精品解析：福建省漳州市2025-2026学年八年级下学期数学期末质量检测

2025～2026学年下学期期末教学质量检测 八年级数学试卷（北师大版） （满分：150分时间：120分钟） 友情提示：请把所有答案填写（涂）到答题纸上！请不要错位、越界答题！！ 注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂． 1. 下列是一元一次不等式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元一次不等式的定义判断选项即可，一元一次不等式需满足：是不等式，只含一个未知数，未知数次数为1，不等号两边都是整式． 【详解】解：选项A．满足所有条件，是一元一次不等式，故A符合题意； 选项B．是等式，属于一元一次方程，不是不等式，故B不符合题意； 选项C．是多项式，不是不等式，故C不符合题意； 选项D．的分母含有未知数，属于分式，不是整式，不满足条件，故D不符合题意． 2. 下列图标属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 3. 将一副三角尺按如图所示的位置摆放(斜边与直角边重合)，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理、外角定理，找到外角是解题的关键． 首先根据三角板的度数，得到对应角的度数，再利用外角定理求得的度数即可． 【详解】解：如解图，设与交于点E， 根据题意可知，，，， ∴， 在△AEB中，， 故选：C． 4. 如果把分式中的和都扩大为原来的倍，那么分式的值（ ）． A. 不变 B. 扩大为原来的倍 C. 扩大为原来的倍 D. 缩小为原来的 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，将原分式中的、分别替换为、，利用分式的基本性质化简，将化简结果与原分式比较即可得出结论. 【详解】解：和扩大为原来的倍后，分式的值为，与原式相等， ∴值不变，选A． 5. 下列各命题的逆命题成立的是（ ） A. 等角对等边 B. 若，则 C. 对顶角相等 D. 直角都相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查逆命题的改写与真假判断，解题思路为：先交换每个命题的题设与结论得到对应逆命题，再逐一判断逆命题的真假，选出逆命题成立的选项． 【详解】A原命题为“如果两个角相等，那么它们所对的边相等”，逆命题为“如果两条边相等，那么它们所对的角相等”，即等边对等角，该命题为真命题，逆命题成立． B原命题的逆命题为“若，则”，当时，但，逆命题不成立． C原命题的逆命题为“相等的角是对顶角”，相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行的同位角相等，但不是对顶角，逆命题不成立． D原命题的逆命题为“相等的角都是直角”，两个的角相等，但都不是直角，逆命题不成立． 6. 若分式方程有增根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分式方程的增根是使分式分母为0的根，先将分式方程化为整式方程，再根据增根的定义得到增根的值，代入整式方程即可求出的值． 【详解】解：方程两边同乘去分母，得 ， 展开并整理得 ， ∵原分式方程有增根， ∴分式的分母为0，即， 解得， 把代入， 得 ， 解得 ． 7. 一次课堂练习，小敏同学做了如下四道因式分解的习题，你认为小敏同学分解不彻底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项：，分解彻底，不符合要求； B选项：，分解彻底，不符合要求； C选项：，分解彻底，不符合要求； D选项：，其中仍可利用平方差公式继续分解为，因此该选项分解不彻底，符合题意． 8. 如图，是的角平分线，，垂足为，若，，，则的面积为（ ）． A. 20 B. 12 C. 10 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】如图：过D作于F，利用角平分线的性质定理可得，再利用三角形的面积关系以及三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：过D作于F， ∵是的角平分线，，垂足为， ∴， ∴的面积为． 9. 如图，已知一次函数（）与（）的图象交于点，则一元一次不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据两函数图象的交点即可得出结论． 【详解】解：由函数图象可知，当时，函数的图象在直线的下方， 所以关于x的不等式的解集是． 10. 如图，是的对角线（），，于，于，，相交于，延长交的延长线于点．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】由，可得是等腰直角三角形，从而，；利用平行四边形性质及同角的余角相等可证；通过证明，可得；由，可得，利用等面积法可证，结合即可判断． 【详解】解：，， 是等腰直角三角形， ，， 在中，，  四边形是平行四边形，  ， ， ，即，故①错误； ，， ， ，， ，即， 在和中， ， ， ，， ∵平行四边形中，， ，，故②③正确； 四边形是平行四边形， ，， ， ，即， ，， ，即是中边上的高， ， ， ， ，故④正确； 综上所述，正确的结论有②③④，共3个． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题纸的相应位置． 11. 如果，那么________．（填：“”或“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质即可得出结论． 【详解】解：， ． 12. 计算：_____． 【答案】1 【解析】 【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 故答案为：1． 【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 13. 多项式，则各项的最大公因式是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查多项式最大公因式的求解，按照先找系数的最大公约数，再找各项共有的相同字母的最低次幂，将两者相乘即可得到结果． 【详解】解：多项式的各项系数为，其绝对值的最大公约数是． 各项都含有的字母为，只出现在第二项中，因此公因式不含．的最低次幂是，的最低次幂是． 因此该多项式各项的最大公因式为． 14. 如图，在中，若，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形邻角互补的性质得出，结合已知条件求出的度数，再利用平行四边形对角相等的性质即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ∴． ∵， ∴， 解得． 四边形是平行四边形，． 15. 如图，的墙角平铺着一块部分破损的正边形瓷砖（阴影部分），其中墙角，瓷砖有两边，分别与墙，重合，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正多边形的性质可得，由，得到，结合，得到正多边形的一个内角的度数为，最后根据正多边形的内角和列方程求解即可． 【详解】解：瓷砖为正边形， ， ， ， ， ， ， ， 解得． 16. 如图，在正方形中，，，是边上的动点，且，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先在边上取点，使，作点关于直线的对称点，连接，交于点，连接，再根据正方形的性质、平行四边形的判定与性质，得出，进一步得出当，，三点共线时，有最小值，最后利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，在边上取点，使，作点关于直线的对称点，连接，交于点，连接， 则，垂直平分． 四边形为正方形， ，， ． 又， 四边形为平行四边形， ， ， 此时，． 为定值， 当，，三点共线时，有最小值，最小值为的长． ，， 在中，， 的最小值为． 三、解答题：本题共9小题，共86分．请在答题纸的相应位置解答． 17. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 18. 已知：如图，，，垂足分别为，，，且．求证：． 【答案】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【解析】 【分析】利用证明，由全等三角形的性质得出，利用线段的和差即可得出． 【详解】证明：略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值； 【详解】解： 把代入得： 原式 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20. 若为任意实数． （1）因式分解：； （2）求证：． 【答案】（1） （2）证明： ， ， ， 即， ． 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式因式分解即可； （2）利用作差法求解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 略 21. 如图，是平行四边形的对角线． （1）用直尺和圆规作的垂直平分线，分别交，，于点，，（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）解：作图如下：； （2）证明：根据基本作图，得点O为的中点， ， 在平行四边形中，， ， ∵， ∴， ∴， ， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的基本作图求解即可； （2）证明得到，即可判定四边形是平行四边形； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 近期，某校计划采购一批多媒体设备，从经销商处了解到：智能交互白板的单价比实物投影仪的单价贵1万元． （1）若用15万元购买智能交互白板的数量与用10万元购买实物投影仪的数量相同，求智能交互白板和实物投影仪的单价各是多少万元？ （2）在（1）的条件下，该校计划购买这两种设备共计20台，且采购总费用不得超过46万元，求智能交互白板最多能购买多少台？ 【答案】（1）智能交互白板单价为3万元，实物投影仪单价为2万元 （2）智能交互白板最多能购买6台 【解析】 【分析】（1）利用“15万元购买智能交互白板的数量与10万元购买实物投影仪的数量相同”建立等量关系，列分式方程求解即可； （2）利用“采购总费用不得超过46万元”建立不等关系，列一元一次不等式求最大整数解即可． 【小问1详解】 解：设实物投影仪的单价为万元，则智能交互白板的单价为万元． 由题意得 解得 检验：当时，，因此是原分式方程的解． 则 答：智能交互白板单价为3（万元），实物投影仪单价为2（万元）． 【小问2详解】 解：设智能交互白板购买台，则实物投影仪购买台． 由题意得 展开整理得 因此的最大整数值为 答：智能交互白板最多能购买6（台）． 23. 如图1，等边与叠放在一起，，，点在边上． （1）求证：点为的中点； （2）如图2，沿向右平移得，与交于点，求的长． 【答案】（1）证明：为等边三角形， ，． 为直角三角形， ， ， ，即， ， ， 即点为的中点． （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质、直角三角形中两锐角互余、含角的直角三角形的性质，即可得证； （2）利用平移的性质、外角的性质、等角对等边，进行解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由平移得，，，， ． 由（1）可知，，， ，， ， ， ． 答：的长为． 24. 主题：梯形中位线的探索与应用 命题探究 在梯形中，，，分别是，的中点，连接，则叫作梯形的中位线． （1）小华对线段，，之间的数量关系做了如下探究： 连接并延长交的延长线于点 ，，， 点是的中点，， ， ① ，， 点是的中点， 又点是的中点， ，， ， ② ． 直接应用 （2）如图，在梯形中，，是梯形的中位线，，，分别平分，，且点在上． 求梯形的周长； 拓展应用 （3）连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线． 如图，在四边形中，，与不平行，，分别为，的中点，则有结论：． 这个结论可以用下面的方法证明： 连接并延长至点，使，连接，， 请将证明过程补充完整． 【答案】（1）； （2） （3）证明：连接并延长至点，使，连接，， ， ，， ， 为的中点， 是的中位线， ， ， 根据三角形三边关系可得， ，即． 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质和中位线的性质即可解答； （2）根据（1）中证明，可得，，再根据角平分线的定义和平行线的性质，得到，即可解答； （3）根据（1）和（2）的推论，以及三角形的三边关系即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，是梯形的中位线， 根据（1）中证明，可得，， ，分别平分，， ， ， ， ， ， ， 梯形的周长为； 【小问3详解】 略 25. 如图，在中，，，点D在底边上（），连接，将线段绕点A顺时针旋转得到，连接． （1）求证：； （2）若，且，求的度数； （3）在上截取，连接交于点F，点H是上一点，且，连接并延长交于点G，求证：． 【答案】（1）证明：线段绕点A顺时针旋转得到， ，， ，即， ， ； （2） （3）证明：如图，在上，找一点，使得，连接， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 延长到点，使，连接， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，即可解答； （2）利用平行线的性质和全等三角形的性质，即可解答； （3）在上，找一点，使得，证明四边形为平行四边形，可得，延长到，使，证明四边形为平行四边形，再证明即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则，， ， ， ， ，即， 解得， 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年下学期期末教学质量检测 八年级数学试卷（北师大版） （满分：150分时间：120分钟） 友情提示：请把所有答案填写（涂）到答题纸上！请不要错位、越界答题！！ 注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂． 1. 下列是一元一次不等式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图标属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 将一副三角尺按如图所示的位置摆放(斜边与直角边重合)，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如果把分式中的和都扩大为原来的倍，那么分式的值（ ）． A. 不变 B. 扩大为原来的倍 C. 扩大为原来的倍 D. 缩小为原来的 5. 下列各命题的逆命题成立的是（ ） A. 等角对等边 B. 若，则 C. 对顶角相等 D. 直角都相等 6. 若分式方程有增根，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 一次课堂练习，小敏同学做了如下四道因式分解的习题，你认为小敏同学分解不彻底的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的角平分线，，垂足为，若，，，则的面积为（ ）． A. 20 B. 12 C. 10 D. 6 9. 如图，已知一次函数（）与（）的图象交于点，则一元一次不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是的对角线（），，于，于，，相交于，延长交的延长线于点．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题纸的相应位置． 11. 如果，那么________．（填：“”或“”或“”） 12. 计算：_____． 13. 多项式，则各项的最大公因式是________． 14. 如图，在中，若，则的度数为________． 15. 如图，的墙角平铺着一块部分破损的正边形瓷砖（阴影部分），其中墙角，瓷砖有两边，分别与墙，重合，则的值为________． 16. 如图，在正方形中，，，是边上的动点，且，则的最小值为________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．请在答题纸的相应位置解答． 17. 解不等式：． 18. 已知：如图，，，垂足分别为，，，且．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 若为任意实数． （1）因式分解：； （2）求证：． 21. 如图，是平行四边形的对角线． （1）用直尺和圆规作的垂直平分线，分别交，，于点，，（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，，求证：四边形是平行四边形． 22. 近期，某校计划采购一批多媒体设备，从经销商处了解到：智能交互白板的单价比实物投影仪的单价贵1万元． （1）若用15万元购买智能交互白板的数量与用10万元购买实物投影仪的数量相同，求智能交互白板和实物投影仪的单价各是多少万元？ （2）在（1）的条件下，该校计划购买这两种设备共计20台，且采购总费用不得超过46万元，求智能交互白板最多能购买多少台？ 23. 如图1，等边与叠放在一起，，，点在边上． （1）求证：点为的中点； （2）如图2，沿向右平移得，与交于点，求的长． 24. 主题：梯形中位线的探索与应用 命题探究 在梯形中，，，分别是，的中点，连接，则叫作梯形的中位线． （1）小华对线段，，之间的数量关系做了如下探究： 连接并延长交的延长线于点 ，，， 点是的中点，， ， ① ，， 点是的中点， 又点是的中点， ，， ， ② ． 直接应用 （2）如图，在梯形中，，是梯形的中位线，，，分别平分，，且点在上． 求梯形的周长； 拓展应用 （3）连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线． 如图，在四边形中，，与不平行，，分别为，的中点，则有结论：． 这个结论可以用下面的方法证明： 连接并延长至点，使，连接，， 请将证明过程补充完整． 25. 如图，在中，，，点D在底边上（），连接，将线段绕点A顺时针旋转得到，连接． （1）求证：； （2）若，且，求的度数； （3）在上截取，连接交于点F，点H是上一点，且，连接并延长交于点G，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $