若，则 C．若，则互相重合 D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．点和点关于轴对称，则______． 12．如图，O是的重心，若的面积是12，则阴影部分的面积和是______． 13．如图，将纸片先沿DE折叠，再沿FG折叠，若，则______．    14．如图，中，，，，分别为边，，上的点，，．若，则______． 15．如图，是等边三角形，是边上的高，点是边的中点，是上的一个动点，连接、，当的值最小时，则的度数为________． 三、解答题（本题共8道题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（8分）在中，，． (1)若是整数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为17，求的周长． 17．（8分）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请写出关于x轴对称的的各顶点坐标； (2)请画出关于y轴对称的； (3)在x轴上求作一点P，使点P到A、B两点的距离和最小，请标出P点，并直接写出点P的坐标 ． 18．（8分）问题的解决策略：反思 【课本再现】 如图1，在北师大版八年级下册第一章《三角形的证明》中，通过将两个完全相同的含角的三角尺拼成一个等边三角形，发现“角的对边等于三角尺斜边的一半”，并对此猜想进行了证明． 【方法探究】 针对这一定理，小明尝试运用多种方法进行证明．以下是小明的证明思路，请你根据他的思路继续完成证明． 已知：如图2，是直角三角形，，． 求证：． 证明：以点B为圆心，以为半径作弧交于点E，连接． 19．（8分）如图，，，点在边上，，和相交于点． (1)试说明∶； (2)若，求的度数． 20．（10分）如图，在中，． (1)尺规作图：在上找一点E，使得（保留作图痕迹，不写作法）； (2)（1）的条件下，若，求的度数． 21．（10分）已知：在中，，点，点分别在，上，连接，，交于点，，． (1)如图1，证明为等边三角形； (2)如图2，过点作于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作交延长线于点，若，，求的长． 22．（10分）如图，在中，，平分，为线段上的任意一点，交直线于点． (1)若，，求的度数； (2)求证：． 23．（13分）如图，和均为等腰三角形，点，，在同一直线上，连接． (1)如图1，若． ①求证：； ②求的度数； (2)如图2，若，则与的位置关系是 (直接填空)． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $