第21章一元二次方程 单元复习课-课件 2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了一元二次方程的概念、解法、根与系数关系及应用，通过知识结构图将概念、解法（因式分解法、配方法、公式法）、判别式等核心内容串联，突出转化、降次的数学思想，帮助学生构建完整知识网络。 其亮点在于采用“多解法对比-实际问题建模-历史问题探究”的复习模式，如例3通过四种解法对比培养推理意识，例6工程问题发展模型意识，朱世杰《四元玉鉴》问题提升应用意识。分层设计让学生巩固知识，教师能精准教学，提升复习效率。

年 级：八年级 学 科：数学（沪教版） 第21章一元二次方程 复习与小结 “一元二次方程” 单元复习课 1 复习要点 问题1 本章知识之间有怎样的联系？ 问题2 通过本节课的复习，你能用一张知识结构图将它们联系起来吗？ 概念 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程 叫作一元二次方程. 一元二次方程 一元二次方程的一般形式是 为已知数，且 一元二次方程的解 满足方程 的实数 x 叫作这个方程的 实数根（或者实数解），简称实根或者根. 例题讲解 例 1 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. C （1）当k取何值时这个方程是一元二次方程； （2）当k取何值时这个方程是一元一次方程. 已知关于x的方程 例 2 . 解 即 是一元一次方程， 当 , 即 ， 当 ，即 时， 是一元二次方程. （1） 所以 时， （2） （ ）. 一元一次方程一般形式 观察方程的特征！ 例题讲解 （ ）. 一元二次方程一般形式 4 例题讲解 例 3 解方程： （1） 所以，原方程的根是 去括号整理,得 移项合并,得 将方程的左边因式分解,得 由此得 变形,得 移项,得 提取公因式,得 由此得， 解得 所以，原方程的根是 解 解法 2 （2） 观察方程的特征！ 法 1 等式性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，等式仍成立. 5 例题讲解 当d>0时， （2）当d=0时，方程有两个相等的实数根： （3）当d<0时，方程没有实数根. 求解此方程为什么先移项再开平方？ 思考 例 3 解方程： （2） 解 原方程可化为 两边开平方，得 解得 所以，原方程的根是 法1 （1）当d>0时，方程有两个不相等的实数根： 降次 化归 降次 化归 转化 转化 6 例题讲解 例 3 解方程： 整理原方程，得 将方程的左边因式分解，得 解得 解法2 解法1 原方程可化为 两边开平方，得 解得 所以，原方程的根是 降次 转化 化归 降次 化归 因式分解法 所以，原方程的根是 7 例题讲解 例 3 解方程： 整理原方程，得 所以，原方程的根是 解法4 方程中， 解法3 整理原方程，得 方程两边加上32，得 即 两边开平方 解得 所以，原方程的根是 由求根公式，得 即 配方法 公式法 8 归纳小结 对比本题的三种解法，有哪些相同点和不同点？选择解法的原则是什么？ 配方法 公式法 根据方程形式，选择合适的策略，体现 数学的灵活性与美感. 相同点 ①方程都要进行代数变形求解. ②运用了“转化”“化归”“降次”的思想方法. ③最终结果一致，验证了解的正确性. 不同点 方程变形后的特征不同，选用解法不同. 因式分解法 归纳小结 一元二次方程的概念、解法、判别式之间有什么内在联系？ 一元二次方程 配方法 公式法 特殊 一元一次方程 转化 降次 化归 求方程的根 一般 推导 因式分解法 抽象 一元二次方程的判别式 配方法 公式法 因式分解法 （1） （2） . 例题讲解 已知方程 的两根是 ,利用韦达定理，求下列各式的值： 例 4 解 （1） 由韦达定理得, （2） 通过恒等变形(如配方、通分等)将复杂代数式转化为x1+x2和x1•x2的组合，利用韦达定理简化计算. 11 例题讲解 将二次三项式 在实数范围内因式分解 . 例 5 解 对于方程 此方程的两个实数根是 所以 一般步骤 12 此方程的两个实数根是 例题讲解 二次三项式因式分解的因式 一元二次方程 思考 （1）二次三项式在实数范围内的因式分解中，为什么会出现与它对应的一元二次方程的根？ 将二次三项式 在实数范围内因式分解 . 例 5 解 对于方程 所以 实数根 ≥0 确定 13 此方程的两个实数根是 例题讲解 二次三项式因式分解的因式 一元二次方程 思考 （1）二次三项式在实数范围内的因式分解中，为什么会出现与它对应的一元二次方程的根？ 将二次三项式 在实数范围内因式分解 . 例 5 解 对于方程 所以 （2）一元二次方程、它的实数根和与它对应的二次三项式因式分解的因式之间的关系是什么？ 实数根 韦达定理 ≥0 确定 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 14 例题讲解 分析 工作时间 工作效率 工作量 工程问题有三个基本量：工作时间、工作效率与工作量， 它们间的基本关系是： 工作时间×工作效率=工作量. 甲 乙 工作时间 工作效率 工作量 甲 乙 设规定时间为t天. 根据题意，可列方程 2t+4 2t-16 2t+4 1 2t-16 1 2t+4 1 2t-16 1 24× 24× 1 1 24 24 2t+4 1 2t-16 1 24× 24× ＋ =1. 单独 合作 2t+4 1 2t-16 1 工程队中甲、乙两组承包一段路基的改造工程.规定在若干天内完成.已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍多4天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍少16天，而甲、乙两组合做需要24天完成. 问：甲、乙两组合做能否在规定时间内完成？ 例 6 15 例题讲解 例 6 分析 工程问题有三个基本量：工作时间、工作效率与工作量， 它们间的基本关系是： 工作时间×工作效率=工作量. 工作时间 工作效率 工作量 甲 乙 设规定时间为t天. 2t+4 1 2t-16 1 2t+4 1 2t-16 1 24× 24× 24 24 合作 解 甲单独完成这项工程所需时间为 天， 乙单独完成这项工程所需时间为 天. 甲的工作效率是 ， 乙的工作效率是 . 根据题意，可列方程 去分母并整理得， 解得 经检验， 都是原方程的根.因为时间 不能为负数，所以 . 因为24<28 .所以能完成. 答：甲、乙两组合做能在规定时间内完成. 工程队中甲、乙两组承包一段路基的改造工程.规定在若干天内完成.已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍多4天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍少16天，而甲、乙两组合做需要24天完成.问：甲、乙两组合做能否在规定时间内完成？ 例题讲解 例 6 分析 设规定时间为t天. 解 甲单独完成这项工程所需时间为 天， 乙单独完成这项工程所需时间为 天. 甲的工作效率是 ， 乙的工作效率是 . 根据题意，可列方程 去分母并整理得， 解得 经检验， 都是原方程的根,因为时间 不能为负数，所以 . 因为24<28.所以能完成. 答：甲、乙两组合做能在规定时间内完成. 建立模型 求解模型 检验模型 应用结果 ★识别未知量与已知量 ★建立数学关系 工程问题有三个基本量：工作时间、工作效率与工作量， 它们间的基本关系是： 工作时间×工作效率=工作量. 工程队中甲、乙两组承包一段路基的改造工程.规定在若干天内完成.已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍多4天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍少16天，而甲、乙两组合做需要24天完成.问：甲、乙两组合做能否在规定时间内完成？ 归纳小结 观察 现实问题 抽象 数学问题 建立 数学模型 求解 数学模型 验证 数学解 解释 现实情境 得到实际问题的解 问题探究 元朝末期(公元14世纪) 朱世杰《四元玉鉴》 六贯二百一十钱，倩人去买几株椽. 每株脚钱三文足，无钱准与一株椽. 请人用6 210文钱去买几株椽，每株椽的运费为3文钱，减少1株椽后，剩下椽的运费恰好与1株椽的价钱相等.求椽的株数. 你能试着解决这个问题吗？ 基于实际问题 一元二次方程 因式分解法 配方法 公式法 特殊 一元一次方程 转化 降次 化归 求方程的根 检验 抽象 抽象 一元二次方程的判别式 一元二次方程的 根与系数的关系 一般 复习整理 解决 相通 二次函数 关联 推导 二次三项式的因式分解 数学的本质在于用最不显而易见的方法证明最显而易见的事物． ——乔治·波利亚 结束语 数学中每一步真正的进展，都与发现更精妙的工具和更简单的方法密切相关. —— 大卫·希尔伯特（数学家） 21 $