专题25.2（3） 因式分解法解一元二次方程 （重难点突破+过关检测）2026-2027学年人教版九年级数学上册

人教版 九上讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题25.2（3） 一元二次方程解法——因式分解法 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1常用分解方法 题型2 十字相乘分解 题型3 灵活选用最优解法 题型4 一元二次方程解法的拓展 · 理解因式分解法解方程的原理（零乘积原理）； · 熟练用提公因式、平方差、完全平方分解方程左侧，快速解一元二次方程； · 能根据方程形式灵活选择最优解法； 知识点讲解 （一）因式分解法 1. 核心依据 零乘积性质：若。 把一元二次方程变形为两个一次因式乘积等于 0 的形式，实现降次求解。 2. 适用形式 方程一边为 0，另一边可因式分解：、能提公因式、套平方差 / 完全平方公式的方程 标准操作前提：必须移项，使等式右侧 = 0，左侧分解因式。 3. 三种常用分解手段 提公因式法： 平方差公式： 完全平方公式：（对应方程有两个相等实数根） 十字相乘法： 4. 四种解法对比简要 直接开平方法：适合 配方法：通用基础方法，用于推导求根公式 公式法：万能通用，计算量大 因式分解法：计算最快，仅限能因式分解的方程 易错要点 不可随意两边约去含未知数的因式（容易丢根）； 例：，不能直接除以，要移项分解。 题型归纳 题型1 常用的因式分解方法 【例1】用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 【例2】用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 知识归纳：——常见因式分解方法 【变式练习】 1．一元二次方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 2．一元二次方程的解是（    ） A． B．， C．， D．， 3．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 4．解方程： 5．用适当的方法解下列方程： (1) (2) 6．解方程：． 7．解方程． 题型2 十字相乘法分解 【例1】阅读下列材料： （1）将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项： ，． ②交叉相乘，验中间项：    ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． （2）根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②； ③； ④． 【变式练习】 1. 用十字相乘法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．用十字相乘法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 题型3 灵活选用最优方法解方程 【例1】用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【例2】解方程： (1)； (2) ．知识归纳：——各种因式分解方法的适宜类型 1.配方法——二次项系数为1，一次项系数为偶数； 2.公式法——万能方法，系数绝对值较小； 3.因式分解法——方程一边为0，一边可因式分解。 【变式练习】 1．解下列方程： (1)； (2)． 2．解方程： (1)； (2)． 3．解方程：． 4．解方程： (1)； (2)． 5．解方程： (1)． (2)． 题型4 一元二次方程解法的拓展 【例1】为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为①解得． 当时，，，； 当时，，，． 故原方程的解为． 在由原方程得到①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学方法． 根据以上阅读理解，解答下列问题： (1)利用换元法解方程：； (2)若实数、满足，求的值． 【例2】解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则原方程化为．解得，，当时，即，解得；当时，即，解得．所以，原方程的解是．请利用这种方法解方程： 【变式练习】 1．已知实数m，n满足，则的值为（     ） A．3 B．5 C．5或3 D．或5 2．已知方程的解是，，现给出另一个方程，则它的实数解是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．已知方程的解是或，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 4．已知一元二次方程的两根分别为、1，则方程的两根分别为（    ）． A．、1 B．、3 C．、 D．无法确定 5．我们在求解结构复杂、次数较高的方程时，常常通过“降次”来简化方程后再求解，这种方法叫做换元法．例：解方程：． 解：将视为一个整体，设，则原方程可化为：， 因式分解得：，解得，， 当时，，解得；当时，，解得； 综上，原方程的解为，． 请参考例题，解下列方程： (1)； (2)． 6．解答以下问题 (1)观察发现：计算下列各式的结果，观察结果的特征： ① ② ③ ④ ． (2)思考探究：设n为正整数， ①第n个算式为 ． ②请通过整式运算证明：该式的结果一定是某个整式的平方． 小明的部分证明过程如下： 证明：原式 设，则原式 小明证明过程中用了 思想方法，请把小明没有完成的过程补充完整． (3)拓展应用：已知四个连续正整数的乘积加1等于，求四个正整数中最小的整数． 过关练习 一、单选题 1．用因式分解法解方程，正确的是（   ） A．，， B．， C．，， D．， 2．方程的根是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．关于y的方程，下面解法完全正确的是（   ） 甲 乙 丙 丁 整理得； ∴，， ∴ ∴ 两边同时除以得 移项得： ∴ ∴或 ∴， 整理得： 配方得： ∴ ∴ ∴， A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（    ） A．15 B．13 C．11或8 D．11和13 5．若矩形的一条对角线长为10，边的长是方程的一个根，则该矩形的周长为（     ） A．36 B． C．28 D．30 6．若实数x，y满足，则的值为（   ） A．8或 B．5 C． D．8 7．定义一种新运算，规定：，如：，则方程的解为（     ） A． B．， C．， D．， 8．方程的根的情况是（    ） A．有4个实数根 B．有3个实数根 C．有2个实数根 D．没有实数根 二、填空题 9．已知关于的一元二次方程，则该一元二次方程的解为________． 10．一元二次方程的解是_____． 11．一元二次方程的解是_____． 12．若实数x满足，则_____ ． 13．若，则__________． 14．小华在解方程时，只得出一个根是，则被他漏掉的一个根是____． 15．定义一种新运算：，若，则x的值为______． 16．方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形周长是________． 三、解答题 17．解下列方程： (1)； (2)． 18．解下列关于的方程： (1)； (2)． 19．解方程： (1)； (2)． 20．计算 (1)（公式法） (2)（因式分解法） (3)（配方法） 21．解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学： 或 或 琪琪同学： ，， 此方程无实数根． (1)你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果； 嘉嘉同学的解法__________，琪琪同学的解法__________．（填“正确”或者“不正确”） (2)请选择合适的方法解一元二次方程． 22．将分解因式，我们可以按下面方法： ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫“十字相乘法”． 根据乘法原理：若，则或．所以方程可以这样求解：方程左边因式分解得，所以原方程的解为，． 【解决问题】 (1)分解因式：（ ）（ ） (2)试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②． 23．【阅读材料】 解方程：， 这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则， 于是原方程可转化为： ， 解得：，． 当时，，所以； 当时，，所以， 所以原方程有四个根：，，，， 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 (1)在解方程时，若设，则原方程可转化为______，解得原方程的根为______； (2)若 ，则______； (3)参照上面解题的思想方法解方程： ． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $人教版 九上讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题25.2（3） 一元二次方程解法——因式分解法 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1常用分解方法 题型2 十字相乘分解 题型3 灵活选用最优解法 题型4 一元二次方程解法的拓展 · 理解因式分解法解方程的原理（零乘积原理）； · 熟练用提公因式、平方差、完全平方分解方程左侧，快速解一元二次方程； · 能根据方程形式灵活选择最优解法； 知识点讲解 （一）因式分解法 1. 核心依据 零乘积性质：若。 把一元二次方程变形为两个一次因式乘积等于 0 的形式，实现降次求解。 2. 适用形式 方程一边为 0，另一边可因式分解：、能提公因式、套平方差 / 完全平方公式的方程 标准操作前提：必须移项，使等式右侧 = 0，左侧分解因式。 3. 三种常用分解手段 提公因式法： 平方差公式： 完全平方公式：（对应方程有两个相等实数根） 十字相乘法： 4. 四种解法对比简要 直接开平方法：适合 配方法：通用基础方法，用于推导求根公式 公式法：万能通用，计算量大 因式分解法：计算最快，仅限能因式分解的方程 易错要点 不可随意两边约去含未知数的因式（容易丢根）； 例：，不能直接除以，要移项分解。 题型归纳 题型1 常用的因式分解方法 【例1】用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 【详解】（1）解：把方程左边分解因式，得． 因此，有或． 解方程，得； （2）解：原方程化为一般形式，得． 把方程左边分解因式，得． 因此，有或． 解方程，得． 【例2】用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 【详解】解：（1）整理，得， ， 即， 解得． （2）根据平方差公式，得， 整理，得， 或， 解得． 知识归纳：——常见因式分解方法 【变式练习】 1．一元二次方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 【详解】解：， 则或， 解得：，． 2．一元二次方程的解是（    ） A． B．， C．， D．， 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 3．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【详解】解：， 解得或． 由题可知， ． 4．解方程： 【详解】解： 或 解得：． 5．用适当的方法解下列方程： (1) (2) 【详解】（1）解：方程为，移项，得， 开平方，得，解得； （2）解：方程为， 移项，得，变形得， 提取公因式得，整理得， 可得或，解得． 6．解方程：． 【详解】解：原式移项，得， 因式分解，得， 即， 或， 解得：． 7．解方程． 【详解】解：， ， ， ， 或， ． 题型2 十字相乘法分解 【例1】阅读下列材料： （1）将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项： ，． ②交叉相乘，验中间项：    ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． （2）根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②； ③； ④． 【答案】①，；②，；③，；④， 【分析】利用十字相乘法因式分解求解． 【详解】解：①， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； ②， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； ③， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； ④， 因式分解得： ∴或 解得：，． 【变式练习】 1. 用十字相乘法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得：，． （2）解：， ∴， ∴或， ∴，． （3）解：∵， ∴， ∴或， ∴，． （4）解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 2．用十字相乘法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解：方程左边因式分解，得． 于是得或． 所以原方程的解为，； （2）解：方程左边因式分解，得． 于是得或． 所以原方程的解为，； （3）解：方程左边因式分解，得． 于是得或． 所以原方程的解为，． 题型3 灵活选用最优方法解方程 【例1】用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【详解】（1）解：， ， 则， 直接开平方得， ； （2）解：， ， 则， ， 即， ． 【例2】解方程： (1)； (2)． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或. （2）解：∵， ∴， ∴， 解得：或. 知识归纳：——各种因式分解方法的适宜类型 1.配方法——二次项系数为1，一次项系数为偶数； 2.公式法——万能方法，系数绝对值较小； 3.因式分解法——方程一边为0，一边可因式分解。 【变式练习】 1．解下列方程： (1)； (2)． 【详解】（1）解：， ∵，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ∴，． （2）解：， 移项，得， 因式分解，得， 即， ∴或， 解得，． 2．解方程： (1)； (2)． 【详解】（1）解：， ， ， 则或， ∴． （2）解：， ∵， ∴， 则， ∴． 3．解方程：． 【详解】解：， 整理得， 因式分解得， 所以或， 解得． 4．解方程： (1)； (2)． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∴， ∴， 解得，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 5．解方程： (1)． (2)． 【详解】（1）解：， 移项得：， 因式分解得：， ∴，， 解得：，； （2）解：， ，，， ， ∴， 即，． 题型4 一元二次方程解法的拓展 【例1】为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为①解得． 当时，，，； 当时，，，． 故原方程的解为． 在由原方程得到①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学方法． 根据以上阅读理解，解答下列问题： (1)利用换元法解方程：； (2)若实数、满足，求的值． 【详解】（1）解： 设 ∴原方程可化为 或 解得或 当时， ∴ ∴ ∴方程无实数根； 当时， ∴ ∴ ∴或 解得，； （2）解：设 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴或 解得（舍去）或 ∴． 【例2】解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则原方程化为．解得，，当时，即，解得；当时，即，解得．所以，原方程的解是．请利用这种方法解方程： 【详解】解：设，则原方程可化为：， ， 解得：，， 当时，即：，解得：， 当时，即：，解得：， 综上所述，原方程的解为：，． 【变式练习】 1．已知实数m，n满足，则的值为（     ） A．3 B．5 C．5或3 D．或5 【详解】设， ∵任意实数的平方是非负数，两个非负数相加仍是非负数， ∴， 原方程可化为， 因式分解得， 解得，， ∵， ∴舍去， 即． 2．已知方程的解是，，现给出另一个方程，则它的实数解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【详解】解：令则新方程可化为， 原方程的解为，， ∴的解是或， 即或， 当时，整理得， 此方程无实数解； 当时，整理得， 因式分解得， 解得，， 因此新方程的实数解为，． 3．已知方程的解是或，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：设，则方程化为， 的解为或， ∴或， 解得或， 故选：C． 4．已知一元二次方程的两根分别为、1，则方程的两根分别为（    ）． A．、1 B．、3 C．、 D．无法确定 【详解】解：设在方程中，， ∴方程可整理为，即变形为关于的方程， ∵关于x的一元二次方程的两根分别为、1， ∴关于t的一元二次方程的两根分别为、1， ∴或， 解得或， ∴方程的两根分别为、3， 故选：B． 5．我们在求解结构复杂、次数较高的方程时，常常通过“降次”来简化方程后再求解，这种方法叫做换元法．例：解方程：． 解：将视为一个整体，设，则原方程可化为：， 因式分解得：，解得，， 当时，，解得；当时，，解得； 综上，原方程的解为，． 请参考例题，解下列方程： (1)； (2)． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， ， 解得，， ∵， ∴不符合题意，舍去， 当时，， 解得，， 综上，原方程的解为，； （2）解：设，则原方程可化为， ， 解得，， 当时，， 整理得， ∵， ∴此方程无实数根； 当时，， 整理得， 解得，即，， 综上，原方程的解为，． 6．解答以下问题 (1)观察发现：计算下列各式的结果，观察结果的特征： ① ② ③ ④ ． (2)思考探究：设n为正整数， ①第n个算式为 ． ②请通过整式运算证明：该式的结果一定是某个整式的平方． 小明的部分证明过程如下： 证明：原式 设，则原式 小明证明过程中用了 思想方法，请把小明没有完成的过程补充完整． (3)拓展应用：已知四个连续正整数的乘积加1等于，求四个正整数中最小的整数． 【详解】（1）解：； （2）解：①； ②小明证明过程中用了换元（整体）思想方法， 证明：原式 设，则原式， 将代入上式得， ∴； （3）解：根据题意得， ∴， 解得或（舍去）， ∴四个正整数中最小的整数为9． 过关练习 一、单选题 1．用因式分解法解方程，正确的是（   ） A．，， B．， C．，， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法．根据因式分解法求解方程即可． 【详解】解：， ， 或， 解得：，， 故选：A． 2．方程的根是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；通过因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵可因式分解为， ∴或， ∴，； 故选A． 3．关于y的方程，下面解法完全正确的是（   ） 甲 乙 丙 丁 整理得； ∴，， ∴ ∴ 两边同时除以得 移项得： ∴ ∴或 ∴， 整理得： 配方得： ∴ ∴ ∴， A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 利用一元二次方程的解法进行逐个判断，即可求解． 【详解】解：甲、方程化简得，甲写成，故甲解法错误； 乙、直接两边除以，未考虑的情况，会漏解，故乙解法错误； 丙、移项时符号错误，正确移项应为，丙写成，导致后续结果错误，故丙解法错误； 丁、化简得，配方得，得，即，解得，，解法完全正确； 综上可知丁的解法完全正确，选项D符合题目要求． 故选：D． 4．三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（    ） A．15 B．13 C．11或8 D．11和13 【答案】B 【分析】先解一元二次方程得到第三边的可能值，再根据三角形三边关系判断符合条件的第三边，最后计算周长即可得到答案. 【详解】解：∵ ， ∴ 因式分解得 ， 解得 ， ∵ 三角形两边长分别为3和6， ∴ 当第三边长为时，，不满足三角形三边关系，此种情况舍去， 当第三边长为时，满足三角形三边关系，此时三角形周长为 . 5．若矩形的一条对角线长为10，边的长是方程的一个根，则该矩形的周长为（     ） A．36 B． C．28 D．30 【答案】C 【分析】先解一元二次方程得到边长的可能值，舍去负根得到的长，再利用矩形四个角为直角的性质，结合勾股定理求出邻边长，最后计算矩形周长即可； 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ， ， 解得或， ∵边长为正数， ∴， ， 在中， ， ∴矩形的周长为； 6．若实数x，y满足，则的值为（   ） A．8或 B．5 C． D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的乘法运算，平方的非负性，得出，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ 或 ， 若 ，则 ， 但 为实数，， 故 ，与 矛盾，舍去， ∴ ，即 ， 故选 D 7．定义一种新运算，规定：，如：，则方程的解为（     ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】按照新运算规则将方程转化为常规一元二次方程，再用因式分解法求解即可． 【详解】根据题意得，， 原方程可化为， ， 或， 解得，． 8．方程的根的情况是（    ） A．有4个实数根 B．有3个实数根 C．有2个实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，方程由两个因式的乘积为零，需分别求解每个因式．第一个因式无实数根，第二个因式有两个实数根． 【详解】解：∵， ∴或， 对于，即 ，无实数根． 对于，因式分解得，解得： 或 ，均为实数根． ∴方程有2个实数根． 故选：C． 二、填空题 9．已知关于的一元二次方程，则该一元二次方程的解为________． 【答案】， 【分析】先移项，再运用因式分解法求解该方程即可． 【详解】解：， 移项，得：， 提取公因式，因式分解得：， 或， 解得，． 10．一元二次方程的解是_____． 【答案】， 【详解】解： 整理得， ∴或 解得，． 11．一元二次方程的解是_____． 【答案】 ， 【分析】将方程移项后，利用平方差公式分解因式，转化为两个一元一次方程，进而求解方程的根. 【详解】解：， ， ， 或 ； 解得 ，. 12．若实数x满足，则_____ ． 【答案】5 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使复杂问题简单化，变得容易处理． 通过换元法将原方程转化为关于新变量的二次方程，并利用完全平方公式求解． 【详解】解：设， 则原方程化为． 因式分解得， 解得． ∴， 即． 故答案为：5． 13．若，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了用公式法因式分解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 将方程左边因式分解，利用完全平方公式求解即可． 【详解】解： ， ， ， 即 ， ∴ ． 故答案为 ：3． 14．小华在解方程时，只得出一个根是，则被他漏掉的一个根是____． 【答案】0 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，即可得到被漏掉的根. 【详解】解： 解得：或 因此被小华漏掉的一个根是. 15．定义一种新运算：，若，则x的值为______． 【答案】 【分析】根据定义，列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得， ， ， ， 解得． 16．方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形周长是________． 【答案】10 【分析】先求出方程的两个根，再分情况讨论边长组合，结合三角形三边关系验证组合是否成立，最后计算周长即可. 【详解】解： 因式分解得 解得 ； 若为腰，2为底，三角形三边长为，因为，满足三角形三边关系，此时周长为， 若为底，2为腰，三角形三边长为，，不满足三角形三边关系，故舍去. 综上：这个等腰三角形周长是10. 三、解答题 17．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ∵，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ∴方程的解为，． （2）解：， 因式分解，得， 即， ∴或， 解得，． 18．解下列关于的方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：对于方程， ， 利用求根公式得， 即． （2）解：， 整理得， 移项得， 因式分解得， 或， ． 19．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 可得或， 故，； （2）解：， ， 由题意得，，，， ， ， 故，． 20．计算 (1)（公式法） (2)（因式分解法） (3)（配方法） 【答案】(1)，． (2)，． (3)，． 【分析】（1）先将方程化为一般式，再求出的值，然后利用求根公式求解即可； （2）先移项，然后利用平方差公式和提取公因式法进行因式分解求解． （3）把常数项移项，二次项系数化为1，再配方可得：，进一步求解即可． 【详解】（1）解：， 移项得： ∵， ∴， ∴， 解得：，． （2）解：， 移项得： ∴ ∴ ∴或 ∴，． （3）解：， 移项得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，． 21．解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学： 或 或 琪琪同学： ，， 此方程无实数根． (1)你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果； 嘉嘉同学的解法__________，琪琪同学的解法__________．（填“正确”或者“不正确”） (2)请选择合适的方法解一元二次方程． 【答案】(1)不正确；不正确 (2) 【分析】（1）根据嘉嘉和琪琪的解法分析即可； （2）移项后用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵乘积为5的两个因数有无数种情况， ∴嘉嘉由得到或不正确； 因化为一般式是， ∴，，， ∴琪琪同学的解法不正确； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴． 22．将分解因式，我们可以按下面方法： ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫“十字相乘法”． 根据乘法原理：若，则或．所以方程可以这样求解：方程左边因式分解得，所以原方程的解为，． 【解决问题】 (1)分解因式：（ ）（ ） (2)试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②． 【答案】(1)1，4 (2)①，；②， 【分析】（1）根据十字相乘法分解即可； （2）根据十字相乘法求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①， ， ∴， ∴原方程的解为，； ②，     ， ∴， ∴原方程的解为，． 23．【阅读材料】 解方程：， 这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则， 于是原方程可转化为： ， 解得：，． 当时，，所以； 当时，，所以， 所以原方程有四个根：，，，， 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 (1)在解方程时，若设，则原方程可转化为______，解得原方程的根为______； (2)若 ，则______； (3)参照上面解题的思想方法解方程： ． 【答案】(1) ，， (2) (3) 【分析】（）直接代入得关于的方程，即可得到结果； （）设，则原方程可转化为，的方程得出，即可求解； （）设，则原方程可转化为，求出，即可得出关于的方程，然后解关于的分式方程，即可求解． 【详解】（1）解：设，代入原方程直接替换，得转化后的方程：， 因式分解得， 解得； 时，，即， 因式分解得， 解得或， 时，， 判别式，无实根， ∴原方程的根为； （2）解：设，由平方非负性得， 原方程可化为， 展开得， ， 结合得，即； （3）解：设， 原方程转化为：， ， 解得， ∴， 两边乘得， 解得， 检验：时分母， ∴是原方程的解． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $